1
信号与系统
第二章 LTI连续时间系统的时域分析
2
第二章 LTI连续时间系统的时域分析
? § 2.1 系统的数学模型
? § 2.2 LTI系统的响应
? § 2.3 LTI系统的冲激响应与阶跃响应
? § 2.4 卷积
3
§ 2.1 系统的数学模型
? 1,R.L.C上的 e(t)~i(t)
– (1)
R
i(t)
e (t)
e ( t) i( t)
1
R
1
R
e ( t) i( t)
i( t) e ( t)
R
i( t) e ( t)
R? ? ? ?
? ? ? ?
1
i t e t
R
e t R i t
?
?
4
§ 2.1系统的数学模型
– (2)
i(t)
e (t)
L
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
11t
d i t
e t L Lpi t
dt
i t e d e t
L Lp
??
??
??
???
i ( t ) e ( t )
L p
i ( t ) e ( t )
L p
e ( t ) i ( t )
1
Lp
e ( t ) i ( t )
1
Lp
5
§ 2.1系统的数学模型
– (3)
i(t)
e (t)
C
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
11t
d e t
i t C Cp e t
dt
e t i d i t
C Cp
??
??
??
???
e ( t ) i ( t )
1
Cp
e ( t ) i ( t )
1
Cp
i ( t ) e ( t )
C p
i ( t ) e ( t )
C p
6
§ 2.1系统的数学模型
– (4)求和
– (5)分支
f
1
( t )
?
f
2
( t )
? ? ? ? ? ? ?12y t f t f t??f 1 ( t )
f
2
( t )
? ? ? ? ? ?12y t f t f t???
f
1
( t )
f
2
( t )
f
3
( t )
? ? ? ? ? ?12y t f t f t??
? ? ? ? ? ?1 2 3f t f t f t??
7
§ 2.1系统的数学模型
? 2,LTI连续时间系统的状态空间模型
? 例 1,
问题 (1) y(t)~v(t)； (2)x1(t),x2(t)~v(t)
8
§ 2.1系统的数学模型
– 解：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
12
12
2 2 3
1 2 2 1
23
3
42
1
2
20
30
2
v t i t i t
x t i t
x t i t i t
x t x t i t i t
x t i t
y t i t
???
?
?
?
?
? ??
?
?
?
? ? ? ???
??
?
? ??
?
??
?
&
&
9
§ 2.1系统的数学模型
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
11
22
1
2
11 1
22
2
03
2
0 0
3
x t x t
vt
x t x t
xt
y t v t
xt
? ? ??? ??
? ? ? ?
? ?? ??
??? ? ? ?
? ?? ???
? ? ? ?? ? ? ? ?
????
?
? ??
??
? ? ? ???
??
? ?? ??
???
&
LL
&
LLLL
状 态 方 程
观 测 方 程
10
§ 2.1系统的数学模型
? 状态空间模型
v ( t ) y ( t )
x ( t )
r m
n
? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
r
r
vt
L t t
vt
?
??
??
????
??
??
????
M
M
vt ? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
m
m
yt
L t t
yt
?
??
??
????
??
??
????
M
M
yt
? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
n
n
xt
L t t
xt
?
??
??
????
??
??
????
M
M
xt ? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
n
n
xt
L t t
xt
?
??
??
????
??
??
????
&
M
&
M
&
xt
输入向量 输出向量
状态向量 状态向量
11
§ 2.1系统的数学模型
?
? 解
其中
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
n n n r
m n m r
AB
CD
??
??
????
? ??
??
& LLLL
LLLL
状 态 方 程
观 测 方 程
x t x t v t
y t x t v t
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
0
0
t At
At
t AtAt
e e B d
C e C e B D t d
?
?
??
? ? ? ?
?
?
? ??
?
?
??? ? ? ? ?
???
?
?
0
0
x t x v
y t x v
? ?
? ? ? ? ? ?
0
22
0
11
2 ! !
t
A t k k
k
ut
e I A t A t A x
k
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
LL
KK
因 果 信 号
0
x t x
v t v t
状态的零输入响应 状态的零状态响应
输出的零输入响应
输出的零状态响应
12
§ 2.1系统的数学模型
?
B
t
d ?
???
A
C
?D
v ( t )
y ( t )
? ?xt ? ?xt
r
n × r
n
r
m × r
m
n
n
n × n
n
m × n
m
m
13
§ 2.1系统的数学模型
? 状态：定义能够完全表征系统时域动力学
行为的一组最小的内部变量组为状态。
? 物理上，状态的维数
dim x(t)=系统中独立储能元件的个数
? 状态的选择不唯一。
– 注：电容或电感的直接串联和并联的元件不独
立，电压源断路，电流源短路，串并联简化不
了的储能元件的个数。
14
§ 2.1系统的数学模型
? 3,LTI 系统的微分方程模型
– 对一个有 n个独立储能元件的单输入单输出
（ SISO）有：
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )
1 1 0
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )
1 1 0
( ) ( ),,, ( ) ( )
( ) ( ),,, ( ) ( )
nn
n
mm
mm
y t a y t a y t a y t
b v t b v t b v t b v t
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
( 1 )( ) ( 0 ),.,,,( 0 ) ( )?nv t y y y t? ?，, 求
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
1
12
0,0,,0 0,,0
0,
T n
n
x x x y y
t
?
? ????
??
KL－ 与
一 般 为 线 性 变 换
－ 因 果 性
x0
已知：
15
§ 2.1系统的数学模型
? 4,LTI 系统的系统算子模型
? ? ? ?
1
1 1 0 1 0
1
1 1 0
10
,..,,
..,,.,
( ),.,
( ),..
()
( ) ( ) ( ) ( )
()
()
()
()
n
n
n
n n m
nm
nn
n
m
m
dd
pp
dt dt
p a p a p a y t b p b p b v t
D p p a p a p a
N p b p b p b
Np
y t v t H p v t
Dp
Np
Hp
Dp
?
?
?
?
??
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
@
@
@
－ 令
－ 令
有,
其 中, 为 系 统 算 子 。
16
§ 2.1系统的数学模型
– 注：
? 1,D(p)与 N(p)的公因式一般不可相消。
? 2.
? 3.对于不同的物理系统，其输入－输出方程可能相同。
1 p
p 与 一 般 不 可 交 换 。
()
0
()
1
( ) ( ) ( )
t tt
Hp
v t e v d e v t
p
? ? ???
?
? ? ???
? ?
零 状 态
可 对 进 行 因 式 分 解, 其 基 本 单 元,
17
§ 2.2 LTI系统的响应
? 1.
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
11
1 1 0
1
10
1
1
0,
0, 0,,0
0, 0,,0
nn
n
m
m
T
n
T
n
y t a y t a y t a y t
b v t b v t b v t
yy
yy
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
??
?
L
L
K
K
- - -
++
讨 论 时 间 内 的 系 统 输 出
起 始 状 态 （ 状 态 ） 或
初 始 状 态 （ 状 态 ） 或
一 般 情 况 下
-
+
-+
-
- x 0
- x 0
- y ( 0 ) y ( 0 )
18
§ 2.2 LTI系统的响应
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
:
0,
:
0,
,0 0
,0 0 0
zi
zs
zi zi zi
zs zs zs
yt
vt
yt
v t v t u t
y t y y
y t y y
??
??
?
?
?
??
-
-
- Ze ro In pu t
y ( 0 )
- Ze ro S t at e
y ( 0 )
-
-
Q
Q
零 输 入 （ ） 响 应
激 励 信 号 由 产 生 的 响 应
零 状 态 （ ） 响 应
系 统 储 能 作 用 由 = 产 生 的 响 应
对
（ 储 能 元 件 的 演 化 是 连 续 的 ）
对
（ 有 信 号 加 入, 产 生 跳 变 ）
19
§ 2.2 LTI系统的响应
? 2.如何求？
– 互异特征根 （无重根）
? ?ziyt
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11
1 1 0
0
0
nn
n
D p y t
y t a y t a y t a y t
?
?
?
? ? ? ? ?
c
L
? ? ? ?
12
1
,,,
i
n
n
t
z i i
i
y t A e u t?
? ? ?
?
? ?
-+y ( 0 ) = y ( 0 )
K
20
§ 2.2 LTI系统的响应
? 3.零状态响应
– 特解 B(t)反映系统输入对输出的强迫
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
1
1
1
0,( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
()
( ) [ ( ) ]
()
n
i
zs n
i
i
t t
i
n
t
z s i
i
v t v t u t D p y t N p v t
N p N p
y t v t H p v t v t
Dp
p
N p e e v t
y t A e B t
? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
?
?
-
y ( 0 )
@
L
，
（ 互 异 ）
齐 次 解 特 解
21
§ 2.2 LTI系统的响应
? 4.非零状态线性系统
– 定义（非零状态线性系统）：对 T，若
则
称 T为非零状态线性系统。
– 推论：线性系统响应＝ 零状态响应 ＋ 零输入响应
1 - 1 1 1
2 - 2 2 2
{ ( 0 ),( ) } { ( ),( ) }
{ ( 0 ),( ) } { ( ),( ) }
x v t x t y t
x v t x t y t
??
? ?
?
1 - 1 2 - 2 1 1 2 2{ ( 0 ),( ) } { ( 0 ),( ) } { ( t),( ) } { ( t),( ) }x v t x v t x y t x y t? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?- - -0,0 ;,0,x v t x v t v t x? ? ? ? ?n r n r0 0 0 0
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2,,x t y t x t y t＋说明：
v ( t ) y ( t )T
x ( t )r
n
m
22
§ 2.2 LTI系统的响应
? 5.自由响应和强迫响应
? ?
1
0
|i
n
t
i
i
Ae Bt?
?
??
?? ?
1 4 4 2 4 4 3 1 4 2 4 3
带 入
齐 次 解系 统 响 应 特 解
自 由 响 应 强 迫 响 应
-+y ( 0 ) y ( 0 )
0t?
23
§ 2.3LTI系统的冲激响应与阶跃响应
? 冲激响应 h(t),输入为单位冲激函数时的零状态响
应。
? 阶跃响应,输入为单位阶跃函数时的零状
态响应。
?
? ? ? ?h t T t??
()stepyt
( ) ( )sy t Tu t?
? ? ? ?
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
s
t
s
ss
h t y t
y t T u t T t T t h t dt
pp
d
h t T t T pu t pTu t py t y t
dt
??
?
??
? ? ?
? ? ? ?
?
与 关 系,
零 状 态
零 状 态
24
§ 2.3LTI系统的冲激响应与阶跃响应
? 如何求 h(t)？
1
10
01 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ),( ) ( )
( ) ( )
de gr e e ( ) de gr e e ( )
( ) ( )
( ),.,
( ) ( )
( ( ) ( ) )
( ) (
zs
qq
qq
q nn
ji
ij
ij jj
N p N p
y t H p v t v t v t t h t t
D p D p
N p D p q
N p E p
H p p p p
D p D p
b
p D p p
p
h t H
??
? ? ? ?
??
?
?
?
?? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?? ?
－
－
()
01
) ( ) ( ) ( )
j
q n
ti
ij
ij
p t t b e u t
?
? ? ?
??
????
25
§ 2.4 卷积
? 对任意两个信号,两者的卷积运算
定义为：
? 性质
– 代数性质
– 拓扑性质
12( ) ( )f t f t、
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f f t d? ? ?
?
?????@
11( ),( ),( ) ( ),( )f t g t h t L L? ? ? ?设 绝 对 可 积 函 数 集 合
26
§ 2.4 卷积
? 代数性质
1
1
1 1 1
- ( ) ( ) ( ) ( )
- ( ) { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } ( )
- { ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
- ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
- ( ) ( ) ( )
- (
f t g t g t f t
f t g t h t f t g t h t
f t g t h t f t h t g t h t
f t f t dt f t L
f t g t f t g t
f t t f t
? ? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
??
?
（ 可 交 换 性 ）
（ 可 结 合 性 ）
（ 线 性 ）
定 义 为 的 范 数
) ( ) 1
- ( ),
t dt t dt
t
?
?
??
??
??
既 非 黎 曼 可 积 亦 非 勒 贝 格 可 积 。
27
§ 2.4 卷积
? 拓扑性质
''
( ) ( )
- [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]
- [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
- ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nn
t
d d d
f t g t f t g t f t g t
dt dt dt
f g d f t g d f d g t
f t t f t
f t t f t
f t u t f u t d f d f t
p
? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
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??
??
? ? ? ? ?
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??
28
§ 2.4 卷积
? 例
v ( t )
t
o
1
1
h ( t )
t
o
1
1 2
v ( - τ )
τ
o
1
- 1
h ( τ )
τ
o
1
1 2
v ( t - τ )
τ
o
1
- 1 + t t
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y t v t h t h v t d? ? ?????? ? ? ??
29
§ 2.4 卷积
h ( τ )
τ
o
1
v ( t - τ )
τ
o
1
- 1 + t t
1 2
1 2
τ
o
1
1 2
τ
o
1
1 2
- 1 + t t
- 1 + t t
v ( t - τ )
v ( t - τ )
0 ≤ t < 1
1 ≤ t < 2
2 ≤ t < 3
? ?
? ?
2
2
2
1
,0 1
2
33
,1 2
24
1
3,2 3
2
0,
tt
tt
yt
tt
?
??
?
?
? ??
? ? ? ? ??
??
? ?
??
?
? ? ? ?
?
?
? 其 它
30
结束
信号与系统
第二章 LTI连续时间系统的时域分析
2
第二章 LTI连续时间系统的时域分析
? § 2.1 系统的数学模型
? § 2.2 LTI系统的响应
? § 2.3 LTI系统的冲激响应与阶跃响应
? § 2.4 卷积
3
§ 2.1 系统的数学模型
? 1,R.L.C上的 e(t)~i(t)
– (1)
R
i(t)
e (t)
e ( t) i( t)
1
R
1
R
e ( t) i( t)
i( t) e ( t)
R
i( t) e ( t)
R? ? ? ?
? ? ? ?
1
i t e t
R
e t R i t
?
?
4
§ 2.1系统的数学模型
– (2)
i(t)
e (t)
L
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
11t
d i t
e t L Lpi t
dt
i t e d e t
L Lp
??
??
??
???
i ( t ) e ( t )
L p
i ( t ) e ( t )
L p
e ( t ) i ( t )
1
Lp
e ( t ) i ( t )
1
Lp
5
§ 2.1系统的数学模型
– (3)
i(t)
e (t)
C
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
11t
d e t
i t C Cp e t
dt
e t i d i t
C Cp
??
??
??
???
e ( t ) i ( t )
1
Cp
e ( t ) i ( t )
1
Cp
i ( t ) e ( t )
C p
i ( t ) e ( t )
C p
6
§ 2.1系统的数学模型
– (4)求和
– (5)分支
f
1
( t )
?
f
2
( t )
? ? ? ? ? ? ?12y t f t f t??f 1 ( t )
f
2
( t )
? ? ? ? ? ?12y t f t f t???
f
1
( t )
f
2
( t )
f
3
( t )
? ? ? ? ? ?12y t f t f t??
? ? ? ? ? ?1 2 3f t f t f t??
7
§ 2.1系统的数学模型
? 2,LTI连续时间系统的状态空间模型
? 例 1,
问题 (1) y(t)~v(t)； (2)x1(t),x2(t)~v(t)
8
§ 2.1系统的数学模型
– 解：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
12
12
2 2 3
1 2 2 1
23
3
42
1
2
20
30
2
v t i t i t
x t i t
x t i t i t
x t x t i t i t
x t i t
y t i t
???
?
?
?
?
? ??
?
?
?
? ? ? ???
??
?
? ??
?
??
?
&
&
9
§ 2.1系统的数学模型
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
11
22
1
2
11 1
22
2
03
2
0 0
3
x t x t
vt
x t x t
xt
y t v t
xt
? ? ??? ??
? ? ? ?
? ?? ??
??? ? ? ?
? ?? ???
? ? ? ?? ? ? ? ?
????
?
? ??
??
? ? ? ???
??
? ?? ??
???
&
LL
&
LLLL
状 态 方 程
观 测 方 程
10
§ 2.1系统的数学模型
? 状态空间模型
v ( t ) y ( t )
x ( t )
r m
n
? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
r
r
vt
L t t
vt
?
??
??
????
??
??
????
M
M
vt ? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
m
m
yt
L t t
yt
?
??
??
????
??
??
????
M
M
yt
? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
n
n
xt
L t t
xt
?
??
??
????
??
??
????
M
M
xt ? ?
? ?
? ?
1
2
0
[,]
n
n
xt
L t t
xt
?
??
??
????
??
??
????
&
M
&
M
&
xt
输入向量 输出向量
状态向量 状态向量
11
§ 2.1系统的数学模型
?
? 解
其中
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
n n n r
m n m r
AB
CD
??
??
????
? ??
??
& LLLL
LLLL
状 态 方 程
观 测 方 程
x t x t v t
y t x t v t
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? ? ? ? ? ? ? ?
0
0
t At
At
t AtAt
e e B d
C e C e B D t d
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?
??
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?
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?
?
??? ? ? ? ?
???
?
?
0
0
x t x v
y t x v
? ?
? ? ? ? ? ?
0
22
0
11
2 ! !
t
A t k k
k
ut
e I A t A t A x
k
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
LL
KK
因 果 信 号
0
x t x
v t v t
状态的零输入响应 状态的零状态响应
输出的零输入响应
输出的零状态响应
12
§ 2.1系统的数学模型
?
B
t
d ?
???
A
C
?D
v ( t )
y ( t )
? ?xt ? ?xt
r
n × r
n
r
m × r
m
n
n
n × n
n
m × n
m
m
13
§ 2.1系统的数学模型
? 状态：定义能够完全表征系统时域动力学
行为的一组最小的内部变量组为状态。
? 物理上，状态的维数
dim x(t)=系统中独立储能元件的个数
? 状态的选择不唯一。
– 注：电容或电感的直接串联和并联的元件不独
立，电压源断路，电流源短路，串并联简化不
了的储能元件的个数。
14
§ 2.1系统的数学模型
? 3,LTI 系统的微分方程模型
– 对一个有 n个独立储能元件的单输入单输出
（ SISO）有：
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )
1 1 0
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )
1 1 0
( ) ( ),,, ( ) ( )
( ) ( ),,, ( ) ( )
nn
n
mm
mm
y t a y t a y t a y t
b v t b v t b v t b v t
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
( 1 )( ) ( 0 ),.,,,( 0 ) ( )?nv t y y y t? ?，, 求
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
1
12
0,0,,0 0,,0
0,
T n
n
x x x y y
t
?
? ????
??
KL－ 与
一 般 为 线 性 变 换
－ 因 果 性
x0
已知：
15
§ 2.1系统的数学模型
? 4,LTI 系统的系统算子模型
? ? ? ?
1
1 1 0 1 0
1
1 1 0
10
,..,,
..,,.,
( ),.,
( ),..
()
( ) ( ) ( ) ( )
()
()
()
()
n
n
n
n n m
nm
nn
n
m
m
dd
pp
dt dt
p a p a p a y t b p b p b v t
D p p a p a p a
N p b p b p b
Np
y t v t H p v t
Dp
Np
Hp
Dp
?
?
?
?
??
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
@
@
@
－ 令
－ 令
有,
其 中, 为 系 统 算 子 。
16
§ 2.1系统的数学模型
– 注：
? 1,D(p)与 N(p)的公因式一般不可相消。
? 2.
? 3.对于不同的物理系统，其输入－输出方程可能相同。
1 p
p 与 一 般 不 可 交 换 。
()
0
()
1
( ) ( ) ( )
t tt
Hp
v t e v d e v t
p
? ? ???
?
? ? ???
? ?
零 状 态
可 对 进 行 因 式 分 解, 其 基 本 单 元,
17
§ 2.2 LTI系统的响应
? 1.
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
11
1 1 0
1
10
1
1
0,
0, 0,,0
0, 0,,0
nn
n
m
m
T
n
T
n
y t a y t a y t a y t
b v t b v t b v t
yy
yy
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
??
??
??
??
?
L
L
K
K
- - -
++
讨 论 时 间 内 的 系 统 输 出
起 始 状 态 （ 状 态 ） 或
初 始 状 态 （ 状 态 ） 或
一 般 情 况 下
-
+
-+
-
- x 0
- x 0
- y ( 0 ) y ( 0 )
18
§ 2.2 LTI系统的响应
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
:
0,
:
0,
,0 0
,0 0 0
zi
zs
zi zi zi
zs zs zs
yt
vt
yt
v t v t u t
y t y y
y t y y
??
??
?
?
?
??
-
-
- Ze ro In pu t
y ( 0 )
- Ze ro S t at e
y ( 0 )
-
-
Q
Q
零 输 入 （ ） 响 应
激 励 信 号 由 产 生 的 响 应
零 状 态 （ ） 响 应
系 统 储 能 作 用 由 = 产 生 的 响 应
对
（ 储 能 元 件 的 演 化 是 连 续 的 ）
对
（ 有 信 号 加 入, 产 生 跳 变 ）
19
§ 2.2 LTI系统的响应
? 2.如何求？
– 互异特征根 （无重根）
? ?ziyt
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11
1 1 0
0
0
nn
n
D p y t
y t a y t a y t a y t
?
?
?
? ? ? ? ?
c
L
? ? ? ?
12
1
,,,
i
n
n
t
z i i
i
y t A e u t?
? ? ?
?
? ?
-+y ( 0 ) = y ( 0 )
K
20
§ 2.2 LTI系统的响应
? 3.零状态响应
– 特解 B(t)反映系统输入对输出的强迫
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
1
1
1
0,( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
()
( ) [ ( ) ]
()
n
i
zs n
i
i
t t
i
n
t
z s i
i
v t v t u t D p y t N p v t
N p N p
y t v t H p v t v t
Dp
p
N p e e v t
y t A e B t
? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
?
?
-
y ( 0 )
@
L
，
（ 互 异 ）
齐 次 解 特 解
21
§ 2.2 LTI系统的响应
? 4.非零状态线性系统
– 定义（非零状态线性系统）：对 T，若
则
称 T为非零状态线性系统。
– 推论：线性系统响应＝ 零状态响应 ＋ 零输入响应
1 - 1 1 1
2 - 2 2 2
{ ( 0 ),( ) } { ( ),( ) }
{ ( 0 ),( ) } { ( ),( ) }
x v t x t y t
x v t x t y t
??
? ?
?
1 - 1 2 - 2 1 1 2 2{ ( 0 ),( ) } { ( 0 ),( ) } { ( t),( ) } { ( t),( ) }x v t x v t x y t x y t? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?- - -0,0 ;,0,x v t x v t v t x? ? ? ? ?n r n r0 0 0 0
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2,,x t y t x t y t＋说明：
v ( t ) y ( t )T
x ( t )r
n
m
22
§ 2.2 LTI系统的响应
? 5.自由响应和强迫响应
? ?
1
0
|i
n
t
i
i
Ae Bt?
?
??
?? ?
1 4 4 2 4 4 3 1 4 2 4 3
带 入
齐 次 解系 统 响 应 特 解
自 由 响 应 强 迫 响 应
-+y ( 0 ) y ( 0 )
0t?
23
§ 2.3LTI系统的冲激响应与阶跃响应
? 冲激响应 h(t),输入为单位冲激函数时的零状态响
应。
? 阶跃响应,输入为单位阶跃函数时的零状
态响应。
?
? ? ? ?h t T t??
()stepyt
( ) ( )sy t Tu t?
? ? ? ?
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
s
t
s
ss
h t y t
y t T u t T t T t h t dt
pp
d
h t T t T pu t pTu t py t y t
dt
??
?
??
? ? ?
? ? ? ?
?
与 关 系,
零 状 态
零 状 态
24
§ 2.3LTI系统的冲激响应与阶跃响应
? 如何求 h(t)？
1
10
01 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ),( ) ( )
( ) ( )
de gr e e ( ) de gr e e ( )
( ) ( )
( ),.,
( ) ( )
( ( ) ( ) )
( ) (
zs
q nn
ji
ij
ij jj
N p N p
y t H p v t v t v t t h t t
D p D p
N p D p q
N p E p
H p p p p
D p D p
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p D p p
p
h t H
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??
?
?
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?
?
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－
－
()
01
) ( ) ( ) ( )
j
q n
ti
ij
ij
p t t b e u t
?
? ? ?
??
????
25
§ 2.4 卷积
? 对任意两个信号,两者的卷积运算
定义为：
? 性质
– 代数性质
– 拓扑性质
12( ) ( )f t f t、
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f f t d? ? ?
?
?????@
11( ),( ),( ) ( ),( )f t g t h t L L? ? ? ?设 绝 对 可 积 函 数 集 合
26
§ 2.4 卷积
? 代数性质
1
1
1 1 1
- ( ) ( ) ( ) ( )
- ( ) { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } ( )
- { ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
- ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
- ( ) ( ) ( )
- (
f t g t g t f t
f t g t h t f t g t h t
f t g t h t f t h t g t h t
f t f t dt f t L
f t g t f t g t
f t t f t
? ? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
??
?
（ 可 交 换 性 ）
（ 可 结 合 性 ）
（ 线 性 ）
定 义 为 的 范 数
) ( ) 1
- ( ),
t dt t dt
t
?
?
??
??
??
既 非 黎 曼 可 积 亦 非 勒 贝 格 可 积 。
27
§ 2.4 卷积
? 拓扑性质
''
( ) ( )
- [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]
- [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
- ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t
nn
t
d d d
f t g t f t g t f t g t
dt dt dt
f g d f t g d f d g t
f t t f t
f t t f t
f t u t f u t d f d f t
p
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? ? ? ? ? ?
?
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? ? ? ? ?
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??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
??
28
§ 2.4 卷积
? 例
v ( t )
t
o
1
1
h ( t )
t
o
1
1 2
v ( - τ )
τ
o
1
- 1
h ( τ )
τ
o
1
1 2
v ( t - τ )
τ
o
1
- 1 + t t
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y t v t h t h v t d? ? ?????? ? ? ??
29
§ 2.4 卷积
h ( τ )
τ
o
1
v ( t - τ )
τ
o
1
- 1 + t t
1 2
1 2
τ
o
1
1 2
τ
o
1
1 2
- 1 + t t
- 1 + t t
v ( t - τ )
v ( t - τ )
0 ≤ t < 1
1 ≤ t < 2
2 ≤ t < 3
? ?
? ?
2
2
2
1
,0 1
2
33
,1 2
24
1
3,2 3
2
0,
tt
tt
yt
tt
?
??
?
?
? ??
? ? ? ? ??
??
? ?
??
?
? ? ? ?
?
?
? 其 它
30
结束
