信号与系统
第六章 傅里叶变换的应用
2
第六章 傅里叶变换的应用
? § 6.1 傅里叶系统函数
? § 6.2 无失真传输
? § 6.3 理想低通滤波器
? § 6.4 系统的物理可实现性
? § 6.5 希尔伯特变换
? § 6.6 带通信号通过带通系统
3
§ 6.1 傅里叶系统函数
? 1.定义：
–
v ( t )
h ( t )
? ? ? ? ? ?Y t h t v t??
冲激响应
零状态，因果 /非因果
适用范围
4
§ 6.1 傅里叶系统函数
– v ( t ) H ( p ) ? ? ? ? ? ?Y t H p v t?
系统算子
零状态，因果 /非因果
适用范围
? ? ? ?1,0tv t e v t tp ?? ?? ? ??
5
§ 6.1 傅里叶系统函数
–
适用范围
V ( s )
H ( s )
? ? ? ? ? ?Y s H s V s?
系统函数
零状态，因果系统、因果信号
6
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 傅里叶系统函数：
– 适用范围：零状态,是稳定信号，
即 BIBO稳定，因果 /非因果。
V ( j ω )
H ( j ω )
? ? ? ? ? ?Y j H j V j? ? ??
系 统 函 数
? ? ? ? ? ?? ?1 jjy t H V???? F
? ? ? ?? ?jH h t? ? F
? ?vt ? ? ? ?1L,ht ? ? ? ? ?
7
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 微分方程：由
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?,N p N pH p y t v tD p D p??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
1
0,,0 0,
0,,0 0
n
n
D p y t N p v t
yy
yy
?
??
?
??
??
L
L
在 零 状 态 时 为
在 零 状 态 时 不 为
8
§ 6.1 傅里叶系统函数
? 2.矩阵
…… 谱方法
? ?*1,d e t 0,,n n nA I A? ? ?? ? ? L 特 征 根
? ?,,1,2,,ni i i i iA R i n n? ? ? ? ?? ? ? ?0 L,为 个
线 性 无 关 的 特 征 向 量 。
? ?1 1 1 2 2
1 1 1
s p a n,,,,nn n n
n n n
i i i i i i i
i i i
R
A A A
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
LL X X =
X=
9
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 若
T, H ( s )? ?
vt ? ?Yt
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
11
j1 1 1 1 1
-
jj
1
--
L,,,,,
2 2 2 2
j
nt
n
n
BI BO
n t n t
nn
nn
T T T T
v t v t V e t
y t T v t V T e V H n e
?
??
?
??
??
?? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
?? ?
稳 定
则
与 线 性 代 数 中 的 谱 方 法 相 对 应 。
算子谱
（特征根）
特征函数
10
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 若 ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
+
1j
-
+
j
-
+
j
-
L,,d,
d
d
t
t
t
v t v t V e f
y t T v t V T e f
V H e f h t v t
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?? ?? ?
??
? ? ?
?
?
?
则
11
§ 6.2 无失真传输
? 1.
– 若,则产生幅度失真；
– 若,则产生相位失真；
– 若产生新的频率则称为非线性失真。
H ( s )? ?
vt ? ?Yt
12s in s inA t B t??? ? ? ? ?1 1 2 2
12
12
s i n s i n
s i n s i n
C t D t
C t D t
? ? ? ?
??
??
??
? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
C A D B?
1 1 2 2? ? ? ??
线性失真
12
§ 6.2 无失真传输
? 2.无失真传输
输出克隆输入
? ?xt ? ?Yt
输入 输出
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?
0
0
0
j
0
,
t
Y t k x t t
h t k t t
H h t k e
H k t
?
?
?
? ? ? ?
?
??
??
??
? ? ?
F
13
§ 6.2 无失真传输
– (1)群延迟：
– (2)无失真传输系统 全通。
– (3)无失真传输系统 BIBO稳定。
o
? ?H ?
ω
o
? ???
ω
k
? ?
0
d
d t
???
?? ? ? ? 时 间 延 迟
?
?
14
§ 6.3 理想低通滤波器
? 定义：对 带限信号
能 无失真传输的系统。
? ? ? ? ? ? ? ?? ?F F u u? ? ? ? ? ?? ? ? ?????
?
o
? ?H ?
ω
o
? ???
ω
k
- σ σ
- σ σ
? ? ? ? ? ?jH H e ?????
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?0
H K u u
t u u
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?????
? ? ? ? ?
15
§ 6.3 理想低通滤波器
? 冲激响应：
? ? ? ?? ? ? ?1 0Sah t F t t??? ??? ? ?????F
δ ( t )
t
o
非因果
非 BIBO稳定
t
o
h ( t )
t
0
?
?
0t
?
?
?
0t
?
?
?
输
入
16
§ 6.3 理想低通滤波器
? 阶跃响应：
– 等效带宽
– 上升时间，
–
o
t
1
t
o
Y ( t )
0t
?
?
?0t
?
?
?
? ? ? ?0S a dty t t? ? ? ?????? ?????
2B? ??
rt ? ? ? ?m i n m a x,2ry t y t t ???:
4rBt? ??
17
§ 6.3 理想低通滤波器
– 也可有其他定义：
但无论怎样定义总有 （常数）。
– 为实现脉冲信号 的传输，
需满足
rt ? ?,0 1, 0,1 0,9 l e v e l,rrtt,:或 电 平
rB t C? ?
to
t
2,rt B C C B?????即 。
18
§ 6.3 理想低通滤波器
–
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
0
0
0
0
0
0
0
0
1 si n
S a d d
1 si n 1 si n 1 1
d d S i
2
11
m a x | S i 1.089 5
2
11
m i n | S i 0.089 5
2
,m a x 1.089 5
t t t
tt
tt
tt
x
y t t x
x
xx
x x t
xx
y t y t
y t y t
yt
?
?
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?
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??
? ? ???
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? ? ? ? ???
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
??
??
当 时 阶 跃 响 应 的 峰 起, 是 不 变 的 。
正弦积分
19
§ 6.3 理想低通滤波器
? Gibbs现象
– 有第一类间断点的信号通过理想低通产生的现象。
o
? ?H ?
ω
o
? ???
ω
k
- σ σ
- σ σ
u ( t )
σ 截 断
? ?? ?
? ?
1
ut
j
? ? ?
?
??
F
20
§ 6.3 理想低通滤波器
– Gibbs现象：第一类间断点的不一致收敛现象
– 当 时，相对峰起为 9%不变量；
– 当 时,。
? ? ? ?? ? ? ? ? ?1l i m l i m G i b b sf t f tf t F??
??
??
?? ??
???
?
?
F 的 连 续 点, 得 到 原 信 号现 象, 第 一 类 间 断 点
? ??
0tt? ? ? ? ?
00
1
2 y t y t??
?????
o
t
f ( t )
t
0
f
c
( t )
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? ? ? ? ? ? ? ?
F f t
F F u u?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?????
F
21
§ 6.4 系统的物理可实现性
－ Paley-Wiener准则
? 物理可实现 因果
? Paley－ Wiener定理：
? ? ? ? ? ?h t h t u t??
? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
+
2
2
-
22
ln
L,,d
1
L 0,L,,
F
ft
h t h t u t
HF
?
?
?
??
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?对 若 满 足,
则 存 在
其 。
22
§ 6.4 系统的物理可实现性
–
– 空间中，满足 Paley－ Wiener定理的幅度谱
才可能有因果实现，不满足则不能实现。
? ? ? ? ? ? ? ?++ 222 --L,,d df t f t t F f?????? ? ? ? ? ???则
2L ? ?
2,L ? ? ? ?
P - W 条 件
物 理 可 实 现
23
§ 6.4 系统的物理可实现性
–,物理可实现，
– 任意有限频段为零的,不可实现。
–
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
22 1
++
22
--
2
1
e xp
22
dd
1
,L,
t
f t F e
ff
ft
?
?
?
?
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??
?
??
??
??
? ? ? ???
??
? ? ?
?
? ? ? ? ?
??
物 理 不 可 实 现 但
? ?HK? ? ? ? ? ? 2Lh t K t???
? ?++ 2 2-- ddh t t K f?? ? ? ???
? ?ft
24
§ 6.4 系统的物理可实现性
– 满足 Paley－ Wiener定理，由 如何
构造？
(1) 已知
(2)令,构造,零点／极点分
布在 全平面；
(3)取 在左半开平面的零／极点构造
H(s),H(s)即为所求。由此方法得到的 H(s)是
严格最小相位的，在不考虑比例因子的差别时
H(s)是唯一的。
? ?ft ? ?F ?
? ? ? ? ? ?h t h t u t?
? ? ? ? ? ? 2j j jF F F? ? ???
js ?? ? ? ? ?F s F s?
s
? ? ? ?F s F s?
25
§ 6.5 希尔伯特变换
? 定义：实信号 的 Hilbert变换 定义为：
? 的逆 Hilbert变换,
? ?fx ? ??fx
? ? ? ? ? ?+
-
1 1 1? dff x f x
xx
? ?
? ? ?
?
?
?? ??@
? ? ? ? ? ?+
-
?1 1 1?
dff x f x
xx
? ?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
??
@
? ??fx ? ?fx
26
§ 6.5 希尔伯特变换
? 非 BIBO稳定
? 非因果
? ?fx ? ??fx
? ?
1
hx
x?
?
? ?fx? ??fx
? ?
1
hx
x?
??
27
§ 6.5 希尔伯特变换
?
? ? j sg n21 j s gn,2et
? ? ?
?
?
???
? ? ???
??
F 相 当 于 移 相 器 。
o
? ?H ?
ω
o
? ???
ω
1
2
?
2
??
28
§ 6.5 希尔伯特变换
? Hilbert变换器对 存在的信号构成全通系统；
?
?
? 复信号没有定义 Hilbert变换
? 一个实信号
? ? ? ??,0f t f t ?
? ? ? ???ff ffRR???
? ? ? ?
? ? ? ?? ?
0,,0,
?
f t F
f t f t
? ? ? ?? ? ?
? F
,若 当
则 存 在 。
? ??ft
29
§ 6.5 希尔伯特变换
? 2.应用
– 一个实信号 f(t)的解析信号
–
? ? ? ? ? ??jz t f t f t??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?j
j - j sgn
2
z t f t f t
FF
FU
f t F
? ? ?
??
??
??
?? ??
??
?
解 析 信 号 的 在 域 为 因 果 信 号 右 边 信 号
F F F
30
§ 6.5 希尔伯特变换
–
? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
j
11
j
2j
1 1 1 1
j - j
22
11
11
f t f t u t
f t f t u t
F R X
RX
R X X R
RX
XR
? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
?
?
??
??
? ? ? ???
????
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
FF
因 果 信 号
31
§ 6.6带通信号通过带通系统
——复包络方法
? 1.带通信号
– 基带信号：未经调制，等效带宽有限的信号。
– 带通信号：基带信号经调制即成为带通信号。
–
调制器
? ?ft ? ?St
c os
c
t?
? ? ? ? ? ?c o s cs t a t t t???? ????
载波角
频率
32
§ 6.6带通信号通过带通系统
– (1)
– (2)
– (3)
– (4)
? ? ? ? ? ?,,a t A B f t t?? ? ? ?若 常 数 调 幅 线 性 调 制
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
tt
--
t
-
,,
d d,,
,d
a t t F f t
t F f
t K f t t K f
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
? ? ?
??
? ? ?
??
?
若 常 数 非 线 性 调 制
为 调 频 特 别 的,
线 性 调 频
? ? ? ? ? ?,a t t K f t?? ? ?若 常 数 为 调 相 非 线 性 调 制
? ? ? ? ? ?,f t a t t?
?
若 含 于 和 中 则 为 幅 相 联 合 调 制
幅 相 联 合 调 制 非 线 性 调 制
33
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 2.复包络
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
j - j
j - jj - j
*
jj
c os
1
2
11
22
11
22
cc
cc
cc
c
t t t t
tt tt
tt
s t a t t t a t t
a t e e
a t e e a t e e
x t e x t e
? ? ? ?
?? ??
??
? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ?
?? ??
??
??
??
??
??
????
??
和 都 是 实 函 数
34
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 定义：带通信号的复包络为 ? ? ? ? ? ?j tx t a t e ??
? ? ? ?x t s t?为 基 带 带 限 信 号 为 带 通 带 限 信 号
35
§ 6.6带通信号通过带通系统
o
? ?X ?
ω
o
? ???
ω
- ω
H
ω
H
ω
H
- ω
H? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
**x t X x t X??? ? ? ?FF令
o
? ?X ?? ?
ω
o
? ???
ω
- ω
H
ω
H
ω
H
- ω
H
? ?
? ? ? ?
*
* j
X
Xe ??
?
? ??
?
??
36
§ 6.6带通信号通过带通系统
? ?? ? ? ? ? ?? ?*12 ccs t X X? ? ? ?? ? ? ? ?????F
o
? ?? ?stF
ω? ???
- ω
C
ω
C
o
ω
- ω
C
ω
C
37
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 3.带通系统
为带通系统的冲激响应
为带通系统的冲激响应的复包络
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?j - j*0 11c o s 22 ccttc b bh t h t t t h t e h t e????? ? ? ?????
? ? ? ? ? ?j0 tbh t h t e ??
38
§ 6.6带通信号通过带通系统
o
? ?? ?htF
ω
- ω
C
ω
C
o
? ?bH ?
ω
39
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 4.带通信号通过带通系统 ? ?
? ? ? ?c os c
st
a t t t???? ????
? ?Yt? ?
? ? ? ?0 c os c
ht
h t t t???? ????
? ? ? ? ? ? ? ?? ?j1 Re2 c tY t s t h t Y t e ?? ? ? %
? ? ? ? ? ?bY t h t s t??%
零状态响应
带通系统的冲激响应的复包络
带通信号的复包络
输出信号的复包络
结束
第六章 傅里叶变换的应用
2
第六章 傅里叶变换的应用
? § 6.1 傅里叶系统函数
? § 6.2 无失真传输
? § 6.3 理想低通滤波器
? § 6.4 系统的物理可实现性
? § 6.5 希尔伯特变换
? § 6.6 带通信号通过带通系统
3
§ 6.1 傅里叶系统函数
? 1.定义：
–
v ( t )
h ( t )
? ? ? ? ? ?Y t h t v t??
冲激响应
零状态，因果 /非因果
适用范围
4
§ 6.1 傅里叶系统函数
– v ( t ) H ( p ) ? ? ? ? ? ?Y t H p v t?
系统算子
零状态，因果 /非因果
适用范围
? ? ? ?1,0tv t e v t tp ?? ?? ? ??
5
§ 6.1 傅里叶系统函数
–
适用范围
V ( s )
H ( s )
? ? ? ? ? ?Y s H s V s?
系统函数
零状态，因果系统、因果信号
6
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 傅里叶系统函数：
– 适用范围：零状态,是稳定信号，
即 BIBO稳定，因果 /非因果。
V ( j ω )
H ( j ω )
? ? ? ? ? ?Y j H j V j? ? ??
系 统 函 数
? ? ? ? ? ?? ?1 jjy t H V???? F
? ? ? ?? ?jH h t? ? F
? ?vt ? ? ? ?1L,ht ? ? ? ? ?
7
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 微分方程：由
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?,N p N pH p y t v tD p D p??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
1
0,,0 0,
0,,0 0
n
n
D p y t N p v t
yy
yy
?
??
?
??
??
L
L
在 零 状 态 时 为
在 零 状 态 时 不 为
8
§ 6.1 傅里叶系统函数
? 2.矩阵
…… 谱方法
? ?*1,d e t 0,,n n nA I A? ? ?? ? ? L 特 征 根
? ?,,1,2,,ni i i i iA R i n n? ? ? ? ?? ? ? ?0 L,为 个
线 性 无 关 的 特 征 向 量 。
? ?1 1 1 2 2
1 1 1
s p a n,,,,nn n n
n n n
i i i i i i i
i i i
R
A A A
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?
LL X X =
X=
9
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 若
T, H ( s )? ?
vt ? ?Yt
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
11
j1 1 1 1 1
-
jj
1
--
L,,,,,
2 2 2 2
j
nt
n
n
BI BO
n t n t
nn
nn
T T T T
v t v t V e t
y t T v t V T e V H n e
?
??
?
??
??
?? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
?? ?
稳 定
则
与 线 性 代 数 中 的 谱 方 法 相 对 应 。
算子谱
（特征根）
特征函数
10
§ 6.1 傅里叶系统函数
– 若 ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
+
1j
-
+
j
-
+
j
-
L,,d,
d
d
t
t
t
v t v t V e f
y t T v t V T e f
V H e f h t v t
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?? ?? ?
??
? ? ?
?
?
?
则
11
§ 6.2 无失真传输
? 1.
– 若,则产生幅度失真；
– 若,则产生相位失真；
– 若产生新的频率则称为非线性失真。
H ( s )? ?
vt ? ?Yt
12s in s inA t B t??? ? ? ? ?1 1 2 2
12
12
s i n s i n
s i n s i n
C t D t
C t D t
? ? ? ?
??
??
??
? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
C A D B?
1 1 2 2? ? ? ??
线性失真
12
§ 6.2 无失真传输
? 2.无失真传输
输出克隆输入
? ?xt ? ?Yt
输入 输出
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?
0
0
0
j
0
,
t
Y t k x t t
h t k t t
H h t k e
H k t
?
?
?
? ? ? ?
?
??
??
??
? ? ?
F
13
§ 6.2 无失真传输
– (1)群延迟：
– (2)无失真传输系统 全通。
– (3)无失真传输系统 BIBO稳定。
o
? ?H ?
ω
o
? ???
ω
k
? ?
0
d
d t
???
?? ? ? ? 时 间 延 迟
?
?
14
§ 6.3 理想低通滤波器
? 定义：对 带限信号
能 无失真传输的系统。
? ? ? ? ? ? ? ?? ?F F u u? ? ? ? ? ?? ? ? ?????
?
o
? ?H ?
ω
o
? ???
ω
k
- σ σ
- σ σ
? ? ? ? ? ?jH H e ?????
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?0
H K u u
t u u
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?????
? ? ? ? ?
15
§ 6.3 理想低通滤波器
? 冲激响应：
? ? ? ?? ? ? ?1 0Sah t F t t??? ??? ? ?????F
δ ( t )
t
o
非因果
非 BIBO稳定
t
o
h ( t )
t
0
?
?
0t
?
?
?
0t
?
?
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输
入
16
§ 6.3 理想低通滤波器
? 阶跃响应：
– 等效带宽
– 上升时间，
–
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t
1
t
o
Y ( t )
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rt ? ? ? ?m i n m a x,2ry t y t t ???:
4rBt? ??
17
§ 6.3 理想低通滤波器
– 也可有其他定义：
但无论怎样定义总有 （常数）。
– 为实现脉冲信号 的传输，
需满足
rt ? ?,0 1, 0,1 0,9 l e v e l,rrtt,:或 电 平
rB t C? ?
to
t
2,rt B C C B?????即 。
18
§ 6.3 理想低通滤波器
–
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0
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0
0
0
0
0
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2
11
m i n | S i 0.089 5
2
,m a x 1.089 5
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tt
tt
tt
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x
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xx
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当 时 阶 跃 响 应 的 峰 起, 是 不 变 的 。
正弦积分
19
§ 6.3 理想低通滤波器
? Gibbs现象
– 有第一类间断点的信号通过理想低通产生的现象。
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ω
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ω
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- σ σ
- σ σ
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σ 截 断
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F
20
§ 6.3 理想低通滤波器
– Gibbs现象：第一类间断点的不一致收敛现象
– 当 时，相对峰起为 9%不变量；
– 当 时,。
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F 的 连 续 点, 得 到 原 信 号现 象, 第 一 类 间 断 点
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F
21
§ 6.4 系统的物理可实现性
－ Paley-Wiener准则
? 物理可实现 因果
? Paley－ Wiener定理：
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?对 若 满 足,
则 存 在
其 。
22
§ 6.4 系统的物理可实现性
–
– 空间中，满足 Paley－ Wiener定理的幅度谱
才可能有因果实现，不满足则不能实现。
? ? ? ? ? ? ? ?++ 222 --L,,d df t f t t F f?????? ? ? ? ? ???则
2L ? ?
2,L ? ? ? ?
P - W 条 件
物 理 可 实 现
23
§ 6.4 系统的物理可实现性
–,物理可实现，
– 任意有限频段为零的,不可实现。
–
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2
2
22 1
++
22
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物 理 不 可 实 现 但
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? ?++ 2 2-- ddh t t K f?? ? ? ???
? ?ft
24
§ 6.4 系统的物理可实现性
– 满足 Paley－ Wiener定理，由 如何
构造？
(1) 已知
(2)令,构造,零点／极点分
布在 全平面；
(3)取 在左半开平面的零／极点构造
H(s),H(s)即为所求。由此方法得到的 H(s)是
严格最小相位的，在不考虑比例因子的差别时
H(s)是唯一的。
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? ? ? ? ? ?h t h t u t?
? ? ? ? ? ? 2j j jF F F? ? ???
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s
? ? ? ?F s F s?
25
§ 6.5 希尔伯特变换
? 定义：实信号 的 Hilbert变换 定义为：
? 的逆 Hilbert变换,
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? ? ? ? ? ?+
-
1 1 1? dff x f x
xx
? ?
? ? ?
?
?
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? ? ? ? ? ?+
-
?1 1 1?
dff x f x
xx
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? ? ?
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? ? ? ?
??
@
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26
§ 6.5 希尔伯特变换
? 非 BIBO稳定
? 非因果
? ?fx ? ??fx
? ?
1
hx
x?
?
? ?fx? ??fx
? ?
1
hx
x?
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27
§ 6.5 希尔伯特变换
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? ? ???
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F 相 当 于 移 相 器 。
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ω
o
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ω
1
2
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2
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28
§ 6.5 希尔伯特变换
? Hilbert变换器对 存在的信号构成全通系统；
?
?
? 复信号没有定义 Hilbert变换
? 一个实信号
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? ? ? ???ff ffRR???
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0,,0,
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f t F
f t f t
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? F
,若 当
则 存 在 。
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29
§ 6.5 希尔伯特变换
? 2.应用
– 一个实信号 f(t)的解析信号
–
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j - j sgn
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FU
f t F
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解 析 信 号 的 在 域 为 因 果 信 号 右 边 信 号
F F F
30
§ 6.5 希尔伯特变换
–
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1 1 1 1
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22
11
11
f t f t u t
f t f t u t
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RX
R X X R
RX
XR
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? ? ?
FF
因 果 信 号
31
§ 6.6带通信号通过带通系统
——复包络方法
? 1.带通信号
– 基带信号：未经调制，等效带宽有限的信号。
– 带通信号：基带信号经调制即成为带通信号。
–
调制器
? ?ft ? ?St
c os
c
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? ? ? ? ? ?c o s cs t a t t t???? ????
载波角
频率
32
§ 6.6带通信号通过带通系统
– (1)
– (2)
– (3)
– (4)
? ? ? ? ? ?,,a t A B f t t?? ? ? ?若 常 数 调 幅 线 性 调 制
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若 常 数 非 线 性 调 制
为 调 频 特 别 的,
线 性 调 频
? ? ? ? ? ?,a t t K f t?? ? ?若 常 数 为 调 相 非 线 性 调 制
? ? ? ? ? ?,f t a t t?
?
若 含 于 和 中 则 为 幅 相 联 合 调 制
幅 相 联 合 调 制 非 线 性 调 制
33
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 2.复包络
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j - j
j - jj - j
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cc
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??
和 都 是 实 函 数
34
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 定义：带通信号的复包络为 ? ? ? ? ? ?j tx t a t e ??
? ? ? ?x t s t?为 基 带 带 限 信 号 为 带 通 带 限 信 号
35
§ 6.6带通信号通过带通系统
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H
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H
ω
H
- ω
H? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
**x t X x t X??? ? ? ?FF令
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- ω
H
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H
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H
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H
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* j
X
Xe ??
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36
§ 6.6带通信号通过带通系统
? ?? ? ? ? ? ?? ?*12 ccs t X X? ? ? ?? ? ? ? ?????F
o
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ω? ???
- ω
C
ω
C
o
ω
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C
ω
C
37
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 3.带通系统
为带通系统的冲激响应
为带通系统的冲激响应的复包络
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?j - j*0 11c o s 22 ccttc b bh t h t t t h t e h t e????? ? ? ?????
? ? ? ? ? ?j0 tbh t h t e ??
38
§ 6.6带通信号通过带通系统
o
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C
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39
§ 6.6带通信号通过带通系统
? 4.带通信号通过带通系统 ? ?
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a t t t???? ????
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? ? ? ?0 c os c
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? ? ? ? ? ? ? ?? ?j1 Re2 c tY t s t h t Y t e ?? ? ? %
? ? ? ? ? ?bY t h t s t??%
零状态响应
带通系统的冲激响应的复包络
带通信号的复包络
输出信号的复包络
结束
