1
信号与系统
第三章 泛函分析初步
2
第三章 泛函分析初步
? § 3.1 线性空间
? § 3.2 线性子空间
? § 3.3 距离空间
? § 3.4 Banach空间
? § 3.5 Hilbert空间
? § 3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开
3
§ 3.1 线性空间
? 线性空间：设 W≠?（ W为非空集合）
– (1) W中元对,+”构成交换群，即对 ? X,Y,Z?W,
有
ⅰ,
ⅱ,
ⅲ,
ⅳ,
ⅴ,
? ? ? ?
? ?
,
,
W
W
W
??? ?
?
???
? ???
? ?
?? ? ?
??
? ? ? ?
??
??
? ?
?
?
0 0 +
+ 0
+
+ + = + +
=
=
+ = +
（ 加 法 封 闭 性 ）
半 群
（ 结 合 律 ）
使 （ 存 在 零 元 ） 群
交 换 群
使 （ 存 在 逆 元 ）
（ 交 换 律 ）
XY
X Y Z X Y Z
X X
X X X
X Y Y X
4
§ 3.1 线性空间
– (2)对 ? X,Y?W,?α,β?C（复数域）有：
ⅵ,
ⅶ,
ⅷ,
ⅸ,
称 W为线性空间；若 ?α,β?C,则 W为复线性空
间；若 α,β?R，则 W为实线性空间。
? ? ? ?
? ?
? ?
W? ? ??
? ? ? ?
? ? ?
??
??
?1
+
+ = +
=
XX
X X X
X Y X Y
XX
5
§ 3.1 线性空间
?
?
?
1
,
N
i i i i
i
WW??
?
? ? ? ? ? ??￡1) 加 法 封 闭 有
2) 数 乘 封 闭
XX
[ ] [ ]? ?C,,a b a b 上 所 有 连 续 函 数 的 全 体 是 线 性 空 间 。
? ?1 2 1 2,,,,,,nns p a n KK 是 由 张 成 的 线 性
空 间 。
X X X X X X
6
§ 3.1 线性空间
? 线性空间 W上的算子 L为线性算子
? 零状态线性系统 ?系统算子为线性算子
? ?
11
LL
NN
i i i i
ii
??
??
????
??
??
??XX
7
§ 3.2 线性子空间
? 线性子空间：设 ? ≠V ? W,V是 W的线性
子空间
? 直和：设
,,,,VV? ? ? ?? ? ? ? ? ?+￡对 有X Y X Y
? ?
12
1
12
12
,,,,
,
1,,,,,,
p
pi
p
p
W W W W W
W
i p W W W W
W W W W
??
?
?
? ? ? ?
= + +
L
L
KL
L
是 的 子 空 间,若
可 唯 一 表 示 成 其 中
则 称 是 的 直 和,
记 为, 。
X
X X X X X
8
§ 3.3 距离空间（度量空间 ——
Metric Space）
? 距离空间：设 W≠?，称 W为距离空间，指在
W中定义了映射,（包
括 0）,?X,Y?W 满足以下三条公理：
? 称为 W上的距离,为度量空间。
? ?,,W W R? ???XY
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
i.,0,,0
ii.,,
iii,,,,
??
??
? ? ?
? ? ?
?
??
=且 （ 正 定 性 ）
（ 可 交 换 性 ）
（ 三 角 不 等 式 ）
X Y X Y X Y
X Y Y X
X Z X Y Y Z
? ?,? XY ? ?,W ?
9
§ 3.3 距离空间
? 例：
? 例：
? ?
,
,X Y X Y? ??
。
[ ]
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
,
,m a x
a t b
C a b
X t Y t X t Y t?
??
??
10
§ 3.3 距离空间
? 例：
? ?
? ?
? ?
11
1
1
2
2
1
,,
m a x
nn
nn
n
ii
i
n
ii
i
ii
i
xy
xy
xy
xy
xy
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
??
??
?
?
,
,
,
XY
XY
XY
XY
11
§ 3.3 距离空间－收敛
? 收敛：
? 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的
极限点。
? ? ? ?
? ?
? ?
01
0 1
0
0
,
,0,
l im
n n
n n
n
n
n
W x x
xx
x x n
xx
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ? ?
??
度 量 空 间 中 的 点 列 收 敛 于
是 的 极 限
当
? ?,W ?
12
§ 3.3 距离空间－完备度量空间
? 柯西序列 ——Cauchy Sequence
– 例：
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1
1
,0,
,,,,,
,
n n
nm
n n
xW
N N x x n m N
xW
??
? ? ?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ?
设 是 中 的 点 列,若 对
使
则 称 是 中 的 柯 西 序 列 。
? ?
,
,
l im 0
n m m n
mnmn
x x x x
xx
?
??
?
??
@
13
§ 3.3 距离空间－完备度量空间
? 中任意收敛序列是柯西序列
? 中的柯西序列未必收敛到 中
– 例：
? ?,W ?
? ?,W ? ? ?,W ?
? ? [ ]
? ? [ ]
1
1
1
,0,1,,,
11
0,,0 0,1
n
n
W X Y X Y W
n
n
nn
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
@
是 柯 西 序 列,但
14
§ 3.3 距离空间－完备度量空间
? 完备度量空间 ——Complete Metric Space
称为完备度量空间，指其中所有柯
西序列都收敛。
– 极限运算在完备时可行
– 如何完备化？
– W不要求线性空间
? ?,W ?
15
§ 3.4 巴拿赫（ Banach）空间
16
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 赋范线性空间：设 W≠?是线性空间，若对 ?
X?W,?‖ X‖ 满足：
称为 X的范数（ Norm），定义了范数的线性
空间称为赋范线性空间，记为 。
i, 0,0
i i,,
i i i,
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
0 =
+
￡
（ 正 定 性 ）
（ 正 齐 性 ）
（ 三 角 不 等 式 ）
X X X
XX
X Y X Y
? ?,W g
17
§ 3.4.1 赋范线性空间
? （广义）长度的推广：
– 例 1：
[ ]
12
1
1
1
2
2
,,,,
,1
,m a x,
2,,
T
nn
n
n
p
p
ip
i
i
x x x
xp
p x i
p
?
?
? ? ?
??
? ? ? ???
??
? ? ? ?
??
?
特 别 的,
欧 式 范 数
X
X
X
X X X
18
§ 3.4.1 赋范线性空间
? （广义）长度的推广：
– 例 2：
? ?
1
1
1
1
,1
,1
,su p,
p
p
nin
i
n
p
p
ip
i
i
l x x p
xp
p x i
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ???
??
??
? ? ? ???
??
? ? ? ?
?
?
@
特 别 的,
X
X
X
19
§ 3.4.1 赋范线性空间
? Minkowski不等式：
? ? ? ?
11
1 1 1
1 1 1
11
,0,,,,
( ),1
pp
i i i i
ii
p p p
p p p
i i i i
i i i
iiii
a b i a b
a b a b p
ba ?
??
??
? ? ?
? ? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
设 则
等 号 成 立 条 件 为,
20
§ 3.4.1 赋范线性空间
?
? ?
12
1
1
1
...
,1
,,
,,1
,
p
p
ni
n
i
p
p
n
n
n
pq
nn
n N n N
q p q
l l l
l x x p
lx
N n N x
x x q p
l l l
?
?
?
?
?
?
?
??
??
? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
\ ? ? ?
? ? ? ? ? ?
\ ? ? ?
?
?
??
@
Q
其 中 。
证 明,
使 得 当 时 恒 有
。
X
X
X
21
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 例
[ ] ? ? [ ]
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?
[ ] ? ? ? ?? ?
? ?
[ ]
? ?
1
1 11
,
C,,C,,
,1
Mi nkow ski
,1
,|
,sup
b p
p
p a
b b bp p p
p pp
a a a
b p
p
a
t a b
a b x t a b
x t x t dt p
x t y t dt x t dt y t dt p
L a b x t x t dt
p x t x t
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
?
? ? ?
?
%
@
对
不 等 式,
当
22
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 强收敛：
? 弱收敛：依泛函收敛。
– 注：强收敛 ?弱收敛。
? ? ? ? 1,,
l im 0,
n n
nn
W x x
xx
?
?
??
??
g在 中,收 敛 于 指
也 称 为 依 范 数 收 敛 。
23
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 度量空间与赋范线性空间的关系：
–
– 例
? ? ? ?
? ? ? ?
,,
,,
W
WW
?
?
??
?
g
g
在 中,定 义
反 之 不 然
X Y X Y
? ?
? ?
0,
,
1,
,ii
S
?
?
??
? ?
??
?:
在 中,
但 不 满 足 范 数 定 义 （ 条 ）
XY
XY
XY
X Y X Y
24
§ 3.4.2,Banach空间
? Banach空间：完备的 称为 Banach
空间。
? 是 Banach空间。
? 在 中，取 完备。
?
? ?,W g
,,n n pl。
[ ],C a b ? ?m a xa x bx x t? ???
[ ]
? ? ? ?? ?
1
,,1,
p
b p p
p a
L a b p
xt x t d t
R ie m a n n L e b e s g u e
? ? ?
?
?
?
% 不 完 备
积 分 积 分
25
§ 3.4.2,Banach空间
? 定理：若
– H?lder不等式：
– 证明思路：
1,[,] [,]qpp q L a b L a b? ? ? ? ?则 。
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
11
11
[,],[,],1,
pq
b
bb pq pq
aa
a
f x L a b g x L a b
pq
f x g x d x f x d x g x d x
? ? ? ?
?? ? ?
若 则
? ? [ ] ? ?,1
01
b p p
q
a
f x L a b f x d x
pp
pqr
qr
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
构 造
26
§ 3.5 Hilbert空间
27
§ 3.5.1 内积空间
? 内积：设 W≠?为实或复线性空间，若对
? X,Y,Z∈ W,λ∈ C,均有一个实数或复数与之对
应，记为 〈 X,Y〉,满足：
则称 〈 X,Y〉 为 X与 Y的内积，定义了内积的空间
为内积空间。
*
i.,0,,0
ii.,,
iii.,,
iv,,,,
??
? ? ? ?
?
?
? ? ?
0且 （ 正 定 性 ）
（ 共 轭 交 换 性 ）
（ 齐 次 性 ）
（ 加 法 分 配 性 ）
X X X X X
X Y Y X
X Y X Y
X Y Z X Z Y Z
28
§ 3.5.1 内积空间
? 注：
–
–
–
? 例子：
–
*
1,,,
2,,:,,
3, ii i iv,,,
W W W
??
? ? ? ?
?
??
? ? ?
￡ 若 为 数 的 集 合,则 为
通 常 的 二 元 函 数 。
和 可 以 合 并,
X Y X Y
X Y X Y
X Y Z X Z Y Z
? ?
[ ] [ ]
12
11
1
,,,,
,,,,,,
,
n
n
TT n
nn
n
T
ii
i
sp a n
x x y y
xy
?
?
? ? ?
? ?=
K K
X X X
XY
X Y X Y
29
§ 3.5.1 内积空间
? 例子：
–
–
–
[ ] ? ? ? ? ? ? ? ?*
,,,H
,,,
nH
b
a
U
a b x t y t x t y t dt
?
? ?C
（ 约 定 了 内 积 复 线 性 空 间 ） 表 示
共 轭 转 置 。
。
X Y X Y
[ ] ? ?
? ? ? ? [ ] ? ? [ ]
? ? ? ?
2
22
1
,( ) | ( ) ( )
( ),,,,,,
1,,
,( ) ( )
b
H
n
a
T
n n i
b
H
a
L a b t t t d t
t x t x t L a b x t L a b
in
t t t t d t
? ? ?
? ? ???
??
?
?
?
?
K
K
X X X
X
X Y X Y
30
§ 3.5.2 Hilbert空间
? 定义欧氏范数,则内积（线性）
空间成为赋范线性空间。
? Hilbert空间：依欧氏范数 完备
的内积空间称为 Hilbert空间。
? 有限维内积空间必完备,完备。
? 完备，定义内积 。
? H空间是能量有限信号的集合。
1
22,?X X X
1
22,?X X X
,nnU?
[ ]2,L a b ? ? ? ?ba x t y t d t??
31
§ 3.5.2 Hilbert空间
? Cauchy-Schwarz不等式,W为内积空间，
?X,Y∈ W，有
? 注：
– 1.在 H?lder不等式中，取,就成为
Cauchy-Schwarz不等式。
– 2.在 空间中，有 Cauchy不等式：
– 3.在 空间中，有 Schwarz不等式：
22,?X Y X Y
nU
? ? ? ?1122H H H?X Y X X Y Y
[ ]2,L a b
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
11
22 22*b b b
a a a
x t y t d t x t d t y t d t?? ? ?
2pq??
32
§ 3.5.3 线性泛函
? 算子 —Operator,X,Y为线性空间，算子：
其中,为定义域,为值域。
? ?T, D T R ( T ) T,X Y X Y? ? ? ?或
? ?DT ? ?RT
X YT
D ( T ) R ( T )
定 义 域 值 域
33
§ 3.5.3 线性泛函
? 泛函 —Functional：值域是实／复数域的算
子为泛函。
– 注：定积分，距离，范数，内积,函数（第三
种定义），（普通）函数均为泛函。
? 线性算子,X,Y为线性空间，,若
对,有：
则 T为线性算子。
T,XY?
,iiXC?? ? ? ?X
? ?
11
TT
NN
i i i i
ii
??
??
?? ?
??
??
??XX
?
34
§ 3.5.3 线性泛函
? 线性泛函：线性算子 T的值域为实／复数集。
– 距离、范数是泛函，但非线性泛函。
– 连续线性算子 T
– 线性算子：有界 ?连续
– 内积为连续线性泛函
– 积分算子
[ ] [ ]
? ? ? ? ? ? ? ? [ ] [ ]
22T,,,
T,,,,
b
a
L a b L a b
x t h t x d h t a b a b? ? ? ?
?
??? 在 上 连 续
X Y
T0x
nx T nx 0
T x
00 0,T T 0,nnx x n x x n? ? ? ? ? ? ? ? ?
35
§ 3.6 完备规范正交集上广义
傅里叶展开
36
§ 3.6.1 正交 —Orthogonal
? 正交：在内积空间 W中，若,满
足：,则称 正交，记
为,。其中 k为常数,为 Kronecker
符号－
? 正交（子）集,中任意两个元正交。
,ij W?XX
,i j i jk ??XX ijXX与
ij^XX ij
?
1,
0,ij
ij
ij
?
??
? ?
?
=
VW?
37
§ 3.6.1 正交
? 集正交：若
? 正交补：
? 规范正交完备集 V：
– 1,（完备性）
– 2,（规范正交）
,,,,
,
X Y W X Y
X Y X Y
? ? ? ? ?
^^
XY
XY
对 有
则 称 集 与 集 正 交,记 为, 。
? ?,|,V W V V W V
VV
^
^
? ? ? ^
^
XX的 正 交 补
显 然 。
? ?0V ^ ?
,,,i j i j i jV ?? ? ?X X X X
38
§ 3.6.1 正交
? 定理,Hilbert空间存在规范正交完备集。
? 定理,W是 Hilbert空间，, V是 W的
正交子集。
W V V ^??
39
§ 3.6.2正交投影 —Orthogonal
Projection
? 正交投影,W是 Hilbert空间，
在 V上的
正交投影或投影，记为,。
– 注,的距离最小，即正交投影使均方误差最
小化。
0 0 0
,,
,,,
V W W
VV ??
??
? ? ? ^ ? ?
X
Y X = Y Y X若 使 则 称 是
0 PV?YX
0YX与
V
o
V
^
0?
40
§ 3.6.3 广义傅里叶展开
? 广义傅里叶展开：设 是 H空间 W的
规范正交完备集，则对
为广义傅里叶系数。
– 注,是 Hilbert空间 W的规范且完备的一
组基。 是 X 在 上的投影。
? ? 1i iV ? ???
,XW?? 有
11
,i i i i
ii
X c X? ? ?
??
??
????
,iicX ?@
? ? 1i iV ? ???
ic i?
41
§ 3.6.3 广义傅里叶展开
? Parseval等式：设,
则
? 物理解释：信号的总能量＝各个分量的能
量的和。
? 几何解释：广义勾股定理。
11
,i i i i
ii
X c X? ? ?
??
??
????
222
2
11
,ii
ii
X X c?
??
??
????
42
§ 3.6.3 广义傅里叶展开
? 用 N项广义傅里叶展开逼近 X：
设 是 Hilbert空间 W的规范正交完备
集，
X在 上的投影,。
这里 规范正交，但不完备。
? ? 1i iV ? ???
? ? ? ? ? ?1 1 1Ni i i N Ni i i NV V V? ? ??? ^? ? ? ?? ? ? ?@
1
?,N
ii
i
XX ??
?
? ?NV
NV
43
结束
信号与系统
第三章 泛函分析初步
2
第三章 泛函分析初步
? § 3.1 线性空间
? § 3.2 线性子空间
? § 3.3 距离空间
? § 3.4 Banach空间
? § 3.5 Hilbert空间
? § 3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开
3
§ 3.1 线性空间
? 线性空间：设 W≠?（ W为非空集合）
– (1) W中元对,+”构成交换群，即对 ? X,Y,Z?W,
有
ⅰ,
ⅱ,
ⅲ,
ⅳ,
ⅴ,
? ? ? ?
? ?
,
,
W
W
W
??? ?
?
???
? ???
? ?
?? ? ?
??
? ? ? ?
??
??
? ?
?
?
0 0 +
+ 0
+
+ + = + +
=
=
+ = +
（ 加 法 封 闭 性 ）
半 群
（ 结 合 律 ）
使 （ 存 在 零 元 ） 群
交 换 群
使 （ 存 在 逆 元 ）
（ 交 换 律 ）
XY
X Y Z X Y Z
X X
X X X
X Y Y X
4
§ 3.1 线性空间
– (2)对 ? X,Y?W,?α,β?C（复数域）有：
ⅵ,
ⅶ,
ⅷ,
ⅸ,
称 W为线性空间；若 ?α,β?C,则 W为复线性空
间；若 α,β?R，则 W为实线性空间。
? ? ? ?
? ?
? ?
W? ? ??
? ? ? ?
? ? ?
??
??
?1
+
+ = +
=
XX
X X X
X Y X Y
XX
5
§ 3.1 线性空间
?
?
?
1
,
N
i i i i
i
WW??
?
? ? ? ? ? ??￡1) 加 法 封 闭 有
2) 数 乘 封 闭
XX
[ ] [ ]? ?C,,a b a b 上 所 有 连 续 函 数 的 全 体 是 线 性 空 间 。
? ?1 2 1 2,,,,,,nns p a n KK 是 由 张 成 的 线 性
空 间 。
X X X X X X
6
§ 3.1 线性空间
? 线性空间 W上的算子 L为线性算子
? 零状态线性系统 ?系统算子为线性算子
? ?
11
LL
NN
i i i i
ii
??
??
????
??
??
??XX
7
§ 3.2 线性子空间
? 线性子空间：设 ? ≠V ? W,V是 W的线性
子空间
? 直和：设
,,,,VV? ? ? ?? ? ? ? ? ?+￡对 有X Y X Y
? ?
12
1
12
12
,,,,
,
1,,,,,,
p
pi
p
p
W W W W W
W
i p W W W W
W W W W
??
?
?
? ? ? ?
= + +
L
L
KL
L
是 的 子 空 间,若
可 唯 一 表 示 成 其 中
则 称 是 的 直 和,
记 为, 。
X
X X X X X
8
§ 3.3 距离空间（度量空间 ——
Metric Space）
? 距离空间：设 W≠?，称 W为距离空间，指在
W中定义了映射,（包
括 0）,?X,Y?W 满足以下三条公理：
? 称为 W上的距离,为度量空间。
? ?,,W W R? ???XY
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
i.,0,,0
ii.,,
iii,,,,
??
??
? ? ?
? ? ?
?
??
=且 （ 正 定 性 ）
（ 可 交 换 性 ）
（ 三 角 不 等 式 ）
X Y X Y X Y
X Y Y X
X Z X Y Y Z
? ?,? XY ? ?,W ?
9
§ 3.3 距离空间
? 例：
? 例：
? ?
,
,X Y X Y? ??
。
[ ]
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
,
,m a x
a t b
C a b
X t Y t X t Y t?
??
??
10
§ 3.3 距离空间
? 例：
? ?
? ?
? ?
11
1
1
2
2
1
,,
m a x
nn
nn
n
ii
i
n
ii
i
ii
i
xy
xy
xy
xy
xy
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
??
??
??
??
?
?
,
,
,
XY
XY
XY
XY
11
§ 3.3 距离空间－收敛
? 收敛：
? 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的
极限点。
? ? ? ?
? ?
? ?
01
0 1
0
0
,
,0,
l im
n n
n n
n
n
n
W x x
xx
x x n
xx
?
?
?
?
?
?
??
?
? ? ? ?
??
度 量 空 间 中 的 点 列 收 敛 于
是 的 极 限
当
? ?,W ?
12
§ 3.3 距离空间－完备度量空间
? 柯西序列 ——Cauchy Sequence
– 例：
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1
1
,0,
,,,,,
,
n n
nm
n n
xW
N N x x n m N
xW
??
? ? ?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ?
设 是 中 的 点 列,若 对
使
则 称 是 中 的 柯 西 序 列 。
? ?
,
,
l im 0
n m m n
mnmn
x x x x
xx
?
??
?
??
@
13
§ 3.3 距离空间－完备度量空间
? 中任意收敛序列是柯西序列
? 中的柯西序列未必收敛到 中
– 例：
? ?,W ?
? ?,W ? ? ?,W ?
? ? [ ]
? ? [ ]
1
1
1
,0,1,,,
11
0,,0 0,1
n
n
W X Y X Y W
n
n
nn
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
@
是 柯 西 序 列,但
14
§ 3.3 距离空间－完备度量空间
? 完备度量空间 ——Complete Metric Space
称为完备度量空间，指其中所有柯
西序列都收敛。
– 极限运算在完备时可行
– 如何完备化？
– W不要求线性空间
? ?,W ?
15
§ 3.4 巴拿赫（ Banach）空间
16
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 赋范线性空间：设 W≠?是线性空间，若对 ?
X?W,?‖ X‖ 满足：
称为 X的范数（ Norm），定义了范数的线性
空间称为赋范线性空间，记为 。
i, 0,0
i i,,
i i i,
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
0 =
+
￡
（ 正 定 性 ）
（ 正 齐 性 ）
（ 三 角 不 等 式 ）
X X X
XX
X Y X Y
? ?,W g
17
§ 3.4.1 赋范线性空间
? （广义）长度的推广：
– 例 1：
[ ]
12
1
1
1
2
2
,,,,
,1
,m a x,
2,,
T
nn
n
n
p
p
ip
i
i
x x x
xp
p x i
p
?
?
? ? ?
??
? ? ? ???
??
? ? ? ?
??
?
特 别 的,
欧 式 范 数
X
X
X
X X X
18
§ 3.4.1 赋范线性空间
? （广义）长度的推广：
– 例 2：
? ?
1
1
1
1
,1
,1
,su p,
p
p
nin
i
n
p
p
ip
i
i
l x x p
xp
p x i
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ? ? ???
??
??
? ? ? ???
??
? ? ? ?
?
?
@
特 别 的,
X
X
X
19
§ 3.4.1 赋范线性空间
? Minkowski不等式：
? ? ? ?
11
1 1 1
1 1 1
11
,0,,,,
( ),1
pp
i i i i
ii
p p p
p p p
i i i i
i i i
iiii
a b i a b
a b a b p
ba ?
??
??
? ? ?
? ? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
设 则
等 号 成 立 条 件 为,
20
§ 3.4.1 赋范线性空间
?
? ?
12
1
1
1
...
,1
,,
,,1
,
p
p
ni
n
i
p
p
n
n
n
pq
nn
n N n N
q p q
l l l
l x x p
lx
N n N x
x x q p
l l l
?
?
?
?
?
?
?
??
??
? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
\ ? ? ?
? ? ? ? ? ?
\ ? ? ?
?
?
??
@
Q
其 中 。
证 明,
使 得 当 时 恒 有
。
X
X
X
21
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 例
[ ] ? ? [ ]
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?
[ ] ? ? ? ?? ?
? ?
[ ]
? ?
1
1 11
,
C,,C,,
,1
Mi nkow ski
,1
,|
,sup
b p
p
p a
b b bp p p
p pp
a a a
b p
p
a
t a b
a b x t a b
x t x t dt p
x t y t dt x t dt y t dt p
L a b x t x t dt
p x t x t
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
?
? ? ?
?
%
@
对
不 等 式,
当
22
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 强收敛：
? 弱收敛：依泛函收敛。
– 注：强收敛 ?弱收敛。
? ? ? ? 1,,
l im 0,
n n
nn
W x x
xx
?
?
??
??
g在 中,收 敛 于 指
也 称 为 依 范 数 收 敛 。
23
§ 3.4.1 赋范线性空间
? 度量空间与赋范线性空间的关系：
–
– 例
? ? ? ?
? ? ? ?
,,
,,
W
WW
?
?
??
?
g
g
在 中,定 义
反 之 不 然
X Y X Y
? ?
? ?
0,
,
1,
,ii
S
?
?
??
? ?
??
?:
在 中,
但 不 满 足 范 数 定 义 （ 条 ）
XY
XY
XY
X Y X Y
24
§ 3.4.2,Banach空间
? Banach空间：完备的 称为 Banach
空间。
? 是 Banach空间。
? 在 中，取 完备。
?
? ?,W g
,,n n pl。
[ ],C a b ? ?m a xa x bx x t? ???
[ ]
? ? ? ?? ?
1
,,1,
p
b p p
p a
L a b p
xt x t d t
R ie m a n n L e b e s g u e
? ? ?
?
?
?
% 不 完 备
积 分 积 分
25
§ 3.4.2,Banach空间
? 定理：若
– H?lder不等式：
– 证明思路：
1,[,] [,]qpp q L a b L a b? ? ? ? ?则 。
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
11
11
[,],[,],1,
pq
b
bb pq pq
aa
a
f x L a b g x L a b
pq
f x g x d x f x d x g x d x
? ? ? ?
?? ? ?
若 则
? ? [ ] ? ?,1
01
b p p
q
a
f x L a b f x d x
pp
pqr
qr
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
构 造
26
§ 3.5 Hilbert空间
27
§ 3.5.1 内积空间
? 内积：设 W≠?为实或复线性空间，若对
? X,Y,Z∈ W,λ∈ C,均有一个实数或复数与之对
应，记为 〈 X,Y〉,满足：
则称 〈 X,Y〉 为 X与 Y的内积，定义了内积的空间
为内积空间。
*
i.,0,,0
ii.,,
iii.,,
iv,,,,
??
? ? ? ?
?
?
? ? ?
0且 （ 正 定 性 ）
（ 共 轭 交 换 性 ）
（ 齐 次 性 ）
（ 加 法 分 配 性 ）
X X X X X
X Y Y X
X Y X Y
X Y Z X Z Y Z
28
§ 3.5.1 内积空间
? 注：
–
–
–
? 例子：
–
*
1,,,
2,,:,,
3, ii i iv,,,
W W W
??
? ? ? ?
?
??
? ? ?
￡ 若 为 数 的 集 合,则 为
通 常 的 二 元 函 数 。
和 可 以 合 并,
X Y X Y
X Y X Y
X Y Z X Z Y Z
? ?
[ ] [ ]
12
11
1
,,,,
,,,,,,
,
n
n
TT n
nn
n
T
ii
i
sp a n
x x y y
xy
?
?
? ? ?
? ?=
K K
X X X
XY
X Y X Y
29
§ 3.5.1 内积空间
? 例子：
–
–
–
[ ] ? ? ? ? ? ? ? ?*
,,,H
,,,
nH
b
a
U
a b x t y t x t y t dt
?
? ?C
（ 约 定 了 内 积 复 线 性 空 间 ） 表 示
共 轭 转 置 。
。
X Y X Y
[ ] ? ?
? ? ? ? [ ] ? ? [ ]
? ? ? ?
2
22
1
,( ) | ( ) ( )
( ),,,,,,
1,,
,( ) ( )
b
H
n
a
T
n n i
b
H
a
L a b t t t d t
t x t x t L a b x t L a b
in
t t t t d t
? ? ?
? ? ???
??
?
?
?
?
K
K
X X X
X
X Y X Y
30
§ 3.5.2 Hilbert空间
? 定义欧氏范数,则内积（线性）
空间成为赋范线性空间。
? Hilbert空间：依欧氏范数 完备
的内积空间称为 Hilbert空间。
? 有限维内积空间必完备,完备。
? 完备，定义内积 。
? H空间是能量有限信号的集合。
1
22,?X X X
1
22,?X X X
,nnU?
[ ]2,L a b ? ? ? ?ba x t y t d t??
31
§ 3.5.2 Hilbert空间
? Cauchy-Schwarz不等式,W为内积空间，
?X,Y∈ W，有
? 注：
– 1.在 H?lder不等式中，取,就成为
Cauchy-Schwarz不等式。
– 2.在 空间中，有 Cauchy不等式：
– 3.在 空间中，有 Schwarz不等式：
22,?X Y X Y
nU
? ? ? ?1122H H H?X Y X X Y Y
[ ]2,L a b
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
11
22 22*b b b
a a a
x t y t d t x t d t y t d t?? ? ?
2pq??
32
§ 3.5.3 线性泛函
? 算子 —Operator,X,Y为线性空间，算子：
其中,为定义域,为值域。
? ?T, D T R ( T ) T,X Y X Y? ? ? ?或
? ?DT ? ?RT
X YT
D ( T ) R ( T )
定 义 域 值 域
33
§ 3.5.3 线性泛函
? 泛函 —Functional：值域是实／复数域的算
子为泛函。
– 注：定积分，距离，范数，内积,函数（第三
种定义），（普通）函数均为泛函。
? 线性算子,X,Y为线性空间，,若
对,有：
则 T为线性算子。
T,XY?
,iiXC?? ? ? ?X
? ?
11
TT
NN
i i i i
ii
??
??
?? ?
??
??
??XX
?
34
§ 3.5.3 线性泛函
? 线性泛函：线性算子 T的值域为实／复数集。
– 距离、范数是泛函，但非线性泛函。
– 连续线性算子 T
– 线性算子：有界 ?连续
– 内积为连续线性泛函
– 积分算子
[ ] [ ]
? ? ? ? ? ? ? ? [ ] [ ]
22T,,,
T,,,,
b
a
L a b L a b
x t h t x d h t a b a b? ? ? ?
?
??? 在 上 连 续
X Y
T0x
nx T nx 0
T x
00 0,T T 0,nnx x n x x n? ? ? ? ? ? ? ? ?
35
§ 3.6 完备规范正交集上广义
傅里叶展开
36
§ 3.6.1 正交 —Orthogonal
? 正交：在内积空间 W中，若,满
足：,则称 正交，记
为,。其中 k为常数,为 Kronecker
符号－
? 正交（子）集,中任意两个元正交。
,ij W?XX
,i j i jk ??XX ijXX与
ij^XX ij
?
1,
0,ij
ij
ij
?
??
? ?
?
=
VW?
37
§ 3.6.1 正交
? 集正交：若
? 正交补：
? 规范正交完备集 V：
– 1,（完备性）
– 2,（规范正交）
,,,,
,
X Y W X Y
X Y X Y
? ? ? ? ?
^^
XY
XY
对 有
则 称 集 与 集 正 交,记 为, 。
? ?,|,V W V V W V
VV
^
^
? ? ? ^
^
XX的 正 交 补
显 然 。
? ?0V ^ ?
,,,i j i j i jV ?? ? ?X X X X
38
§ 3.6.1 正交
? 定理,Hilbert空间存在规范正交完备集。
? 定理,W是 Hilbert空间，, V是 W的
正交子集。
W V V ^??
39
§ 3.6.2正交投影 —Orthogonal
Projection
? 正交投影,W是 Hilbert空间，
在 V上的
正交投影或投影，记为,。
– 注,的距离最小，即正交投影使均方误差最
小化。
0 0 0
,,
,,,
V W W
VV ??
??
? ? ? ^ ? ?
X
Y X = Y Y X若 使 则 称 是
0 PV?YX
0YX与
V
o
V
^
0?
40
§ 3.6.3 广义傅里叶展开
? 广义傅里叶展开：设 是 H空间 W的
规范正交完备集，则对
为广义傅里叶系数。
– 注,是 Hilbert空间 W的规范且完备的一
组基。 是 X 在 上的投影。
? ? 1i iV ? ???
,XW?? 有
11
,i i i i
ii
X c X? ? ?
??
??
????
,iicX ?@
? ? 1i iV ? ???
ic i?
41
§ 3.6.3 广义傅里叶展开
? Parseval等式：设,
则
? 物理解释：信号的总能量＝各个分量的能
量的和。
? 几何解释：广义勾股定理。
11
,i i i i
ii
X c X? ? ?
??
??
????
222
2
11
,ii
ii
X X c?
??
??
????
42
§ 3.6.3 广义傅里叶展开
? 用 N项广义傅里叶展开逼近 X：
设 是 Hilbert空间 W的规范正交完备
集，
X在 上的投影,。
这里 规范正交，但不完备。
? ? 1i iV ? ???
? ? ? ? ? ?1 1 1Ni i i N Ni i i NV V V? ? ??? ^? ? ? ?? ? ? ?@
1
?,N
ii
i
XX ??
?
? ?NV
NV
43
结束
