信号与系统
第八章 Z变换
2
第八章 Z变换
? § 8.1 定义、收敛域
? § 8.2 Z变换计算方法
? § 8.3 Z变换性质
? § 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? § 8.5 Z变换解差分方程
? § 8.6 系统函数,BIBO稳定
3
§ 8.1 定义、收敛域
? 1.定义,Z变换
– 序列
– 序列
? ?
? ? ? ?? ? ? ? n
n
xn
X z x n x n z
??
?
? ? ?
?@@
Z
Z
的 双 边 变 换,
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
0
n
n
xn
X z x n x n z
??
?
?
?@@
Z
Z
的 单 边 变 换,
4
§ 8.1 定义、收敛域
– (1)双边：
– (2)Z是复平面 上一点
– (3)对因果序列：单边 Z变换 =双边 Z变换。
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
10
1
0
L a ur e nt,L a ur e nt
n n n
n n n
n
n
n
n
X z x n z x n z x n z
x n z
x n z
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?
?
为 级 数 其 中,是 级 数
的 正 则 部,是 主 部 。
o
R e Z
j I m Z
注：
5
§ 8.1 定义、收敛域
? 定义：逆 Z变换
– 对双边 Z变换
? ? ? ? n
n
X z x n z
??
?
? ? ?
? ?
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? ?
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11
CC
1
C
1
C
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dd
2 j 2 j
1
d
2j
1,1
d
0,2j
C
m m n
n
mn
n
mn
z X z z z x n z z
x n z z
mn
zz
mn
xn
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Q L L L L
ii
i
i
为 包 围 原 点 的 闭 曲 线 上 式 =
6
§ 8.1 定义、收敛域
– 定义：
– 注：
? ? ? ? ? ?? ?11
C
1 d
2j
mx n z X z z X z
?
?????i Z
o
R e Z
j I m Z
r
jZ re ??
? ? jd j djz r e z r e?? ?? ? ?的 求 解,,或 者 留 数 定 理
7
§ 8.1 定义、收敛域
? 2,收敛域
– (1)定义：对有界
– (2)判别方法：
达兰贝尔方法：
柯西方法：
? ? ? ? ? ? n
n
x n X z x n z
Z
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?
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一 致
,使
的 的 集 合 。
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n
X z x n z a x n z
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1,
1,
1,
?
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?
?
?
若 则 收 敛 ；
若 则 发 散 ；
若 则 不 定 。
8
§ 8.1 定义、收敛域
? 3.序列的分类与收敛域
– (1)右边序列,? ? ? ?
1,,x n n n??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
1
1
1
l i m l i m 1
l i m,
n
nn
n
nn
nn
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x
n
X z x n z
x n z x n z
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@ 圆 的 外 部
R e Z
j I m Z
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R
x 1
1
1
1
1
0,
0,
x
x
n R z
n R z
? ? ? ?
? ? ? ?
9
§ 8.1 定义、收敛域
– (2)左边序列 ? ? ? ?
2,,x n n n? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
1
2
2
2
2
1
2
2
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n
nn
n n n
n
n
n
x
n
x
x
X z x n z x n z
x n z
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??
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????
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??
@ 圆 的 内 部
10
§ 8.1 定义、收敛域
– (3)双边序列 ? ? ? ?,,x n n ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
12
1
0
xx
nn
nn
z R z R
X z x n z x n z
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1 4 2 4 3 1 4 2 4 3
右 边 序 列 左 边 序 列
R e Z
j I m Z
o
R
x 1
R
x 2
12
12
,
,
xx
xx
RR
RR
?
?
若 则 环 状 收 敛 域 。
若 则 无 公 共 收 敛 域 。
11
§ 8.1 定义、收敛域
? 4.典型序列 Z变换
– (1)
– (2)
– (3)
? ?? ? 1,0nz? ? ? ? ?Z
? ?? ? 1
0
1,1
1
n
n
u n z zz
??
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? ?? ? ? ? 2
0
,1
1
n
n
zn u n n z z
z
??
?
?
? ? ? ? ?
??
Z
12
§ 8.1 定义、收敛域
– (4)
– (5)
– (6)
? ?? ?
? ? ? ?? ?
1
1
1
,
1
1
n
tn
z
a u n a z
a z z a
z
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?
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Z
ZL
LZ
注, 因 式 分 解 求 变 换 的 基 础 与 变 换 不 同
而
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0
j
j 1
1,1
1
n
ne u n zez
?
? ?? ? ? ??Z
? ?? ?1,n za u n z aza? ? ? ? ??Z
13
§ 8.2 Z变换计算方法
? 1.留数方法
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
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1
0
11
11
11
1
d
2j
11
dd
2 j 2 j
R e s | R e s | 1
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n n n
RL
n n n
n
C
nn
RL
CC
nn
R p L p
ij
X z x n z x n z x n z X z X z
x n X z z X z z
z X z z z X z z
z X z u n z X z u n
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i
ii
Z
极 点 极 点
14
§ 8.2 Z变换计算方法
– (1)（正）包围：逆时针方向走，极点在围线的左侧；
负包围：逆时针方向走，极点都在围线的右侧。
– (2)
R e Z
j I m Z
o
R
R
R
L
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? ?
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1
1
11
1
11
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Re s |
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1 Re s |
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m
m
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z X z z r
z X z z X z z z
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???
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若 的 极 点 为 阶,
当 时,
注：
15
§ 8.2 Z变换计算方法
– 例：
解,? ? ? ? ? ? ? ?
32 21
,1,?
1 0, 5
zzX z z x n
z z z
??? ? ?
??
求
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? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1
12
3 2 3 2
22
1 0, 5
2,1,0,5
2 1 2 1
2
0,5 1
8 1 3 0,5 2
n
nn
zz
n
x n x n u n
n z X z z z
z z z z
x n z z u n
zz
un
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??
?
? ? ?
??? ? ? ?? ? ? ???
? ? ???
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??
当 时 的 极 点,
16
§ 8.2 Z变换计算方法 ? ?
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? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
1 2 3 4
1
1 2 3
0,1,0,5,0
0
0,1,0,5,0
1 3,5 1
3,5 1 8 1 3 0,5 2
n
n
n
n z X z z z z z
xn
n z X z z z z
xn
x n n n u n
?
?
??
?
?
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?
? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
当 时 的 极 点,
当 时 的 极 点,
17
§ 8.2 Z变换计算方法
? 2.部分分式展开法
– 例：
求：
? ?11 111 nz d u ndz z d?? ?? ? ? ???? ? ? ???
? ? ? ?
ZZ
? ?
2 1 2
2 1 2
2 1 1 2
1,5 0,5 1 1,5 0,5
z z z zXz
z z z z
??
??
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?,1 1 ; 2 0, 5 ; 3 0, 5 1x n z z z? ? ? ?
18
§ 8.2 Z变换计算方法
– 解,? ?
? ?
12
11
12
1 0,5 1
0,5 1
AA
X z B
zz
Xz AAB
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R e Z
j I m Z
o
0, 5
1
- 1
19
§ 8.2 Z变换计算方法
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0
0
1
0,5
2
1
11
Re s | 2
Re s 9
Re s 8
2 9 0,5 8
z
z
z
z
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z
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z
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?
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20
§ 8.2 Z变换计算方法
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12
12
2 0,5
2,9,8
2 9 0,5 1 8 1
3 0,5 1
2,9,8
2 9 0,5 8 1
n
n
z
B A A
x n n u n u n
z
B A A
x n n u n u n
?
?
?
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??
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? ? ? ? ? ?
21
§ 8.3 Z变换性质
? 1.线性性质
? 2.位移
– (1)双边 Z变换
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11
nn
i i i i
ii
x n x n??
??
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????
ZZ
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0
0,
mmx n m z x n z X z z
mm
??? ? ? ?
?
?
ZZ,收 敛 域
,右 移 （ 延 迟 ） 步 ；
左 移 （ 延 迟 ） 步 ；
? ? ? ?
? ?? ? ? ?
,m
mm
m z x n x n m
z x n z X z
?
??
?
?
@
Z
引 入 步 延 迟 算 子
22
§ 8.3 Z变换性质
– (2)因果序列单边 Z变换右移性质
– (3)双边序列的单边 Z变换左 /右移性质
– 左移性质：
– 右移性质：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?m
x n x n u n
x n m u n m z X z?
?
? ? ?Z
? ? ? ?? ? ? ?x n u n X z@Z
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1
0
m
mk
k
x n m u n z X z x k z
?
?
?
??? ? ???
?? ?
Z
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
mk
km
x n m u n z X z x k z
?
??
??
??? ? ???
?? ?
Z
23
§ 8.3 Z变换性质
? 3.
? 4.
? 5.初值定理：若 为因果序列，则
? ?? ? ? ?ddn x n z X zz??Z
? ?? ?n za x n X a??? ??
??
Z
? ? ? ?0 l i mzx X z??? 。
? ?xn
24
§ 8.3 Z变换性质
? 6.终值定理：若 为因果序列，
在单位圆上 /外解析（在单位圆上，
可有 的任意阶极点），则
? 7.卷积定理：
则
? ?xn ? ? ? ?1z X z?
? ? ? ?1z X z?
1z?
? ? ? ? ? ?1l i m l i m 1nzx n z X z?? ??? ????
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?,H z h n X z x n??ZZ
? ? ? ?? ? ? ? ? ?x n h n X z H z??Z
25
§ 8.3 Z变换性质
? 8,Z域卷积定理
? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
1
2
12
12
1
C
1
C
1
1
d
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1
d
2j
xx
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z
x n h n X H v v v
v
z
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v
X z H z
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z
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v
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??
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@
i
i
Z
收敛域,的收敛域
26
§ 8.3 Z变换性质
令
? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?
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2
j j j
j-j
C
j-j
,,,,d j d
1
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2
1
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2
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x n h n X e H e
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?
?
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??
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??
??
??
?
??
??
?
?
@
iZ
常 数 常 数
27
§ 8.3 Z变换性质
? Paserval定理：
注：
– (1)条件,收敛域含单位圆。
– (2)单位圆的表示：,取式中 C为
单位圆,。
? ? ? ? ? ?* * 1*
C
11 d
2jn
x n h n X z H z z
z?
??
?
? ? ?
???
????? ?i
? ? ? ?,X z H z
j1 tz z e ?? ? ?
jd j dTz Te ? ??
28
§ 8.3 Z变换性质
– (3)内积不变性：
– (4)能量不变性：取
? ? ? ? ? ? ? ?* j * j d2 TTT
n T
Tx n h n X e H e? ??
? ??
??
?? ? ?
?? ?
? ? ? ? 22 j d2 TT
n T
Tx n X e? ?
? ??
??
?? ? ?
?? ?
? ? ? ?h n x n?,
29
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? 1,的关系
– (1)物理事实：
形式相等
zs,延迟 T
? ?
? ?
x nT
xt
? ?? ?
? ?
1x n T
x t T
?
?
e - ST? ?
? ?
xt
Xs
c ? ?STe X S?Z
- 1? ?
? ?
? ?
x nT
xn
XZ
c
1 lnsTz e s z
T? ? ?
30
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
– (2)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
0
0
0
1
ln
2
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n s
sTn
ss
n
n
n
s
sz
T
n sTn sT
x t x t t x nT t nT T
X s x t x nT e
X z x nT x nT z
X s X z
z e z e
?
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?
?
??
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??
??
?
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?
?
L
Z
形 式
采 样 间 隔
31
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? 2.
? ?
? ?
? ? ? ?
2 j2j T j
j22
j,ss
sss
sT
T
n
ss
ze
s z re e e e e
Z e e
Z Z n
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ?
??
?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
??
@
周 期 为
1
0 1,
01
01
s
sz
z
z
z
??
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
多
虚 轴 单 位 圆 周 期 为
左 半 开 平 面 单 位 圆 内
右 半 开 平 面 单 位 圆 外
对比：
32
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
o
σ
j ω
2 ω
s
ω
s
- 2 ω
s
- ω
s
R e Z
j I m Z
o
1- 1
j
- j
33
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? 3.采样序列 Z变换与原信号的 L 变换的关系
相乘
? ?
? ?
xt
Xs
c
? ?
? ? ? ?? ?
s
xt
X Z x n? Z
? ?T t?
34
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?
0
+j
-j
1
1
1
1
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X z X s
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X s x t X s
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??
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? ? ?
?
?
?
?
?
:
L
L
35
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
注：
– (1)
– (2)
? ? ? ? lx t X p ? ???是 稳 定 信 号 的 极 点
? ? ? ? ? ? ? ?
1,R e 0 R e R e
1 s p T s p p se ?? ? ? ? ?? 的 收 敛 域
36
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
– 例：
? ?
? ?
1 1
R e s
1 1
j
i
j
j j
j
j jj
pTpT
ij
pp
A
Xp
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A
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??
?
?
??
37
§ 8.5 Z变换解差分方程
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00
00
00
11
00
NM
kr
kr
NM
kr
kr
NM
kr
kr
NM
k l r m
kr
k l k r m r
a y n k b x n r
a y n k b x n r
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??
??
??
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??
??
??
? ? ? ?
ZZ
ZZ
38
§ 8.5 Z变换解差分方程
可直接带入初值
? 因果序列输入：
? 零状态：
? ? 0,0x n n??
? ? 0,0y n n??
? ? ? ?0
0
M
r
r
r
N
k
k
k
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XZ
c
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? ?
yn
YZ
c
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39
§ 8.6 系统函数,BIBO稳定
? 1.
? 2.若
? ? ? ?? ?H z h n? Z
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
,
n
n m m n n
mm
n n n
x n z
y n h m z h m z z H z z
y n L z H z z z
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
??
??
??
??
则
,是 线 性 定 常 离 散 系 统 的
特 征 函 数 。
40
§ 8.6 系统函数,BIBO稳定
? 3,BIBO稳定
? ?
? ?
? ?? ?
n
hn
Hz
Hz
??
? ? ?
? ? ?
?
?
的 收 敛 域 包 含 单 位 圆
因 果 系 统, 的 极 点 在 单 位 圆 内
结束
第八章 Z变换
2
第八章 Z变换
? § 8.1 定义、收敛域
? § 8.2 Z变换计算方法
? § 8.3 Z变换性质
? § 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? § 8.5 Z变换解差分方程
? § 8.6 系统函数,BIBO稳定
3
§ 8.1 定义、收敛域
? 1.定义,Z变换
– 序列
– 序列
? ?
? ? ? ?? ? ? ? n
n
xn
X z x n x n z
??
?
? ? ?
?@@
Z
Z
的 双 边 变 换,
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
0
n
n
xn
X z x n x n z
??
?
?
?@@
Z
Z
的 单 边 变 换,
4
§ 8.1 定义、收敛域
– (1)双边：
– (2)Z是复平面 上一点
– (3)对因果序列：单边 Z变换 =双边 Z变换。
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
10
1
0
L a ur e nt,L a ur e nt
n n n
n n n
n
n
n
n
X z x n z x n z x n z
x n z
x n z
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?
?
为 级 数 其 中,是 级 数
的 正 则 部,是 主 部 。
o
R e Z
j I m Z
注：
5
§ 8.1 定义、收敛域
? 定义：逆 Z变换
– 对双边 Z变换
? ? ? ? n
n
X z x n z
??
?
? ? ?
? ?
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? ?
? ?
? ?
11
CC
1
C
1
C
11
dd
2 j 2 j
1
d
2j
1,1
d
0,2j
C
m m n
n
mn
n
mn
z X z z z x n z z
x n z z
mn
zz
mn
xn
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Q L L L L
ii
i
i
为 包 围 原 点 的 闭 曲 线 上 式 =
6
§ 8.1 定义、收敛域
– 定义：
– 注：
? ? ? ? ? ?? ?11
C
1 d
2j
mx n z X z z X z
?
?????i Z
o
R e Z
j I m Z
r
jZ re ??
? ? jd j djz r e z r e?? ?? ? ?的 求 解,,或 者 留 数 定 理
7
§ 8.1 定义、收敛域
? 2,收敛域
– (1)定义：对有界
– (2)判别方法：
达兰贝尔方法：
柯西方法：
? ? ? ? ? ? n
n
x n X z x n z
Z
??
?
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? ? ??
一 致
,使
的 的 集 合 。
? ? ? ? ? ?,nn n
n
X z x n z a x n z
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1li m n
n
n
a
a
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@
l im n nn a? ??@
1,
1,
1,
?
?
?
?
?
?
若 则 收 敛 ；
若 则 发 散 ；
若 则 不 定 。
8
§ 8.1 定义、收敛域
? 3.序列的分类与收敛域
– (1)右边序列,? ? ? ?
1,,x n n n??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
1
1
1
l i m l i m 1
l i m,
n
nn
n
nn
nn
n
x
n
X z x n z
x n z x n z
z x n R
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@ 圆 的 外 部
R e Z
j I m Z
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R
x 1
1
1
1
1
0,
0,
x
x
n R z
n R z
? ? ? ?
? ? ? ?
9
§ 8.1 定义、收敛域
– (2)左边序列 ? ? ? ?
2,,x n n n? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
1
2
2
2
2
1
2
2
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0,0
0,0
n
nn
n n n
n
n
n
x
n
x
x
X z x n z x n z
x n z
z x n R
n z R
n z R
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??
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??
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????
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??
@ 圆 的 内 部
10
§ 8.1 定义、收敛域
– (3)双边序列 ? ? ? ?,,x n n ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
12
1
0
xx
nn
nn
z R z R
X z x n z x n z
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? ? ? ?
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????
1 4 2 4 3 1 4 2 4 3
右 边 序 列 左 边 序 列
R e Z
j I m Z
o
R
x 1
R
x 2
12
12
,
,
xx
xx
RR
RR
?
?
若 则 环 状 收 敛 域 。
若 则 无 公 共 收 敛 域 。
11
§ 8.1 定义、收敛域
? 4.典型序列 Z变换
– (1)
– (2)
– (3)
? ?? ? 1,0nz? ? ? ? ?Z
? ?? ? 1
0
1,1
1
n
n
u n z zz
??
?
?
?
? ? ? ? ???Z
? ?? ? ? ? 2
0
,1
1
n
n
zn u n n z z
z
??
?
?
? ? ? ? ?
??
Z
12
§ 8.1 定义、收敛域
– (4)
– (5)
– (6)
? ?? ?
? ? ? ?? ?
1
1
1
,
1
1
n
tn
z
a u n a z
a z z a
z
e a u n
s z a
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??
??
Z
ZL
LZ
注, 因 式 分 解 求 变 换 的 基 础 与 变 换 不 同
而
? ?? ?0
0
j
j 1
1,1
1
n
ne u n zez
?
? ?? ? ? ??Z
? ?? ?1,n za u n z aza? ? ? ? ??Z
13
§ 8.2 Z变换计算方法
? 1.留数方法
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
1
0
11
11
11
1
d
2j
11
dd
2 j 2 j
R e s | R e s | 1
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n n n
RL
n n n
n
C
nn
RL
CC
nn
R p L p
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X z x n z x n z x n z X z X z
x n X z z X z z
z X z z z X z z
z X z u n z X z u n
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i
ii
Z
极 点 极 点
14
§ 8.2 Z变换计算方法
– (1)（正）包围：逆时针方向走，极点在围线的左侧；
负包围：逆时针方向走，极点都在围线的右侧。
– (2)
R e Z
j I m Z
o
R
R
R
L
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1
1
11
1
11
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Re s |
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1 Re s |
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m
m
m
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z X z z r
z X z z X z z z
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???
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若 的 极 点 为 阶,
当 时,
注：
15
§ 8.2 Z变换计算方法
– 例：
解,? ? ? ? ? ? ? ?
32 21
,1,?
1 0, 5
zzX z z x n
z z z
??? ? ?
??
求
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1
12
3 2 3 2
22
1 0, 5
2,1,0,5
2 1 2 1
2
0,5 1
8 1 3 0,5 2
n
nn
zz
n
x n x n u n
n z X z z z
z z z z
x n z z u n
zz
un
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??
?
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? ? ???
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??
当 时 的 极 点,
16
§ 8.2 Z变换计算方法 ? ?
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? ?
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
1 2 3 4
1
1 2 3
0,1,0,5,0
0
0,1,0,5,0
1 3,5 1
3,5 1 8 1 3 0,5 2
n
n
n
n z X z z z z z
xn
n z X z z z z
xn
x n n n u n
?
?
??
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
当 时 的 极 点,
当 时 的 极 点,
17
§ 8.2 Z变换计算方法
? 2.部分分式展开法
– 例：
求：
? ?11 111 nz d u ndz z d?? ?? ? ? ???? ? ? ???
? ? ? ?
ZZ
? ?
2 1 2
2 1 2
2 1 1 2
1,5 0,5 1 1,5 0,5
z z z zXz
z z z z
??
??
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?,1 1 ; 2 0, 5 ; 3 0, 5 1x n z z z? ? ? ?
18
§ 8.2 Z变换计算方法
– 解,? ?
? ?
12
11
12
1 0,5 1
0,5 1
AA
X z B
zz
Xz AAB
z z z z
??
? ? ?
??
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??
R e Z
j I m Z
o
0, 5
1
- 1
19
§ 8.2 Z变换计算方法
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0
0
1
0,5
2
1
11
Re s | 2
Re s 9
Re s 8
2 9 0,5 8
z
z
z
z
n
z
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B X z
z
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?
?
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??
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20
§ 8.2 Z变换计算方法
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12
12
2 0,5
2,9,8
2 9 0,5 1 8 1
3 0,5 1
2,9,8
2 9 0,5 8 1
n
n
z
B A A
x n n u n u n
z
B A A
x n n u n u n
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
21
§ 8.3 Z变换性质
? 1.线性性质
? 2.位移
– (1)双边 Z变换
? ? ? ?? ?
11
nn
i i i i
ii
x n x n??
??
?? ???
????
ZZ
? ?? ? ? ?? ? ? ?
0
0,
mmx n m z x n z X z z
mm
??? ? ? ?
?
?
ZZ,收 敛 域
,右 移 （ 延 迟 ） 步 ；
左 移 （ 延 迟 ） 步 ；
? ? ? ?
? ?? ? ? ?
,m
mm
m z x n x n m
z x n z X z
?
??
?
?
@
Z
引 入 步 延 迟 算 子
22
§ 8.3 Z变换性质
– (2)因果序列单边 Z变换右移性质
– (3)双边序列的单边 Z变换左 /右移性质
– 左移性质：
– 右移性质：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?m
x n x n u n
x n m u n m z X z?
?
? ? ?Z
? ? ? ?? ? ? ?x n u n X z@Z
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1
0
m
mk
k
x n m u n z X z x k z
?
?
?
??? ? ???
?? ?
Z
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
mk
km
x n m u n z X z x k z
?
??
??
??? ? ???
?? ?
Z
23
§ 8.3 Z变换性质
? 3.
? 4.
? 5.初值定理：若 为因果序列，则
? ?? ? ? ?ddn x n z X zz??Z
? ?? ?n za x n X a??? ??
??
Z
? ? ? ?0 l i mzx X z??? 。
? ?xn
24
§ 8.3 Z变换性质
? 6.终值定理：若 为因果序列，
在单位圆上 /外解析（在单位圆上，
可有 的任意阶极点），则
? 7.卷积定理：
则
? ?xn ? ? ? ?1z X z?
? ? ? ?1z X z?
1z?
? ? ? ? ? ?1l i m l i m 1nzx n z X z?? ??? ????
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?,H z h n X z x n??ZZ
? ? ? ?? ? ? ? ? ?x n h n X z H z??Z
25
§ 8.3 Z变换性质
? 8,Z域卷积定理
? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
1
2
12
12
1
C
1
C
1
1
d
2j
1
d
2j
xx
hh
z
x n h n X H v v v
v
z
X v H v v
v
X z H z
z
RR
z
v X H v v
v
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??
? ??
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??
?
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@
i
i
Z
收敛域,的收敛域
26
§ 8.3 Z变换性质
令
? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?
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2
j j j
j-j
C
j-j
,,,,d j d
1
d
2
1
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2
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x n h n X e H e
r
X e H e
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???
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?
?
? ? ? ?
??
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??
??
??
?
??
??
?
?
@
iZ
常 数 常 数
27
§ 8.3 Z变换性质
? Paserval定理：
注：
– (1)条件,收敛域含单位圆。
– (2)单位圆的表示：,取式中 C为
单位圆,。
? ? ? ? ? ?* * 1*
C
11 d
2jn
x n h n X z H z z
z?
??
?
? ? ?
???
????? ?i
? ? ? ?,X z H z
j1 tz z e ?? ? ?
jd j dTz Te ? ??
28
§ 8.3 Z变换性质
– (3)内积不变性：
– (4)能量不变性：取
? ? ? ? ? ? ? ?* j * j d2 TTT
n T
Tx n h n X e H e? ??
? ??
??
?? ? ?
?? ?
? ? ? ? 22 j d2 TT
n T
Tx n X e? ?
? ??
??
?? ? ?
?? ?
? ? ? ?h n x n?,
29
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? 1,的关系
– (1)物理事实：
形式相等
zs,延迟 T
? ?
? ?
x nT
xt
? ?? ?
? ?
1x n T
x t T
?
?
e - ST? ?
? ?
xt
Xs
c ? ?STe X S?Z
- 1? ?
? ?
? ?
x nT
xn
XZ
c
1 lnsTz e s z
T? ? ?
30
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
– (2)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
0
0
0
1
ln
2
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|
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n s
sTn
ss
n
n
n
s
sz
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n sTn sT
x t x t t x nT t nT T
X s x t x nT e
X z x nT x nT z
X s X z
z e z e
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?
?
??
? ? ? ?
??
??
?
? ? ?
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?
?
L
Z
形 式
采 样 间 隔
31
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? 2.
? ?
? ?
? ? ? ?
2 j2j T j
j22
j,ss
sss
sT
T
n
ss
ze
s z re e e e e
Z e e
Z Z n
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ?
??
?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
??
@
周 期 为
1
0 1,
01
01
s
sz
z
z
z
??
?
?
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?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
多
虚 轴 单 位 圆 周 期 为
左 半 开 平 面 单 位 圆 内
右 半 开 平 面 单 位 圆 外
对比：
32
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
o
σ
j ω
2 ω
s
ω
s
- 2 ω
s
- ω
s
R e Z
j I m Z
o
1- 1
j
- j
33
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? 3.采样序列 Z变换与原信号的 L 变换的关系
相乘
? ?
? ?
xt
Xs
c
? ?
? ? ? ?? ?
s
xt
X Z x n? Z
? ?T t?
34
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ?
? ?
0
+j
-j
1
1
1
1
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T sT
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X z X s
x t x t t
te
e
X s x t X s
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?
?
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?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
?
?
:
L
L
35
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
注：
– (1)
– (2)
? ? ? ? lx t X p ? ???是 稳 定 信 号 的 极 点
? ? ? ? ? ? ? ?
1,R e 0 R e R e
1 s p T s p p se ?? ? ? ? ?? 的 收 敛 域
36
§ 8.4 Z变换性质与 L 变换的关系
– 例：
? ?
? ?
1 1
R e s
1 1
j
i
j
j j
j
j jj
pTpT
ij
pp
A
Xp
pp
A
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ze ze
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?? ? ? ? ?
? ???
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??
?
?
??
37
§ 8.5 Z变换解差分方程
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? ? ? ?
? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
00
00
00
11
00
NM
kr
kr
NM
kr
kr
NM
kr
kr
NM
k l r m
kr
k l k r m r
a y n k b x n r
a y n k b x n r
a y n k b x n r
a z Y z y l z b z X z x m z
??
??
??
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? ? ?? ? ? ?
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??
??
??
? ? ? ?
ZZ
ZZ
38
§ 8.5 Z变换解差分方程
可直接带入初值
? 因果序列输入：
? 零状态：
? ? 0,0x n n??
? ? 0,0y n n??
? ? ? ?0
0
M
r
r
r
N
k
k
k
bz
Y z X z
az
?
?
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? ?
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xn
XZ
c
? ?
? ?
yn
YZ
c
? ?1HZ ?
39
§ 8.6 系统函数,BIBO稳定
? 1.
? 2.若
? ? ? ?? ?H z h n? Z
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
,
n
n m m n n
mm
n n n
x n z
y n h m z h m z z H z z
y n L z H z z z
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
??
??
??
??
则
,是 线 性 定 常 离 散 系 统 的
特 征 函 数 。
40
§ 8.6 系统函数,BIBO稳定
? 3,BIBO稳定
? ?
? ?
? ?? ?
n
hn
Hz
Hz
??
? ? ?
? ? ?
?
?
的 收 敛 域 包 含 单 位 圆
因 果 系 统, 的 极 点 在 单 位 圆 内
结束
