第二章
控制系统数学模型
电气系 张满生
本章提纲
第一节 导论
第二节 控制系统的微分方程
第三节 控制系统的 传递函数
第四节 控制系统 结构图与信号流图
第五节 应用 MATLAB控制系统仿真
小结
本章提要
? 描述系统各变量之间关系的数学表达式,
叫做系统的 数学模型 。 实际存在的系统的动
态性能都可以通过数学模型来描述 （ 例如微
分方程, 传递函数等 ） 。
? 控制系统的数学模型关系到对系统性能
的分析结果, 所以 建立合理的数学模型是控
制系统分析中最重要的事情 。 本章将对系统
和元件数学模型的建立, 传递函数的概念,
结构图和信号流图的建立及简化等内容加以
论述 。
第一节 导论
数学模型有动态模型与静态模型之分。控制系统
的动态模型，即线性定常微分方程，分析系统的动态
特性。
建立系统数学模型时，必须：
(1) 全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确
性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模
型简化。
(2) 根据所应用的系统分析方法，建立相应形式
的数学模型，有时还要考虑便于计算机求解。
建立系统的数学模型主要有两条途径：第一种途
径是采用演绎的方法建立数学模型。第二种途径是根
据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出
数据，推断出被研究系统的数学模型。
第二节 控制系统的微分方程
控制系统的运动状态和动态性能可由微分方程式描
述, 微分方程式就是系统的一种数学模型 。 建立系统
微分方程式的一般步骤如下：
(1) 在条件许可下适当简化, 忽略一些次要因素 。
(2) 根据物理或化学定律, 列出元件的原始方程式 。
(3) 列出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式 。
这种关系式可能是数学方程式, 或是曲线图 。
(4) 将上述关系式代入原始方程式, 消去中间变量,
就得元件的输入输出关系方程式 。
(5) 求出其它元件的方程式 。
(6) 从所有元件的方程式中消去中间变量, 最后得系
统的输入输出微分方程式 。
一、微分方程式的建立
（ 一 ） 弹簧 —质量 —阻尼器系统
图 2-1表示一个弹簧 —质量 —
阻尼器系统 。 当外力 f (t)作
用时, 系统产生位移 y(t)，
要求写出系统在外力 f (t)作
用下的运动方程式 。 f (t)是
系统的输入, y(t)是系统的
输出 。 列出的步骤如下：
（ 1） 运动部件质量用 M表示,
（ 2） 列出原始方程式 。 根
据牛顿第二定律, 有：
图 2-1 弹簧 — 质量 — 阻尼器系统
（ 3） f1(t)和 f2(t)为中间变量, 找出它们与其它因素的
关系 。 阻尼器阻力与运动方向相反, 与运动速度成正
比, 故有：
2
12 2
d( ) ( ) ( )
d
yf t f t f t M
t? ? ?
式中 f 1(t)——阻尼器阻力；
f 2(t)——弹簧力 。
(2.1)
(2.2)
1
d ( )()
d
ytf t B
t?
式中 B —— 阻尼系数。
设弹簧为线性弹簧，则有：
f2 (t) = Ky(t) (2.3)
式中 K—— 弹性系数 。
（ 4） 将式 (2.2)和式 (2.3)代入式 (2.1),得系统的微分
方程式,
式中 M,B,K均为常数，此机械位移系统为线性定
常系统。
式 (2.4)还可写成,
2
2
d ( ) d ( ) ( ) ( )
dd
y t y tM B Ky t f t
tt? ? ?
(2.4)
(2.4a)2
2
d ( ) d ( ) 1( ) ( )
dd
M y t B y t y t f t
K t K t K? ? ?
B
BT
K? 2M MT K?
则有 (2.4b)2
2
2
d ( ) d ( ) 1( ) ( )
ddMB
y t y tT T y t f t
t t K? ? ?
令
TB和 TM是图 2-1所示系统的时间常数 。 1/K为该系统
的传递系数, 它的意义是：静止时系统的输出与输入
之比 。
列写微分方程式时, 输出量及其各阶导数项列写在
方程式左端, 输入项列写在右端 。 由于一般物理系统
均有质量, 惯性或储能元件, 左端的导数阶次总比右端
的高 。
（ 二 ） R-L-C电路
图 2-2所示 R-L-C电路中,R,L,C均为常值，
ur(t)为输入电压,uc(t)为输出电压，输出端开路。要
求列出 uc(t)与 ur(t)的方程关系式。
（ 1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
(2.5)d1
d ( )d riL R i i t u ttC? ? ??
图 2-2 R-L-C电路
（ 2） 式中 i是中间变量, 它与输出 uc(t)有如下关系：
(2.6)
1( ) d
cu t i tC? ?
（ 3） 消去式 (2.5),式 (2.6)的中间变量 i后, 便得输入输
出微分方程式：
2
2
d ( ) d ( ) ( ) ( )
dd
cc
cr
u t u tL C R C u t u t
tt? ? ?
2
2
d ( ) d ( ) ( ) ( )
dd
cc
cr
u t u tL C R C u t u t
tt? ? ?或
(2.8)
(2.7）
式中 T1=L/R,T2=RC为电路的两个时间常数 。 当 t的单位
为秒时, 它们的单位也为秒 。 图 2-2电路的传递系数为 1。
式 (2.7)或式 (2.8)是线性定常系统二阶微分方程式，式中
左端导数项最高阶次为 2。
（ (三 ） 直流电动机
1.1.电枢控制的直流电动机
(a)线路原理图 (b)
图 2-3 电枢电压控制的直流电动机
磁场固定不变（激磁电流 If =常数），用电枢电压来控
制的直流电动机。控制输入为电枢电压 ua,输出轴角位移
q或角速度 w 为输出，负载转矩 ML变化为主要扰动。求输
入与输出关系微分方程式。
（ 1） 不计电枢反应, 涡流效应和磁滞影响；当 If为常值
时, 磁场不变, 电机绕组温度在瞬变过程中不变 。
（ 2） 列写原始方程式 。 首先根据克希霍夫定律写出电
枢回路方程式如下：
d
d
a
a a e a
iL R i K u
t w? ? ?
式中 La—— 电枢回路总电感 （ 亨 ） ；
Ra——电枢回路总电阻 （ 欧 ） ；
Ke—— 电势系数 （ 伏 /弧度 /秒 ） ；
w—— 电动机角速度 （ 弧度 /秒 ）, ；
ua—— 电枢电压 （ 伏 ） ；
ia —— 电枢电流 （ 安 )。
(2.9)
又根据刚体旋转定律, 可写运动方程式
式中 J—— 转动部分转动惯量 （ 公斤 ·米 2） ；
ML—— 电动机轴上负载转矩 （ 牛顿 ·米 ） ；
Md—— 电动机转矩 （ 牛顿 ·米 ） 。
（ 3） Md和 ia是中间变量 。 电动机转矩与电枢电流和气隙
磁通的乘积成正比, 磁通恒定, 有,
d
d LdJ M Mt
w ??
d m aM K i?
(2.10)
(2.11)
式中 Km—— 电动机转矩系数（牛顿 ·米 /安）。
（ 4）将式 (2.11)代入式 (2.10)，并与式 (2.9)联立求解，
整理后得：
2
2
d d 1 d
d d d
a a a a L
aL
e m e m e e m e m
L J R J R L MuM
K K t K K t K K K K K t
ww w? ? ? ? ?
2
2
d d 1 d
d d d
m a m L
a m m a L
e
T T T MT T T u M
t t K J J t
ww w? ? ? ? ?或
(2.12)
(2.13)
式中 Tm ——机电时间常数,（秒）；
Ta ——电动机电枢回路时间常数，一般要比 Tm小，
am
em
RJT
KK?
aa
a
LT
R?
（秒）。
式 (2.13)是电枢电压控制的直流电动机微分方程式。
其输入为电枢电压 ua，输出为角速度 w，负载转矩 ML扰
动输入。 ML变化会使 w随之变化，对电动机的正常工
作产生影响。
若输出为电动机的转角 q,则按式 (2.13)有,
式 (2.14)是一个 3阶线性定常微分方程 。
32
32
d d d 1 d
d d d d
m a m L
a m m a L
e
T T T MT T T u M
t t t K J J t
q q q? ? ? ? ?（ 2.14）
二、非线性方程的线性化
几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。
但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性
关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，
就可以应用迭加原理。
研究非线性系统在某一工作点 （ 平衡点 ） 附近的
性能, （ 如图 2-10,x0为平衡点, 受到扰动后, x(t)
偏离 x 0,产生 Δx(t),Δx(t)的变化过程, 表征系统在 x0
附近的性能 ）, 可用下述的线性化方法得到的线性模
型代替非线性模型来描述系统：
图 2-10 小偏差过程
设磁场控制的直流电动机 。 电枢电压 ua为常值,
输出为 w, 控制输入为 uf 。 研究它的小偏差过程, 例
如控制输入 uf改变一个微量 Δuf引起的变化过程 。 以下
是如何求出电动机输出输入偏量的线性化微分方程式 。
（ 1） 对激磁电路有：
（ 2） 找出中间变量 j与其它变量的关系, 同时线性化 。
小偏差过程可用以下办法使之线性化 。
设在平衡点的邻域内, j 对 if的各阶导数 （ 直至 n+1）
是存在的, 它可展成泰勒级数：
2
2
0 0 0 0 12
d 1 d 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d 2 ! d ! d
n
n
f f f nn
f f f
i i i Ri i n ij j jjj ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
(2.38)
(2.39)
d
df f fR i ut
j??
式中 为余项,和 为原平衡点的磁链和激磁电
… 2002dd( ) ( )dd
ffii
jj,,
1nR?
流，
0j 0fi
… 为原平衡点处的一阶, 二阶, … 导数,
Δif =if - if 0 (2.40)
为激磁电流的偏量 。
式 (2.39)右端第三项及其
以后的各项均可忽略不计,
式 (2.39)变为：
原平衡点是已知的, 故
00
d()
d ff ii
jjj? ? ? (2.41)
0
d()
d fi
j
可由电动机的饱和曲线求得，
如图 2-11。
图 2-11 的求取
'fL
0
d( ) '
d ff Li
j ???tan (2.42)
称为动态电感, 它为常值, 在不同平衡点有不同的值 。
因此式 (2.41)可写为：
0 ' ffLijj? ? ?
'fL
(2.43)或
0 ' ffLij j j? ? ? ? ?
在平衡点附近，经过线性化处理（忽略偏量的高
次项）后，激磁回路偏量间具有线性关系了。偏差
愈小，这个关系愈准确。
（ 3） 求以偏量表示的微分方程式, 即线性化方程式 。
将 uf = u f 0+Δu f, j =j0+L′fΔif,if = if 0+Δif 代入式
'
0 0 0
d( ) ( )
df f f f f f fR i i L i u ut j? ? ? ? ? ? ? ?
(2.44)
在平衡点, 式 (2.38)成为：
0
00
d
df f fR i ut
j?? (2.45)
式 (2.44)与式 (2.45)相减, 得激磁回路偏量微分方程式：
' d
d
f
f f f f
iR i L u
t
?? ? ? ?
(2.46)
(2.38)，则得：
式 (2.46)通常可直接对式 (2.38)两边取增量求得，从而简
化推导过程。
若令, 它为激磁回路动态时间常数, 则有：' 'f
f
f
L T
R ?
' d 1
d
f
f f f
f
iT i u
tR
? ? ? ? ? (2.47)
式 (2.47)把原来非线性数学模型，转化成以偏量表示的
常系数线性数学模型。在线性化过程中，只考虑泰勒级
数中的一次偏量，故式 (2.47)又称为一次线性化方程式。
总结,要建立整个系统的线性化微分方程式, 首先确
定系统处于平衡状态时, 各元件的工作点；然后列出各
元件在工作点附近的偏量方程式, 消去中间变量；最后
得到整个系统以偏量表示的线性化方程式 。
控制系统数学模型
电气系 张满生
本章提纲
第一节 导论
第二节 控制系统的微分方程
第三节 控制系统的 传递函数
第四节 控制系统 结构图与信号流图
第五节 应用 MATLAB控制系统仿真
小结
本章提要
? 描述系统各变量之间关系的数学表达式,
叫做系统的 数学模型 。 实际存在的系统的动
态性能都可以通过数学模型来描述 （ 例如微
分方程, 传递函数等 ） 。
? 控制系统的数学模型关系到对系统性能
的分析结果, 所以 建立合理的数学模型是控
制系统分析中最重要的事情 。 本章将对系统
和元件数学模型的建立, 传递函数的概念,
结构图和信号流图的建立及简化等内容加以
论述 。
第一节 导论
数学模型有动态模型与静态模型之分。控制系统
的动态模型，即线性定常微分方程，分析系统的动态
特性。
建立系统数学模型时，必须：
(1) 全面了解系统的特性，确定研究目的以及准确
性要求，决定能否忽略一些次要因素而使系统数学模
型简化。
(2) 根据所应用的系统分析方法，建立相应形式
的数学模型，有时还要考虑便于计算机求解。
建立系统的数学模型主要有两条途径：第一种途
径是采用演绎的方法建立数学模型。第二种途径是根
据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出
数据，推断出被研究系统的数学模型。
第二节 控制系统的微分方程
控制系统的运动状态和动态性能可由微分方程式描
述, 微分方程式就是系统的一种数学模型 。 建立系统
微分方程式的一般步骤如下：
(1) 在条件许可下适当简化, 忽略一些次要因素 。
(2) 根据物理或化学定律, 列出元件的原始方程式 。
(3) 列出原始方程式中中间变量与其它因素的关系式 。
这种关系式可能是数学方程式, 或是曲线图 。
(4) 将上述关系式代入原始方程式, 消去中间变量,
就得元件的输入输出关系方程式 。
(5) 求出其它元件的方程式 。
(6) 从所有元件的方程式中消去中间变量, 最后得系
统的输入输出微分方程式 。
一、微分方程式的建立
（ 一 ） 弹簧 —质量 —阻尼器系统
图 2-1表示一个弹簧 —质量 —
阻尼器系统 。 当外力 f (t)作
用时, 系统产生位移 y(t)，
要求写出系统在外力 f (t)作
用下的运动方程式 。 f (t)是
系统的输入, y(t)是系统的
输出 。 列出的步骤如下：
（ 1） 运动部件质量用 M表示,
（ 2） 列出原始方程式 。 根
据牛顿第二定律, 有：
图 2-1 弹簧 — 质量 — 阻尼器系统
（ 3） f1(t)和 f2(t)为中间变量, 找出它们与其它因素的
关系 。 阻尼器阻力与运动方向相反, 与运动速度成正
比, 故有：
2
12 2
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式中 f 1(t)——阻尼器阻力；
f 2(t)——弹簧力 。
(2.1)
(2.2)
1
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式中 B —— 阻尼系数。
设弹簧为线性弹簧，则有：
f2 (t) = Ky(t) (2.3)
式中 K—— 弹性系数 。
（ 4） 将式 (2.2)和式 (2.3)代入式 (2.1),得系统的微分
方程式,
式中 M,B,K均为常数，此机械位移系统为线性定
常系统。
式 (2.4)还可写成,
2
2
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(2.4)
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则有 (2.4b)2
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令
TB和 TM是图 2-1所示系统的时间常数 。 1/K为该系统
的传递系数, 它的意义是：静止时系统的输出与输入
之比 。
列写微分方程式时, 输出量及其各阶导数项列写在
方程式左端, 输入项列写在右端 。 由于一般物理系统
均有质量, 惯性或储能元件, 左端的导数阶次总比右端
的高 。
（ 二 ） R-L-C电路
图 2-2所示 R-L-C电路中,R,L,C均为常值，
ur(t)为输入电压,uc(t)为输出电压，输出端开路。要
求列出 uc(t)与 ur(t)的方程关系式。
（ 1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式：
(2.5)d1
d ( )d riL R i i t u ttC? ? ??
图 2-2 R-L-C电路
（ 2） 式中 i是中间变量, 它与输出 uc(t)有如下关系：
(2.6)
1( ) d
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（ 3） 消去式 (2.5),式 (2.6)的中间变量 i后, 便得输入输
出微分方程式：
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(2.8)
(2.7）
式中 T1=L/R,T2=RC为电路的两个时间常数 。 当 t的单位
为秒时, 它们的单位也为秒 。 图 2-2电路的传递系数为 1。
式 (2.7)或式 (2.8)是线性定常系统二阶微分方程式，式中
左端导数项最高阶次为 2。
（ (三 ） 直流电动机
1.1.电枢控制的直流电动机
(a)线路原理图 (b)
图 2-3 电枢电压控制的直流电动机
磁场固定不变（激磁电流 If =常数），用电枢电压来控
制的直流电动机。控制输入为电枢电压 ua,输出轴角位移
q或角速度 w 为输出，负载转矩 ML变化为主要扰动。求输
入与输出关系微分方程式。
（ 1） 不计电枢反应, 涡流效应和磁滞影响；当 If为常值
时, 磁场不变, 电机绕组温度在瞬变过程中不变 。
（ 2） 列写原始方程式 。 首先根据克希霍夫定律写出电
枢回路方程式如下：
d
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式中 La—— 电枢回路总电感 （ 亨 ） ；
Ra——电枢回路总电阻 （ 欧 ） ；
Ke—— 电势系数 （ 伏 /弧度 /秒 ） ；
w—— 电动机角速度 （ 弧度 /秒 ）, ；
ua—— 电枢电压 （ 伏 ） ；
ia —— 电枢电流 （ 安 )。
(2.9)
又根据刚体旋转定律, 可写运动方程式
式中 J—— 转动部分转动惯量 （ 公斤 ·米 2） ；
ML—— 电动机轴上负载转矩 （ 牛顿 ·米 ） ；
Md—— 电动机转矩 （ 牛顿 ·米 ） 。
（ 3） Md和 ia是中间变量 。 电动机转矩与电枢电流和气隙
磁通的乘积成正比, 磁通恒定, 有,
d
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(2.10)
(2.11)
式中 Km—— 电动机转矩系数（牛顿 ·米 /安）。
（ 4）将式 (2.11)代入式 (2.10)，并与式 (2.9)联立求解，
整理后得：
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式中 Tm ——机电时间常数,（秒）；
Ta ——电动机电枢回路时间常数，一般要比 Tm小，
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（秒）。
式 (2.13)是电枢电压控制的直流电动机微分方程式。
其输入为电枢电压 ua，输出为角速度 w，负载转矩 ML扰
动输入。 ML变化会使 w随之变化，对电动机的正常工
作产生影响。
若输出为电动机的转角 q,则按式 (2.13)有,
式 (2.14)是一个 3阶线性定常微分方程 。
32
32
d d d 1 d
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a m m a L
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T T T MT T T u M
t t t K J J t
q q q? ? ? ? ?（ 2.14）
二、非线性方程的线性化
几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。
但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性
关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，
就可以应用迭加原理。
研究非线性系统在某一工作点 （ 平衡点 ） 附近的
性能, （ 如图 2-10,x0为平衡点, 受到扰动后, x(t)
偏离 x 0,产生 Δx(t),Δx(t)的变化过程, 表征系统在 x0
附近的性能 ）, 可用下述的线性化方法得到的线性模
型代替非线性模型来描述系统：
图 2-10 小偏差过程
设磁场控制的直流电动机 。 电枢电压 ua为常值,
输出为 w, 控制输入为 uf 。 研究它的小偏差过程, 例
如控制输入 uf改变一个微量 Δuf引起的变化过程 。 以下
是如何求出电动机输出输入偏量的线性化微分方程式 。
（ 1） 对激磁电路有：
（ 2） 找出中间变量 j与其它变量的关系, 同时线性化 。
小偏差过程可用以下办法使之线性化 。
设在平衡点的邻域内, j 对 if的各阶导数 （ 直至 n+1）
是存在的, 它可展成泰勒级数：
2
2
0 0 0 0 12
d 1 d 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d 2 ! d ! d
n
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(2.38)
(2.39)
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式中 为余项,和 为原平衡点的磁链和激磁电
… 2002dd( ) ( )dd
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流，
0j 0fi
… 为原平衡点处的一阶, 二阶, … 导数,
Δif =if - if 0 (2.40)
为激磁电流的偏量 。
式 (2.39)右端第三项及其
以后的各项均可忽略不计,
式 (2.39)变为：
原平衡点是已知的, 故
00
d()
d ff ii
jjj? ? ? (2.41)
0
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j
可由电动机的饱和曲线求得，
如图 2-11。
图 2-11 的求取
'fL
0
d( ) '
d ff Li
j ???tan (2.42)
称为动态电感, 它为常值, 在不同平衡点有不同的值 。
因此式 (2.41)可写为：
0 ' ffLijj? ? ?
'fL
(2.43)或
0 ' ffLij j j? ? ? ? ?
在平衡点附近，经过线性化处理（忽略偏量的高
次项）后，激磁回路偏量间具有线性关系了。偏差
愈小，这个关系愈准确。
（ 3） 求以偏量表示的微分方程式, 即线性化方程式 。
将 uf = u f 0+Δu f, j =j0+L′fΔif,if = if 0+Δif 代入式
'
0 0 0
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df f f f f f fR i i L i u ut j? ? ? ? ? ? ? ?
(2.44)
在平衡点, 式 (2.38)成为：
0
00
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式 (2.44)与式 (2.45)相减, 得激磁回路偏量微分方程式：
' d
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?? ? ? ?
(2.46)
(2.38)，则得：
式 (2.46)通常可直接对式 (2.38)两边取增量求得，从而简
化推导过程。
若令, 它为激磁回路动态时间常数, 则有：' 'f
f
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' d 1
d
f
f f f
f
iT i u
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? ? ? ? ? (2.47)
式 (2.47)把原来非线性数学模型，转化成以偏量表示的
常系数线性数学模型。在线性化过程中，只考虑泰勒级
数中的一次偏量，故式 (2.47)又称为一次线性化方程式。
总结,要建立整个系统的线性化微分方程式, 首先确
定系统处于平衡状态时, 各元件的工作点；然后列出各
元件在工作点附近的偏量方程式, 消去中间变量；最后
得到整个系统以偏量表示的线性化方程式 。
