7 线性离散控制系统
7.1 引言 7.2 采样过程的数学描述
7.3 信号恢复 7.4 Z变换理论
7.5 采样系统的数学模型
7.6 离散控制系统分析
7.7 数字控制器的设计
7.8 Matlab在离散系统中应用
7,1 引言
7,1,1 直接数字控制系统 （ DDC—Direct
Digital Control）
Digital
Compute
Digital-to-
analog
converter
Actuator process
Analog-to-
digital
converter
Measurement
sensor
input
digital
图 7-1 直接数字控制系统 （ DDC）
7, 1, 2 计 算 机 监 督 控 制 系 统 （ SCC—
Surveillance Computer Control System）
Computer
Digital-to-
analog
Output
Analog-to-
digital
Input
Analogue
regulator
sensor process actuator
…… ……
图 7-2 计算机监督控制系统 （ SCC）
7.1.3 集散控制系统（ TDC—Total and
Distributed Control）
MIS
SCC SCC SCC
DDC DDCDDC DDC
process process
MIS
MIS
SCC
集中调度控制中心
子调度控制中心
……………………….
………
图 7-3 集散控制系统 （ TDC）
7.2 采样过程的数学描述
7.2.1 采样过程及其数学描述
7.2.2 采样定理
7.2.3 采样周期的选择
7.2.1 采样过程及其数学描述
在采样控制系统中将连续信号变为断
续信号的过程称为采样过程。实现这个采
样过程的装置称为采样装置, 如图 7-4所示。
载波器
脉冲调制器
e*（ t）
e*（ t）
e（ t）
e（ t）
? ? ? ???
???
??
k
kTtt ?? ?
图 7-4 采样开关
将断续信号用如下数学式子表示
对离散信号 e*（ t） 取拉氏变换，可得
e*(t)= ??
???
?
k
kTtte )()( ?
E*(s)=L[e*(t)]= L
??
?
??
? ???
? 0
)()(
k
kTtkTe ?
?
?
?
?
0
)(
k
k T sekte=
图 7-6 连续信号 e（ t） 与断
续信号 e*（ t）
(7-2)
(7-5)
例 7.1 设 e（ t） =1（ t）, 试求 e*（ t） 的拉氏
变换 。
解,由式 （ 7-5） 有
E*(s)=
=1 + e-TS + e-2TS + ……
=
?
?
?
?
0
)(
k
k T sekte
TSe ??1
1 1??TSe
观察分析式（ 7-2），我们可以看出 )
是周期函数，因此，可将其展开成富里哀级
数
?
?
?
?
0
(
k
ktt?
? ?
?
???
?
???
??
k k
tjk
k
seCkTt ?? )( (7-6)
式中 称为系统的采样频率。
Ts
?? 2?
?? ?2
2
)(1
T
T
tjk
T
set
T
?? ?
?
? ?
0
0
1)(1
TdttT ?
= (7-7)Ck=
将上述式子代入式 （ 7-2）, 有
??
???
?
k
tjk sete
Tte
?)(1)(*
(7-8)
对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位
移定理，我们得到 E*（ s）
E*(s)=
?
?
???
?
k
sjksET )(
1 ? (7-9)
式 （ 7-9） 在描述采样过程的复频域特征是
极其重要的 。 假定连续信号 e（ t） 的频谱
是单一的连续频谱, 如图 7-7所示 。
max?
max?
max?
-
max?
-
E(j ) ?
?
?
0
0
2
s?
2
s?- s
?
s?
-
)(* ?jE
T
1
(a) 连续信号 e（ t） 的频
谱
(b)离散信号 e*（ t） 的频谱（ ＞ 2 ）s? max?
7.2.2 采样定理
为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连
续信号，采样频率必须大于等于原连续信号
所含最高频率的两倍，即
m a x2 ?? ?s
m a x2
2
?
?
?
或 T
(7-10)
(7-11)
理想滤波器 的 滤波特性为
?)( ?jG
1
0
2/s?? ?
2/s?? ?
(7-12)
其频率特性如图 7-8
)( ?jG
?
2
s?
2
s?-
图 7-8 理想滤波器的频率特性
7.2.3 采样周期的选择
工程实践表明，根据表 7-1给出的参考数据
选择采样周期 T,可以取得满意的控制效果。
采样周期 T（ 秒 ）
1
5
5
20
20
控制过程
流量
压力
液位
温度
成分
表 7-1 工业过程 T的选择
从时域性能指标来看,随动系统的采样角频
率可近似取为
c?? 10s ?
(7-13)
由于 T＝ 2, 所以采样周期可按下式选
取,s
??
c
T
?
? 1
5
??
(7-14)
采样周期 T可通过单位接跃响应的上升时间 tr
或调节时间 ts按下列经验公式选取：
rtT 10
1?
或者
stT 40
1?
(7-15)
(7-16)
7.3 信号恢复
7.3.1 零阶保持器
7.3.2 一阶保持器
无畸变地重现原连续信号的理想滤波器应该
具有频率特性（ 如图 7-8所示 ）
?)( ?jG
1
0
2/s?? ?
2/s?? ?
经过采样 ——理想滤波后，脉冲序列的频谱
为
)(1)()(1)(* ???? jXTjXjGTjX ?? (7-18)
7.3.1 零阶保持器
零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采
样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）
到下一采样时刻。如图 7-11所示，零阶保持
器的输出为阶梯信号。
Xh(t)
Gh（ s）
x*(t)x(t)
K
a)
采样开关 保持器
由于, （ k=0,1,2,… ） 所以保持
器的输出 与连续输入信号 之间的关
系式为
)()( kTxkTx h ?
)(txh )(tx
? ???
?
?????
0
)(1)(1)()(
k
h TkTtkTtkTxtx
(7-19)
的拉式变换则为
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ??
0
1)()(
k
Ts
k T s
h s
eekTxsX (7-20)
上式与式 （ 7-5） 比较后, 知道零阶保持器
的传递函数为
s
esG Ts
h
??
? 1)(
(7-21)
b)
图 7-11 应用零阶保持器恢复信号
零阶保持器的频率特性为
2
22
2
2
2
s i n
2
2
1
)(
T
j
T
j
T
jT
jTj
h eT
T
T
j
ee
e
T
T
j
e
jG
?
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
(7-22)
其幅频特性和相频特性如图 7-12所示 。
)( ?jGh?
?32
S? S? S??-
?-2
?-3
)( ?jG h
图 7-12 零阶保持器的频率特性
7.3.2 一阶保持器
一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实
行外推, 它的外推输出式中 t`为 kT到 （ k＋ 1
） T之间的时间变量 。 如图 7-13所示 。
'' ])1[()()()( t
T
TkxkTxkTxtkTx ????? (7-23)
)(txh
)(tx)(tx
0 t 2t 3t …,.
图 7-13应用一阶保持器恢复信号
一阶保持器的脉冲响应函数应该如图 7-14所
示的那样 。
h(t)
tT-T
1
0
-1
① 单位阶跃
② 单位斜坡
③ 2× 单位阶跃
④ 2× 单位阶跃
⑤ 单位阶跃
⑥ 单位斜坡
a） 一阶保持器的脉冲响应函数 b） 脉冲响应函数的分解
图 7-14
按图 7-14b,根据一阶保持器脉冲响应函数
的分解, 可得保持器的传递函数
TSTsTsTs
h eTseseTsesTsssG
2
2
2
22
112211)( ???? ?????? (7-24)
或
2)1)(1()(
Ts
eTTsG Ts
sh
??
??
(7-25)
一阶保持器的频率特性为
)(222 )
2
2
s i n
()(1)
1
)(1()( Tj
Tj
h eT
T
TT
Tj
e
TjTjG ??
?
?
?
?
?
?? ?
?
??
?
??
(7-26)
式中
＝ tg-1 T? ? (7-27)
图 7-15就是按上式画得的幅频特性 。 虚线
为零阶保持器的频率特性 。
?
)( ?jGh?
S? S?
2
S?
3-
?
?-2
)( ?jG h 图 7-15 一阶保持器的频率特性 （ 虚线为
零阶保持器的频率特性 ）
7,4 Z变换理论
7.4.1 Z变换
7.4.2 Z变换的性质
7.4.3 Z反变换
7.4.1 Z变换
由式 （ 7-5） 可知, 断续函数 x*（ t） 的拉氏
变换为
X*（ S） = X(kT)e-kTS??
?0k
(7-28)
若令
eTS = Z (7-29)
则将在 S域分析的问题变成 Z域的分析问题 。
X ( Z ) = X(kT)Z-k??
?0k
(7-30)
X（ Z） 称为 X*（ t） 的 z变换, 记为 z ? ?)(* tX
z = X(Z) = X(kT)Z-k? ?)(* tX ??
?0k
(7-31)
在 Z变换中, X（ Z） 为采样脉冲序列的 Z变
换, 即只考虑采样时刻的信号值 。 由于在采
样时刻, X（ t） 的值就是 X（ kT）,所以从这
个意义上说, X（ Z） 既是 X*（ t） 的 Z变换
,也可以写为 X(t)的 Z变换, 即
Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k? ?)(* tX ? ?)(tX ??
?0k (7-32)
例：已知函数 x1( t )=1( t ),x2( t )= δ(t-kT),
求它们的 Z变换表达式 。 ?
?
?0k
解,X1（ Z） = 1（ kT） Z-k??
?0k
= 1 + Z-1 + Z-2 + …
= =
11
1
?? Z 1?Z
Z
X2（ Z） = δ（ t-kT） Z-k =??
?0k
??
?0k 1?Z
Z
对于较复杂的函数求 Z变换表达式时, 可以
用如下公式法
已知 G(s),若 si为 G(s)的极点, 则
??
?
?
??
?
?? ? ?i isT sez
sGszG,
1
)(Re)(
1
a
azG ?? )(
=
式中
)(lim)(lim zGssGa
zs
?
????
??
例：已知 G( s )=,求 G(Z)。
)(
)1(
ass
ea TS
?
? ?
解,= Res?
i ?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
?
as
eZass
ea
iST
TS
,0,
)1)((
)1(
1
aT
aT
eZ
e
???
?
11
1=
??slim ??Zlim
)(ZG?=?
)(ZG?
G( s ) - = 0－ (eaT－ 1) = 1－ eaT
G(Z) = + =)(ZG? ?
aT
aT
eZ
e
?
?
?
?1
7.4.2 Z变换的性质
(1)线性定理
式中 a1,a2,··为常数 。
(2) 实平移定理
z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + ···? ???? )()(
2211 txatxa
(7-33)
z = Zm? ?)( mTtx ?
??
?
??
? ? ??
?
?
1
0
)()(
m
k
kZkTxZX
(7-34)
z = Z-m X(Z)? ?)( mTtx ? (7-35)
证明,z =? ?)( mTtx ? ??
?
??
0
)(
k
kZmTkTx
= Zm
= Zm
? ??
?
?
???
0
)()(
k
mkZTmkX
??
?
??
? ? ??
?
?
1
0
)()(
m
k
kZkTxZX
又 z = =? ?)( mTtx ? ??
?
??
0
)(
k
kZmTkTx
= Z-m ? ???
?
???
0
)()(
k
mkZTmkX
前面假定 k<0时 X(kT)=0 。
z = Z-m X(Z)? ? ?)( mTtx ?
例：已知 x( t )= t2,求 X(Z)。
解,x( t )= t2,x(0)=0。
设 x(t+T)= （ t+T） 2= t2 + 2Tt + T2
x(t+T)－ x(T) = T (2t + T)
对上式两边取 Z变换
Z = z
= T2Z
? ?)()( txTtx ?? ? ?22 TTt ?
由实位移定理有
Z （ z-1） x(z) ? ? ??? )()( txTtx
?
3
2
)1(
)1()(
?
??
Z
ZZTzx
(3)复平移定理
z? ? )()( zextxe Tt ?? ??? (7-36)
例 已知,求 X（ Z）
解 z
z
tetx t ?? s in)( ??
? ? 1c o s2 s ins in 2 ??? TZZ TZt ???
? ?
1c o s2
s i ns i n
22 ???
?
Tzeze
Tzete
TT
T
t
?
??
??
?
?
(4)复域微分定理
? ? dZ zdXTZttx )()( ??Z (7-37)
例 已知 x(t)=t3,求 X(Z)
解 zt2=
zt3=-TZ
3
2
)1(
)1(
?
?
z
ZZT
4
23
3
2
)1(
)14(
)1(
)1(
?
???
?
?
z
ZZZT
z
ZZT
dZ
d?
(5)初值定理
)(lim)0( ZXx z ???
(7-38)
证明：由 Z变换的定义有
..,.,,)1()0()()( 1
0
???? ?
?
?
?? ZxxZkxZX
k
k
?
)(lim)0( Zxx
z ??
?
(6) 终值定理
)()1(lim)( 1 ZXZx z ??? ?
(7-39)
证明, 由 Z变换的定义有
?
?
?
??
0
)()(
k
kZkTXZX
由实位移定理有
Z Z[x(Z)-x(0)]? ? ?? )( TkTx
上二式相减有
? ? k
k
ZkTxTkTxZxZxZ ?
?
?
? ?????
0
)()()0()()1(
?? )0()()1(lim 1 ZXZXZZ ???? )0()( xx ?=
)()1(lim)( 1 ZXZx z ??? ??
例 已知 求的 Z变换1)( ?? kkakx
解 z
由实位移定理有
z
由微分定理有
z =
?
?
? ?
??
0k
kkk
az
zzaa
aZa
k
??
? 11
1?kka
2)(
1
az
z
azdz
dz
?
???
7.4.3 Z反变换
(1)幂级数法
通常 Z变换表达式有如下形式：
01
1
1
01
1
1
.,,,,,
.,,,,,)(
azazaza
bzbzbzbZX
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?(7-40)
实际的物理系统满足 n,则用综合除法有
X(Z)=
?
?
?
?? ???
0
1
10,.,,.,
k
k
n zczcc
(7-41)
由 Z变换的定义式可知
则
nCkTx ?)(
?
?
?
??
0
)()(*
k
n kTtctx ?
即为 x(z)的原函数
例 求
)()( kXaz zzX 的原函数??
解 X(z)=
......1 33221 ?????? ??? zazaazaz z
?
?
?
??
0
)(
k
kk za=
kakX )()( ???
（ 2） 部分分式法
部分分式法又称查表法 。 它的基本思想是
将 X（ Z） /Z展开成部分分式,
?
? ?
?
n
i iZZ
Ai
Z
ZX
1
)( (7-42)
然后, 查 Z变换表, 即可求取 X（ Z） 的原
函数 x(kT)
例 已知 求 X(kT)
解,))(1(
)1()(
aT
aT
eZZ
ZeZX
?
?
??
??
Z
ZX )(
))(1(
1
aT
aT
eZZ
e
?
?
??
?=
1
1
?Z=
-
aTeZ ??
1
X(Z)= －
1?Z
Z
aTeZ
Z
??
?
查 Z变换表有 x(kT)=1－ e-akT
x*( t )= (1－ e-akT)δ(t-kT)??
?0k
?
（ 3） 留数法
由 Z变换的定义式有
X(Z)= X(kT)Z-k
= x(0) + x(T)Z-1 + x(2T)Z-2 + …
??
?0k
(7-43)
上式两端乘以 Zk-1有
X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-
2
+ … + x(kT)Z-1 + …
(7-44)
上式为罗朗级数, x（ kT） 是 Z-1项的系数, 根
据复变函数中求罗朗级数系数的公式, 得
x(kT) =
j?2
1 ? ? dzZZX k 1)(
在此, 积分路径包围 X（ Z） Zk-1 的所有极
点 。 根据留数定理, 则上式可写成：
x(kT) = Res? ? ?
1)( ?kZZX
(7-45)
(7-46)
式中 Res[·]表示函数的留数 。
7.5 采样系统的数学模型
7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程
7.5.2 脉冲传递函数
7.5.1 描述离散控制系统的线
性差分方程
线性定常离散系统可以用后向差分方程来
描述
y(k) + a1y(k-1) + …… + any(k-n) =
b0r(k) + b1r(k-1) + …… + r(k-m) (7-47)
也可用前向差分方程来描述线性定常离散
控制系统
y(k+n) + a1y(k+n-1) + …… + an-1y(k+1) +
any(k)
= b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + …… + bm-1r(k+1)
+ bmr(k)
(7-48)
求解差分方程常用的有迭代法和 Z变换法 。
（ 1） 迭代法
若已知线性定常离散控制系统的差分方
程式 （ 7-47） 或式 （ 7-48）, 并且给定输出
序列初值, 则可以利用递推关系, 在计算机
上一步一步计算出输出序列 。
（ 2） Z变换法
若已知线性定常离散控制系统的差分方程描
述, 则根据 Z变换的实位移定理, 对差分方程
两边取 Z变换, 再根据初始条件及给定输入控
制信号的 Z变换表达式, 可求取离散控制系统
输出的 Z变换表达式, 再求输出 Z变换的 Z反
变换表达式, 即可求取离散控制系统输出的
实域表达式 Y(K)。
例：已知离散系统的差分方程为
? ? KTKTYTKY 5)(2)1( ???
Y(0) = -1,求差分方程的解 。
解：对差分方程取 Z变换, 得
? ? 2
)1(
5)(2)0()(
?
???
Z
TZZYYZYZ
)2()1(
5)(
2 ??? ZZ
TZZY
2?Z
Z-
又
)1(9
1
)1(3
1
)2(9
1
)1)(2(
1
22 ???????? ZZZZZ
21)1(
3
29
5)(
2 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZTZY?
查 Z变换表, 有
? ? KK KTKTY )2(13)2(95)( ??????
)(13)2)(
5
91(
9
5)(*
0
kTtk
T
Tty
k
k ?
??
?
??
? ????? ??
?
?
7.5.2 脉冲传递函数
1,开环脉冲传递函数
一离散开环控制系统如图 7-17所示 。
G(s)r*( t )r ( t )
y*( t )
y ( t )
图 7-17 开环离散控制系统
脉冲传递函数定义为在零初始条件下, 输出
Y*(t)的 Z变换 Y(Z)与输入 r*(t)的 Z变换 R(Z)
之比 。 脉冲传递函数用 G(Z)表示, 则
)(
)()(
ZR
ZYZG ? (7-49)
假定动态环节的单位脉冲过渡函数为 h(t)。
该环节的输入为 r*(t)
?
?
?
??
0
)()()(*
n
nTtnTrtr ?
(7-50)
利用线性环节满足叠加原理, 无穷多个脉冲
作用在线性环节 G(s)上, 其输出 Y(t)为
y(t)=r(0)h(t) + r(T)h(t –T) +…,+r(nT)h(t
–nT) +… (7-51)
将输出信号离散化, 得到
y(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h[(k-
1)T]+… +r(nT)h[(k-n)T] + …
= r(nT)h[(k-n)T]? (7-52)
上式两边用乘以 e－ KTS,并求和, 得到
? ? ?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
K T S
K
K
K T S
k
K T S
eTnKhnTr
eKThreKTY
0
00
)()(
)()0()(
(7-53)
考虑到前面的给定, 当 t ＜ 0 时, h ( t )=0,
于是有
? ?
? ?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?????
?????
0
0
)()(
)()()0()(
)0()()()()1()(
K
K T STS
K T STSTS
TSK T S
k
eKTheTr
eKTheThheTr
ehTrThTreTKhTr
??
?
(7-54)
同理有：
? ? ?? ?
?
???
?
?
??
00
)()()()(
K
K T Sn T SK T S
K
eKThenTreTnKhnTr
(7-55)
所以
? ??? ?
?
???
?
?
???
00
)()()0()(
K
K T Sn T SK T S
K
eKThenTrreKTY ?
(7-56)
采样周期与所用时间变量文字描述无关, 则
上式可改写为
???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
000
)()()(
K
K T S
K
K T S
K
K T S eKTheKTreKTY
(7-57)
即
)(*)(*)(* sGsRsY ?? (7-58)
??
?
??
0
)()(*
K
KTSeKThsG
式中 (7-59)
若令式中 Z = eTS,则可知
)()()( ZGZRZY ?
又因 G ( s ) = ?h ( t )
(7-60)
G (Z) = zG ( s )? (7-61)
例 已知开环离散控制系统如图
)10(
10
?ss
r*( t ) r ( t )
y*( t )
y ( t )
图 7-18 开环离散控制系统
求脉冲传递函数。
解 由式 （ 7-61） 可知
?)(ZG ?
?
?
??
?
? )10(
10
ss ??
?
??
?
?
?
10
11
ss
z =z
2,串联环节的脉冲传递函数
1） 两个串联环节间没有采样开关的连接
G1(s) G2(s)
r*(t)
r ( t )
Y*(t)
Y(t)
图 7-19 串连环节间没有采样开关
))(1(
)1(
1 10
10
10 T
T
T eZZ
Ze
eZ
Z
Z
Z
?
?
? ??
??
?
?
?
=
等价于下图
G1(s)G2(s)
r*(t)
r ( t )
Y*(t)
Y(t)
图 7-20 等价开环离散系统有
?? )( )()( ZR ZYZG ? ?)()( 21 sGsG
z (7-62)
将 z 记为 G1G2(Z)? ?)()( 21 sGsG
?)(21 ZGG ? ?)()( 21 sGsGz
(7-63)
2,串连环节间有采样开关连接, 且采样开
关都是同步采样, 如图
G1(s) G2(s)
r*(t)r ( t )
Y*(t)
Y(t)
Y1*(t)
图 7-21 串连环节间有采样开关
??
)(
)()( 1
1 ZR
ZYZG ? ?)(
1 SG
z
?? )(
)(
)(
1
2 ZY
ZY
ZG ? ?)(2 SGz
所以
)()(
)(
)()(
21 ZGZGZR
ZYZG ??? (7-64)
3,带零阶保持器的开环系统的脉冲传递
函 数
G1(s)
s
e TS??1
r*(t)
r ( t )
Y*(t)
Y(t)
图 7-22 带零阶保持器开环离散系统
由脉冲传递函数的定义有
G(Z) =z
?
?
?
?
?
? ? ? )(1
1 sGs
e TS
= z
??
?
??
? ? ? )()(1
11 sGs
esG
s
TS (7-66)
)()1()( 11 ZGZZG ???
即
(7-69)
4,闭环离散控制系统的脉冲传递函数
G1(s) G2(s)
H(s)
r(t) e(t) e*(t)
d(t)
b(t)
Y*(t)
Y(t)-
++
图 7-23 带干扰的闭环线性离散控制系统
假定 d(t)=0,得到如图 7-24所示的结构图
G1(s) G2(s)
H(s)
r(t) e*(t)
Y*(t)
Y(t)
图 7-24 线性闭环离散控制系统
根据脉冲传递函数的定义可知
)()()( 21 ZEZGGZY ?
(7-70)
)()()( ZBZRZE ??
(7-71)
)()()( 21 ZEZHGGZB ? (7-72)
将 （ 7-72） 代入 （ 7-71）, 有
)()()()( 21 ZEZHGGZRZE ??? (7-73)
)(
)(1
1)(
21
ZR
ZHGG
ZE
?
?
于是得到：
(7-74)
定义误差脉冲传递函数 Ge(Z)为
)(1
1
)(
)()(
21 ZHGGZR
ZEZG
e ???
(7-75)
将式 （ 7-75） 代入式 （ 7-70）, 有
)(
)(1
)()(
21
21 ZR
ZHGG
ZGGZY
?
?
(7-76)
于是得到闭环系统的脉冲传递函数 GB(Z)为
)(1
)(
)(
)()(
21
21
ZHGG
ZGG
ZR
ZYZG
B ???
(7-77)
假定输入 r(t)=0,得到按扰动输入的等价的离
散控制系统的结构图, 如图 7-25。
G2(s)
G1(s) H(s)
r(t)=0e*(t)
Y*(t)
-
Y(t)d(t) +
+
图 7-25 扰动输入的离散控制系统
)()()()()( 212 ZEZGGZDZGZY ?? (7-78)
)()()()()( 212 ZEZHGGZDZHGZE ????
所以, 有
(7-79)
)(
)(1
)()(
21
2 ZD
ZHGG
ZHGZE ?
?
??
(7-80)
将式 （ 7-80） 代入式 （ 7-78）,有
)(
)(1
)()()()()(
21
221
2 ZDZHGG
ZHGZGGZDzGZY
?
????
(7-81)
)(1
)()()(
)(
)()(
21
221
2 ZHGG
ZHGZGGZG
ZD
ZYZG
D ?
?????
(7-82)
例 已知采样系统结构如图 7-26所示：
G(s)
H(s)
r(t)
b*(t)
Y*(t)
Y(t)
－
图 7-26离散控制系统
由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式
,可列写出如下式子
)()()()( ZBZGZGRZY ??
)()()()( ZBZGHZG H RZB ??所以,
)(1
)()(
ZGH
ZG H RZB
??
将 B(Z)代入 Y(Z)中, 有
)(1
)()()()(
ZGH
ZG H RZGZGRZY
?
??
7.6 离散控制系统分析
7.6.1 线性离散控制系统的稳定性分析
7.6.2 离散控制系统的瞬态响应
7.6.3 离散控制系统的稳态误差
7.6.1 线性离散控制系统的稳定
性分析
线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数, 如
图 7-30所示,
G（ s）r(t)
y* (t)
y (t)_
图 7-30 线性离散控制系统
可求得为：
GB（ Z） =
)(1
)(
ZG
ZG
?
(7-83)
则线性离散控制系统的特征方程为
1+G(Z)=0 (7-84)
考察下式
Z = eTs (7-85)
假定在 s平面上任有一点
s=δ +jω (7-86)
则通过 Z变换, 映射到 Z平面为
Z= eδT,ej ωT (7-87)
当 δ =0,即 s平面的虚轴, 对应 Z平面
的单位圆 。
当 δ <0,.即左半 s平面对应 Z平面的单
位圆
内部区域, 即 s平面的稳定域映射到 Z平面
单位圆内的区域为稳定区域 。
当 δ >0,.即右半 s平面对应 Z平面的单
位圆外部区域, 也即 s平面不稳定域映射到
Z平面单位圆外的部分为不稳定域 。 上面
映射关系如图 7-31所示 。
线性离散控制系统稳定的充分必要条件
是,线性离散闭环控制系统特征方程 （ 7-
84） 的根的模小于 1,则线性离散控制系
统是稳定的 。
Re Re
Im Im
图 7-31 s平面到 Z平面映射
例 已知离散控制系统结构如下图所示, 采
样周期 T=1秒, 分析系统的稳定性 。
)1(
10
?ss
r (t)
y* (t)
y (t)
图 7-32 离散控制系统
解：
G (Z)=Z [ ] =
)1(
10
?ss )368.0)(1(
32.6
?? zz
z
闭环特征方程
1+G(Z)=0
Z2+4.952Z+0.368=0
Z1=-0.076 Z2=-4.876
系统特征方程的根有一个在单位圆外, 因
此, 该离散系统不稳定 。
在离散系统中, 引进双线性映射 。
令 Z=
1
1
?
?
w
w (7-88)
或 W=
1
1
?
?
z
z (7-89)
其中 Z和 W可写为
Z=x+jy
W=u+jv
(7-90)
(7-91)
将式 （ 7-90） 代入式 （ 7-89）, 有
W= u+jv = =
1
1
??
??
jyx
jyx
1
1
??
??
jyx
jyx
= - j
22
22
)1(
1)(
yx
yx
??
??
22)1(
2
yx
y
??
(7-92)
于是, 当 x2 +y2=1 即对应 Z平面上的单位
圆
u=0 即 W平面上的虚轴
当 x2 +y2<1 即 Z平面上单位圆内的
部分, 也即稳定域
u<0 即左半 W平面为稳定域
当 x2 +y2>1 即 Z平面上单位圆内外的部
分, 也即不稳定域
u>0 即右半 W平面对应不稳定
域 。 上面映射关系如图 7-33所示 。
Re Re
Im Im
图 7-33 Z平面到 W平面的映射
7.6.2 离散控制系统的瞬态响
应
1,闭环零极点与瞬态响应的关系
通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数
可表示为如下形式
GB(Z)=K =K
)(
)(
zQ
zP
?
?
?
?
?
?
n
k
k
i
m
i
Pz
zz
1
1
)(
)(
(7-93)
当系统输入为单位阶跃时, 其系统输出
Y（ Z） 为
Y(Z)=K,
?
?
?
?
?
?
n
k
k
i
m
i
Pz
zz
1
1
)(
)(
1?z
z
(7-94)
展开成部分分式, 有
Y(Z)=K, +
)1(
)1(
Q
P
1?z
z ?
? ?
n
k k
k
Pz
zC
1
(7-95)
(7-96)
式中
Ck= K
)()1(
)(
.
kk
k
pQP
PP
?
闭环极点对系统瞬态响应的影响
1) Pk为正实根, 对应的瞬态分量
Yk(nt)= Z–1[ ]=CkPkn
k
k
Pz
zC
?
令 Pk=eaT,a= lnPk 则
T
1
yk(nT) = Cke anT (7-97)
若 Pk=1,即闭环极点位于右半 Z平面上
圆周上, 闭环系统瞬态响应 Yk（ nT） 为等
幅脉冲, 对应图 7-39中 a点对应波形 。
若 Pk<1,则闭环极点位于单位圆内, 此
时 a <0,则输出响应 Yk（ nT） 呈指数衰减状
,如图 7-39中 b点对应波形 。
若 Pk>1,闭环极点位于单位圆外, 此时
a >0,则输出响应 Yk（ nT） 呈指数 z增加状,
如图 7-39中 c点对应波形 。
图 7-39 闭环实极点分布与相应瞬态响应
Im
Re
[Z]
f
f
d
d
a
a
c
cb
b
e
e
2) 当 Pk为负实根, 则对应的瞬态分量为
yk(nT) = CkPkn (7-98)
若 Pk= -1,输出响应分量 Yk（ nT） 对应
图 7-39中 d点波形, 呈等幅跳跃输出 。
若 |Pk|<1,输出响应分量 Yk（ nT） 对应
图 7-39中 e点波形 。
若 |Pk|>1,输出响应分量 Yk（ nT） 对应
图 7-39中 d点波形, 呈发散跳跃变化 。
3) 当 Pk,Pk+1为一对共轭复根时,为
Pk= Pk+1=
kj
k eP
? kj
k eP
??
(7-99)
此时,Ck,Ck+1也为一对共轭复数,
Ck= Ck+1=
kj
k eP
? kj
k eP
??
(7-100)
则它们对应的瞬态分量 Yk,k+1（ nT） 为
yk,k+1(nT)= +
= 2
)( kknjn
kk ePC
?? ?
)( kknjn
kk ePC
?? ??
)c o s ( kknkk nPC ?? ?
(7-101)
若 |Pk|<1,则对应的瞬态响应分量为振
幅衰减的正弦振荡, 对应图 7-40中 a点对应
的波形 。
若 |Pk|>1,则对应的瞬态响应分量为发散
正弦振荡, 对应图 7-40中 b点对应的波形 。
Im
Re
xb
xb’
xa
xa’
图 7-39 闭环实极点分布与相应瞬态响应
令式 （ 7-101） 中 θk为
θk=ωT (7-102)
所以
k
T
?
? ?
为系统对应瞬态分量的震荡频率, 其振荡
周期
k
d
T
T
?
?
?
? 22
??
(7-103)
(7-104)
设一个震荡周期中所包含的脉冲个数为 n，
采样周期为 T,则
nT=Td=
k
T
?
?2 (7-105)
所以
n=
k?
?2 (7-106)
2,有限时间响应系统
当闭环脉冲传递函数所有极点都分布
在原点时, 此时的系统具有一个很特别的
响应, 即在有限时间结束过渡过程, 达到
稳态, 此时的闭环脉冲传递函数具有如下
形式
Gb(Z) =
n
za
bzbzbzb
n
n
n
n
n 01
1
1,.,????
?
?
(7-107)
= + +… +
n
n
a
b 11 ?? z
a
b
n
n
n
n
z
a
b ?0
其单位脉冲响应
h*(t)= + +… +
)(t
a
b
n
n ? )(t
a
b
n
n ?
-1
)(0 nTtab
n
??
(7-108)
即在单位脉冲作用下, 该系统的瞬态响应
能在 nT内结束, 即 n拍可结束过渡过程,这
个特点是连续系统所不具备的 。
7.6.3 离散控制系统的稳态误
差
对于如图 7-42所示的单位反馈的闭环离
散系统的误差脉冲传递函数 Ge（ Z） 为
G（ s）r(t) y (t)e*(t)
-
Ge(Z )=
)(1
1
zG?
(7-109)
所以 E(Z )= R(Z)
)(1
1
zG?
由终值定理, 有
)(1
)()1(lim)(
1 zG
zRze
z ?
???
?
(7-110)
(7-111)
与连续系统类似, 根据系统开环脉冲传递函
数在 Z=1的极点的个数而分为 0型, 1型, 2型
…… 系统 。
1) 单位阶跃输入时
)1(1
1
1
.
)(1
)()1(lim)(
1 Gz
z
zG
zRze
z ?
?
??
???
?
(7-112)
定义 Kp=1+G(1)
0型系统
pK
e 1)( ??
(7-113)
1型以上系统
??pK 0)( ??e
(7-114)
2) 单位斜坡输入
21 )1(.)(1
1)1(lim)(
??
???
? z
Tz
zG
ze
z
(7-115)
]
)](1)[1(
1[lim
1 zGz
T
z ??
?
?
定义速度误差系数 Kv为
)()1(lim1
1
ZGz
T
K
zv
??
?
(7-116)
0型系统,Kv=0 ??? )(e (7-117)
1型系统,令
1
)()( 1
?? z
zGZG
式中 G1（ Z） 没有 Z=1的极点, 所以
Kv= )1(1
1GT
vK
e 1)( ?? (7-118)
2型以上系统
??vK 0)( ??e
(7-119)
3) 抛物线输入
r(t) =
2
2t
此时稳态误差
3
2
1 )1(2
)1(
)(1
1)1(lim)(
?
?
?
???
? z
zzT
zG
ze
z
)()1(
1lim
21
2
zGz
T
z ??
=
(7-120)
(7-121)
定义加速度误差系数 Ka为
)()1(lim1 2
12
ZGz
T
K
za
??
?
0型, 1型系统 Ka= 0 ??? )(e
2型系统：令 G(Z)=
2
1
)1(
)(
?z
ZG
vK
e 1)( ??
(7-122)
(7-123)
(7-124)
(7-125)
式中 G1（ Z） 没有 Z=1的极点, 则
Ka=
)1(1 12 GT
aK
e 1)( ??
3型以上系统 Ka= ? 0)( ??e
(7-126)
(7-127)
例 已知离散系统的结构如图 7-43所示, 采样
周期 T=0.1秒, 求系统单位阶跃和单位斜坡
输入时的稳态误差 。
)11.0(
2
?ssr (t)
y (t)
-
图 7-43离散系统的稳态误差
解, G(Z)= Z [ ]
)11.0(
2
?ss )368.0)(1(
264.1
??? zz
z
由于该系统开环脉冲传递函数在 Z=1处
有一个极点, 因此为 1型系统, 当系统输入
为单位阶跃时, 其稳态误差为零 。
当系统输入为单位斜坡时, 可求出 Kv
Kv=
)1(1 1GT 0632.0
264.1
)368.0(
264.1
1.0
1
1
?
?
?
?zz
z
所以, 系统的稳态误差 为)(?e
=0.05
vK
e
1
)( ??
7.7 数字控制器的设计
7.7.1 无稳态误差最少拍系统的
7.7.2 G(z)具有单位圆上和单位圆外零极
点的情况，数字控制器的设计
7.7.3 无纹波无稳态误差最少拍系统的设
计
D(z) G(z)
7.7.1 无稳态误差最少拍系统的
设计
R(t) Y(t)
-
图 7-44 数字控制系统结构
对于如图 7-44所示的系统, 闭环脉冲传递函
数可求得为
G B(z) =
)()(1
)()(
zGzD
zGzD
?
(7-128)
D(z)=
)](1)[(
)(
zGzG
zG
B
B
? (7-129)
设计出的数字控制器 D(z),还必须满足
物理可实现条件：数字控制器 D(z)分子多项
式的阶次不得大于分母多项式的阶次； D(z)
没有单位圆上 （ 除有一个 z=1的极点外 ） 和
单位圆外的极点 。
设给定系统输入为 r(t)= t p (7-130)
则其 z变换表达式为
R(t)=
rz
zA
)1(
)(
1
1
??
? (7-131)
式中 r=p+1,且 A(z -1)为 z -1的多项式, 没有
z=1的零点 。
系统误差脉冲传递函数 Ge(z)与闭环脉冲传
递函数 GB(z)存在以下关系,
Ge(z)=1 - GB(z) (7-132)
E(z)=[1 - GB(z) ]R(z) (7-133)
根据终值定理
e (∞)= (1-z –1) [1 - GB(z) ]
1lim?z rz
zA
)1(
)(
1
1
??
? (7-134)
为使系统的稳态误差为零, 可令
1 - GB(z) =(1-z –1)r F(z –1) (7-135)
式中 F(z –1)在 z=1处无零点
GB(z) =1 - (1-z –1)r F(z –1)
= =
r
rr
z
zFzz )()1( 1???
r
B
z
P )( (7-136)
1） 阶跃输入
此时 p=0,r=1为保证系统为无稳态误
差的最少拍系统, 可令
GB(z) = z –1 (7-137)
则 Ge(z)=1 - GB(z) =1- z –1
于是, 可求数字控制器 D(z)
(7-138)
D(z)=
)()1(
1
zGz ?
(7-139)
按上式选择 D(z),可使系统为无稳态误
差的最少拍响应系统, 在一拍内可结束过
渡过程, 达到稳态 。
2） 斜坡输入
此时, p=1,r=2为使系统为无稳态误
差的最少拍系统, 可选取
Ge(z) =(1- z –1 )2 (7-140)
则 G
B(z) =2z –1 - z –2 =
2
12
z
z ?
于是, 可求得数字控制器
21
21
)1)((
2)(
?
??
?
??
zzG
zzzD
(7-141)
(7-142)
3） 抛物线输入
此时 p=2,r=3为保证系统为无稳态误
差的最少拍系统, 可造
Ge(z)= (1- z –1 )3
则 G
B(z)= 3z –1 -3 z –2+z –3
于是, 可求 D(Z)
D(z)=
31
321
)1)((
33
?
???
?
??
zzG
zzz
(7-143)
(7-144)
(7-145)
图 7-45绘制的曲线分别是单位阶跃, 单
位斜坡, 抛物线输入时, 其输出响应为无稳
态误差的最少拍系统 。
y*(t)
T
2T 3T
t
y*(t) y*(t)
t t
T 2T 3T T 2T 3T
a 单位阶跃输入 b 斜坡输入 c 抛物线输入
图 7-45 无稳态误差最少拍响应
11
1
?? z 1?z )1)(( 1
1
?
?
? zzG
z
21
1
)1( ?
?
? z
Tz
212 ?? ? zz 22
11
)1)((
)2(
?
??
?
?
zzG
zz
31
112
)1(
)1(
?
??
?
?
z
zzT
321 33 ??? ?? zzz
31
321
)1)((
33
?
???
?
??
zzG
zzz
典型输入 闭环脉冲传递
函数
数字控制器 D(z) 最少拍
（ T）
1(t)
1T
t 2T
t2 3T
表 7无稳态误差最少拍系统设计结果
例 已知离散控制系统结构如图 7-46所示 。
采样周期 T=1秒 。 设计一数字控制器 D(Z)使
系统对单位斜坡输入为无稳态误差的最少拍
响应系统 。 并绘制 r(t)、,, x(t)、
)(*1 te )(*2 te )(* ty
)(zD se Ts??1 )1(10?ss
r(t)
)(*1 te )(*2 te x(t)
y*(t)
y(t)
图 7-46最少拍响应系统
解：求开环脉冲传递函数 G(Z)
G(z)=
=
]
)1(
10[1
2 ?
?
ss
Z
z
z
)3 6 8.01)(1(
)7 1 8.01(68.3
11
11
??
??
??
?
zz
zz
选取 GB(z), GB(z) =2z –1 - z –2
则, Ge(z) =(1- z –1 )2
于是, 可求数字控制器 D(z)
D(z)= =
)](1)[(
)(
zGzG
zG
B
B
? )7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(5 4 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz
此时, 系统输出
Y(z)= GB(z) R(z)=2z –2 +3 z –3 +…
)3(3)2(2)(* ???? tttY ??
而
1
21
1
21
1 )1()1()()()(
?
?
?
? ?
?
??? z
z
zzzRzGzE
e
)1()(*1 ?? tte ?
又
?? )()()( 12 zEzDzE
)7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(5 4 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz1?z
=0.543z –1 –0.319 z –2 +0.39z –3 –0.119 z –4 +0.246z –
5 +…
0.543
0.246
?)(*2 te ???????? )4(119.0)3(39.0)2(319.0)1( tttt ????
)5( ?t?
根据上述所求各式, 可绘制它们的波形如图
7-47所示：
r(t)
)(*1 te
)(*2 te
X(t)
Y*(t
)
t
t
t
t
t
1
图 7-47各点波形图
当 r(t)=1(t) 时, 其输
出
Y(z)=GB(z)R(z)
=2z-1 + z-2 +z-3+…
当 r(t)= 时, 系统输出
Y(z)=z-2 +3.5z-3 +
7z-4 + 11.5z-5+…
下图绘制系统输入为单位阶跃, 斜坡, 抛物
线时, 其输出波形图
y*(t) y*(t) y*(t)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
斜坡输入 阶跃输入 抛物线输入
图 7-48系统输入为单位阶跃, 斜坡, 抛物线时, 其输
出波形图
7.7.2G(z)具有单位圆上和单位
圆外零极点的情况，数字控制
器的设计
(7-147)
当开环脉冲传递函数 G(z)有单位圆上或
单位圆外零点时, 由式
D(z)=
)()(
)(
zGzG
zG
e
B
可知, 它必将成为数字控制器的极点, D(Z)
将不稳定, 其物理实现不可能 。
为此, 令 GB(z)包含 z –1因子
GB(z)包含开环脉冲传递函数 G(z)在单位圆
上和单位圆外的零点 。
Ge(z)包含开环脉冲传递函数 G(z)在单位圆
上和单位圆外的极点 。
由关系式 GB(z)=1- Ge(z),求解有关待定系
数, 最后选定 GB(z)和 Ge(z)。
例 已知离散系统结构如图 7-49所示, 采样
周期 T=0.2秒, 求 D(z),使系统对单位阶跃
响应为最少拍响应系统
)(zD
s
e Ts??1 )105.0)(11.0( 10 ?? sss
r(t) y(t)
—
图 7-49最少拍响应系统
解：求开环脉冲传递函数 G(z)
G(z) = Z[ ]
=
z
z 1?
)05.01)(1.01(
10
2 sss ??
)0185.01)(135.01)(1(
)065.11)(05.01(76.
111
111
???
???
???
??
zzz
zzzo
开环脉冲传递函数有一单位圆外的零点
=-1.065
0z
为此, 令 GB(z)=
1b )0 6 5.11( 11 ?? ? zz
Ge(z) )1)(1( 1
11 ?? ??? zaz
由关系式 GB(z)=1- Ge(z)
11211121 )1(065.1 ???? ???? zazazbzb
11 065.1 ba ?
111 ba ??
516.01 ?a 484.01 ?b
所以
GB(z)= )0 6 5.11(4 8 4.0
11 ?? ? zz
Ge(z)= )516.01)(1( 11 ?? ?? zz
于是, 求得的数字控制器 D(Z)为
D(z)=
)()(
)(
zGzG
zG
e
B
)5 1 6.01)(05.01(
)1 3 5.01)(0 1 8 5.01(6 3 6.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz=
系统的单位阶跃响应输出为
Y(z)= = …
1
11
1
)0 6 5.11(4 8 4.0
?
??
?
?
z
zz ?? ?? 214 8 4.0 zz
7.7.3 无纹波无稳态误差最少拍
系统的设计
波纹即系统输出在采样时刻已达到稳态,
而在两个采样时刻间输出在变化, 如图 7-50
所示
0 T 2T 3T 4T t
y(t)
如, 系统结构为图 7-51所示
)(zD
s
e Ts??1
)1(
10
?ss
E1(z) E2(z)
r(t) y(t)
图 7-51 一个实际的数字控制系统
G(z)=
)3 6 8.01)(1(
)7 1 8.01(68.3
11
11
??
??
??
?
zz
zz (7-148)
D(z)=
)7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(5 4 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz
(7-149)
由于数字控制器 D(z)的输出不是含 z -1的有
限多项式, 因此
)()()( 12 zEzDzE ?
)7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(6 5 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz= 1?z
...119.039.0319.0543.0 4321 ???? ???? zzzz=
为了使输出波纹消除, 希望 E2(z)为含 z -1的
有限多项式 。
(7-150)
由式
)()(1
)(
)(
)()( 2
2 zGzD
zD
zR
zEzG
e ???
(7-151)
)(
)()(
)(
)(
zPz
zQzP
zG
zG
r
BB ?=
式中 P(z)和 Q(z)分别为 G(z)的分子多项式和
分母多项式 。 若令
)()()( 1 zPzPzP BB ?
(7-152)
则
r
B
e z
zQzPzG )()()( 1
2 ?
(7-153)
E2(z)必为含的有限多项式，因为的极点
都分布在 z平面的原点。
例 已知离散控制系统结构如图 7-52所示,
采样周期 T=1,求数字控制器 D(z),使系统
对斜坡输入为无纹波无稳态误差的最少拍系
统
)(zD
s
e Ts??1
)1(
10
?ss
r(t) y(t)
图 7-52无纹波无稳态误差的最少拍系统
解 开环脉冲传递函数 G(z)
)368.01)(1(
)718.01(68.3)(
11
11
??
??
??
??
zz
zzzG
选取 为
= )(zG
B ))(718.01( 11011 ??? ?? zzz ??
)(zGB
选取 为)(1 zGe
= )(
1 zGe )1()1( 1121 ?? ?? zz ?
由关系式
)(1 zGe =1- )(zGB
得到
3121010 718.0)718.0(1 ??? ???? zzz ????
312111 )12()2(1 ??? ????? zzz ???=
11 718.0 ?? ??
101 718.012 ??? ???
012 ?? ??
593.01 ?? 407.10 ?? 825.01 ???
于是
)586.01)(718.01(407.1)( 111 ??? ??? zzzzG B
1211 593.01()1()( ?? ??? zzzG e ）
所以
)()(
)()(
1 zGzG
zGzD
e
B?
)5 9 3.01)(1(
)3 6 8.01)(5 8 6.01(3 8 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz=
此时
)368.01)(586.01)(1(383.0)( )()( 1112 ??? ????? zzzzG zGzG Be
于是, 可求
)1(
)586.01)(368.01(383.0)()()(
1
111
22 ?
???
?
????
z
zzzzRzGzE
e
...09.001.03 8 3.0 321 ??? ??? zzz=
7.8 Matlab在离散系统中应用
连 续系统 离散 化, 在 Matlab 中应用
CZDM函数 。 它的一般格式为
CZDM （ num,den,T,‘zoh’）
零阶保持
采样周期
连续传函分母多项式系数表
连续传函分子多项式系数表
例 已知开环离散控制系统结构如图，求开
环脉冲传递函数。采样周期 T=1秒。
s
e Ts??1 )1( 1?ss
y (t)
图 7-53开环离散控制系统
解 先用解析求 G（ Z）
G(Z) = Z [ ]=
z
z 1?
)1(
1
2 ?ss 3 6 8.03 6 8.1
2 6 4.03 6 8.0
2 ??
?
zz
z
用 Matlab可以很方便求得上述结果
%This script converts the
transfer function
%G(S)=1/s(s+1) to a discrete-
time system
%with a sampling period of T=1
sec
%
num=[1];den=[1,1,0];
T=1
[numZ,denZ]=c2dm(num,den,T,'Zoh
');
printsys(numZ,denZ,'Z')
3 6 8.03 6 8.1^
2 6 4.03 6 8.0
2 ??
?
zz
z
打印结果
假定离散系统如图 7-54所示 。 输入为单位阶
跃, 可用 dstep函数求输出响应 。
Dstep ( num,den,n )
用户指定的采样点数
离散系统脉冲传函分母多项式系数
离散系统脉冲传函分子多项式系数
de n
numZG ?)(
1)( ?? z
zZR y (Z)
图 7-54开环离散系统
例 已知离散系统结构如图所示, 采样系统
的输入为单位阶跃, 采样周期 T=1秒, 求输
出响应 。
s
e Ts??1
)1(
1
?ss
图 7-55闭環离散控制系统
解,由 GB(Z)= =
)(1
)(
ZG
ZG
? 6 32.0
2 64.03 68.0
2 ??
?
zz
z
y(Z)=GB(Z)R(Z)=
)63 2.0)(1(
)26 4.036 8.0(
2 ???
?
zzz
zz
= 0.368z -1+z –2 +1.4z -3+1.4z -4+1.14z -5
+…
可绘制输出响应如图
1 2 3 4 5
0.4
1
1.4
图 7-56闭環离散控制系统单位阶跃响应
如果用 Matlab的 dstep函数, 可很快得到离
散输出 y*(t)和连续输出结果 y(t)
%This script gene rather the unit
step response,y(kt),
%for the sampled data system
given in example
%
num=[0 0.368 0.264]; den=[1 -1
0.632];
dstep(num,den)
T i m e ( s e c, )
A
m
p
l
i
t
u
d
e
S t e p R e s p o n s e
0 5 10 15 20 25
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
1, 2
1, 4
F r o m, U ( 1 )
T
o
:
Y
(
1
)
This script computes the
continuous-time unit
%step response for the system in
example
%
numg=[1];deng=[1 1 0];
[nd,dd]=pade(1,2)
numd=dd-nd;
dend=conv([1 0],dd);
[numdm,dendm]=minreal(numd,dend
);
%
[n1,d1]=series(numdm,dendm,numg
,deng);
[num,den]=cloop(n1,d1);
t=[0:0.1:20];
step(num,den,t)
T i m e ( s e c, )
A
m
p
l
i
t
u
d
e
S t e p R e s p o n s e
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0, 5
1
1, 5
F r o m, U ( 1 )
T
o
:
Y
(
1
)
图 7-58连续输出
7.1 引言 7.2 采样过程的数学描述
7.3 信号恢复 7.4 Z变换理论
7.5 采样系统的数学模型
7.6 离散控制系统分析
7.7 数字控制器的设计
7.8 Matlab在离散系统中应用
7,1 引言
7,1,1 直接数字控制系统 （ DDC—Direct
Digital Control）
Digital
Compute
Digital-to-
analog
converter
Actuator process
Analog-to-
digital
converter
Measurement
sensor
input
digital
图 7-1 直接数字控制系统 （ DDC）
7, 1, 2 计 算 机 监 督 控 制 系 统 （ SCC—
Surveillance Computer Control System）
Computer
Digital-to-
analog
Output
Analog-to-
digital
Input
Analogue
regulator
sensor process actuator
…… ……
图 7-2 计算机监督控制系统 （ SCC）
7.1.3 集散控制系统（ TDC—Total and
Distributed Control）
MIS
SCC SCC SCC
DDC DDCDDC DDC
process process
MIS
MIS
SCC
集中调度控制中心
子调度控制中心
……………………….
………
图 7-3 集散控制系统 （ TDC）
7.2 采样过程的数学描述
7.2.1 采样过程及其数学描述
7.2.2 采样定理
7.2.3 采样周期的选择
7.2.1 采样过程及其数学描述
在采样控制系统中将连续信号变为断
续信号的过程称为采样过程。实现这个采
样过程的装置称为采样装置, 如图 7-4所示。
载波器
脉冲调制器
e*（ t）
e*（ t）
e（ t）
e（ t）
? ? ? ???
???
??
k
kTtt ?? ?
图 7-4 采样开关
将断续信号用如下数学式子表示
对离散信号 e*（ t） 取拉氏变换，可得
e*(t)= ??
???
?
k
kTtte )()( ?
E*(s)=L[e*(t)]= L
??
?
??
? ???
? 0
)()(
k
kTtkTe ?
?
?
?
?
0
)(
k
k T sekte=
图 7-6 连续信号 e（ t） 与断
续信号 e*（ t）
(7-2)
(7-5)
例 7.1 设 e（ t） =1（ t）, 试求 e*（ t） 的拉氏
变换 。
解,由式 （ 7-5） 有
E*(s)=
=1 + e-TS + e-2TS + ……
=
?
?
?
?
0
)(
k
k T sekte
TSe ??1
1 1??TSe
观察分析式（ 7-2），我们可以看出 )
是周期函数，因此，可将其展开成富里哀级
数
?
?
?
?
0
(
k
ktt?
? ?
?
???
?
???
??
k k
tjk
k
seCkTt ?? )( (7-6)
式中 称为系统的采样频率。
Ts
?? 2?
?? ?2
2
)(1
T
T
tjk
T
set
T
?? ?
?
? ?
0
0
1)(1
TdttT ?
= (7-7)Ck=
将上述式子代入式 （ 7-2）, 有
??
???
?
k
tjk sete
Tte
?)(1)(*
(7-8)
对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位
移定理，我们得到 E*（ s）
E*(s)=
?
?
???
?
k
sjksET )(
1 ? (7-9)
式 （ 7-9） 在描述采样过程的复频域特征是
极其重要的 。 假定连续信号 e（ t） 的频谱
是单一的连续频谱, 如图 7-7所示 。
max?
max?
max?
-
max?
-
E(j ) ?
?
?
0
0
2
s?
2
s?- s
?
s?
-
)(* ?jE
T
1
(a) 连续信号 e（ t） 的频
谱
(b)离散信号 e*（ t） 的频谱（ ＞ 2 ）s? max?
7.2.2 采样定理
为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连
续信号，采样频率必须大于等于原连续信号
所含最高频率的两倍，即
m a x2 ?? ?s
m a x2
2
?
?
?
或 T
(7-10)
(7-11)
理想滤波器 的 滤波特性为
?)( ?jG
1
0
2/s?? ?
2/s?? ?
(7-12)
其频率特性如图 7-8
)( ?jG
?
2
s?
2
s?-
图 7-8 理想滤波器的频率特性
7.2.3 采样周期的选择
工程实践表明，根据表 7-1给出的参考数据
选择采样周期 T,可以取得满意的控制效果。
采样周期 T（ 秒 ）
1
5
5
20
20
控制过程
流量
压力
液位
温度
成分
表 7-1 工业过程 T的选择
从时域性能指标来看,随动系统的采样角频
率可近似取为
c?? 10s ?
(7-13)
由于 T＝ 2, 所以采样周期可按下式选
取,s
??
c
T
?
? 1
5
??
(7-14)
采样周期 T可通过单位接跃响应的上升时间 tr
或调节时间 ts按下列经验公式选取：
rtT 10
1?
或者
stT 40
1?
(7-15)
(7-16)
7.3 信号恢复
7.3.1 零阶保持器
7.3.2 一阶保持器
无畸变地重现原连续信号的理想滤波器应该
具有频率特性（ 如图 7-8所示 ）
?)( ?jG
1
0
2/s?? ?
2/s?? ?
经过采样 ——理想滤波后，脉冲序列的频谱
为
)(1)()(1)(* ???? jXTjXjGTjX ?? (7-18)
7.3.1 零阶保持器
零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采
样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）
到下一采样时刻。如图 7-11所示，零阶保持
器的输出为阶梯信号。
Xh(t)
Gh（ s）
x*(t)x(t)
K
a)
采样开关 保持器
由于, （ k=0,1,2,… ） 所以保持
器的输出 与连续输入信号 之间的关
系式为
)()( kTxkTx h ?
)(txh )(tx
? ???
?
?????
0
)(1)(1)()(
k
h TkTtkTtkTxtx
(7-19)
的拉式变换则为
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ??
0
1)()(
k
Ts
k T s
h s
eekTxsX (7-20)
上式与式 （ 7-5） 比较后, 知道零阶保持器
的传递函数为
s
esG Ts
h
??
? 1)(
(7-21)
b)
图 7-11 应用零阶保持器恢复信号
零阶保持器的频率特性为
2
22
2
2
2
s i n
2
2
1
)(
T
j
T
j
T
jT
jTj
h eT
T
T
j
ee
e
T
T
j
e
jG
?
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
(7-22)
其幅频特性和相频特性如图 7-12所示 。
)( ?jGh?
?32
S? S? S??-
?-2
?-3
)( ?jG h
图 7-12 零阶保持器的频率特性
7.3.2 一阶保持器
一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实
行外推, 它的外推输出式中 t`为 kT到 （ k＋ 1
） T之间的时间变量 。 如图 7-13所示 。
'' ])1[()()()( t
T
TkxkTxkTxtkTx ????? (7-23)
)(txh
)(tx)(tx
0 t 2t 3t …,.
图 7-13应用一阶保持器恢复信号
一阶保持器的脉冲响应函数应该如图 7-14所
示的那样 。
h(t)
tT-T
1
0
-1
① 单位阶跃
② 单位斜坡
③ 2× 单位阶跃
④ 2× 单位阶跃
⑤ 单位阶跃
⑥ 单位斜坡
a） 一阶保持器的脉冲响应函数 b） 脉冲响应函数的分解
图 7-14
按图 7-14b,根据一阶保持器脉冲响应函数
的分解, 可得保持器的传递函数
TSTsTsTs
h eTseseTsesTsssG
2
2
2
22
112211)( ???? ?????? (7-24)
或
2)1)(1()(
Ts
eTTsG Ts
sh
??
??
(7-25)
一阶保持器的频率特性为
)(222 )
2
2
s i n
()(1)
1
)(1()( Tj
Tj
h eT
T
TT
Tj
e
TjTjG ??
?
?
?
?
?
?? ?
?
??
?
??
(7-26)
式中
＝ tg-1 T? ? (7-27)
图 7-15就是按上式画得的幅频特性 。 虚线
为零阶保持器的频率特性 。
?
)( ?jGh?
S? S?
2
S?
3-
?
?-2
)( ?jG h 图 7-15 一阶保持器的频率特性 （ 虚线为
零阶保持器的频率特性 ）
7,4 Z变换理论
7.4.1 Z变换
7.4.2 Z变换的性质
7.4.3 Z反变换
7.4.1 Z变换
由式 （ 7-5） 可知, 断续函数 x*（ t） 的拉氏
变换为
X*（ S） = X(kT)e-kTS??
?0k
(7-28)
若令
eTS = Z (7-29)
则将在 S域分析的问题变成 Z域的分析问题 。
X ( Z ) = X(kT)Z-k??
?0k
(7-30)
X（ Z） 称为 X*（ t） 的 z变换, 记为 z ? ?)(* tX
z = X(Z) = X(kT)Z-k? ?)(* tX ??
?0k
(7-31)
在 Z变换中, X（ Z） 为采样脉冲序列的 Z变
换, 即只考虑采样时刻的信号值 。 由于在采
样时刻, X（ t） 的值就是 X（ kT）,所以从这
个意义上说, X（ Z） 既是 X*（ t） 的 Z变换
,也可以写为 X(t)的 Z变换, 即
Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k? ?)(* tX ? ?)(tX ??
?0k (7-32)
例：已知函数 x1( t )=1( t ),x2( t )= δ(t-kT),
求它们的 Z变换表达式 。 ?
?
?0k
解,X1（ Z） = 1（ kT） Z-k??
?0k
= 1 + Z-1 + Z-2 + …
= =
11
1
?? Z 1?Z
Z
X2（ Z） = δ（ t-kT） Z-k =??
?0k
??
?0k 1?Z
Z
对于较复杂的函数求 Z变换表达式时, 可以
用如下公式法
已知 G(s),若 si为 G(s)的极点, 则
??
?
?
??
?
?? ? ?i isT sez
sGszG,
1
)(Re)(
1
a
azG ?? )(
=
式中
)(lim)(lim zGssGa
zs
?
????
??
例：已知 G( s )=,求 G(Z)。
)(
)1(
ass
ea TS
?
? ?
解,= Res?
i ?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
?
as
eZass
ea
iST
TS
,0,
)1)((
)1(
1
aT
aT
eZ
e
???
?
11
1=
??slim ??Zlim
)(ZG?=?
)(ZG?
G( s ) - = 0－ (eaT－ 1) = 1－ eaT
G(Z) = + =)(ZG? ?
aT
aT
eZ
e
?
?
?
?1
7.4.2 Z变换的性质
(1)线性定理
式中 a1,a2,··为常数 。
(2) 实平移定理
z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + ···? ???? )()(
2211 txatxa
(7-33)
z = Zm? ?)( mTtx ?
??
?
??
? ? ??
?
?
1
0
)()(
m
k
kZkTxZX
(7-34)
z = Z-m X(Z)? ?)( mTtx ? (7-35)
证明,z =? ?)( mTtx ? ??
?
??
0
)(
k
kZmTkTx
= Zm
= Zm
? ??
?
?
???
0
)()(
k
mkZTmkX
??
?
??
? ? ??
?
?
1
0
)()(
m
k
kZkTxZX
又 z = =? ?)( mTtx ? ??
?
??
0
)(
k
kZmTkTx
= Z-m ? ???
?
???
0
)()(
k
mkZTmkX
前面假定 k<0时 X(kT)=0 。
z = Z-m X(Z)? ? ?)( mTtx ?
例：已知 x( t )= t2,求 X(Z)。
解,x( t )= t2,x(0)=0。
设 x(t+T)= （ t+T） 2= t2 + 2Tt + T2
x(t+T)－ x(T) = T (2t + T)
对上式两边取 Z变换
Z = z
= T2Z
? ?)()( txTtx ?? ? ?22 TTt ?
由实位移定理有
Z （ z-1） x(z) ? ? ??? )()( txTtx
?
3
2
)1(
)1()(
?
??
Z
ZZTzx
(3)复平移定理
z? ? )()( zextxe Tt ?? ??? (7-36)
例 已知,求 X（ Z）
解 z
z
tetx t ?? s in)( ??
? ? 1c o s2 s ins in 2 ??? TZZ TZt ???
? ?
1c o s2
s i ns i n
22 ???
?
Tzeze
Tzete
TT
T
t
?
??
??
?
?
(4)复域微分定理
? ? dZ zdXTZttx )()( ??Z (7-37)
例 已知 x(t)=t3,求 X(Z)
解 zt2=
zt3=-TZ
3
2
)1(
)1(
?
?
z
ZZT
4
23
3
2
)1(
)14(
)1(
)1(
?
???
?
?
z
ZZZT
z
ZZT
dZ
d?
(5)初值定理
)(lim)0( ZXx z ???
(7-38)
证明：由 Z变换的定义有
..,.,,)1()0()()( 1
0
???? ?
?
?
?? ZxxZkxZX
k
k
?
)(lim)0( Zxx
z ??
?
(6) 终值定理
)()1(lim)( 1 ZXZx z ??? ?
(7-39)
证明, 由 Z变换的定义有
?
?
?
??
0
)()(
k
kZkTXZX
由实位移定理有
Z Z[x(Z)-x(0)]? ? ?? )( TkTx
上二式相减有
? ? k
k
ZkTxTkTxZxZxZ ?
?
?
? ?????
0
)()()0()()1(
?? )0()()1(lim 1 ZXZXZZ ???? )0()( xx ?=
)()1(lim)( 1 ZXZx z ??? ??
例 已知 求的 Z变换1)( ?? kkakx
解 z
由实位移定理有
z
由微分定理有
z =
?
?
? ?
??
0k
kkk
az
zzaa
aZa
k
??
? 11
1?kka
2)(
1
az
z
azdz
dz
?
???
7.4.3 Z反变换
(1)幂级数法
通常 Z变换表达式有如下形式：
01
1
1
01
1
1
.,,,,,
.,,,,,)(
azazaza
bzbzbzbZX
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?(7-40)
实际的物理系统满足 n,则用综合除法有
X(Z)=
?
?
?
?? ???
0
1
10,.,,.,
k
k
n zczcc
(7-41)
由 Z变换的定义式可知
则
nCkTx ?)(
?
?
?
??
0
)()(*
k
n kTtctx ?
即为 x(z)的原函数
例 求
)()( kXaz zzX 的原函数??
解 X(z)=
......1 33221 ?????? ??? zazaazaz z
?
?
?
??
0
)(
k
kk za=
kakX )()( ???
（ 2） 部分分式法
部分分式法又称查表法 。 它的基本思想是
将 X（ Z） /Z展开成部分分式,
?
? ?
?
n
i iZZ
Ai
Z
ZX
1
)( (7-42)
然后, 查 Z变换表, 即可求取 X（ Z） 的原
函数 x(kT)
例 已知 求 X(kT)
解,))(1(
)1()(
aT
aT
eZZ
ZeZX
?
?
??
??
Z
ZX )(
))(1(
1
aT
aT
eZZ
e
?
?
??
?=
1
1
?Z=
-
aTeZ ??
1
X(Z)= －
1?Z
Z
aTeZ
Z
??
?
查 Z变换表有 x(kT)=1－ e-akT
x*( t )= (1－ e-akT)δ(t-kT)??
?0k
?
（ 3） 留数法
由 Z变换的定义式有
X(Z)= X(kT)Z-k
= x(0) + x(T)Z-1 + x(2T)Z-2 + …
??
?0k
(7-43)
上式两端乘以 Zk-1有
X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-
2
+ … + x(kT)Z-1 + …
(7-44)
上式为罗朗级数, x（ kT） 是 Z-1项的系数, 根
据复变函数中求罗朗级数系数的公式, 得
x(kT) =
j?2
1 ? ? dzZZX k 1)(
在此, 积分路径包围 X（ Z） Zk-1 的所有极
点 。 根据留数定理, 则上式可写成：
x(kT) = Res? ? ?
1)( ?kZZX
(7-45)
(7-46)
式中 Res[·]表示函数的留数 。
7.5 采样系统的数学模型
7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程
7.5.2 脉冲传递函数
7.5.1 描述离散控制系统的线
性差分方程
线性定常离散系统可以用后向差分方程来
描述
y(k) + a1y(k-1) + …… + any(k-n) =
b0r(k) + b1r(k-1) + …… + r(k-m) (7-47)
也可用前向差分方程来描述线性定常离散
控制系统
y(k+n) + a1y(k+n-1) + …… + an-1y(k+1) +
any(k)
= b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + …… + bm-1r(k+1)
+ bmr(k)
(7-48)
求解差分方程常用的有迭代法和 Z变换法 。
（ 1） 迭代法
若已知线性定常离散控制系统的差分方
程式 （ 7-47） 或式 （ 7-48）, 并且给定输出
序列初值, 则可以利用递推关系, 在计算机
上一步一步计算出输出序列 。
（ 2） Z变换法
若已知线性定常离散控制系统的差分方程描
述, 则根据 Z变换的实位移定理, 对差分方程
两边取 Z变换, 再根据初始条件及给定输入控
制信号的 Z变换表达式, 可求取离散控制系统
输出的 Z变换表达式, 再求输出 Z变换的 Z反
变换表达式, 即可求取离散控制系统输出的
实域表达式 Y(K)。
例：已知离散系统的差分方程为
? ? KTKTYTKY 5)(2)1( ???
Y(0) = -1,求差分方程的解 。
解：对差分方程取 Z变换, 得
? ? 2
)1(
5)(2)0()(
?
???
Z
TZZYYZYZ
)2()1(
5)(
2 ??? ZZ
TZZY
2?Z
Z-
又
)1(9
1
)1(3
1
)2(9
1
)1)(2(
1
22 ???????? ZZZZZ
21)1(
3
29
5)(
2 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZTZY?
查 Z变换表, 有
? ? KK KTKTY )2(13)2(95)( ??????
)(13)2)(
5
91(
9
5)(*
0
kTtk
T
Tty
k
k ?
??
?
??
? ????? ??
?
?
7.5.2 脉冲传递函数
1,开环脉冲传递函数
一离散开环控制系统如图 7-17所示 。
G(s)r*( t )r ( t )
y*( t )
y ( t )
图 7-17 开环离散控制系统
脉冲传递函数定义为在零初始条件下, 输出
Y*(t)的 Z变换 Y(Z)与输入 r*(t)的 Z变换 R(Z)
之比 。 脉冲传递函数用 G(Z)表示, 则
)(
)()(
ZR
ZYZG ? (7-49)
假定动态环节的单位脉冲过渡函数为 h(t)。
该环节的输入为 r*(t)
?
?
?
??
0
)()()(*
n
nTtnTrtr ?
(7-50)
利用线性环节满足叠加原理, 无穷多个脉冲
作用在线性环节 G(s)上, 其输出 Y(t)为
y(t)=r(0)h(t) + r(T)h(t –T) +…,+r(nT)h(t
–nT) +… (7-51)
将输出信号离散化, 得到
y(kT)=r(0)h(kT)+r(T)h[(k-
1)T]+… +r(nT)h[(k-n)T] + …
= r(nT)h[(k-n)T]? (7-52)
上式两边用乘以 e－ KTS,并求和, 得到
? ? ?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
K T S
K
K
K T S
k
K T S
eTnKhnTr
eKThreKTY
0
00
)()(
)()0()(
(7-53)
考虑到前面的给定, 当 t ＜ 0 时, h ( t )=0,
于是有
? ?
? ?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?????
?????
0
0
)()(
)()()0()(
)0()()()()1()(
K
K T STS
K T STSTS
TSK T S
k
eKTheTr
eKTheThheTr
ehTrThTreTKhTr
??
?
(7-54)
同理有：
? ? ?? ?
?
???
?
?
??
00
)()()()(
K
K T Sn T SK T S
K
eKThenTreTnKhnTr
(7-55)
所以
? ??? ?
?
???
?
?
???
00
)()()0()(
K
K T Sn T SK T S
K
eKThenTrreKTY ?
(7-56)
采样周期与所用时间变量文字描述无关, 则
上式可改写为
???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
000
)()()(
K
K T S
K
K T S
K
K T S eKTheKTreKTY
(7-57)
即
)(*)(*)(* sGsRsY ?? (7-58)
??
?
??
0
)()(*
K
KTSeKThsG
式中 (7-59)
若令式中 Z = eTS,则可知
)()()( ZGZRZY ?
又因 G ( s ) = ?h ( t )
(7-60)
G (Z) = zG ( s )? (7-61)
例 已知开环离散控制系统如图
)10(
10
?ss
r*( t ) r ( t )
y*( t )
y ( t )
图 7-18 开环离散控制系统
求脉冲传递函数。
解 由式 （ 7-61） 可知
?)(ZG ?
?
?
??
?
? )10(
10
ss ??
?
??
?
?
?
10
11
ss
z =z
2,串联环节的脉冲传递函数
1） 两个串联环节间没有采样开关的连接
G1(s) G2(s)
r*(t)
r ( t )
Y*(t)
Y(t)
图 7-19 串连环节间没有采样开关
))(1(
)1(
1 10
10
10 T
T
T eZZ
Ze
eZ
Z
Z
Z
?
?
? ??
??
?
?
?
=
等价于下图
G1(s)G2(s)
r*(t)
r ( t )
Y*(t)
Y(t)
图 7-20 等价开环离散系统有
?? )( )()( ZR ZYZG ? ?)()( 21 sGsG
z (7-62)
将 z 记为 G1G2(Z)? ?)()( 21 sGsG
?)(21 ZGG ? ?)()( 21 sGsGz
(7-63)
2,串连环节间有采样开关连接, 且采样开
关都是同步采样, 如图
G1(s) G2(s)
r*(t)r ( t )
Y*(t)
Y(t)
Y1*(t)
图 7-21 串连环节间有采样开关
??
)(
)()( 1
1 ZR
ZYZG ? ?)(
1 SG
z
?? )(
)(
)(
1
2 ZY
ZY
ZG ? ?)(2 SGz
所以
)()(
)(
)()(
21 ZGZGZR
ZYZG ??? (7-64)
3,带零阶保持器的开环系统的脉冲传递
函 数
G1(s)
s
e TS??1
r*(t)
r ( t )
Y*(t)
Y(t)
图 7-22 带零阶保持器开环离散系统
由脉冲传递函数的定义有
G(Z) =z
?
?
?
?
?
? ? ? )(1
1 sGs
e TS
= z
??
?
??
? ? ? )()(1
11 sGs
esG
s
TS (7-66)
)()1()( 11 ZGZZG ???
即
(7-69)
4,闭环离散控制系统的脉冲传递函数
G1(s) G2(s)
H(s)
r(t) e(t) e*(t)
d(t)
b(t)
Y*(t)
Y(t)-
++
图 7-23 带干扰的闭环线性离散控制系统
假定 d(t)=0,得到如图 7-24所示的结构图
G1(s) G2(s)
H(s)
r(t) e*(t)
Y*(t)
Y(t)
图 7-24 线性闭环离散控制系统
根据脉冲传递函数的定义可知
)()()( 21 ZEZGGZY ?
(7-70)
)()()( ZBZRZE ??
(7-71)
)()()( 21 ZEZHGGZB ? (7-72)
将 （ 7-72） 代入 （ 7-71）, 有
)()()()( 21 ZEZHGGZRZE ??? (7-73)
)(
)(1
1)(
21
ZR
ZHGG
ZE
?
?
于是得到：
(7-74)
定义误差脉冲传递函数 Ge(Z)为
)(1
1
)(
)()(
21 ZHGGZR
ZEZG
e ???
(7-75)
将式 （ 7-75） 代入式 （ 7-70）, 有
)(
)(1
)()(
21
21 ZR
ZHGG
ZGGZY
?
?
(7-76)
于是得到闭环系统的脉冲传递函数 GB(Z)为
)(1
)(
)(
)()(
21
21
ZHGG
ZGG
ZR
ZYZG
B ???
(7-77)
假定输入 r(t)=0,得到按扰动输入的等价的离
散控制系统的结构图, 如图 7-25。
G2(s)
G1(s) H(s)
r(t)=0e*(t)
Y*(t)
-
Y(t)d(t) +
+
图 7-25 扰动输入的离散控制系统
)()()()()( 212 ZEZGGZDZGZY ?? (7-78)
)()()()()( 212 ZEZHGGZDZHGZE ????
所以, 有
(7-79)
)(
)(1
)()(
21
2 ZD
ZHGG
ZHGZE ?
?
??
(7-80)
将式 （ 7-80） 代入式 （ 7-78）,有
)(
)(1
)()()()()(
21
221
2 ZDZHGG
ZHGZGGZDzGZY
?
????
(7-81)
)(1
)()()(
)(
)()(
21
221
2 ZHGG
ZHGZGGZG
ZD
ZYZG
D ?
?????
(7-82)
例 已知采样系统结构如图 7-26所示：
G(s)
H(s)
r(t)
b*(t)
Y*(t)
Y(t)
－
图 7-26离散控制系统
由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式
,可列写出如下式子
)()()()( ZBZGZGRZY ??
)()()()( ZBZGHZG H RZB ??所以,
)(1
)()(
ZGH
ZG H RZB
??
将 B(Z)代入 Y(Z)中, 有
)(1
)()()()(
ZGH
ZG H RZGZGRZY
?
??
7.6 离散控制系统分析
7.6.1 线性离散控制系统的稳定性分析
7.6.2 离散控制系统的瞬态响应
7.6.3 离散控制系统的稳态误差
7.6.1 线性离散控制系统的稳定
性分析
线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数, 如
图 7-30所示,
G（ s）r(t)
y* (t)
y (t)_
图 7-30 线性离散控制系统
可求得为：
GB（ Z） =
)(1
)(
ZG
ZG
?
(7-83)
则线性离散控制系统的特征方程为
1+G(Z)=0 (7-84)
考察下式
Z = eTs (7-85)
假定在 s平面上任有一点
s=δ +jω (7-86)
则通过 Z变换, 映射到 Z平面为
Z= eδT,ej ωT (7-87)
当 δ =0,即 s平面的虚轴, 对应 Z平面
的单位圆 。
当 δ <0,.即左半 s平面对应 Z平面的单
位圆
内部区域, 即 s平面的稳定域映射到 Z平面
单位圆内的区域为稳定区域 。
当 δ >0,.即右半 s平面对应 Z平面的单
位圆外部区域, 也即 s平面不稳定域映射到
Z平面单位圆外的部分为不稳定域 。 上面
映射关系如图 7-31所示 。
线性离散控制系统稳定的充分必要条件
是,线性离散闭环控制系统特征方程 （ 7-
84） 的根的模小于 1,则线性离散控制系
统是稳定的 。
Re Re
Im Im
图 7-31 s平面到 Z平面映射
例 已知离散控制系统结构如下图所示, 采
样周期 T=1秒, 分析系统的稳定性 。
)1(
10
?ss
r (t)
y* (t)
y (t)
图 7-32 离散控制系统
解：
G (Z)=Z [ ] =
)1(
10
?ss )368.0)(1(
32.6
?? zz
z
闭环特征方程
1+G(Z)=0
Z2+4.952Z+0.368=0
Z1=-0.076 Z2=-4.876
系统特征方程的根有一个在单位圆外, 因
此, 该离散系统不稳定 。
在离散系统中, 引进双线性映射 。
令 Z=
1
1
?
?
w
w (7-88)
或 W=
1
1
?
?
z
z (7-89)
其中 Z和 W可写为
Z=x+jy
W=u+jv
(7-90)
(7-91)
将式 （ 7-90） 代入式 （ 7-89）, 有
W= u+jv = =
1
1
??
??
jyx
jyx
1
1
??
??
jyx
jyx
= - j
22
22
)1(
1)(
yx
yx
??
??
22)1(
2
yx
y
??
(7-92)
于是, 当 x2 +y2=1 即对应 Z平面上的单位
圆
u=0 即 W平面上的虚轴
当 x2 +y2<1 即 Z平面上单位圆内的
部分, 也即稳定域
u<0 即左半 W平面为稳定域
当 x2 +y2>1 即 Z平面上单位圆内外的部
分, 也即不稳定域
u>0 即右半 W平面对应不稳定
域 。 上面映射关系如图 7-33所示 。
Re Re
Im Im
图 7-33 Z平面到 W平面的映射
7.6.2 离散控制系统的瞬态响
应
1,闭环零极点与瞬态响应的关系
通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数
可表示为如下形式
GB(Z)=K =K
)(
)(
zQ
zP
?
?
?
?
?
?
n
k
k
i
m
i
Pz
zz
1
1
)(
)(
(7-93)
当系统输入为单位阶跃时, 其系统输出
Y（ Z） 为
Y(Z)=K,
?
?
?
?
?
?
n
k
k
i
m
i
Pz
zz
1
1
)(
)(
1?z
z
(7-94)
展开成部分分式, 有
Y(Z)=K, +
)1(
)1(
Q
P
1?z
z ?
? ?
n
k k
k
Pz
zC
1
(7-95)
(7-96)
式中
Ck= K
)()1(
)(
.
kk
k
pQP
PP
?
闭环极点对系统瞬态响应的影响
1) Pk为正实根, 对应的瞬态分量
Yk(nt)= Z–1[ ]=CkPkn
k
k
Pz
zC
?
令 Pk=eaT,a= lnPk 则
T
1
yk(nT) = Cke anT (7-97)
若 Pk=1,即闭环极点位于右半 Z平面上
圆周上, 闭环系统瞬态响应 Yk（ nT） 为等
幅脉冲, 对应图 7-39中 a点对应波形 。
若 Pk<1,则闭环极点位于单位圆内, 此
时 a <0,则输出响应 Yk（ nT） 呈指数衰减状
,如图 7-39中 b点对应波形 。
若 Pk>1,闭环极点位于单位圆外, 此时
a >0,则输出响应 Yk（ nT） 呈指数 z增加状,
如图 7-39中 c点对应波形 。
图 7-39 闭环实极点分布与相应瞬态响应
Im
Re
[Z]
f
f
d
d
a
a
c
cb
b
e
e
2) 当 Pk为负实根, 则对应的瞬态分量为
yk(nT) = CkPkn (7-98)
若 Pk= -1,输出响应分量 Yk（ nT） 对应
图 7-39中 d点波形, 呈等幅跳跃输出 。
若 |Pk|<1,输出响应分量 Yk（ nT） 对应
图 7-39中 e点波形 。
若 |Pk|>1,输出响应分量 Yk（ nT） 对应
图 7-39中 d点波形, 呈发散跳跃变化 。
3) 当 Pk,Pk+1为一对共轭复根时,为
Pk= Pk+1=
kj
k eP
? kj
k eP
??
(7-99)
此时,Ck,Ck+1也为一对共轭复数,
Ck= Ck+1=
kj
k eP
? kj
k eP
??
(7-100)
则它们对应的瞬态分量 Yk,k+1（ nT） 为
yk,k+1(nT)= +
= 2
)( kknjn
kk ePC
?? ?
)( kknjn
kk ePC
?? ??
)c o s ( kknkk nPC ?? ?
(7-101)
若 |Pk|<1,则对应的瞬态响应分量为振
幅衰减的正弦振荡, 对应图 7-40中 a点对应
的波形 。
若 |Pk|>1,则对应的瞬态响应分量为发散
正弦振荡, 对应图 7-40中 b点对应的波形 。
Im
Re
xb
xb’
xa
xa’
图 7-39 闭环实极点分布与相应瞬态响应
令式 （ 7-101） 中 θk为
θk=ωT (7-102)
所以
k
T
?
? ?
为系统对应瞬态分量的震荡频率, 其振荡
周期
k
d
T
T
?
?
?
? 22
??
(7-103)
(7-104)
设一个震荡周期中所包含的脉冲个数为 n，
采样周期为 T,则
nT=Td=
k
T
?
?2 (7-105)
所以
n=
k?
?2 (7-106)
2,有限时间响应系统
当闭环脉冲传递函数所有极点都分布
在原点时, 此时的系统具有一个很特别的
响应, 即在有限时间结束过渡过程, 达到
稳态, 此时的闭环脉冲传递函数具有如下
形式
Gb(Z) =
n
za
bzbzbzb
n
n
n
n
n 01
1
1,.,????
?
?
(7-107)
= + +… +
n
n
a
b 11 ?? z
a
b
n
n
n
n
z
a
b ?0
其单位脉冲响应
h*(t)= + +… +
)(t
a
b
n
n ? )(t
a
b
n
n ?
-1
)(0 nTtab
n
??
(7-108)
即在单位脉冲作用下, 该系统的瞬态响应
能在 nT内结束, 即 n拍可结束过渡过程,这
个特点是连续系统所不具备的 。
7.6.3 离散控制系统的稳态误
差
对于如图 7-42所示的单位反馈的闭环离
散系统的误差脉冲传递函数 Ge（ Z） 为
G（ s）r(t) y (t)e*(t)
-
Ge(Z )=
)(1
1
zG?
(7-109)
所以 E(Z )= R(Z)
)(1
1
zG?
由终值定理, 有
)(1
)()1(lim)(
1 zG
zRze
z ?
???
?
(7-110)
(7-111)
与连续系统类似, 根据系统开环脉冲传递函
数在 Z=1的极点的个数而分为 0型, 1型, 2型
…… 系统 。
1) 单位阶跃输入时
)1(1
1
1
.
)(1
)()1(lim)(
1 Gz
z
zG
zRze
z ?
?
??
???
?
(7-112)
定义 Kp=1+G(1)
0型系统
pK
e 1)( ??
(7-113)
1型以上系统
??pK 0)( ??e
(7-114)
2) 单位斜坡输入
21 )1(.)(1
1)1(lim)(
??
???
? z
Tz
zG
ze
z
(7-115)
]
)](1)[1(
1[lim
1 zGz
T
z ??
?
?
定义速度误差系数 Kv为
)()1(lim1
1
ZGz
T
K
zv
??
?
(7-116)
0型系统,Kv=0 ??? )(e (7-117)
1型系统,令
1
)()( 1
?? z
zGZG
式中 G1（ Z） 没有 Z=1的极点, 所以
Kv= )1(1
1GT
vK
e 1)( ?? (7-118)
2型以上系统
??vK 0)( ??e
(7-119)
3) 抛物线输入
r(t) =
2
2t
此时稳态误差
3
2
1 )1(2
)1(
)(1
1)1(lim)(
?
?
?
???
? z
zzT
zG
ze
z
)()1(
1lim
21
2
zGz
T
z ??
=
(7-120)
(7-121)
定义加速度误差系数 Ka为
)()1(lim1 2
12
ZGz
T
K
za
??
?
0型, 1型系统 Ka= 0 ??? )(e
2型系统：令 G(Z)=
2
1
)1(
)(
?z
ZG
vK
e 1)( ??
(7-122)
(7-123)
(7-124)
(7-125)
式中 G1（ Z） 没有 Z=1的极点, 则
Ka=
)1(1 12 GT
aK
e 1)( ??
3型以上系统 Ka= ? 0)( ??e
(7-126)
(7-127)
例 已知离散系统的结构如图 7-43所示, 采样
周期 T=0.1秒, 求系统单位阶跃和单位斜坡
输入时的稳态误差 。
)11.0(
2
?ssr (t)
y (t)
-
图 7-43离散系统的稳态误差
解, G(Z)= Z [ ]
)11.0(
2
?ss )368.0)(1(
264.1
??? zz
z
由于该系统开环脉冲传递函数在 Z=1处
有一个极点, 因此为 1型系统, 当系统输入
为单位阶跃时, 其稳态误差为零 。
当系统输入为单位斜坡时, 可求出 Kv
Kv=
)1(1 1GT 0632.0
264.1
)368.0(
264.1
1.0
1
1
?
?
?
?zz
z
所以, 系统的稳态误差 为)(?e
=0.05
vK
e
1
)( ??
7.7 数字控制器的设计
7.7.1 无稳态误差最少拍系统的
7.7.2 G(z)具有单位圆上和单位圆外零极
点的情况，数字控制器的设计
7.7.3 无纹波无稳态误差最少拍系统的设
计
D(z) G(z)
7.7.1 无稳态误差最少拍系统的
设计
R(t) Y(t)
-
图 7-44 数字控制系统结构
对于如图 7-44所示的系统, 闭环脉冲传递函
数可求得为
G B(z) =
)()(1
)()(
zGzD
zGzD
?
(7-128)
D(z)=
)](1)[(
)(
zGzG
zG
B
B
? (7-129)
设计出的数字控制器 D(z),还必须满足
物理可实现条件：数字控制器 D(z)分子多项
式的阶次不得大于分母多项式的阶次； D(z)
没有单位圆上 （ 除有一个 z=1的极点外 ） 和
单位圆外的极点 。
设给定系统输入为 r(t)= t p (7-130)
则其 z变换表达式为
R(t)=
rz
zA
)1(
)(
1
1
??
? (7-131)
式中 r=p+1,且 A(z -1)为 z -1的多项式, 没有
z=1的零点 。
系统误差脉冲传递函数 Ge(z)与闭环脉冲传
递函数 GB(z)存在以下关系,
Ge(z)=1 - GB(z) (7-132)
E(z)=[1 - GB(z) ]R(z) (7-133)
根据终值定理
e (∞)= (1-z –1) [1 - GB(z) ]
1lim?z rz
zA
)1(
)(
1
1
??
? (7-134)
为使系统的稳态误差为零, 可令
1 - GB(z) =(1-z –1)r F(z –1) (7-135)
式中 F(z –1)在 z=1处无零点
GB(z) =1 - (1-z –1)r F(z –1)
= =
r
rr
z
zFzz )()1( 1???
r
B
z
P )( (7-136)
1） 阶跃输入
此时 p=0,r=1为保证系统为无稳态误
差的最少拍系统, 可令
GB(z) = z –1 (7-137)
则 Ge(z)=1 - GB(z) =1- z –1
于是, 可求数字控制器 D(z)
(7-138)
D(z)=
)()1(
1
zGz ?
(7-139)
按上式选择 D(z),可使系统为无稳态误
差的最少拍响应系统, 在一拍内可结束过
渡过程, 达到稳态 。
2） 斜坡输入
此时, p=1,r=2为使系统为无稳态误
差的最少拍系统, 可选取
Ge(z) =(1- z –1 )2 (7-140)
则 G
B(z) =2z –1 - z –2 =
2
12
z
z ?
于是, 可求得数字控制器
21
21
)1)((
2)(
?
??
?
??
zzG
zzzD
(7-141)
(7-142)
3） 抛物线输入
此时 p=2,r=3为保证系统为无稳态误
差的最少拍系统, 可造
Ge(z)= (1- z –1 )3
则 G
B(z)= 3z –1 -3 z –2+z –3
于是, 可求 D(Z)
D(z)=
31
321
)1)((
33
?
???
?
??
zzG
zzz
(7-143)
(7-144)
(7-145)
图 7-45绘制的曲线分别是单位阶跃, 单
位斜坡, 抛物线输入时, 其输出响应为无稳
态误差的最少拍系统 。
y*(t)
T
2T 3T
t
y*(t) y*(t)
t t
T 2T 3T T 2T 3T
a 单位阶跃输入 b 斜坡输入 c 抛物线输入
图 7-45 无稳态误差最少拍响应
11
1
?? z 1?z )1)(( 1
1
?
?
? zzG
z
21
1
)1( ?
?
? z
Tz
212 ?? ? zz 22
11
)1)((
)2(
?
??
?
?
zzG
zz
31
112
)1(
)1(
?
??
?
?
z
zzT
321 33 ??? ?? zzz
31
321
)1)((
33
?
???
?
??
zzG
zzz
典型输入 闭环脉冲传递
函数
数字控制器 D(z) 最少拍
（ T）
1(t)
1T
t 2T
t2 3T
表 7无稳态误差最少拍系统设计结果
例 已知离散控制系统结构如图 7-46所示 。
采样周期 T=1秒 。 设计一数字控制器 D(Z)使
系统对单位斜坡输入为无稳态误差的最少拍
响应系统 。 并绘制 r(t)、,, x(t)、
)(*1 te )(*2 te )(* ty
)(zD se Ts??1 )1(10?ss
r(t)
)(*1 te )(*2 te x(t)
y*(t)
y(t)
图 7-46最少拍响应系统
解：求开环脉冲传递函数 G(Z)
G(z)=
=
]
)1(
10[1
2 ?
?
ss
Z
z
z
)3 6 8.01)(1(
)7 1 8.01(68.3
11
11
??
??
??
?
zz
zz
选取 GB(z), GB(z) =2z –1 - z –2
则, Ge(z) =(1- z –1 )2
于是, 可求数字控制器 D(z)
D(z)= =
)](1)[(
)(
zGzG
zG
B
B
? )7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(5 4 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz
此时, 系统输出
Y(z)= GB(z) R(z)=2z –2 +3 z –3 +…
)3(3)2(2)(* ???? tttY ??
而
1
21
1
21
1 )1()1()()()(
?
?
?
? ?
?
??? z
z
zzzRzGzE
e
)1()(*1 ?? tte ?
又
?? )()()( 12 zEzDzE
)7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(5 4 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz1?z
=0.543z –1 –0.319 z –2 +0.39z –3 –0.119 z –4 +0.246z –
5 +…
0.543
0.246
?)(*2 te ???????? )4(119.0)3(39.0)2(319.0)1( tttt ????
)5( ?t?
根据上述所求各式, 可绘制它们的波形如图
7-47所示：
r(t)
)(*1 te
)(*2 te
X(t)
Y*(t
)
t
t
t
t
t
1
图 7-47各点波形图
当 r(t)=1(t) 时, 其输
出
Y(z)=GB(z)R(z)
=2z-1 + z-2 +z-3+…
当 r(t)= 时, 系统输出
Y(z)=z-2 +3.5z-3 +
7z-4 + 11.5z-5+…
下图绘制系统输入为单位阶跃, 斜坡, 抛物
线时, 其输出波形图
y*(t) y*(t) y*(t)
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
斜坡输入 阶跃输入 抛物线输入
图 7-48系统输入为单位阶跃, 斜坡, 抛物线时, 其输
出波形图
7.7.2G(z)具有单位圆上和单位
圆外零极点的情况，数字控制
器的设计
(7-147)
当开环脉冲传递函数 G(z)有单位圆上或
单位圆外零点时, 由式
D(z)=
)()(
)(
zGzG
zG
e
B
可知, 它必将成为数字控制器的极点, D(Z)
将不稳定, 其物理实现不可能 。
为此, 令 GB(z)包含 z –1因子
GB(z)包含开环脉冲传递函数 G(z)在单位圆
上和单位圆外的零点 。
Ge(z)包含开环脉冲传递函数 G(z)在单位圆
上和单位圆外的极点 。
由关系式 GB(z)=1- Ge(z),求解有关待定系
数, 最后选定 GB(z)和 Ge(z)。
例 已知离散系统结构如图 7-49所示, 采样
周期 T=0.2秒, 求 D(z),使系统对单位阶跃
响应为最少拍响应系统
)(zD
s
e Ts??1 )105.0)(11.0( 10 ?? sss
r(t) y(t)
—
图 7-49最少拍响应系统
解：求开环脉冲传递函数 G(z)
G(z) = Z[ ]
=
z
z 1?
)05.01)(1.01(
10
2 sss ??
)0185.01)(135.01)(1(
)065.11)(05.01(76.
111
111
???
???
???
??
zzz
zzzo
开环脉冲传递函数有一单位圆外的零点
=-1.065
0z
为此, 令 GB(z)=
1b )0 6 5.11( 11 ?? ? zz
Ge(z) )1)(1( 1
11 ?? ??? zaz
由关系式 GB(z)=1- Ge(z)
11211121 )1(065.1 ???? ???? zazazbzb
11 065.1 ba ?
111 ba ??
516.01 ?a 484.01 ?b
所以
GB(z)= )0 6 5.11(4 8 4.0
11 ?? ? zz
Ge(z)= )516.01)(1( 11 ?? ?? zz
于是, 求得的数字控制器 D(Z)为
D(z)=
)()(
)(
zGzG
zG
e
B
)5 1 6.01)(05.01(
)1 3 5.01)(0 1 8 5.01(6 3 6.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz=
系统的单位阶跃响应输出为
Y(z)= = …
1
11
1
)0 6 5.11(4 8 4.0
?
??
?
?
z
zz ?? ?? 214 8 4.0 zz
7.7.3 无纹波无稳态误差最少拍
系统的设计
波纹即系统输出在采样时刻已达到稳态,
而在两个采样时刻间输出在变化, 如图 7-50
所示
0 T 2T 3T 4T t
y(t)
如, 系统结构为图 7-51所示
)(zD
s
e Ts??1
)1(
10
?ss
E1(z) E2(z)
r(t) y(t)
图 7-51 一个实际的数字控制系统
G(z)=
)3 6 8.01)(1(
)7 1 8.01(68.3
11
11
??
??
??
?
zz
zz (7-148)
D(z)=
)7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(5 4 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz
(7-149)
由于数字控制器 D(z)的输出不是含 z -1的有
限多项式, 因此
)()()( 12 zEzDzE ?
)7 1 8.01)(1(
)3 6 8.01)(5.01(6 5 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz= 1?z
...119.039.0319.0543.0 4321 ???? ???? zzzz=
为了使输出波纹消除, 希望 E2(z)为含 z -1的
有限多项式 。
(7-150)
由式
)()(1
)(
)(
)()( 2
2 zGzD
zD
zR
zEzG
e ???
(7-151)
)(
)()(
)(
)(
zPz
zQzP
zG
zG
r
BB ?=
式中 P(z)和 Q(z)分别为 G(z)的分子多项式和
分母多项式 。 若令
)()()( 1 zPzPzP BB ?
(7-152)
则
r
B
e z
zQzPzG )()()( 1
2 ?
(7-153)
E2(z)必为含的有限多项式，因为的极点
都分布在 z平面的原点。
例 已知离散控制系统结构如图 7-52所示,
采样周期 T=1,求数字控制器 D(z),使系统
对斜坡输入为无纹波无稳态误差的最少拍系
统
)(zD
s
e Ts??1
)1(
10
?ss
r(t) y(t)
图 7-52无纹波无稳态误差的最少拍系统
解 开环脉冲传递函数 G(z)
)368.01)(1(
)718.01(68.3)(
11
11
??
??
??
??
zz
zzzG
选取 为
= )(zG
B ))(718.01( 11011 ??? ?? zzz ??
)(zGB
选取 为)(1 zGe
= )(
1 zGe )1()1( 1121 ?? ?? zz ?
由关系式
)(1 zGe =1- )(zGB
得到
3121010 718.0)718.0(1 ??? ???? zzz ????
312111 )12()2(1 ??? ????? zzz ???=
11 718.0 ?? ??
101 718.012 ??? ???
012 ?? ??
593.01 ?? 407.10 ?? 825.01 ???
于是
)586.01)(718.01(407.1)( 111 ??? ??? zzzzG B
1211 593.01()1()( ?? ??? zzzG e ）
所以
)()(
)()(
1 zGzG
zGzD
e
B?
)5 9 3.01)(1(
)3 6 8.01)(5 8 6.01(3 8 3.0
11
11
??
??
??
??
zz
zz=
此时
)368.01)(586.01)(1(383.0)( )()( 1112 ??? ????? zzzzG zGzG Be
于是, 可求
)1(
)586.01)(368.01(383.0)()()(
1
111
22 ?
???
?
????
z
zzzzRzGzE
e
...09.001.03 8 3.0 321 ??? ??? zzz=
7.8 Matlab在离散系统中应用
连 续系统 离散 化, 在 Matlab 中应用
CZDM函数 。 它的一般格式为
CZDM （ num,den,T,‘zoh’）
零阶保持
采样周期
连续传函分母多项式系数表
连续传函分子多项式系数表
例 已知开环离散控制系统结构如图，求开
环脉冲传递函数。采样周期 T=1秒。
s
e Ts??1 )1( 1?ss
y (t)
图 7-53开环离散控制系统
解 先用解析求 G（ Z）
G(Z) = Z [ ]=
z
z 1?
)1(
1
2 ?ss 3 6 8.03 6 8.1
2 6 4.03 6 8.0
2 ??
?
zz
z
用 Matlab可以很方便求得上述结果
%This script converts the
transfer function
%G(S)=1/s(s+1) to a discrete-
time system
%with a sampling period of T=1
sec
%
num=[1];den=[1,1,0];
T=1
[numZ,denZ]=c2dm(num,den,T,'Zoh
');
printsys(numZ,denZ,'Z')
3 6 8.03 6 8.1^
2 6 4.03 6 8.0
2 ??
?
zz
z
打印结果
假定离散系统如图 7-54所示 。 输入为单位阶
跃, 可用 dstep函数求输出响应 。
Dstep ( num,den,n )
用户指定的采样点数
离散系统脉冲传函分母多项式系数
离散系统脉冲传函分子多项式系数
de n
numZG ?)(
1)( ?? z
zZR y (Z)
图 7-54开环离散系统
例 已知离散系统结构如图所示, 采样系统
的输入为单位阶跃, 采样周期 T=1秒, 求输
出响应 。
s
e Ts??1
)1(
1
?ss
图 7-55闭環离散控制系统
解,由 GB(Z)= =
)(1
)(
ZG
ZG
? 6 32.0
2 64.03 68.0
2 ??
?
zz
z
y(Z)=GB(Z)R(Z)=
)63 2.0)(1(
)26 4.036 8.0(
2 ???
?
zzz
zz
= 0.368z -1+z –2 +1.4z -3+1.4z -4+1.14z -5
+…
可绘制输出响应如图
1 2 3 4 5
0.4
1
1.4
图 7-56闭環离散控制系统单位阶跃响应
如果用 Matlab的 dstep函数, 可很快得到离
散输出 y*(t)和连续输出结果 y(t)
%This script gene rather the unit
step response,y(kt),
%for the sampled data system
given in example
%
num=[0 0.368 0.264]; den=[1 -1
0.632];
dstep(num,den)
T i m e ( s e c, )
A
m
p
l
i
t
u
d
e
S t e p R e s p o n s e
0 5 10 15 20 25
0
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1
1, 2
1, 4
F r o m, U ( 1 )
T
o
:
Y
(
1
)
This script computes the
continuous-time unit
%step response for the system in
example
%
numg=[1];deng=[1 1 0];
[nd,dd]=pade(1,2)
numd=dd-nd;
dend=conv([1 0],dd);
[numdm,dendm]=minreal(numd,dend
);
%
[n1,d1]=series(numdm,dendm,numg
,deng);
[num,den]=cloop(n1,d1);
t=[0:0.1:20];
step(num,den,t)
T i m e ( s e c, )
A
m
p
l
i
t
u
d
e
S t e p R e s p o n s e
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0, 5
1
1, 5
F r o m, U ( 1 )
T
o
:
Y
(
1
)
图 7-58连续输出
