§ 5-5 控制系统的相对稳定性
一、相对稳定性
在工程应用中, 由于环境温度的变化, 元件的老化以及元件的更换等,
会引起系统参数的改变, 从而有可能破坏系统的稳定性 。 因此在选择元
件和确定系统参数时, 不仅要考虑系统的稳定性, 还要求系统有一定的
稳定程度, 这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题 。
例如, 图 5-52（ a） 和 （ b） 所示的两个最小相位系统的开环频率
特性曲线 （ 实线 ） 没有包围 点, 由奈氏判据知它们都是稳定的系
统, 但图 5-52（ a ） 所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 A 距离
点较远, 图 5-52（ b） 所示系统的频率特性曲线与负实轴的交
点 B 距离 点较近 。 假定系统的开环放大系统由于系统参数的改
变比原来增加了百分之五十, 则图 5-52（ a） 中的 A点移动到 A’ 点, 仍在
点右侧, 系统还是稳定的；而图 5-52(b)中的 B点则移到 点
的左侧 （ B’点 ）, 系统便不稳定了 。 可见, 前者较能适应系统参数的变
化, 即它的相对稳定性比后者好 。
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图 5-52 系统的相对稳定性
二, 稳定裕度
通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度, 其中
包括系统的 相角裕度和幅值裕度 。
图 5-53 最小相位系统的稳定裕度
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正相角裕度 ?
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所谓 相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移 与－
1800角的差值, 即
（ 5-125）
对于最小相位系统, 如果相角裕度, 系统是稳定的 （ 图 5-53a） ）,
且 值愈大, 系统的相对稳定性愈好 。 如果相角裕度, 系统则不
稳定 （ 图 5-53（ b）） 。 当 时, 系统的开环频率特性曲线穿过
点, 系统处于临界稳定状态 。
)( c??
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00??
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00?? 00??
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相角裕度的含义 使系统达到稳定的临界状态时的开环频率特性的相角
减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）
的数值。
（一） 相角裕度
如 图 5—53所示，我们把 GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲
线的交点频率 称为 幅值穿越频率或剪切频率,它满足
)0(1)()( ????? ccc jHjG ???
c?
（ 5-124）
)()()( ccc jHjG ???? ??
对于最小相位系统, 当幅值裕度 Kg>1( ）, 系统是稳
定的 (图 5-53(a)),且 Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好 。 如果幅值裕
度, ( ),系统则不稳定 ( 图 5-53(b))。 当 Kg=1时,
系统的开环频率特性曲线穿过 点 。 是临界稳定状态 。 可见, 求出
系统的幅值裕度 Kg 后, 便可根据 Kg值的大小来分析最小相位系统的稳定
性和稳定程度 。
（ 二 ） 幅值裕度
如图 5-53所示, 我们把系统的开环频率特性曲线与 GH平面负实轴的
交点频率称为 相位穿越频率, 显然它应满足
（ 5-126）
所谓 幅值裕度 Kg是指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒
数值, 即
（ 5-127）
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1
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幅值裕度的含义 使系统到达稳定的临界状态时的开环频率特性的幅值
增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的
倍数。
幅值裕度也可以用分贝数来表示，
分贝 （ 5-128）
)()( gg jHjG ??
)()(lg20lg20 ?? jHjGK g ??
因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位
系统是稳定、临界稳定或不稳定。
这里要指出的是, 系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角
裕度的大小来判断, 必须同时考虑相角裕度和幅角裕度 。 这从图 5-54（ a）
和 （ b） 所示的两个系统可以得到直观的说明, 图 5-54（ a） 所示系统的
幅值裕度大, 但相角裕度小 ；相反, 图 5-54（ b） 所示系统的相角裕
度大, 但幅值裕度小, 这两个系统的相对稳定性都不好 。 对于一般系统,
通常 要求相角裕度 =300～ 600,幅值裕度 （ 6分贝 ） 。?
2?Kg
较小较大,?Kga)(
图 5-54 稳定裕度的比较
较小较大,Kgb ?)(
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三、相角裕度和幅值裕度的求解方法
通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标
图法和伯德图法。下面通过实例进行说明。
（一） 解析法
根据系统的开环频率的开环频率特性，由式 （ 5-124）和式（ 5-125）
求 出 相角裕度；由 式（ 5-126）和式（ 5-127）求出幅值裕度，如果幅值
裕度用分贝数表示，则由式（ 5-128）求出。
例 5-9 已知最小相位系统的开环传递函数为
试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。
解 系统的开环频率特性为
其幅频特性和相频特性分别是
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2 ??? ssssHsG
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由式（ 5-124）令,得
由式（ 5-125）得
由式 （ 5－ 126）,令 得
由式 （ 5－ 127） 得
1)()( ??? jHjG
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g jHjGK ??
)(94.125.1lg20)( dBdBK g ??
（二）极坐标图法
在 GH平面上作出系统的开环频率特性的极坐标图, 并作一单位圆, 由
单位圆与开环频率特性的交点与坐标原点的连线与负实轴的夹角求出相角
裕度 ；由开环频率特性与负轴交点处的幅值 的倒数得
到幅值裕度 Kg。
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Kg1
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A
图 5-55 例 5-9极坐标图
在上例中，先作出系统的开环频率
特性曲线如图 5-55所示，作单位圆交
开环频率特性曲线于 A点，连接 OA，射
线 OA与负实轴的夹 角即为系统的相角
裕度 。开环频率特性曲线与负
实轴的交点坐标为
由此得到系统的幅值裕度
25.18.01 ??gK
（三）伯德图法
画出系统的伯德图, 由开环对数幅频特性与零分贝线 （ 即 轴 ） 的交
点频率, 求出对应的相频特性与－ 1800线的相移量, 即为相角裕度 。
当 对应的相频特性位于 –1800 线上方时, ；反之, 当 对应的
相频特性位于 –1800 线下方时, 。 然后, 由相频率特性与 -1800线的
交点频率,求出对应幅频特性与零分
贝线的差值, 即为幅值裕度 Kg的
分贝数 。 当 对应的幅频特性
位于零分贝线下方时,,
反之，当 对应的幅频特性位
于零分贝线上方时,。
例 5—9的伯德图如图 5-56所示。
从图中，可直接得到幅值穿越频率
,相角穿越频率,
相角裕度,幅值裕度
。
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090?
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0270?
?
图 5-56 例 5-9题 Bode图
比较上述三种解法不难发现：
解析法 比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统，
用解析法是很困难的。
图解法 以极坐标图和伯德图为基础的图解法，避免了繁锁的计算，
具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。不过图解法是一种近
似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。伯德
图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从伯德图 上获得相
角裕度 和幅值裕度,而且还可直接得到相应的幅值穿越频率
和相位穿频率 。同时伯德图较极坐标图方便，因此在工程实践中得
到更为广泛的应用。
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gK c?
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四、稳定裕度与系统的稳定性
前面我们已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。
下面我们通过两个示例进一步说明。
例 5-10 已知最小相位系统的开环传递函数为
试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。
)()1( )1()()( 2 ?? ???? TTss sKsHsG
解 该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图 5-57（ a）（当 时）和 图
5-57（ b）（当 时）所示。由 图 5-57（ a）可知，当 时，系统的
相角裕度,由图 5-57（ b）可知，当 时，系统的相角裕度 。
系统的幅值裕度用解析法求解如下：
系统的幅频特性和相频特性分别为
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图 5-57 例 5-10极坐标图
令,则有, 故 或
对应 S平面的坐标原点, 舍去 。, 由此求出系统的幅值裕
度为
可见，当,则 时，,该系统不稳定；
时，,该系统是稳定的，结论与例 5-8应用奈氏判据的结果一致。
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例 5-11 已知非最小相位系统的开环传递函数为
试分析该系统的稳定性及其与系统稳定裕度之间的关系。
解 在一定的 K值条件下，系统的开环频率特性如图 5-58所示。由于该系统有
一个为于右半部 S平面的开环极点,奈氏曲线逆时针包围
点一周（ N=－ 1），根据奈氏判据，该系统为稳定系统。
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图 5-58 例 5-11极坐标图
但由图解法求出该系统的相角裕度,
幅值裕度 Kg<1，这说明以相角裕度 和
幅值裕度 Kg>1作为判别非最小相位系统稳定
性的依据是不可靠的。
??0?
??0?
从上面示例可以看出, 对于非最小相位
系统, 不能简单地用系统的相角裕度和
幅值裕度的大小来判断系统的稳定性 。
但对于最小相位系统以相角裕度
和幅值裕度 Kg>1（ 或 K(dB)>0） 作为
系统稳定的充要条件是可靠的 。
??0?
End
16
开环频率特性为：
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( 1 ) ( 1 )( ) ( )
11
K j K jG j H j
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幅频特性为：
相频特性为：
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当 ω＝ 0+时,|G(j ω)H(j ω)|=+ ∞,相角 =-90o-180o=-270o
当 ω?+ ∞,|G(jω)H(jω)| ?0,相角 ?-90o
求与负实轴的交点，可令频率特性虚部为零，求出相
应的 频率 ωc,再代入频率特性实部求得交点。
一、相对稳定性
在工程应用中, 由于环境温度的变化, 元件的老化以及元件的更换等,
会引起系统参数的改变, 从而有可能破坏系统的稳定性 。 因此在选择元
件和确定系统参数时, 不仅要考虑系统的稳定性, 还要求系统有一定的
稳定程度, 这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题 。
例如, 图 5-52（ a） 和 （ b） 所示的两个最小相位系统的开环频率
特性曲线 （ 实线 ） 没有包围 点, 由奈氏判据知它们都是稳定的系
统, 但图 5-52（ a ） 所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 A 距离
点较远, 图 5-52（ b） 所示系统的频率特性曲线与负实轴的交
点 B 距离 点较近 。 假定系统的开环放大系统由于系统参数的改
变比原来增加了百分之五十, 则图 5-52（ a） 中的 A点移动到 A’ 点, 仍在
点右侧, 系统还是稳定的；而图 5-52(b)中的 B点则移到 点
的左侧 （ B’点 ）, 系统便不稳定了 。 可见, 前者较能适应系统参数的变
化, 即它的相对稳定性比后者好 。
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图 5-52 系统的相对稳定性
二, 稳定裕度
通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度, 其中
包括系统的 相角裕度和幅值裕度 。
图 5-53 最小相位系统的稳定裕度
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所谓 相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移 与－
1800角的差值, 即
（ 5-125）
对于最小相位系统, 如果相角裕度, 系统是稳定的 （ 图 5-53a） ）,
且 值愈大, 系统的相对稳定性愈好 。 如果相角裕度, 系统则不
稳定 （ 图 5-53（ b）） 。 当 时, 系统的开环频率特性曲线穿过
点, 系统处于临界稳定状态 。
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相角裕度的含义 使系统达到稳定的临界状态时的开环频率特性的相角
减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）
的数值。
（一） 相角裕度
如 图 5—53所示，我们把 GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲
线的交点频率 称为 幅值穿越频率或剪切频率,它满足
)0(1)()( ????? ccc jHjG ???
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（ 5-124）
)()()( ccc jHjG ???? ??
对于最小相位系统, 当幅值裕度 Kg>1( ）, 系统是稳
定的 (图 5-53(a)),且 Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好 。 如果幅值裕
度, ( ),系统则不稳定 ( 图 5-53(b))。 当 Kg=1时,
系统的开环频率特性曲线穿过 点 。 是临界稳定状态 。 可见, 求出
系统的幅值裕度 Kg 后, 便可根据 Kg值的大小来分析最小相位系统的稳定
性和稳定程度 。
（ 二 ） 幅值裕度
如图 5-53所示, 我们把系统的开环频率特性曲线与 GH平面负实轴的
交点频率称为 相位穿越频率, 显然它应满足
（ 5-126）
所谓 幅值裕度 Kg是指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒
数值, 即
（ 5-127）
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幅值裕度的含义 使系统到达稳定的临界状态时的开环频率特性的幅值
增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的
倍数。
幅值裕度也可以用分贝数来表示，
分贝 （ 5-128）
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因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位
系统是稳定、临界稳定或不稳定。
这里要指出的是, 系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角
裕度的大小来判断, 必须同时考虑相角裕度和幅角裕度 。 这从图 5-54（ a）
和 （ b） 所示的两个系统可以得到直观的说明, 图 5-54（ a） 所示系统的
幅值裕度大, 但相角裕度小 ；相反, 图 5-54（ b） 所示系统的相角裕
度大, 但幅值裕度小, 这两个系统的相对稳定性都不好 。 对于一般系统,
通常 要求相角裕度 =300～ 600,幅值裕度 （ 6分贝 ） 。?
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图 5-54 稳定裕度的比较
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三、相角裕度和幅值裕度的求解方法
通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标
图法和伯德图法。下面通过实例进行说明。
（一） 解析法
根据系统的开环频率的开环频率特性，由式 （ 5-124）和式（ 5-125）
求 出 相角裕度；由 式（ 5-126）和式（ 5-127）求出幅值裕度，如果幅值
裕度用分贝数表示，则由式（ 5-128）求出。
例 5-9 已知最小相位系统的开环传递函数为
试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。
解 系统的开环频率特性为
其幅频特性和相频特性分别是
)252(
40)()(
2 ??? ssssHsG
)225( 40)()( 2 ????? jjjHjG ???
222 4)25(
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由式（ 5-124）令,得
由式（ 5-125）得
由式 （ 5－ 126）,令 得
由式 （ 5－ 127） 得
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（二）极坐标图法
在 GH平面上作出系统的开环频率特性的极坐标图, 并作一单位圆, 由
单位圆与开环频率特性的交点与坐标原点的连线与负实轴的夹角求出相角
裕度 ；由开环频率特性与负轴交点处的幅值 的倒数得
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图 5-55 例 5-9极坐标图
在上例中，先作出系统的开环频率
特性曲线如图 5-55所示，作单位圆交
开环频率特性曲线于 A点，连接 OA，射
线 OA与负实轴的夹 角即为系统的相角
裕度 。开环频率特性曲线与负
实轴的交点坐标为
由此得到系统的幅值裕度
25.18.01 ??gK
（三）伯德图法
画出系统的伯德图, 由开环对数幅频特性与零分贝线 （ 即 轴 ） 的交
点频率, 求出对应的相频特性与－ 1800线的相移量, 即为相角裕度 。
当 对应的相频特性位于 –1800 线上方时, ；反之, 当 对应的
相频特性位于 –1800 线下方时, 。 然后, 由相频率特性与 -1800线的
交点频率,求出对应幅频特性与零分
贝线的差值, 即为幅值裕度 Kg的
分贝数 。 当 对应的幅频特性
位于零分贝线下方时,,
反之，当 对应的幅频特性位
于零分贝线上方时,。
例 5—9的伯德图如图 5-56所示。
从图中，可直接得到幅值穿越频率
,相角穿越频率,
相角裕度,幅值裕度
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图 5-56 例 5-9题 Bode图
比较上述三种解法不难发现：
解析法 比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统，
用解析法是很困难的。
图解法 以极坐标图和伯德图为基础的图解法，避免了繁锁的计算，
具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。不过图解法是一种近
似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。伯德
图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从伯德图 上获得相
角裕度 和幅值裕度,而且还可直接得到相应的幅值穿越频率
和相位穿频率 。同时伯德图较极坐标图方便，因此在工程实践中得
到更为广泛的应用。
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四、稳定裕度与系统的稳定性
前面我们已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。
下面我们通过两个示例进一步说明。
例 5-10 已知最小相位系统的开环传递函数为
试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。
)()1( )1()()( 2 ?? ???? TTss sKsHsG
解 该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图 5-57（ a）（当 时）和 图
5-57（ b）（当 时）所示。由 图 5-57（ a）可知，当 时，系统的
相角裕度,由图 5-57（ b）可知，当 时，系统的相角裕度 。
系统的幅值裕度用解析法求解如下：
系统的幅频特性和相频特性分别为
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图 5-57 例 5-10极坐标图
令,则有, 故 或
对应 S平面的坐标原点, 舍去 。, 由此求出系统的幅值裕
度为
可见，当,则 时，,该系统不稳定；
时，,该系统是稳定的，结论与例 5-8应用奈氏判据的结果一致。
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例 5-11 已知非最小相位系统的开环传递函数为
试分析该系统的稳定性及其与系统稳定裕度之间的关系。
解 在一定的 K值条件下，系统的开环频率特性如图 5-58所示。由于该系统有
一个为于右半部 S平面的开环极点,奈氏曲线逆时针包围
点一周（ N=－ 1），根据奈氏判据，该系统为稳定系统。
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图 5-58 例 5-11极坐标图
但由图解法求出该系统的相角裕度,
幅值裕度 Kg<1，这说明以相角裕度 和
幅值裕度 Kg>1作为判别非最小相位系统稳定
性的依据是不可靠的。
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从上面示例可以看出, 对于非最小相位
系统, 不能简单地用系统的相角裕度和
幅值裕度的大小来判断系统的稳定性 。
但对于最小相位系统以相角裕度
和幅值裕度 Kg>1（ 或 K(dB)>0） 作为
系统稳定的充要条件是可靠的 。
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End
16
开环频率特性为：
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( 1 ) ( 1 )( ) ( )
11
K j K jG j H j
j jT j jT
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2
2
1
( ) ( )
1
K
G j H j
T
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幅频特性为：
相频特性为：
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当 ω＝ 0+时,|G(j ω)H(j ω)|=+ ∞,相角 =-90o-180o=-270o
当 ω?+ ∞,|G(jω)H(jω)| ?0,相角 ?-90o
求与负实轴的交点，可令频率特性虚部为零，求出相
应的 频率 ωc,再代入频率特性实部求得交点。
