第三节
控制系统的传递函数
第三节 控制系统的传递函数
? 一、传递函数的概念
? 二、传递函数的性质
? 三, 典型环节及其传递函数
引言
? 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模
型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系
统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，
便需要重新列写并求解微分方程。
? 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在
复数域的数学模型为传递函数。
传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究
系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典
控制理论中最基本也是最重要的概念
一、传递函数的概念
图 2-14所示的 RC电路中电
容的端电压 uc(t)。根据克希
霍夫定律，可列写如下微分
方程：
( ) ( ) ( )cri t R u t u t?? (2.60)
1( ) ( ) d
cu t i t tC? ?
(2.61)
消去中间变量 i(t)，得到输入 ur(t)
与输出 uc(t)之间的线性定常微分
方程,
d ( ) ( ) ( )
d
c
cr
utR C u t u t
t ??
(2.62)
图 2-14 RC电路
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的
初始电压 uc(0)，得,
(2.63)
( ) ( ) ( ) ( )c c c rR C s U s R C u U s U s? ? ?0
式中 Uc(s)—— 输出电压 uc(t) 的拉氏变换；
Ur(s)—— 输入电压 ur(t) 的拉氏变换。
1( ) ( ) ( )
11c r c
RCU s U s u
R C s R C s???? 0
当输入为阶跃电压 ur(t)= u0·1(t)时，对 Uc(s)求拉氏反变换，即得
uc(t)的变化规律,
由上式求出 Uc(s)的表达式,
(2.64)
0( ) ( 1 ) ( )
tt
RC RCccu t u e u e??? ? ? 0
(2.6 5)
式中第一项称为零状态响应，
由 ur(t)决定的分量；
第二项称为零输入响应，
由初始电压 uc (0)决定的
分量。
图 2-15表示各分量的变化曲线，
电容电压 uc (t)即为两者的合成。 图 2-15 RC网络的阶跃响应曲线
在式 (2.65 )中，如果把初始电压 uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压 ur (t)
和初始电压 uc (0)作用时，电路的输出响应。若 uc(0)=0，则
有,
1( ) ( )
1crU s U sR C s? ?
(2.66)
当输入电压 ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换 Uc(s)完全由
1/(RCs+1)所确定，式 (2.66)亦可写为,
() 1
( ) 1
c
r
Us
U s R Cs? ?
(2.67)
当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的象
函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
用式 (2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为：
1()
1Gs Ts? ?
式中 T=RC。显然，传递函
数 G(s)确立了电路输入电压
与输出电压之间的关系。 图 2-16 传递函数
传递函数可用图 2-16表示。该图表明了电路中电压的传递
关系，即输入电压 Ur(s)，经过 G(s)的传递，得到输出电压
Uc (s)=G(s)Ur (s) 。
对传递函数作如下定义,线性（或线性化）定常系统 在零初始
条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为 传递
函数。
若线性定常系统由下述 n阶微分方程描述：
1
1 1 01
1
1 1 01
d d d
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
d d d
( ) ( ) ( ) ( )
d d d
nn
nnnn
mm
mmmm
a c t a c t a c t a c t
t t t
b r t b r t b r t b r t
t t t
?
? ?
?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
(2.68)
式中 c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量,a0,a1,…
an,b0,b1,…, bm是与系统结构参数有关的常系数。
令 C(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式
(2.68)进行拉氏变换，可得到 s的代数方程：
1
1 1 0
1
1 1 0
[,,, ] ( )
[,,, ] ( )
nn
nn
mm
mm
a s a s a s a C s
b s b s b s b R s
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
由传递函数的定义，由式 (2.68)描 述的线性定常系统的传递函数：
1
1 1 0
1
1 1 0
( ) ( )()
( ) ( )
mm
mm
nn
nn
b s b s b s bC s M sGs
R s a s a s a s a D s
?
?
?
?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+… +b1s+b0为传递函数的分子多项式；
D(s)= ansn+an-1sn-1+… +a1s+a0为传递函数的分母多项式。
分子 numerator,分母 denominator
(2.69)
传递函数 是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。
控制系统的零初始条件有两方面的含义,(一 )系统输入量及其各
阶导数在 t=0时的值均为零； (二 )系统输出量及其各阶导数在 t=0
时的值也为零。
二、传递函数的性质
从线性定常系统传递函数的定义式 (2.69)可知，传递函数具
有以下性质：
1.传递函数是复变量 s的有理真分式函数，分子的阶数 m低
于或等于分母的阶数 n （ m≤n）,且所有系数均为实数。
2.传 递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用
及初始条件无关。
12
12
( ) ( ) ( )()()
( ) ( ) ( ) ( )
m
n
s z s z s zCsG s k
R s s p s p s p
? ? ???
? ? ?
(2.70)
3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
将式 (2.69)中分子多项式及分母多项式因式分解后，写为如
下形式：
式中 k为常数,-z1,…,-zm
为传递函数分子多项式方程
的 m个根，称为传递函数的
零点； -p1,…,-pn为分母多
项式方程的 n个根，称为传
递函数的极点。
一般 zi,pi可为实数，也可
为复数，且若为复数，必共
轭成对出现。将零、极点标
在复平面上，则得传递函数
的零极点分布图，如图 2-17
所示。图中零点用,.,表示，
极点用,x,表示。 图 2-17 G(s)=
( ) ( )
s
s s s
?
? ? ?2
2
3 2 2
零极点分布图
4,若 取式 (2.69)中 s = 0,则：
常称为传递系数 （ 或静态放大系数 ） 。 从微分方 程式 (2.68)看,
s=0相当于所有导数项为零, 方程蜕变为静态方程
0
0
(0) bG a?
00a c b r? 0
0
bcr
a?
或
b0 /a0恰为输出输入时静态比值。
5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量 。 多输
入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示 。
三、典型环节及其传递函数
控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种
基本环节，也就是典型环节。
（ 一 ） 比例环节 (Proportional)
比例环节的传递函数为：
G(s)= K (2.71)
输出量与输入量成正比，比
例环节又称为无惯性环节或
放大环节。
图 2-18 比例环节
图 2-18(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图 2-18(b)
所示。
（ 二 ） 惯性环节
传递函数为如下形式的环节为惯性环节：
() 1KGs Ts? ?
(2.72)
当环节的输入量为单位阶跃
函数时，环节的输出量将按指
数曲线上升，具有惯性，如图
2-19(a)所示。
式中 K——环节的比例系数；
T——环节的时间常数。
图 2-19 惯性环节
（三）积分环节
它的传递函数为,
1()Gs
Ts?
(2.73)
当积分环节的输入为单位
阶跃函数时, 则输出为 t/T,它
随着时间直线增长 。 T称为积
分时间常数 。 T很大时惯性环
节的作用就近似一个积分环节 。
图 2-20(b)为积分调节器 。 积
分时间常数为 RC。
图 2-20 积分环节
（四）微分环节
理想微分环节传递函数为,
G(s) = T s (2.74)
输入是单位阶跃函数 1(t)时, 理想微分环节的输出为 c(t)=Td(t)，
是个脉冲函数 。
在实际系统中, 微分环节常带有惯性, 它的传递函数为：
理想微分环节的实例示于图 2-21(a),(b)。 (a)为测速发电机。
图中 (b)为微分运算放大器。
1
2
() 1TsGs Ts? ?
(2.75)
它由理想微分环节和惯性环节组成, 如图 2-21(c),(d)所示 。 在
低频时近似为理想微分环节, 否则就有 式 (2.75)的 传递函数 。
图 2-21 微分环节
（ 五 ） 振荡环节 (含有两个贮能元件 ）
振荡环节的传递函数为：
2
2 2 2 2
1()
2 1 2
n
nn
Gs T s T s s s?? ? ? ???? ? ? ?(2.76)
式中 ?n ???无阻尼自然振荡频率, ?n=1/T；
? —— 阻尼比, 0＜ ?＜ 1。
图 2-22所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。
图 2-22 振荡环节的单位阶跃响应曲线
（ 六 ） 延滞环节
延滞环节是线性环节, t 称为延滞时间 （ 又称死时 ） 。 具
有延滞环节的系统叫做延滞系统 。
如 图 2-23所示, 当输入为阶跃信号, 输出要隔一定时间 t 后
才出现阶跃信号, 在 0＜ 1＜ t内, 输出为零 。
图 2-23 延滞环节
延滞环节的传递函数可求之如下：
()
00
( ) ( ) d ( ) d
( )
s t s
s
C s r t e t r e
e R s
?t
t
t ? ?
?? ? ? ?
?
? ? ?
?
??
c(t)= r(t－ t)
其拉氏变换为,
式中 ? = t?t,所以延滞环节的传递函数为,
系统具有延滞环节对系统的稳定性不利, 延滞越大, 影响
越大 。
() sG s e t?? (2.77)
控制系统的传递函数
第三节 控制系统的传递函数
? 一、传递函数的概念
? 二、传递函数的性质
? 三, 典型环节及其传递函数
引言
? 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模
型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系
统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，
便需要重新列写并求解微分方程。
? 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在
复数域的数学模型为传递函数。
传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究
系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典
控制理论中最基本也是最重要的概念
一、传递函数的概念
图 2-14所示的 RC电路中电
容的端电压 uc(t)。根据克希
霍夫定律，可列写如下微分
方程：
( ) ( ) ( )cri t R u t u t?? (2.60)
1( ) ( ) d
cu t i t tC? ?
(2.61)
消去中间变量 i(t)，得到输入 ur(t)
与输出 uc(t)之间的线性定常微分
方程,
d ( ) ( ) ( )
d
c
cr
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t ??
(2.62)
图 2-14 RC电路
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的
初始电压 uc(0)，得,
(2.63)
( ) ( ) ( ) ( )c c c rR C s U s R C u U s U s? ? ?0
式中 Uc(s)—— 输出电压 uc(t) 的拉氏变换；
Ur(s)—— 输入电压 ur(t) 的拉氏变换。
1( ) ( ) ( )
11c r c
RCU s U s u
R C s R C s???? 0
当输入为阶跃电压 ur(t)= u0·1(t)时，对 Uc(s)求拉氏反变换，即得
uc(t)的变化规律,
由上式求出 Uc(s)的表达式,
(2.64)
0( ) ( 1 ) ( )
tt
RC RCccu t u e u e??? ? ? 0
(2.6 5)
式中第一项称为零状态响应，
由 ur(t)决定的分量；
第二项称为零输入响应，
由初始电压 uc (0)决定的
分量。
图 2-15表示各分量的变化曲线，
电容电压 uc (t)即为两者的合成。 图 2-15 RC网络的阶跃响应曲线
在式 (2.65 )中，如果把初始电压 uc(0)也视为一个输入作用，
则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压 ur (t)
和初始电压 uc (0)作用时，电路的输出响应。若 uc(0)=0，则
有,
1( ) ( )
1crU s U sR C s? ?
(2.66)
当输入电压 ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换 Uc(s)完全由
1/(RCs+1)所确定，式 (2.66)亦可写为,
() 1
( ) 1
c
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Us
U s R Cs? ?
(2.67)
当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的象
函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
用式 (2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为：
1()
1Gs Ts? ?
式中 T=RC。显然，传递函
数 G(s)确立了电路输入电压
与输出电压之间的关系。 图 2-16 传递函数
传递函数可用图 2-16表示。该图表明了电路中电压的传递
关系，即输入电压 Ur(s)，经过 G(s)的传递，得到输出电压
Uc (s)=G(s)Ur (s) 。
对传递函数作如下定义,线性（或线性化）定常系统 在零初始
条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为 传递
函数。
若线性定常系统由下述 n阶微分方程描述：
1
1 1 01
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nn
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(2.68)
式中 c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量,a0,a1,…
an,b0,b1,…, bm是与系统结构参数有关的常系数。
令 C(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式
(2.68)进行拉氏变换，可得到 s的代数方程：
1
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由传递函数的定义，由式 (2.68)描 述的线性定常系统的传递函数：
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式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+… +b1s+b0为传递函数的分子多项式；
D(s)= ansn+an-1sn-1+… +a1s+a0为传递函数的分母多项式。
分子 numerator,分母 denominator
(2.69)
传递函数 是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。
控制系统的零初始条件有两方面的含义,(一 )系统输入量及其各
阶导数在 t=0时的值均为零； (二 )系统输出量及其各阶导数在 t=0
时的值也为零。
二、传递函数的性质
从线性定常系统传递函数的定义式 (2.69)可知，传递函数具
有以下性质：
1.传递函数是复变量 s的有理真分式函数，分子的阶数 m低
于或等于分母的阶数 n （ m≤n）,且所有系数均为实数。
2.传 递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用
及初始条件无关。
12
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( ) ( ) ( )()()
( ) ( ) ( ) ( )
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? ? ???
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(2.70)
3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
将式 (2.69)中分子多项式及分母多项式因式分解后，写为如
下形式：
式中 k为常数,-z1,…,-zm
为传递函数分子多项式方程
的 m个根，称为传递函数的
零点； -p1,…,-pn为分母多
项式方程的 n个根，称为传
递函数的极点。
一般 zi,pi可为实数，也可
为复数，且若为复数，必共
轭成对出现。将零、极点标
在复平面上，则得传递函数
的零极点分布图，如图 2-17
所示。图中零点用,.,表示，
极点用,x,表示。 图 2-17 G(s)=
( ) ( )
s
s s s
?
? ? ?2
2
3 2 2
零极点分布图
4,若 取式 (2.69)中 s = 0,则：
常称为传递系数 （ 或静态放大系数 ） 。 从微分方 程式 (2.68)看,
s=0相当于所有导数项为零, 方程蜕变为静态方程
0
0
(0) bG a?
00a c b r? 0
0
bcr
a?
或
b0 /a0恰为输出输入时静态比值。
5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量 。 多输
入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示 。
三、典型环节及其传递函数
控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种
基本环节，也就是典型环节。
（ 一 ） 比例环节 (Proportional)
比例环节的传递函数为：
G(s)= K (2.71)
输出量与输入量成正比，比
例环节又称为无惯性环节或
放大环节。
图 2-18 比例环节
图 2-18(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图 2-18(b)
所示。
（ 二 ） 惯性环节
传递函数为如下形式的环节为惯性环节：
() 1KGs Ts? ?
(2.72)
当环节的输入量为单位阶跃
函数时，环节的输出量将按指
数曲线上升，具有惯性，如图
2-19(a)所示。
式中 K——环节的比例系数；
T——环节的时间常数。
图 2-19 惯性环节
（三）积分环节
它的传递函数为,
1()Gs
Ts?
(2.73)
当积分环节的输入为单位
阶跃函数时, 则输出为 t/T,它
随着时间直线增长 。 T称为积
分时间常数 。 T很大时惯性环
节的作用就近似一个积分环节 。
图 2-20(b)为积分调节器 。 积
分时间常数为 RC。
图 2-20 积分环节
（四）微分环节
理想微分环节传递函数为,
G(s) = T s (2.74)
输入是单位阶跃函数 1(t)时, 理想微分环节的输出为 c(t)=Td(t)，
是个脉冲函数 。
在实际系统中, 微分环节常带有惯性, 它的传递函数为：
理想微分环节的实例示于图 2-21(a),(b)。 (a)为测速发电机。
图中 (b)为微分运算放大器。
1
2
() 1TsGs Ts? ?
(2.75)
它由理想微分环节和惯性环节组成, 如图 2-21(c),(d)所示 。 在
低频时近似为理想微分环节, 否则就有 式 (2.75)的 传递函数 。
图 2-21 微分环节
（ 五 ） 振荡环节 (含有两个贮能元件 ）
振荡环节的传递函数为：
2
2 2 2 2
1()
2 1 2
n
nn
Gs T s T s s s?? ? ? ???? ? ? ?(2.76)
式中 ?n ???无阻尼自然振荡频率, ?n=1/T；
? —— 阻尼比, 0＜ ?＜ 1。
图 2-22所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。
图 2-22 振荡环节的单位阶跃响应曲线
（ 六 ） 延滞环节
延滞环节是线性环节, t 称为延滞时间 （ 又称死时 ） 。 具
有延滞环节的系统叫做延滞系统 。
如 图 2-23所示, 当输入为阶跃信号, 输出要隔一定时间 t 后
才出现阶跃信号, 在 0＜ 1＜ t内, 输出为零 。
图 2-23 延滞环节
延滞环节的传递函数可求之如下：
()
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( ) ( ) d ( ) d
( )
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C s r t e t r e
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?t
t
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c(t)= r(t－ t)
其拉氏变换为,
式中 ? = t?t,所以延滞环节的传递函数为,
系统具有延滞环节对系统的稳定性不利, 延滞越大, 影响
越大 。
() sG s e t?? (2.77)
