第三章 控制系统的
时域分析法
第三章 控制系统的时域分析法
§ 3-1 二阶系统的瞬态响应及性能指标
§ 3-2 增加零极点对二阶系统响应的影响
§ 3-3 反馈控制系统的稳态误差
§ 3-4 劳斯 -胡尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应, 是指系统的输出从输入信号 r(t)作用时刻起,
到稳定状态为止, 随时间变化的过程 。 分析系统的瞬态响应,
可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能 。 分析系统的瞬态
响应, 有以下方法：
1,直接求解法
2,间接评价法
3,计算机仿真法
本小节首先讨论典型输入信号, 性能指标等内容, 然
后讨论一阶, 二阶系统的瞬态响应, 最后讨论如何处理高阶
系统的瞬态响应问题 。
一, 典型输入信号
（ 一 ） 阶跃信号
阶跃信号的表达式为,
(3.1)
当 A=1时, 则称为单位阶跃信号, 常用 1(t)表示, 如图 3-1
所示 。
图 3-1 阶跃 信号 图 3-2 斜坡 信号
()
Atrt
t
???
? ??
0
00
（二）斜坡信号
斜坡信号在 t =0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等
速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导
数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：
(3.2)
()
A t t
rt
t
??
? ?
??
0
0 0
（ 三）抛物线信号
抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号
的积分而得。抛物线信号的表达式为：
（ 3.3）
当 A =1时，则称为单位抛物线信号，如图 3-3所示
0
()
0 0
A t t
rt
t
? ?
??
?
? ??
21
2
（ 四 ） 脉冲信号
单位脉冲信号的表达式为：
(3.4)
其图形如图 3-4所示。是一宽度为 e,高度为 1／ e 的矩形
脉冲，当 e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号 (亦称 d(t) 函数 )。
(3.5)
1
()
t
rt
tt
e
e
e
?
???
? ?
? ???
0
00 及
( ) d 1ttd?
??
??
（ 五 ） 正弦信号
正弦信号的表达式为,
（ 3.6）
其中 A为幅值, w=2p /T为角频率 。
图 3-5 正弦信号
s i n
()
A t t
rt
t
w ??
? ?
??
0
0 0
二, 系统的性能指标
系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，
对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量, 如图 3-6所示 。
这时瞬态响应的性能指标有：
1。 最大超调量 sp—— 响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。 延滞时间 td—— (delay time)响应曲线到达稳态值 50%所需
的时间,
称为延滞时间 。
( ) ( ) %
()
p
p
c t c
cs
????
? 100
3,上升时间 tr—— (rise time)它有几种定义：
(1) 响应曲线从稳态值的 10%到 90%所需时间；
(2) 响应曲线从稳态值的 5%到 95%所需时间；
(3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
一般对有振荡的系统常用,(3)”，对无振荡的系统常用,(1)”。
4,峰值时间 tp—— (peak overshoot time)响应曲线到达第一个
峰值所需的时间，定义为峰值时间。
5,调整时间 ts—— (settling time)响应曲线从零开始到进入稳态
值的 95%~105%（或 98%~102%）误差带时所需要的时间，
定义为调整时间。
图 3-6 单位阶跃响应 延滞 delay，上升 rise,峰值 peak,
调整 settling
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
动输入为主要输入，所以 常以系统对单位扰动输入信号时的
响应特性来衡量瞬态性能。这时参考输入不变、输出的希望
值不变，响应曲线围绕原来工作状态上下波动,如图 3-7所
示。
可用一阶微分方程描述其
动态过程的系统，称为一阶
系统。考虑如图 3-8所示的
一阶系统，它代表一个电机
的速度控制系统，其中 t 是
电机的时间常数。
该一阶系统的闭环传递函数为
(3.7)
三、瞬态响应分析
（一）一阶系统的瞬态响应
图 3-8 一阶控制系统
( ) /()
( ) 1 ( 1 ) /B
C s K KGs
R s s K s K
?
??
? ? ?
? ? ? ?
当系统输入为单位阶跃信号时，即 r(t)=1(t)或 R(s)=1/s，输
出响应的拉氏变换为
(3.8)
取 C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为
(3.9)
系统响应如图 3-9所示。
从图中看出，响应的稳态值为
(3.10)
/ 1 /( 1 ) /( 1 )()
( 1 ) / ( 1 ) /
K K K K KCs
s K s s s K
?
??
??? ? ? ?
? ? ? ?
( 1 ) /()
11
KtKKc t e
KK
?????
??
()
1
K
c
K
??
?
图 3-9 一阶系统的单位阶跃响应
若增加放大器增益 K，可使稳态值近似为 1。实际上，由
于放大器的内部噪声随增益的增加而增大,K不可能为无穷
大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。
所以，系统的稳态误差
(3.11)
不可能为零。
系统的时间常数为
(3.12)
它可定义为系统响应达到稳态值的 63.2%所需要的时间。
1( ) l i m ( ) l i m [ ( ) ( ) ] 1 ( )
1tte e t r t c t c K? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
T
K
??
?
由式 (3.9)，很容易找到系统输出值与时间常数 T的对应关系：
从中可以看出，响应曲线在经过 3T（ 5%误差）或 4T（ 2%误差）
的时间后进入稳态。
t = T,c(1T) = 0.632 c(∞)
t = 2T,c(2T) = 0.865c(∞)
t = 3T,c(3T) = 0.950c(∞)
t = 4T,c(4T) = 0.982c(∞)
如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图 3-9中
的 c1(t)所示,T还可定义为 c1(t)曲线达到稳态值所需要
的时间。
( 1 ) /
00
d ( )
d
Kt
tt
c t K Ke
t
?
??
??
????
(3.13)
因此
1 ()
Kc t t
?
?
当 t= T时,c1(t)曲线到达稳态值，即
1 () 1
KKc T T
K??? ?
，
1
T
K
??
?
（二）二阶系统的阶跃响应
在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似
地降阶为二阶系统处理。
图 3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数
为
() nB
nn
Gs
ss
w
?w w
?
??
2
222
由上式可看出,? 和 wn是决定
二阶系统动态特性的两个非常重
要参数，其中 ? 称为阻尼比,wn
称为无阻尼自然振荡频率, 图 3-10 二阶系统
例如图 2-2中 R-Ｌ -Ｃ 电路，其传递函数为
式中，无阻尼自然振荡频率
就是电路当 R=0时的谐振频率；阻尼比
0 () 1()
( ) 1B r
UsGs
U s L C s R C s?? ??2
2
/() n
B
nn
LCGs
R ssss
L L C
w
? w w
??
????
2
2
2
1
1 2
1
11
n L C T Tw ??
2
11
/ 1 1
nn
TR L R C
L T T
?
ww
? ? ? ? 2
2 2 2 2
又如图 2-3中电枢控制的直流电动机，输出 w 与电枢电
压 ua之间传递函数为
或
式中
1
/1)(
2 ??? sTsTT
KsG
mma
cB
2
22
2
1/11()
11
a m n
B
c c n n
a a m
TTGs
K K s sss
T T T
w
? w w? ? ? ? ???? 2
ma
n TT
1?w
a
m
an T
T
T 22
11 ??
w?
由式 (3.14)描述的系统特征方程为
(3.15)
这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为
(3.16)
显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也
就不同。
2 0
nnss? w w? ? ?
22
1
2
1
1
nn
nn
s
s
? w w ?
? w w ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
下面分别对二阶系统在 0<z<1,z =1，和 z >1三种情况
下的阶跃响应进行讨论。
1,0<? <1，称为欠阻尼情况
按式 (3.14)，系统传递函数可写为
它有一对共轭复数根 (3.18)
式中 称为有阻尼振荡频率。
2
BG ( s ) = ( ) ( )
n
n d n ds j s j
w
?w w ?w w? ? ? ?
1,2 ndsj? w w? ? ?
21dnw w ???
在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号 r(t)=1(t)时，
系统输出的拉氏变换为
(3.19)
对式 (3.19)求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应 c(t)：
(3.20)
2
22() ()
n
nn
Cs s s sw?w w? ??2
2 2 2 2
1
( ) ( )
n
n d n d
s
s s s
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2
( ) [ ( ) ] 1 ( c o s s i n )
1
n t
ddc t C s e t t
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?
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L 1
2
2
2
111 si n( 1 )
1
n t
net
?w ?w?
??
? ?? ? ? ?
?
arctan
它是一衰减的振荡过程，如图 3-11所示，其振荡频率
就是有阻尼振荡频率 wd，而其幅值则按指数曲线（响应曲
线的包络线）衰减，两者均由参数 ?和 wn决定。
(a)根分布 (b)
图 3-11 欠阻尼情况 (0<? <1)
系统的误差则为
(3.21)
当 t→∞ 时，稳态误差 e (∞)＝０。
若 ? =０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚
根，即
(3.22)
此时单位阶跃响应为
(3.23)
它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡
频率 wn 。当系统有一定阻尼时,wd总是小于 wn 。
2
2
2
( ) ( ) ( )
11
si n( 1 a r c t a n ) ( 0)
1
n t
n
e t r t c t
e t t?w
?
w?
??
?
??
?
? ? ? ?
?
s1,2= ± jwn
( ) 1 c o s nc t tw??
2,? =１，称为临界阻尼情况
此时系统有两个相等的实数特征根：
s1= s 2= -wn (3.24)
系统输出的拉氏变换为
(3.25)
取 C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃
响应为
(3.26)
2
22
11()
( ) ( )
nn
n n n
Cs
s s s s s
ww
w w w
? ? ? ?
? ? ?
( ) 1 ( 1 )n t nc t e tw w?? ? ?
(a)根分布 (b)
图 3-12 临界阻尼情况 (z ＝ 1)
响应曲线如图 3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单
调的响应过程。
3,? ＞１，称为过阻尼情况
当阻尼比 ? ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
(3.27)
对于单位阶跃输入,C(s)为
(3.28)
将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单
位阶跃响应为
(3.29)
21,2 ( 1 ) ns ? ? w? ? ? ?
nn sss
sC
w??
???
w??
???
)1(
)]1(1[
)1(
)]1(1[1)(
2
122
2
122
???
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???
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)
11
(
1
11)(
2
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2
)1(
2
22
??
?
???
??
??????
?????
w??w?? tt nn ee
tc
2
图 3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。
显然响应曲线无超调，而且过程拖得比 ? =１时来得长。
(a)根分布 (b)
图 3-13 过阻尼情况 (z >1)
根据以上分析，可得不同 ?值下的二阶系统单位阶跃响应
曲线族,如图 3-14所示。由图可见，在一定 ?值下,欠阻尼系统
比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计
成欠阻尼系统。
图 3-14 二阶系统单位阶跃响应
（三）二阶系统的脉冲响应
当输入信号为单位脉冲信号 d (t)，即 R(s)=１时，二阶系
统单位脉冲响应的拉氏变换为
(3.30)
对式 (3.30)求拉氏反变换，得
(3.31)
可见,系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单
位脉冲响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可
以用来描述系统的特征。
2
22( ) ( ) ( ) 2
n
B
nn
C s G s R s
ss
w
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??
??
2
11
22( ) [ ( ) ] [ ]2
n
B
nn
c t G s L
ss
w
? w w
????
??
L
由式 (3.31)，对于欠阻尼情况 (0<?<1)，有
(3.32)
对于临界阻尼情况 (? ＝１ )，有
c(t) = w2n t e-wn t (3.33)
对于过阻尼情况 (? >1)，有
(3.34)
图 3-15表示不同 ?值时的单位脉冲响应曲线。
2
2
( ) s in 1
1
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?ww w?
?
???
?
22( 1 ) ( 1 )
2
( ) [ ]
1
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?
? ? ? ? ? ???
?2
图 3-15 二阶系统单位脉冲响应
（四）二阶系统的瞬态响应性能指标
通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠
阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也
较好。
对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有：
1,上升时间 tr
按式 (3.20)，令 c(tr)=1，就可求得
2
c o s s in
1d r d r
tt?ww
?
??
?
0
21
drt
?
w
?
?
??tan
因此
式中
由式 (3.35)可见，要使系统反应快，必须减小
tr。因此当 ?一定,wn必须加大；若 wn为固定值，则
?越小,tr也越小。
2,峰值时间 tp
按式 (3.20)，对 c(t)求一阶导数，并令其为零，
可得到
21
a r c ta n
?
f
?
?
?
211
a r c ta n ( )r
dd
t ? pf
w ? w
? ?? ? ?(3.35)
(3.36)
到达第一个峰值时
wd tp = p
所以
(3.37)
上式表明，峰值时间 tp与有阻尼振荡频率 wd成反比。当 wn一定,?越
小,tp也越小。
c os( ) sin( )d d p n d pttw w f ? w w f? ? ? ? 0
21p
d n
t pp
w w?
??
?
21
ta n ( ) ddp
n
t ?wwf ? w ??? ? ?
3,最大超调量 sp
以 t= tp代入式 (3.20)，可得到最大百分比超调量
(3.38)
由上式可见，最大百分比超调量完全由 ?决定,?越小，
超调量越大。当 ? =０时,sp %= 100%，当 ? =１时,sp %
=０。 sp与 ?的关系曲线见图 3-16。
21%%
p e
?p
?s
?
??? 100
图 3-16 sp与 ?的关系
4,调节时间 ts
根据定义可以求出调节时间 ts，如图 3-17所示。图中
T=1/?wn,为 c(t)包络曲线的时间常数，在 ? =0.69(或 0.77)，
ts有最小值，以后 ts随 ?的增大而近乎线性地上升。图 3-17中
曲线的不连续性是由于在 ?虚线附近稍微变化会引起 ts突变造
成的，如图 3-18所示。
ts也可由式 (3.21)的包络线近似求得，即令 e(t)的幅值
或 0.02
(3.39)
2
1
1
n te ?w
?
? ?
?
0.05
21 l n( 1 )
s
n
t ?
?w
? ? ?0.05
图 3-17 ts与 ? 的关系 图 3-18 ?稍微突变引起的 ts突变
当０＜ ? ＜ 0.9时，则
(按到达稳态值的 95%~105%计 )
(3.40)
或 (按到达稳态值的 98%~102%计 )
由此可见,?wn大,ts就小，当 wn一定，则 ts与 ?成反比，
这与 tp,tr与 ?的关系正好相反。
根据以上分析,如何选取 ?和 wn来满足系统设计要求，总
结几点如下：
(1) 当 wn一定，要减小 tr和 tp，必须减少 ?值，要减少 ts则
应增大 ?wn值，而且 ?值有一定范围，不能过大。
(2) 增大 wn,能使 tr,tp和 ts都减少。
(3) 最大超调量 sp只由 ?决定,?越小,sp越大。所以，一
般根据 sp 的要求选择 ?值，在实际系统中,?值一般在 0.5～
0.8之间,
Tt
n
s 3
3 ??
?w
Tt
ns
44 ?? ?w
四、线性定常系统的重要特性
对于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号 r(t)的作
用下，其输出 c(t)的拉氏变换为 C(s)=GB (s)R(s)。
若系统的输入为 其拉氏变换为
这时系统的输出为
当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系
统的输出为原来输出的导数。
t
trtr
d
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1 ? )(]d )(d[)( 11 ssRttrsR ?? ?L
)()()()()()( 11 ssCssRsGsRsGsC BB ????
t
tctc
d
)(d)(
1 ?
同理，若系统的输入为,其拉氏变换为
此式说明，在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入
信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。
由上可以推知：
(一 )由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的
一阶导数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间
的一阶导数,
(二 )由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位
阶跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响
应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重
和二重积分。
2 ( ) ( ) dr t r t t? ?
2
1( ) ( )R s R s
s?
22
11( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
BBC s G s R G s R s C sss? ? ? ?
2 ( ) ( ) dc t c t t? ?
时域分析法
第三章 控制系统的时域分析法
§ 3-1 二阶系统的瞬态响应及性能指标
§ 3-2 增加零极点对二阶系统响应的影响
§ 3-3 反馈控制系统的稳态误差
§ 3-4 劳斯 -胡尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应, 是指系统的输出从输入信号 r(t)作用时刻起,
到稳定状态为止, 随时间变化的过程 。 分析系统的瞬态响应,
可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能 。 分析系统的瞬态
响应, 有以下方法：
1,直接求解法
2,间接评价法
3,计算机仿真法
本小节首先讨论典型输入信号, 性能指标等内容, 然
后讨论一阶, 二阶系统的瞬态响应, 最后讨论如何处理高阶
系统的瞬态响应问题 。
一, 典型输入信号
（ 一 ） 阶跃信号
阶跃信号的表达式为,
(3.1)
当 A=1时, 则称为单位阶跃信号, 常用 1(t)表示, 如图 3-1
所示 。
图 3-1 阶跃 信号 图 3-2 斜坡 信号
()
Atrt
t
???
? ??
0
00
（二）斜坡信号
斜坡信号在 t =0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等
速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导
数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：
(3.2)
()
A t t
rt
t
??
? ?
??
0
0 0
（ 三）抛物线信号
抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号
的积分而得。抛物线信号的表达式为：
（ 3.3）
当 A =1时，则称为单位抛物线信号，如图 3-3所示
0
()
0 0
A t t
rt
t
? ?
??
?
? ??
21
2
（ 四 ） 脉冲信号
单位脉冲信号的表达式为：
(3.4)
其图形如图 3-4所示。是一宽度为 e,高度为 1／ e 的矩形
脉冲，当 e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号 (亦称 d(t) 函数 )。
(3.5)
1
()
t
rt
tt
e
e
e
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???
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? ???
0
00 及
( ) d 1ttd?
??
??
（ 五 ） 正弦信号
正弦信号的表达式为,
（ 3.6）
其中 A为幅值, w=2p /T为角频率 。
图 3-5 正弦信号
s i n
()
A t t
rt
t
w ??
? ?
??
0
0 0
二, 系统的性能指标
系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，
对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量, 如图 3-6所示 。
这时瞬态响应的性能指标有：
1。 最大超调量 sp—— 响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。 延滞时间 td—— (delay time)响应曲线到达稳态值 50%所需
的时间,
称为延滞时间 。
( ) ( ) %
()
p
p
c t c
cs
????
? 100
3,上升时间 tr—— (rise time)它有几种定义：
(1) 响应曲线从稳态值的 10%到 90%所需时间；
(2) 响应曲线从稳态值的 5%到 95%所需时间；
(3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
一般对有振荡的系统常用,(3)”，对无振荡的系统常用,(1)”。
4,峰值时间 tp—— (peak overshoot time)响应曲线到达第一个
峰值所需的时间，定义为峰值时间。
5,调整时间 ts—— (settling time)响应曲线从零开始到进入稳态
值的 95%~105%（或 98%~102%）误差带时所需要的时间，
定义为调整时间。
图 3-6 单位阶跃响应 延滞 delay，上升 rise,峰值 peak,
调整 settling
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
动输入为主要输入，所以 常以系统对单位扰动输入信号时的
响应特性来衡量瞬态性能。这时参考输入不变、输出的希望
值不变，响应曲线围绕原来工作状态上下波动,如图 3-7所
示。
可用一阶微分方程描述其
动态过程的系统，称为一阶
系统。考虑如图 3-8所示的
一阶系统，它代表一个电机
的速度控制系统，其中 t 是
电机的时间常数。
该一阶系统的闭环传递函数为
(3.7)
三、瞬态响应分析
（一）一阶系统的瞬态响应
图 3-8 一阶控制系统
( ) /()
( ) 1 ( 1 ) /B
C s K KGs
R s s K s K
?
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? ? ?
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当系统输入为单位阶跃信号时，即 r(t)=1(t)或 R(s)=1/s，输
出响应的拉氏变换为
(3.8)
取 C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为
(3.9)
系统响应如图 3-9所示。
从图中看出，响应的稳态值为
(3.10)
/ 1 /( 1 ) /( 1 )()
( 1 ) / ( 1 ) /
K K K K KCs
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??? ? ? ?
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( 1 ) /()
11
KtKKc t e
KK
?????
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()
1
K
c
K
??
?
图 3-9 一阶系统的单位阶跃响应
若增加放大器增益 K，可使稳态值近似为 1。实际上，由
于放大器的内部噪声随增益的增加而增大,K不可能为无穷
大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。
所以，系统的稳态误差
(3.11)
不可能为零。
系统的时间常数为
(3.12)
它可定义为系统响应达到稳态值的 63.2%所需要的时间。
1( ) l i m ( ) l i m [ ( ) ( ) ] 1 ( )
1tte e t r t c t c K? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
T
K
??
?
由式 (3.9)，很容易找到系统输出值与时间常数 T的对应关系：
从中可以看出，响应曲线在经过 3T（ 5%误差）或 4T（ 2%误差）
的时间后进入稳态。
t = T,c(1T) = 0.632 c(∞)
t = 2T,c(2T) = 0.865c(∞)
t = 3T,c(3T) = 0.950c(∞)
t = 4T,c(4T) = 0.982c(∞)
如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图 3-9中
的 c1(t)所示,T还可定义为 c1(t)曲线达到稳态值所需要
的时间。
( 1 ) /
00
d ( )
d
Kt
tt
c t K Ke
t
?
??
??
????
(3.13)
因此
1 ()
Kc t t
?
?
当 t= T时,c1(t)曲线到达稳态值，即
1 () 1
KKc T T
K??? ?
，
1
T
K
??
?
（二）二阶系统的阶跃响应
在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似
地降阶为二阶系统处理。
图 3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数
为
() nB
nn
Gs
ss
w
?w w
?
??
2
222
由上式可看出,? 和 wn是决定
二阶系统动态特性的两个非常重
要参数，其中 ? 称为阻尼比,wn
称为无阻尼自然振荡频率, 图 3-10 二阶系统
例如图 2-2中 R-Ｌ -Ｃ 电路，其传递函数为
式中，无阻尼自然振荡频率
就是电路当 R=0时的谐振频率；阻尼比
0 () 1()
( ) 1B r
UsGs
U s L C s R C s?? ??2
2
/() n
B
nn
LCGs
R ssss
L L C
w
? w w
??
????
2
2
2
1
1 2
1
11
n L C T Tw ??
2
11
/ 1 1
nn
TR L R C
L T T
?
ww
? ? ? ? 2
2 2 2 2
又如图 2-3中电枢控制的直流电动机，输出 w 与电枢电
压 ua之间传递函数为
或
式中
1
/1)(
2 ??? sTsTT
KsG
mma
cB
2
22
2
1/11()
11
a m n
B
c c n n
a a m
TTGs
K K s sss
T T T
w
? w w? ? ? ? ???? 2
ma
n TT
1?w
a
m
an T
T
T 22
11 ??
w?
由式 (3.14)描述的系统特征方程为
(3.15)
这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为
(3.16)
显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也
就不同。
2 0
nnss? w w? ? ?
22
1
2
1
1
nn
nn
s
s
? w w ?
? w w ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
下面分别对二阶系统在 0<z<1,z =1，和 z >1三种情况
下的阶跃响应进行讨论。
1,0<? <1，称为欠阻尼情况
按式 (3.14)，系统传递函数可写为
它有一对共轭复数根 (3.18)
式中 称为有阻尼振荡频率。
2
BG ( s ) = ( ) ( )
n
n d n ds j s j
w
?w w ?w w? ? ? ?
1,2 ndsj? w w? ? ?
21dnw w ???
在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号 r(t)=1(t)时，
系统输出的拉氏变换为
(3.19)
对式 (3.19)求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应 c(t)：
(3.20)
2
22() ()
n
nn
Cs s s sw?w w? ??2
2 2 2 2
1
( ) ( )
n
n d n d
s
s s s
?w
? w w ? w w? ? ?? ? ? ?
2
( ) [ ( ) ] 1 ( c o s s i n )
1
n t
ddc t C s e t t
?w ?ww
?
??? ? ? ?
?
L 1
2
2
2
111 si n( 1 )
1
n t
net
?w ?w?
??
? ?? ? ? ?
?
arctan
它是一衰减的振荡过程，如图 3-11所示，其振荡频率
就是有阻尼振荡频率 wd，而其幅值则按指数曲线（响应曲
线的包络线）衰减，两者均由参数 ?和 wn决定。
(a)根分布 (b)
图 3-11 欠阻尼情况 (0<? <1)
系统的误差则为
(3.21)
当 t→∞ 时，稳态误差 e (∞)＝０。
若 ? =０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚
根，即
(3.22)
此时单位阶跃响应为
(3.23)
它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡
频率 wn 。当系统有一定阻尼时,wd总是小于 wn 。
2
2
2
( ) ( ) ( )
11
si n( 1 a r c t a n ) ( 0)
1
n t
n
e t r t c t
e t t?w
?
w?
??
?
??
?
? ? ? ?
?
s1,2= ± jwn
( ) 1 c o s nc t tw??
2,? =１，称为临界阻尼情况
此时系统有两个相等的实数特征根：
s1= s 2= -wn (3.24)
系统输出的拉氏变换为
(3.25)
取 C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃
响应为
(3.26)
2
22
11()
( ) ( )
nn
n n n
Cs
s s s s s
ww
w w w
? ? ? ?
? ? ?
( ) 1 ( 1 )n t nc t e tw w?? ? ?
(a)根分布 (b)
图 3-12 临界阻尼情况 (z ＝ 1)
响应曲线如图 3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单
调的响应过程。
3,? ＞１，称为过阻尼情况
当阻尼比 ? ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
(3.27)
对于单位阶跃输入,C(s)为
(3.28)
将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单
位阶跃响应为
(3.29)
21,2 ( 1 ) ns ? ? w? ? ? ?
nn sss
sC
w??
???
w??
???
)1(
)]1(1[
)1(
)]1(1[1)(
2
122
2
122
???
????
???
????? ?? 22
)
11
(
1
11)(
2
)1(
2
)1(
2
22
??
?
???
??
??????
?????
w??w?? tt nn ee
tc
2
图 3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。
显然响应曲线无超调，而且过程拖得比 ? =１时来得长。
(a)根分布 (b)
图 3-13 过阻尼情况 (z >1)
根据以上分析，可得不同 ?值下的二阶系统单位阶跃响应
曲线族,如图 3-14所示。由图可见，在一定 ?值下,欠阻尼系统
比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计
成欠阻尼系统。
图 3-14 二阶系统单位阶跃响应
（三）二阶系统的脉冲响应
当输入信号为单位脉冲信号 d (t)，即 R(s)=１时，二阶系
统单位脉冲响应的拉氏变换为
(3.30)
对式 (3.30)求拉氏反变换，得
(3.31)
可见,系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单
位脉冲响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可
以用来描述系统的特征。
2
22( ) ( ) ( ) 2
n
B
nn
C s G s R s
ss
w
? w w
??
??
2
11
22( ) [ ( ) ] [ ]2
n
B
nn
c t G s L
ss
w
? w w
????
??
L
由式 (3.31)，对于欠阻尼情况 (0<?<1)，有
(3.32)
对于临界阻尼情况 (? ＝１ )，有
c(t) = w2n t e-wn t (3.33)
对于过阻尼情况 (? >1)，有
(3.34)
图 3-15表示不同 ?值时的单位脉冲响应曲线。
2
2
( ) s in 1
1
n tn
nc t e t
?ww w?
?
???
?
22( 1 ) ( 1 )
2
( ) [ ]
1
nnttnc t e e? ? w ? ? ww
?
? ? ? ? ? ???
?2
图 3-15 二阶系统单位脉冲响应
（四）二阶系统的瞬态响应性能指标
通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠
阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也
较好。
对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有：
1,上升时间 tr
按式 (3.20)，令 c(tr)=1，就可求得
2
c o s s in
1d r d r
tt?ww
?
??
?
0
21
drt
?
w
?
?
??tan
因此
式中
由式 (3.35)可见，要使系统反应快，必须减小
tr。因此当 ?一定,wn必须加大；若 wn为固定值，则
?越小,tr也越小。
2,峰值时间 tp
按式 (3.20)，对 c(t)求一阶导数，并令其为零，
可得到
21
a r c ta n
?
f
?
?
?
211
a r c ta n ( )r
dd
t ? pf
w ? w
? ?? ? ?(3.35)
(3.36)
到达第一个峰值时
wd tp = p
所以
(3.37)
上式表明，峰值时间 tp与有阻尼振荡频率 wd成反比。当 wn一定,?越
小,tp也越小。
c os( ) sin( )d d p n d pttw w f ? w w f? ? ? ? 0
21p
d n
t pp
w w?
??
?
21
ta n ( ) ddp
n
t ?wwf ? w ??? ? ?
3,最大超调量 sp
以 t= tp代入式 (3.20)，可得到最大百分比超调量
(3.38)
由上式可见，最大百分比超调量完全由 ?决定,?越小，
超调量越大。当 ? =０时,sp %= 100%，当 ? =１时,sp %
=０。 sp与 ?的关系曲线见图 3-16。
21%%
p e
?p
?s
?
??? 100
图 3-16 sp与 ?的关系
4,调节时间 ts
根据定义可以求出调节时间 ts，如图 3-17所示。图中
T=1/?wn,为 c(t)包络曲线的时间常数，在 ? =0.69(或 0.77)，
ts有最小值，以后 ts随 ?的增大而近乎线性地上升。图 3-17中
曲线的不连续性是由于在 ?虚线附近稍微变化会引起 ts突变造
成的，如图 3-18所示。
ts也可由式 (3.21)的包络线近似求得，即令 e(t)的幅值
或 0.02
(3.39)
2
1
1
n te ?w
?
? ?
?
0.05
21 l n( 1 )
s
n
t ?
?w
? ? ?0.05
图 3-17 ts与 ? 的关系 图 3-18 ?稍微突变引起的 ts突变
当０＜ ? ＜ 0.9时，则
(按到达稳态值的 95%~105%计 )
(3.40)
或 (按到达稳态值的 98%~102%计 )
由此可见,?wn大,ts就小，当 wn一定，则 ts与 ?成反比，
这与 tp,tr与 ?的关系正好相反。
根据以上分析,如何选取 ?和 wn来满足系统设计要求，总
结几点如下：
(1) 当 wn一定，要减小 tr和 tp，必须减少 ?值，要减少 ts则
应增大 ?wn值，而且 ?值有一定范围，不能过大。
(2) 增大 wn,能使 tr,tp和 ts都减少。
(3) 最大超调量 sp只由 ?决定,?越小,sp越大。所以，一
般根据 sp 的要求选择 ?值，在实际系统中,?值一般在 0.5～
0.8之间,
Tt
n
s 3
3 ??
?w
Tt
ns
44 ?? ?w
四、线性定常系统的重要特性
对于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号 r(t)的作
用下，其输出 c(t)的拉氏变换为 C(s)=GB (s)R(s)。
若系统的输入为 其拉氏变换为
这时系统的输出为
当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系
统的输出为原来输出的导数。
t
trtr
d
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1 ? )(]d )(d[)( 11 ssRttrsR ?? ?L
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t
tctc
d
)(d)(
1 ?
同理，若系统的输入为,其拉氏变换为
此式说明，在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入
信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。
由上可以推知：
(一 )由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的
一阶导数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间
的一阶导数,
(二 )由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位
阶跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响
应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重
和二重积分。
2 ( ) ( ) dr t r t t? ?
2
1( ) ( )R s R s
s?
22
11( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( )
BBC s G s R G s R s C sss? ? ? ?
2 ( ) ( ) dc t c t t? ?
