第五章 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
一、衍射光栅
? 衍射光栅：具
有周期性空间
结构或光学结
构的衍射屏。
? 可以具有反射
或透射结构。
? 是 Fraunhofer
多缝衍射。
a
b d
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a
d
P
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f
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? 可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b d
? 经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
? 光栅的每一个单元，是次波的叠加，按衍射分析；
? 不同的单元之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
ad ad
二、黑白型光栅的衍射强度
? 是多缝夫琅和费衍射
? 满足近轴条件
? 每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
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1、用振幅矢量法求解衍射强度
? 每一个单元衍射的复振
幅用一个矢量表示。
? 相邻的单元间具有位相
差 Δφ。
? 所有单元衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
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相邻衍射单元间的光程差 ?? s ind?
相邻衍射单元间的位相差
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N个矢量首尾相接，依次转过 Δφ，
即 2β角。
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2、用 Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
? 满足近轴条件
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先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
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满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与 N元干涉曲线周期之比为 d/a
d =3aN =4
(sinN β /sin β )
2
I
0
(sinu/u)
2
u= π asin θ / λ
N =6,d=5 a
N =20,d =3a
三、衍射花样的特点
22
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u
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j：谱线级数对应一系列的亮条纹（光谱线）
谱线强度受衍射因子调制。
?1．衍射极大值位置
?2．极小值位置
衍射因子极小值
干涉因子极小值
两主极大值之间有 N-1个最小值,N-2个次极大值。
极小值出现在以下位置
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( 1 ) /,( 2 ) /,( 2 1 ) /,2 /,
Nd N Nd d
N Nd N Nd N Nd d
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?5．谱线的缺级
当干涉的最大值与衍射的极小值重合时，出现缺级
干涉极大位置 sinθ=jλ/d
j/d= n/b，即 j=nd/a。谱线级数缺。
衍射极小位置 sinθ=nλ/a
j =-1j =-2j =-3 j =3j =2j =1j =0
N =6,d=5 a
光栅衍射光谱的相对强度（ j=2缺级）
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（ j=3缺级）
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
对于实用的
衍射光栅，只有
主极大的前几个
衍射级是可用的；
其它的衍射主极
大和次级大完全
可以忽略。
四、双缝衍射,N=2
? 而杨氏干涉为
2
2
2
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0s i n ??? ???? aa 时，当 1s in ?
u
u 两者相等
杨氏干涉中，狭缝足够细，每一缝只
有一个次波中心。此时没有单元衍射。
五、光栅方程
? 光栅光谱由 N元干涉因子，即缝间干涉因子决定。
β=πdsinθ/λ=jπ对应 j级光谱。或者，相邻单元间光
波的位相差 Δφ=kdsinθ=2jπ，亦即光程差
δ=dsinθ=jλ决定光谱线的位置。
? 平行光正入射时，各个衍射主极大之的位置由方程
sinθ=jλ/d，即 dsinθ=jλ，可以确定。
? 如果入射光与光栅不垂直，则必须计算入射光的光
程差。
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相邻单元总的光程差
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N元干涉因子取得主极大的条件为
,.,,2,1,0
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???
j
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光栅方程为
??? jd ?? )s i n( s i n 0
入射光与衍射光在光栅法线同侧，取 +；
入射光与衍射光在光栅法线异侧，取 -。
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d
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对于反射相邻单元总的光程差
)s in( s in 0??? ?? d
光栅方程为
??? jd ?? )s i n( s i n 0
入射光与衍射光在光栅法线同侧，取 +；
入射光与衍射光在光栅法线异侧，取 -。
符号法则与透射光栅相同
六、光栅光谱的角宽度和色分辨本领
? 1．谱线的角宽度
? 极大值到相邻极小值的角距离
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N
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???
N
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光栅宽度
? 2．光栅的分辨本领
? 波长相差 δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离 δθ
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由 Rayleigh判据,δθ=Δθ为可以分辨的极限。
?
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c o sNd
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j
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?
色分辨本领
七、光栅光谱和色散问题
? 不同波长的光在空间分开称为
色散，光栅具有色散能力。
)(??? ?
?? dd / 角色散率，光栅的分光能力。
定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。
??? c o s// djdd ?
0/,0 ?? ?? ddj 零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
??? ddldfd // ?
线色散率，谱线在焦平面上的距离。
djdd // ???很小时?
?
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与 N无关。
? 2．自由光谱范围（色散范围）
???? ??? mMm ~
j级光谱不重叠的条件是
mm jj ??? )1()( ????
j
1?j
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对于 1级光谱
mmM ??? ??
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
??? jd ?? )s i n( s i n 0 2s ins in 0 ?? ??
jd /2?? 通常是 jd /?? 一级光谱 d??
dM ??
2/Mm ?? ?
八、闪耀光栅
? 平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有
最大的能量。
? 能量集中是单元衍射的结果，大部分能量都
集中在几何像点（衍射的中央主极大，即衍
射零级）上。
? 对于平面光栅,单元衍射零级的位置与缝间
干涉零级的位置恰好是重合的。
? 如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让
单元衍射的中央零级与 j=1，或 2,…… 的光
谱重合，即可解决上述问题。
? 闪耀光栅具有这种能力。
? 光栅的衍射包括单元衍射和缝间干涉两部分。
? 这两部分是各自独立的。
22
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j=0
j=0
j =-1j =-2j =-3 j =3j =2j =1j =0
N =6,d=5 a
j=0,j=1,j=2
B?
0?
0??
单元衍射极大
级光谱干涉 0
B?
单元衍射的极大值
在入射光反射的几
何光线的方向
多元干涉的零级在
相对于光栅平面法
线对称的方向
B?
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B?
0? ?
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相对于光栅平面法线的
入射角和衍射角
相对于闪耀面法线的
入射角和衍射角
闪耀角
闪耀面 a闪耀光栅
B?
B?
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闪耀面的法线
光栅平面的法线
单元衍射主极大在闪耀面的反射方向
在衍射主极大方向上，缝间干涉的光程差
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衍射主极大方向不是缝间干涉零级的方向
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B?
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A
B
D
入射光与 AD垂直，法线与闪耀面垂直。
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j级光谱线满足的方程
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djB /s i ns i n ??? ??
在反射方向上
B?? ?? BBB jd ?? ?s in2
??? jd ?? ]s i n[ s i n 0
第一种照明方式
即
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在反射方向上
B?? ??0 B??? 22 0 ???
BBB jd ?? ?2s in
第二种照明方式
00 ?? ?? jd ?s in
在反射方向上
B?? ??0 B??? 22 0 ???
BBjd ?? ?2s in 第二种照明方式
第一种照明方式
B?
00 ???? ??
相邻缝间光程差
Bd ?s in2
干涉极大条件
?? jd B ?s in2
BB dj ?? s i n21 1 ?? 时，
一级闪耀波长
B?
B?? ??0
??
第二种照明方式
B??? ???? 0
相邻缝间光程差
Bd ?2s in
干涉极大条件
?? jd B ?2s in
BB dj ?? 2s i n1 1 ?? 时，
一级闪耀波长
0??
除闪耀波长外，其它的波长也有足够的强度
B1?
??? ?B1??? ?
B1
入射狭缝 S1
出射狭缝 S2
球面镜 M1
球面镜 M2
反射光栅 G
（闪耀光栅）
S1处于 M1的
焦平面处。
光栅单色仪
S2处于 M2的
焦平面处。
球面闪耀光栅 G2
探测器
引出单色光
双光栅光谱仪（单色仪）
G1
G2
球面闪耀光栅 G1
光谱仪
单色仪
九、正 弦光栅的衍射
振 幅透过率为
xdt ?2c o s1 ??
d 光栅的空间周期
光栅的瞳函数为 ]2c o s1[)(~
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单元衍射因子为
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衍射光强分布
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β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
sin(β-π)/(β-π)
β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
sin(β+π)/(β+π)
β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
(sinNβ/sinβ)
2
β-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
正弦光栅 的特点
? 相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为 d。
? 狭缝中心分别在 0,π, -π 处。
? 正是多元衍射因子的 0级和 ± 1级的位置。
? 其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
§ 5.2 X-RAY在晶体中的衍射
? 晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
? 是一种三维的光栅。
? 但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
? 只有波长小得多的 X射线的波长与晶格常数匹
配。
? 晶体具有规则的空间结构
? 这种空间结构可以用空间周期性表示
? 晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
? 周期性的结构可以用晶格表示
? 晶格的格点构成晶格点阵
? 晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数,d。
? 入射的 X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是 X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
? 首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0? ?
0s i ns i n ??? aa ??
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0?? ?
? 再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
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??? s i ns i n dd ??
?s in2 d?
? ?
d
取极大值的条件为
?? jd ?s in2
Bragg条件，或 Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
? 1、劳厄（ Laue）照相法
? 固定单晶，连续谱 X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
? ?
?
? 2、粉末法（得拜法 Debye）
? 样品旋转，单色 X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
a
b d
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
一、衍射光栅
? 衍射光栅：具
有周期性空间
结构或光学结
构的衍射屏。
? 可以具有反射
或透射结构。
? 是 Fraunhofer
多缝衍射。
a
b d
?
?
a
d
P
0?
f
0?
? 可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b d
? 经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
? 光栅的每一个单元，是次波的叠加，按衍射分析；
? 不同的单元之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
ad ad
二、黑白型光栅的衍射强度
? 是多缝夫琅和费衍射
? 满足近轴条件
? 每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
?? au
uUU ??? s i n~)(~
0
???? s i ns i n21 akau ??
f
eQUaKU ik r 0
0
)(~~ 0 ??
1、用振幅矢量法求解衍射强度
? 每一个单元衍射的复振
幅用一个矢量表示。
? 相邻的单元间具有位相
差 Δφ。
? 所有单元衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
?
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各个单元衍射矢量的光程为
相邻衍射单元间的光程差 ?? s ind?
相邻衍射单元间的位相差
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N个矢量首尾相接，依次转过 Δφ，
即 2β角。
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2、用 Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
? 满足近轴条件
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先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
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N元干涉因子
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aI ??
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与 N元干涉曲线周期之比为 d/a
d =3aN =4
(sinN β /sin β )
2
I
0
(sinu/u)
2
u= π asin θ / λ
N =6,d=5 a
N =20,d =3a
三、衍射花样的特点
22
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u
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si n( ) ( )uI j I N
u
? ?
j???极 大 值 s i ndj???
j：谱线级数对应一系列的亮条纹（光谱线）
谱线强度受衍射因子调制。
?1．衍射极大值位置
?2．极小值位置
衍射因子极小值
干涉因子极小值
两主极大值之间有 N-1个最小值,N-2个次极大值。
极小值出现在以下位置
2si n( ) 0u
u
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,0u n u???
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s i n /,s i n /m N d j d? ? ? ???
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s in 0,/,( 1 ) /,/,
( 1 ) /,( 2 ) /,( 2 1 ) /,2 /,
Nd N Nd d
N Nd N Nd N Nd d
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?5．谱线的缺级
当干涉的最大值与衍射的极小值重合时，出现缺级
干涉极大位置 sinθ=jλ/d
j/d= n/b，即 j=nd/a。谱线级数缺。
衍射极小位置 sinθ=nλ/a
j =-1j =-2j =-3 j =3j =2j =1j =0
N =6,d=5 a
光栅衍射光谱的相对强度（ j=2缺级）
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（ j=3缺级）
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
对于实用的
衍射光栅，只有
主极大的前几个
衍射级是可用的；
其它的衍射主极
大和次级大完全
可以忽略。
四、双缝衍射,N=2
? 而杨氏干涉为
2
2
2
0
s i nco s4)(
u
uII ?? ?
)]c o s (1[0 ???? II
)2c o s1(0 ??? I
)]s i n2c o s (1[0 ??? dI ??
?20 co s4 I?
0s i n ??? ???? aa 时，当 1s in ?
u
u 两者相等
杨氏干涉中，狭缝足够细，每一缝只
有一个次波中心。此时没有单元衍射。
五、光栅方程
? 光栅光谱由 N元干涉因子，即缝间干涉因子决定。
β=πdsinθ/λ=jπ对应 j级光谱。或者，相邻单元间光
波的位相差 Δφ=kdsinθ=2jπ，亦即光程差
δ=dsinθ=jλ决定光谱线的位置。
? 平行光正入射时，各个衍射主极大之的位置由方程
sinθ=jλ/d，即 dsinθ=jλ，可以确定。
? 如果入射光与光栅不垂直，则必须计算入射光的光
程差。
?0?
d ?
0?
相邻单元总的光程差
)s in( s in 0??? ?? d
N元干涉因子取得主极大的条件为
,.,,2,1,0
)s i n( s i n 0
???
???
j
jd ????
光栅方程为
??? jd ?? )s i n( s i n 0
入射光与衍射光在光栅法线同侧，取 +；
入射光与衍射光在光栅法线异侧，取 -。
?
0?
d
?
0?
对于反射相邻单元总的光程差
)s in( s in 0??? ?? d
光栅方程为
??? jd ?? )s i n( s i n 0
入射光与衍射光在光栅法线同侧，取 +；
入射光与衍射光在光栅法线异侧，取 -。
符号法则与透射光栅相同
六、光栅光谱的角宽度和色分辨本领
? 1．谱线的角宽度
? 极大值到相邻极小值的角距离
?? jd ?s in ????
N
jd 1)s i n ( ????
???
N
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c o sNd
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c o sL
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光栅宽度
? 2．光栅的分辨本领
? 波长相差 δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离 δθ
?? jd ?s in ??? ?? jd ?c o s
?
??
??
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j?
由 Rayleigh判据,δθ=Δθ为可以分辨的极限。
?
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c o sNd
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c o sd
j
jN
??? ? jNA ??
??
?
色分辨本领
七、光栅光谱和色散问题
? 不同波长的光在空间分开称为
色散，光栅具有色散能力。
)(??? ?
?? dd / 角色散率，光栅的分光能力。
定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。
??? c o s// djdd ?
0/,0 ?? ?? ddj 零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
??? ddldfd // ?
线色散率，谱线在焦平面上的距离。
djdd // ???很小时?
?
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与 N无关。
? 2．自由光谱范围（色散范围）
???? ??? mMm ~
j级光谱不重叠的条件是
mm jj ??? )1()( ????
j
1?j
jm /?? ?? jmmM /??? ??即
对于 1级光谱
mmM ??? ??
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
??? jd ?? )s i n( s i n 0 2s ins in 0 ?? ??
jd /2?? 通常是 jd /?? 一级光谱 d??
dM ??
2/Mm ?? ?
八、闪耀光栅
? 平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有
最大的能量。
? 能量集中是单元衍射的结果，大部分能量都
集中在几何像点（衍射的中央主极大，即衍
射零级）上。
? 对于平面光栅,单元衍射零级的位置与缝间
干涉零级的位置恰好是重合的。
? 如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让
单元衍射的中央零级与 j=1，或 2,…… 的光
谱重合，即可解决上述问题。
? 闪耀光栅具有这种能力。
? 光栅的衍射包括单元衍射和缝间干涉两部分。
? 这两部分是各自独立的。
22
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2
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6
-6
-4
-2
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6
j=0 j=0
-6
-4
-2
0
2
4
6
j=0
j=0
j =-1j =-2j =-3 j =3j =2j =1j =0
N =6,d=5 a
j=0,j=1,j=2
B?
0?
0??
单元衍射极大
级光谱干涉 0
B?
单元衍射的极大值
在入射光反射的几
何光线的方向
多元干涉的零级在
相对于光栅平面法
线对称的方向
B?
0?
?
??
B?
0? ?
0?? ??
相对于光栅平面法线的
入射角和衍射角
相对于闪耀面法线的
入射角和衍射角
闪耀角
闪耀面 a闪耀光栅
B?
B?
0??
闪耀面的法线
光栅平面的法线
单元衍射主极大在闪耀面的反射方向
在衍射主极大方向上，缝间干涉的光程差
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)]s i n ()[ s i n ( 00 BBd ????? ?????? 0?
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0??B?
0??
d
衍射主极大方向不是缝间干涉零级的方向
0??
B?
0??
A
B
D
入射光与 AD垂直，法线与闪耀面垂直。
0?? ???? BB A D
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A
B
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B?
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B?
B?
B??? ???
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j级光谱线满足的方程
????? jd BB ?????? )]s i n ()[ s i n ( 0
00 ??? djBB /s i n)s i n( ???? ????
djB /s i ns i n ??? ??
在反射方向上
B?? ?? BBB jd ?? ?s in2
??? jd ?? ]s i n[ s i n 0
第一种照明方式
即
00 ?? ?? jd ?s in
在反射方向上
B?? ??0 B??? 22 0 ???
BBB jd ?? ?2s in
第二种照明方式
00 ?? ?? jd ?s in
在反射方向上
B?? ??0 B??? 22 0 ???
BBjd ?? ?2s in 第二种照明方式
第一种照明方式
B?
00 ???? ??
相邻缝间光程差
Bd ?s in2
干涉极大条件
?? jd B ?s in2
BB dj ?? s i n21 1 ?? 时，
一级闪耀波长
B?
B?? ??0
??
第二种照明方式
B??? ???? 0
相邻缝间光程差
Bd ?2s in
干涉极大条件
?? jd B ?2s in
BB dj ?? 2s i n1 1 ?? 时，
一级闪耀波长
0??
除闪耀波长外，其它的波长也有足够的强度
B1?
??? ?B1??? ?
B1
入射狭缝 S1
出射狭缝 S2
球面镜 M1
球面镜 M2
反射光栅 G
（闪耀光栅）
S1处于 M1的
焦平面处。
光栅单色仪
S2处于 M2的
焦平面处。
球面闪耀光栅 G2
探测器
引出单色光
双光栅光谱仪（单色仪）
G1
G2
球面闪耀光栅 G1
光谱仪
单色仪
九、正 弦光栅的衍射
振 幅透过率为
xdt ?2c o s1 ??
d 光栅的空间周期
光栅的瞳函数为 ]2c o s1[)(~
00 xdUxU
???
单元衍射因子为
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N元干涉因子不变
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单元衍射因子为
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最后的复振幅为
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衍射光强分布
2
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2
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-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
sinβ/β
β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
sin(β-π)/(β-π)
β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
sin(β+π)/(β+π)
β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
β
-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
(sinNβ/sinβ)
2
β-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
正弦光栅 的特点
? 相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为 d。
? 狭缝中心分别在 0,π, -π 处。
? 正是多元衍射因子的 0级和 ± 1级的位置。
? 其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
§ 5.2 X-RAY在晶体中的衍射
? 晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
? 是一种三维的光栅。
? 但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
? 只有波长小得多的 X射线的波长与晶格常数匹
配。
? 晶体具有规则的空间结构
? 这种空间结构可以用空间周期性表示
? 晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
? 周期性的结构可以用晶格表示
? 晶格的格点构成晶格点阵
? 晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数,d。
? 入射的 X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是 X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
? 首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0? ?
0s i ns i n ??? aa ??
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0?? ?
? 再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
? ?
??? s i ns i n dd ??
?s in2 d?
? ?
d
取极大值的条件为
?? jd ?s in2
Bragg条件，或 Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
? 1、劳厄（ Laue）照相法
? 固定单晶，连续谱 X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
? ?
?
? 2、粉末法（得拜法 Debye）
? 样品旋转，单色 X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
a
b d
