第二章 光的波动模型
定态光波及其数学描述
平面波和球面波
波的复振幅表达式
波的相干叠加
波动光学的建立
? 1678年,Huygens提出光的波动学说。
? 1801年,T,Young在光通过双孔的实验中，
首次观察到了光的干涉现象。
? 1808年,Malus观察到了光的偏振现象，说
明光是横波。
? 1865年,Maxwell提出电磁波理论。后来证
实光是电磁波。
光的电磁波模型
2.1定态光波及其描述
一、波动的特征
? 波，振动的传播。振动在空间的传播形
成物理量在空间的分布，形成波场。
? 波动的最基本特征是具有周期性
光波场具有时间和空间两重周期性
? 波场中任一点：具有振动的周期性，即时间
周期性，用振动的周期 T描述。
? 任一时刻：波场具有空间分布的周期性，即
物理量在空间作周期分布，用波长 λ 描述。
简谐波的数学描述
? 最简单的是简谐波, 其
振动可以用三角函数表
示, 在一维情况下, 为
x
])v(c o s [)(),( 0?? ??? xtPAtPU
表示沿 X方向传播的余弦波
v
x?
]c o s [)(),( 0?? ??? kxtPAtPU
x2
?
??
??
?? x2? xk?
]c o s [)(),( 0?? ??? tkxPAtPU
振动取决于位相，所以振动的
传播就是位相的传播。
????? v22 ??
?? /2?k
0),( ??? ??? tkxtP
0),( ??? ???? kxttP
2π时间内的频率，
圆频率（角频率）
2π长度内的频率，
角波数，波矢
波的位相，与时间和
空间相关
)],(c os [)(),( tPPAtPU ??
二、光波是电磁波（矢量波）
? 电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢
等物理量，都是矢量。
nk
??
?
?2
?
传播方向的单位矢量
电场分量的振幅、磁场分量的振幅、
波长、频率等物理量是标量
波矢
n?
00/1 ???? rr
rrc ??/?
???/1?v
光速
00/1 ???c
真空中的光速
rrcn ???? v/
折射率
1?r?
rn ??
对于透光的介质 故
能流密度，即坡印廷矢量
HES ??? ?? 200 || Err
??????
2
00 En
????
2
0
E
c
n ?
?
?
如光波做简谐振动,E0为简谐振动的振幅，则光强
2
0
2
2
1 EE ?? 2
0
2
0
02
nEE
c
nSI ???
?
?即
2
0EI ?
在均匀介质中，通常取
坡印廷矢量表示的是能流密度的瞬时值，这一数值以光
的频率作周期性变化，光强是指能流密度的平均值。
光波长的范围
紫外光 可见光 红外光
50nm------400nm-------760nm--------100μm
对红外光 1μm------------10μm-----------100μm
近红外 中红外 远红外
对紫外光 (UV)，其波长较短的部分由于只能在真空
中传播，被称为真空紫外光（ VUV）
三．定态光波
? 1,定态光波
? 具有下述性质的波场为定态波场
? （ 1） 空间各点的扰动是同频率的简谐振动 。
? （ 2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，
在空间形成一个稳定的振幅分布。
? 满足上述要求的光波应当充满全空间,
是无限长的单色波列 。 但当波列的持续
时间比其扰动周期长得多时, 可将其当
作无限长波列处理 。
? 任何复杂的非单色波都可以分解为一系
列单色波的叠加 。
? 定态光波不一定是简谐波, 其空间各点
的振幅可以不同 。
2．定态光波的描述
电磁波都是矢量波, 应该用矢量表达式描述 。
但对符合上述条件的定态光波, 通常用标量表达式
描述 。
其实是在一个取定的平面内描述定态
光波的振动
z
x
y
x
y
k?
)](c o s [)(),( PtPAtPU ?? ??
])(c o s [)( tPPA ?? ??
)(PA
)( P?
振幅的空间分布
位相的空间分布
均与时间 t无关
定态光波（光场）的标量表达式
3．定态光波按波面分类
? 波面：波场空间中位相相同的曲面构成光波
的等位相面，即 波面 或 波阵面 。可根据波面
的形状将光波分类。
.)( C ons tP ??
位相相同的空间点应满足下述方程
（相同时刻）
zyx ezeyexzyxP
??? ???),,(场点
（ 1） 平面波,波面是平面
? （ a）振幅为常数
? （ b）空间位相为直角
坐标的线性函数
0
0)(
?
??
????
???
zkykxk
rkP
zyx
??
.C o n s trk ?? ??
满足上式的点构成与波矢垂直的一系列平面
波面
k?
r?
k?
1r
?
2r
?
波矢的方向角表示
? 在数学中常用方向余弦表示矢量的方向，即
用矢量与坐标轴间的夹角表示
? 在光学中习惯上采用波矢与平面间的夹角表
示矢量的方向
?
? ?
X
Y
Z
1?
2?
3?
)c o sc o s( c o s zyx eeekk ???? ??? ???
)s ins in( s in 321 zyx eeekk ???? ??? ???
波场中一点（ X,Y,Z)处的位相为
0),,( ?? ??? rkzyx
??
通常取一平面在 z=0处，则该平面上的位相分布为
021 )s ins in()0,,( ???? ??? yxkyx
XOY平面
0
Z
0321 )s ins ins in( ???? ???? zyxk
)s ins in( s in 321 zyx eeekk ???? ??? ??? zyx ezeyexr ???? ???
),,( zyx?
如果平面波 沿 z向传播,其波面垂直于 z轴。轴
上某一点 z处的波面在 t时刻的位相为
0),( ??? ??? tkzzt
在下一时刻，
dttt ???
设该波面的位置为 dzzz ???
00 )()( ???? ??????? dttdzzktkz
dtk d z ??
??
?
?
???
????
2
2
kdt
dz
v 相速度
沿 +z向传播
k? k?
z
如果波面的表达式为
0),( ??? ???? tkzzt
其相速度为
??
?
?????
kdt
dz
v
向 -z方向传播
（ 2）球面波：波面是球面
raPA /)( ?
0)( ?? ?? krP
振幅
空间位相
.)( 0 C o n s tkrP ??? ??
波面为球面
振幅沿传播方向衰减
从点源发出或向点源汇聚
如果波源为 O（ 0,0,0），波面为
0)( ??? ??? tkrP
0)()( ?? ???? drtdrrk??? 0?? tkr
kdt
drv ???
0)( ??? ???? tkrP
kdt
drv ?????
从原点发出的发散球面波
向原点汇聚的球面波
如果波面为
在一个平面（观察平面）上，球面波的位相分布
不是恒定值。
2
0
22 )0()0()0( zyxr ??????
2
0
22 zyx ???
)0,,( yxP
O Z
S
平面XOY
0z?
)0,,( yxP
O Z
S?
平面XOY
0z
轴上一点发散和汇聚的球面波
),0,0( 0zS ? ),0,0( 0zS ?
（ 0,0,z0）发出的球面波在（ x,y,0）平面的振动为
]c o s [)0,,( 02022
2
0
22
?? ????
??
?? tzyxk
zyx
AyxU
（ 0,0,-z0）出发出的球面波在（ x,y,0）平面上的振动
亦为
]c o s [)0,,( 02022
2
0
22
?? ????
??
?? tzyxk
zyx
AyxU
向（ 0,0,z0）点汇聚的球面波为
向（ 0,0,-z0）点汇聚的球面波为
]co s [
)0,,(
0
2
0
22
2
0
22
*
?? ?????
??
?
?
tzyxk
zyx
A
yxU
]co s [
)0,,(
0
2
0
22
2
0
22
*
?? ?????
??
?
?
tzyxk
zyx
A
yxU
)0,,( yxP
O Z
平面XOY
0z?
)0,,( yxP
O Z
S?
平面XOY
0z
2
0
2
0
2
0 )0()()( zyyxxr ??????
),,( 000 zyxS ? ),,(
000 zyxS ?
S
轴外一点发散和汇聚的球面波
如果点光源在轴外（ x0,y0,± z0），则发出
和汇聚的球面波分别为
])()(c o s [
)()(
)0,,(
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
?? ??????
????
?
?
tzyyxxk
zyyxx
A
yxU
])()(c o s [
)()(
)0,,(
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
*
?? ???????
????
?
?
tzyyxxk
zyyxx
A
yxU
4．光波的复振幅描述
? 由于可以用复指数的实部或虚部表示余弦或
正弦函数，所以可以用复数来描述光波的振
动
])([)(),(~ tPiePAtPU ?? ???
tiPi eePA ?? ?? )()(
指数取正号
? 定态光波的频率都是相等的，可以不写
在表达式中。
? 定态部分，即与时间无关部分为
)()()(~ PiePAPU ??
复振幅包含了振幅和位相，直接表
示了定态光波在空间 P点的振动，或者
说复振幅表示了波在空间的分布情况。
所以，凡是需要用振动描述的地方，都
可以用复振幅代表。
? 光波场在 P点的强度
)(~)(~)()( *2 PUPUPAPI ??
四．有关光波的几个概念
? 1,波面：位相相等的空间点构成的曲面, 也
称波阵面 。
? 2,波前：光波场中的任一曲面 。
? 3,等幅面：振幅相等的空间点构成的曲面 。
? 4,共轭波：复振幅互为共轭的波 。
互为共轭的波，其传播方向应该是相关联
的。
)]s ins ins in(e x p [)(~ 321 ??? zyxikpAU ???
)]}s in ()s in ()s in ([e x p {)(~ 321* ??? ?????? zyxikpAU
),,( 321 ???
),,( 321 ??? ???
平面波的共轭波
由于上述角度是波矢于平面间的夹角，所以
不能认为两列波的方向相反
)]s ins in(ex p [)(~ 21 ?? yxikpAU ??
) ] }s in ()s in ([e x p {)(~ 21* ?? ???? yxikpAU
如果 θ2=0 ]s inex p [)(~
1?i k xpAU ?
)]s in (ex p [)(~ 1* ??? i k xpAU
1?
1??
在 z=0平面上
])()()(e x p[~ 202020 zzyyxxikrAU ??????
])()()(e x p [~ 202020* zzyyxxikrAU ???????
),,( 000 zyx
球面波
发出
),,( 000 zyx 汇聚
从
向
5.波线
? 与波面垂直的直线，表示波的传播方向。
? 与波矢的方向是相同的。
? 在几何光学中，波线就是光线。
6．远场条件、近轴条件
? （ 1） 轴上物点发出的球面波
接收屏与物平面相距较远
22 yx ?????
22 ??? zr
? ? ]1|/ [ |/)( 20220 zzEzEPA ?? ????
? ? )]))(21(1(|/ [ |]1|/ [ |)( 2020 ????????? zzEzzEPA ??
22 z???
2)/( z?
||/)( 0 zEPA ?
可以忽略
如果
在接收屏上，振幅为常数
近轴条件，傍轴条件
振幅为
22)( ?? ?? zkP
||/2 z????
??? ??? 2/||2/2 kzk
zk 2/2?
)||2/|(| 2 ?????? zzk ?
2)/(1 zzk ???
如果
可忽略
kzP ?)(?
可作为平面波处理
远场条件
]||e x p [)0,,(~ 00 ?izik
z
EyxU ????
])
||2
|(|ex p [
||
)0,,(~ 0
22
0 ?i
z
yxzik
z
EyxU ????????
近轴条件下，轴上物点发出的球面波为
远场条件下，轴上物点发出的球面波为
zz ???? ?? ||2/2
22 z???
远场条件
近轴条件可以推得
远场条件包含近轴条件
（ 2）轴外物点发出的球面波
X
Y
O
X?
Y?
O?
发出球面波轴外物点,Q
P到达接收屏上场点
r
?0r0
r
z
?
0?
),( yxQ
),( yxP ??
P
222 )()( zyyxxr ???????
22222
0 zyxzr ??????? ?
22222
00 zyxzr ?????? ?
22
0 yx ???
Q到 O的距离
物点场点都满足近轴条件时，有
||2
||
22
0 z
yxzr ?????
||2
||
22
0 z
yxzr ????
||||2||2
||
2222
z
yyxx
z
yx
z
yx
z
???
?
?
?
???
??
222 )()( zyyxxr ???????
||||2
22
0 z
yyxx
z
yx
r
???
?
???
???
1)()( 2
2
2
2
?
??
?
??
?
z
yy
z
xxz
||||2
22
0 z
yyxx
z
yx
r
???
?
?
??
)]||(ex p [)]||2(ex p [),(~
22
0
0
z
yyxxik
z
yxrik
z
EyxU ????????????
屏上的复振幅为
)]||(ex p [)]||2(ex p [||),(~
22
0
0
z
yyxxik
z
yxrik
z
EyxU ?????????
振幅具有平面波的特点
远场条件为
?? /|| 20??z
?? /|| 2??z
物点
zx ??
?
2
zy ??
?
2
场点
zx ??
?
?
2
zy ??
?
?
2
?
?
)]||(e x p [)e x p (||),(~ 00 z yyxxiki k rzEyxU ???????
)]||(e x p [)e x p (||),(~ 00 z yyxxikrikzEyxU ????????
或者，如果场点 P再满足远场条件的话，有
如果物点 Q再满足远场条件的话，有
振幅和位相都
变为平面波
入射平面波的波矢为
z
x??
1s in ? z
y??
2s in ?
z
x???c o s
z
y???c o s
沿着 QO’方向
7．波的位相与光程
? 平面波，在一维情况下，位相为
0)( ?? ?? kxP
0
22
?
?
?
? nk ??
nsnxkx
00
22
?
?
?
?
??
ns为介质中波的光程
位相由光程决定
? 即同一时刻，空间中光程相同的点，其位相
也相同，振动也相同。
? 波 在不同媒质中，光程改变，产生 折射，方
向和波面都会发生改变。棱镜、透镜的原理
都可以从光程的变化进行解释
1n
2n
菲涅耳（ Fresnel）透镜
菲涅耳（ Fresnel）透镜
五．位相的超前与滞后
? P点的振动是由原点 O传播出来的
? 波从 O 点传播到 P点的时间为 Δ t，即 P点的
振动比 O点延迟 Δ t时间,则 P点在 t时刻的振
动就是 O点在 t-Δ t时刻的振动
),(),( ttOUtPU ??? )](c o s [)( 0 ttPA ???? ??
vxvOPt // ???
)c o s ()( 0 tkxPA ?? ???
])(c o s [)( tPPA ?? ??
])/(c o s [)(),( 0 xvtPAtPU ??? ???
])/2(c o s [)(),( 0 xtPAtPU ???? ???
kv ??? ??????? /2/2/
0)( ?? ?? kxP
P点的位相
P点的位相比 O点滞后 kx，在上述表达式中，
即通常的复振幅表达式中，位相大的为滞后
定态光波及其数学描述
平面波和球面波
波的复振幅表达式
波的相干叠加
波动光学的建立
? 1678年,Huygens提出光的波动学说。
? 1801年,T,Young在光通过双孔的实验中，
首次观察到了光的干涉现象。
? 1808年,Malus观察到了光的偏振现象，说
明光是横波。
? 1865年,Maxwell提出电磁波理论。后来证
实光是电磁波。
光的电磁波模型
2.1定态光波及其描述
一、波动的特征
? 波，振动的传播。振动在空间的传播形
成物理量在空间的分布，形成波场。
? 波动的最基本特征是具有周期性
光波场具有时间和空间两重周期性
? 波场中任一点：具有振动的周期性，即时间
周期性，用振动的周期 T描述。
? 任一时刻：波场具有空间分布的周期性，即
物理量在空间作周期分布，用波长 λ 描述。
简谐波的数学描述
? 最简单的是简谐波, 其
振动可以用三角函数表
示, 在一维情况下, 为
x
])v(c o s [)(),( 0?? ??? xtPAtPU
表示沿 X方向传播的余弦波
v
x?
]c o s [)(),( 0?? ??? kxtPAtPU
x2
?
??
??
?? x2? xk?
]c o s [)(),( 0?? ??? tkxPAtPU
振动取决于位相，所以振动的
传播就是位相的传播。
????? v22 ??
?? /2?k
0),( ??? ??? tkxtP
0),( ??? ???? kxttP
2π时间内的频率，
圆频率（角频率）
2π长度内的频率，
角波数，波矢
波的位相，与时间和
空间相关
)],(c os [)(),( tPPAtPU ??
二、光波是电磁波（矢量波）
? 电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢
等物理量，都是矢量。
nk
??
?
?2
?
传播方向的单位矢量
电场分量的振幅、磁场分量的振幅、
波长、频率等物理量是标量
波矢
n?
00/1 ???? rr
rrc ??/?
???/1?v
光速
00/1 ???c
真空中的光速
rrcn ???? v/
折射率
1?r?
rn ??
对于透光的介质 故
能流密度，即坡印廷矢量
HES ??? ?? 200 || Err
??????
2
00 En
????
2
0
E
c
n ?
?
?
如光波做简谐振动,E0为简谐振动的振幅，则光强
2
0
2
2
1 EE ?? 2
0
2
0
02
nEE
c
nSI ???
?
?即
2
0EI ?
在均匀介质中，通常取
坡印廷矢量表示的是能流密度的瞬时值，这一数值以光
的频率作周期性变化，光强是指能流密度的平均值。
光波长的范围
紫外光 可见光 红外光
50nm------400nm-------760nm--------100μm
对红外光 1μm------------10μm-----------100μm
近红外 中红外 远红外
对紫外光 (UV)，其波长较短的部分由于只能在真空
中传播，被称为真空紫外光（ VUV）
三．定态光波
? 1,定态光波
? 具有下述性质的波场为定态波场
? （ 1） 空间各点的扰动是同频率的简谐振动 。
? （ 2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，
在空间形成一个稳定的振幅分布。
? 满足上述要求的光波应当充满全空间,
是无限长的单色波列 。 但当波列的持续
时间比其扰动周期长得多时, 可将其当
作无限长波列处理 。
? 任何复杂的非单色波都可以分解为一系
列单色波的叠加 。
? 定态光波不一定是简谐波, 其空间各点
的振幅可以不同 。
2．定态光波的描述
电磁波都是矢量波, 应该用矢量表达式描述 。
但对符合上述条件的定态光波, 通常用标量表达式
描述 。
其实是在一个取定的平面内描述定态
光波的振动
z
x
y
x
y
k?
)](c o s [)(),( PtPAtPU ?? ??
])(c o s [)( tPPA ?? ??
)(PA
)( P?
振幅的空间分布
位相的空间分布
均与时间 t无关
定态光波（光场）的标量表达式
3．定态光波按波面分类
? 波面：波场空间中位相相同的曲面构成光波
的等位相面，即 波面 或 波阵面 。可根据波面
的形状将光波分类。
.)( C ons tP ??
位相相同的空间点应满足下述方程
（相同时刻）
zyx ezeyexzyxP
??? ???),,(场点
（ 1） 平面波,波面是平面
? （ a）振幅为常数
? （ b）空间位相为直角
坐标的线性函数
0
0)(
?
??
????
???
zkykxk
rkP
zyx
??
.C o n s trk ?? ??
满足上式的点构成与波矢垂直的一系列平面
波面
k?
r?
k?
1r
?
2r
?
波矢的方向角表示
? 在数学中常用方向余弦表示矢量的方向，即
用矢量与坐标轴间的夹角表示
? 在光学中习惯上采用波矢与平面间的夹角表
示矢量的方向
?
? ?
X
Y
Z
1?
2?
3?
)c o sc o s( c o s zyx eeekk ???? ??? ???
)s ins in( s in 321 zyx eeekk ???? ??? ???
波场中一点（ X,Y,Z)处的位相为
0),,( ?? ??? rkzyx
??
通常取一平面在 z=0处，则该平面上的位相分布为
021 )s ins in()0,,( ???? ??? yxkyx
XOY平面
0
Z
0321 )s ins ins in( ???? ???? zyxk
)s ins in( s in 321 zyx eeekk ???? ??? ??? zyx ezeyexr ???? ???
),,( zyx?
如果平面波 沿 z向传播,其波面垂直于 z轴。轴
上某一点 z处的波面在 t时刻的位相为
0),( ??? ??? tkzzt
在下一时刻，
dttt ???
设该波面的位置为 dzzz ???
00 )()( ???? ??????? dttdzzktkz
dtk d z ??
??
?
?
???
????
2
2
kdt
dz
v 相速度
沿 +z向传播
k? k?
z
如果波面的表达式为
0),( ??? ???? tkzzt
其相速度为
??
?
?????
kdt
dz
v
向 -z方向传播
（ 2）球面波：波面是球面
raPA /)( ?
0)( ?? ?? krP
振幅
空间位相
.)( 0 C o n s tkrP ??? ??
波面为球面
振幅沿传播方向衰减
从点源发出或向点源汇聚
如果波源为 O（ 0,0,0），波面为
0)( ??? ??? tkrP
0)()( ?? ???? drtdrrk??? 0?? tkr
kdt
drv ???
0)( ??? ???? tkrP
kdt
drv ?????
从原点发出的发散球面波
向原点汇聚的球面波
如果波面为
在一个平面（观察平面）上，球面波的位相分布
不是恒定值。
2
0
22 )0()0()0( zyxr ??????
2
0
22 zyx ???
)0,,( yxP
O Z
S
平面XOY
0z?
)0,,( yxP
O Z
S?
平面XOY
0z
轴上一点发散和汇聚的球面波
),0,0( 0zS ? ),0,0( 0zS ?
（ 0,0,z0）发出的球面波在（ x,y,0）平面的振动为
]c o s [)0,,( 02022
2
0
22
?? ????
??
?? tzyxk
zyx
AyxU
（ 0,0,-z0）出发出的球面波在（ x,y,0）平面上的振动
亦为
]c o s [)0,,( 02022
2
0
22
?? ????
??
?? tzyxk
zyx
AyxU
向（ 0,0,z0）点汇聚的球面波为
向（ 0,0,-z0）点汇聚的球面波为
]co s [
)0,,(
0
2
0
22
2
0
22
*
?? ?????
??
?
?
tzyxk
zyx
A
yxU
]co s [
)0,,(
0
2
0
22
2
0
22
*
?? ?????
??
?
?
tzyxk
zyx
A
yxU
)0,,( yxP
O Z
平面XOY
0z?
)0,,( yxP
O Z
S?
平面XOY
0z
2
0
2
0
2
0 )0()()( zyyxxr ??????
),,( 000 zyxS ? ),,(
000 zyxS ?
S
轴外一点发散和汇聚的球面波
如果点光源在轴外（ x0,y0,± z0），则发出
和汇聚的球面波分别为
])()(c o s [
)()(
)0,,(
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
?? ??????
????
?
?
tzyyxxk
zyyxx
A
yxU
])()(c o s [
)()(
)0,,(
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
*
?? ???????
????
?
?
tzyyxxk
zyyxx
A
yxU
4．光波的复振幅描述
? 由于可以用复指数的实部或虚部表示余弦或
正弦函数，所以可以用复数来描述光波的振
动
])([)(),(~ tPiePAtPU ?? ???
tiPi eePA ?? ?? )()(
指数取正号
? 定态光波的频率都是相等的，可以不写
在表达式中。
? 定态部分，即与时间无关部分为
)()()(~ PiePAPU ??
复振幅包含了振幅和位相，直接表
示了定态光波在空间 P点的振动，或者
说复振幅表示了波在空间的分布情况。
所以，凡是需要用振动描述的地方，都
可以用复振幅代表。
? 光波场在 P点的强度
)(~)(~)()( *2 PUPUPAPI ??
四．有关光波的几个概念
? 1,波面：位相相等的空间点构成的曲面, 也
称波阵面 。
? 2,波前：光波场中的任一曲面 。
? 3,等幅面：振幅相等的空间点构成的曲面 。
? 4,共轭波：复振幅互为共轭的波 。
互为共轭的波，其传播方向应该是相关联
的。
)]s ins ins in(e x p [)(~ 321 ??? zyxikpAU ???
)]}s in ()s in ()s in ([e x p {)(~ 321* ??? ?????? zyxikpAU
),,( 321 ???
),,( 321 ??? ???
平面波的共轭波
由于上述角度是波矢于平面间的夹角，所以
不能认为两列波的方向相反
)]s ins in(ex p [)(~ 21 ?? yxikpAU ??
) ] }s in ()s in ([e x p {)(~ 21* ?? ???? yxikpAU
如果 θ2=0 ]s inex p [)(~
1?i k xpAU ?
)]s in (ex p [)(~ 1* ??? i k xpAU
1?
1??
在 z=0平面上
])()()(e x p[~ 202020 zzyyxxikrAU ??????
])()()(e x p [~ 202020* zzyyxxikrAU ???????
),,( 000 zyx
球面波
发出
),,( 000 zyx 汇聚
从
向
5.波线
? 与波面垂直的直线，表示波的传播方向。
? 与波矢的方向是相同的。
? 在几何光学中，波线就是光线。
6．远场条件、近轴条件
? （ 1） 轴上物点发出的球面波
接收屏与物平面相距较远
22 yx ?????
22 ??? zr
? ? ]1|/ [ |/)( 20220 zzEzEPA ?? ????
? ? )]))(21(1(|/ [ |]1|/ [ |)( 2020 ????????? zzEzzEPA ??
22 z???
2)/( z?
||/)( 0 zEPA ?
可以忽略
如果
在接收屏上，振幅为常数
近轴条件，傍轴条件
振幅为
22)( ?? ?? zkP
||/2 z????
??? ??? 2/||2/2 kzk
zk 2/2?
)||2/|(| 2 ?????? zzk ?
2)/(1 zzk ???
如果
可忽略
kzP ?)(?
可作为平面波处理
远场条件
]||e x p [)0,,(~ 00 ?izik
z
EyxU ????
])
||2
|(|ex p [
||
)0,,(~ 0
22
0 ?i
z
yxzik
z
EyxU ????????
近轴条件下，轴上物点发出的球面波为
远场条件下，轴上物点发出的球面波为
zz ???? ?? ||2/2
22 z???
远场条件
近轴条件可以推得
远场条件包含近轴条件
（ 2）轴外物点发出的球面波
X
Y
O
X?
Y?
O?
发出球面波轴外物点,Q
P到达接收屏上场点
r
?0r0
r
z
?
0?
),( yxQ
),( yxP ??
P
222 )()( zyyxxr ???????
22222
0 zyxzr ??????? ?
22222
00 zyxzr ?????? ?
22
0 yx ???
Q到 O的距离
物点场点都满足近轴条件时，有
||2
||
22
0 z
yxzr ?????
||2
||
22
0 z
yxzr ????
||||2||2
||
2222
z
yyxx
z
yx
z
yx
z
???
?
?
?
???
??
222 )()( zyyxxr ???????
||||2
22
0 z
yyxx
z
yx
r
???
?
???
???
1)()( 2
2
2
2
?
??
?
??
?
z
yy
z
xxz
||||2
22
0 z
yyxx
z
yx
r
???
?
?
??
)]||(ex p [)]||2(ex p [),(~
22
0
0
z
yyxxik
z
yxrik
z
EyxU ????????????
屏上的复振幅为
)]||(ex p [)]||2(ex p [||),(~
22
0
0
z
yyxxik
z
yxrik
z
EyxU ?????????
振幅具有平面波的特点
远场条件为
?? /|| 20??z
?? /|| 2??z
物点
zx ??
?
2
zy ??
?
2
场点
zx ??
?
?
2
zy ??
?
?
2
?
?
)]||(e x p [)e x p (||),(~ 00 z yyxxiki k rzEyxU ???????
)]||(e x p [)e x p (||),(~ 00 z yyxxikrikzEyxU ????????
或者，如果场点 P再满足远场条件的话，有
如果物点 Q再满足远场条件的话，有
振幅和位相都
变为平面波
入射平面波的波矢为
z
x??
1s in ? z
y??
2s in ?
z
x???c o s
z
y???c o s
沿着 QO’方向
7．波的位相与光程
? 平面波，在一维情况下，位相为
0)( ?? ?? kxP
0
22
?
?
?
? nk ??
nsnxkx
00
22
?
?
?
?
??
ns为介质中波的光程
位相由光程决定
? 即同一时刻，空间中光程相同的点，其位相
也相同，振动也相同。
? 波 在不同媒质中，光程改变，产生 折射，方
向和波面都会发生改变。棱镜、透镜的原理
都可以从光程的变化进行解释
1n
2n
菲涅耳（ Fresnel）透镜
菲涅耳（ Fresnel）透镜
五．位相的超前与滞后
? P点的振动是由原点 O传播出来的
? 波从 O 点传播到 P点的时间为 Δ t，即 P点的
振动比 O点延迟 Δ t时间,则 P点在 t时刻的振
动就是 O点在 t-Δ t时刻的振动
),(),( ttOUtPU ??? )](c o s [)( 0 ttPA ???? ??
vxvOPt // ???
)c o s ()( 0 tkxPA ?? ???
])(c o s [)( tPPA ?? ??
])/(c o s [)(),( 0 xvtPAtPU ??? ???
])/2(c o s [)(),( 0 xtPAtPU ???? ???
kv ??? ??????? /2/2/
0)( ?? ?? kxP
P点的位相
P点的位相比 O点滞后 kx，在上述表达式中，
即通常的复振幅表达式中，位相大的为滞后
