第一章 几何光学的近轴理论
? 一, 几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统
后成像的理论 。
? 二, 几何光学中光的物理模型
? 光线：任意一点可以向任一方向发出直线, 称为光
线 。 光的直线传播, 反射和折射都可以用直线段及
其方向的改变表示 。
? 几何光学是关于光的唯象理论。
? 对于光线，是无法从物理上定义其速度的。
? 在几何光学领域，也无法定义诸如波长、频率、能
量等物理量。
? 三, 几何光学的实验定律
? 1,光的直线传播定律
? 在均匀媒质中, 光沿直线传播 。
P Q
? 2,光的反射律
物
观察者（接收器）
平面镜
挡
板
ii ??
反射光在入射面内
界面
i?i
入射面
n?
光的反射定律
? 1、反射光在入射面内
? 2、反射角等于入射角
? 3、光的折射定律
介质 2
介质 1
分界面
物
像
1i
2i
21 s i n/s i n ii
只与两种介质有关
1i 1i?
2i
2211 s i ns i n inin ?
折射光在入射面内
Snell定律
界面
入射面
n?
? 4、光路可逆原理
? 光线如果沿原来反射和折射方向入射时,
则相应的反射和折射光将沿原来的入射
光的方向 。
如果物点 Q发出的光线经光学系统后在
Q‘点成像, 则 Q’点发出的光线经同一系统
后必然会在 Q点成像 。 即物像之间是共轭
的 。
Q Q’
四,Fermat 原理
P Q
光实际传播的路径，是与介质有关的。
费马 （ Fermat） 原理,两点间光的实际路径,
是光程平稳的路径 。 （ 1679年 ）
光程：折射率 × 光所经过的路程, 即 nS。
一般情况下为折射率的路径积分 。
平稳：极值（极大、极小）或恒定值。
在数学上，用变分表示
?QP nds
?)( PQ? 0][ ?? Q
P
n d s?
椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定
值
在椭球面上一点作相切的平面
和球面，则经平面反射的光线中，实
际光线光程最小，经球面反射的光线
中，实际光线光程最大。
抛物面焦点发出的光，反射
后变为平行光，汇聚在无穷远处，
光程为极大值。
由 Fermat原理导出几何光学的实
验定律
? （ 1） 光的直线传播定律
在均匀媒质中, 两点间光程最短的路径是
直线 。
? （ 2） 光的反射定律
P’是 P点关于 Σ
面的对称点 。
P,Q,O’三
点确定平面 Π。
直线 QP’与反射
面 Σ交于 O点。
则易知当 i’=i时,QO+OP为光程最短的路径。
Q点发出的光经
反射面 Σ到达 P点
Q
P
Q’ P’O
1i
2i
2n
x 1
nxp ?
pPQ ???
?
? 2h
1h
2222221121 )()( xphnxhnOPnQOnQ O P ???????
22
2
2
22
1
1
)(
)()(
xph
xpn
xh
xn
dx
QOPd
??
??
?
? 11
s in in? 22 s in in? 0?
过 Q,P点作与 Σ面
垂直的平面 Π
平面 Π内的光程比该
平面外的光程短
折射定律
? 4,物像之间的等光程性
物点 Q与像点 Q‘之间的光程总是平稳
的, 即不管光线经何路径, 凡是由 Q通过
同样的光学系统到达 Q’的光线, 都是等
光程的 。
五．几何光学定律成立的条件
? 1,光学系统的尺度远大于光波的波长 。
? 2,介质是均匀和各向同性的 。
? 3,光强不是很大 。
§ 1.2 近轴光在单球面上的成像
? 一, 物与像的虚实性
? 1,同心光束
从同一点发出的或汇聚到同一点的光线束,
称为同心光束 。
? 2,光具组：若干反射面或折射面组成
的光学系统 。
光轴：光具组的对称轴
? 3,实物与虚物, 实像与虚像
? 发出同心光束的物点, 为实物点；物方
同心光束延长后汇聚所成的点, 为虚物
点 。
? 同心光束汇聚在像方形成的点，为实像
点；像方发散的同心光束反向延长后汇
聚的点，为虚像点。
实物成实像 实物成虚像
虚物成实像 虚物成虚像
? 4.物方和像方
物点所在的空间为物方空间
像点所在的空间为像方空间
5.理想光具组
? 精确成像的必要条件是物上一点与像上一点对应。
? 使同心光束保持其同心性不变的光具组为理想光具
组
? 理想光具组是成像的必要条件
二．近轴光在单球面上的成像
?
n n?
1C
O
r
s s?
rd
i
i?
Q
M
Q?
u ? u?
p p?
? 从 Q点发出的光线 QM折射后变为 MQ’
1.轴上物点成像
inin ??? s i ns i n
i
rsp
s ins in
??
? i
rsp
?
????
s ins in ?
inrsn
p
s in
s in
)(
??
? )(s in
s in
rsn
p
in ??
??
??
??
应用正弦定理
中，和在 1MCQΔΔ Q M C ?1
)( rsn
p
? )( rsn
p
??
??
?c o s)(2)( 222 rsrrrsp ?????
?c o s)(2)( 222 rsrrrsp ????????
2s i n)(4
222 ?rsrsp ??? 2s i n)(4 222 ?rsrsp ??????
?c o s)(22 2222 rsrrrrssp ?????? ?c o s)(2)(22 rsrrsrs ?????
)c o s1)((22 ????? rsss
2s in)(4
22 ?rsrs ???
在△ QMC1和△ Q’MC1
中分别应用余弦公式
2s i n)(4
222 ?rsrsp ???
2s i n)(4
222 ?rsrsp ??????
)( rsn
p
? )( rsn
p
??
??
?
?
??
22
22
)(
2
s i n)(4
rsn
rsrs ?
22
22
)(
2
s i n)(4
rsn
rsrs
???
???? ?
?? 22
2
)( rsn
s
22
2
)( rsn
s
???
?
2s in4
2 ?r?? ?
? 22
2
)([ rsn
s ]
)( 22
2
rsn
s
???
?
Φ不同,s’不同，即从 Q点发出的同心光束不能保持同心性
? 欲使折射光线保持同心性，必须满足近
轴（傍轴）条件
0?? 0
2
s in 2 ??
s
rsn
s
rsn
?
????? )()(
?? 22
2
)( rsn
s
22
2
)( rsn
s
???
?
2s in4
2 ?r?? ?
? 22
2
)([ rsn
s ]
)( 22
2
rsn
s
???
?
r
nn
s
n
s
n ????
?
?
r
nn ???? 折射球面的光焦度
平行光入射
像方焦距，像点 Q‘所在位置为像方焦点
??s f
nn
rns ??
??
?
??
r
nn
s
n
s
n ????
?
?
???s f
nn
nrs ?
??
?
折射光为平行光
物方焦距，物点 Q所在位置为物方焦点
1??
?
?
s
f
s
f
Gauss公式
f f?
2、轴外物点成像
相当于光轴绕球心旋转
满足近轴条件时，圆弧变为直线。
sn
sn
is
is
s t g i
itgs
PQ
QP
?
??????????
s i n
s i n
像的横向放大率
1F
1F?
焦点与焦平面
F F?C
经过焦平面的光线
折射球面的光学参数
?n n?
1C
O
f f?
F F?
r
物方焦距 像方焦距
物方焦点 像方焦点
物方焦平面 像方焦平面
? 符号约定
? （ 1） 物点在顶点左侧, 物距 s>0；物点
在球面右侧, 物距 s<0。
? （ 2） 对于折射球面, 像点在顶点右侧,
像距 s’>0；像点在顶点左侧, 像距 s’<0。
对于反射球面, 像点在顶点右侧, 像距
s’<0；像点在顶点左侧, 像距 s’>0。
f f?
0?s 0??s
0??s 0?s
? （ 3） 线段在主光轴之上, y>0；线段在
主光轴之下, y<0。
? （ 4） 球面曲率中心在顶点右侧, 其曲率
半径 r>0；球面曲率中心在顶点左侧,
r<0。
0?y 0??y
0?y 0??y
0?r0?r
? （ 5） 物方焦点在顶点左侧, 物方焦距 f>0；
像方焦点在顶点右侧, 像方焦距 f’>0。
? （ 6） 角度自主光轴或球面法线算起, 逆时针
方向为正, 顺时针方向为负 。
0?f
0??f
0?u
0??f
0??u
0?f
0?i
0?i
? 图中所标均为绝对值, 对于是负值的参数,
应在其前面加上负号 。
由折射球面物像公式推
导反射球面物像公式
ii ???
inin ??? s i ns i n?
nn ????
r
n
r
nn
s
n
s
n 2??????
??
?
r
n
s
n
s
n 2???
?
rss
211 ???
?
?
?
反射镜的像方在球面左侧
?像的横向放大率
sn
sn
is
is
s t g i
itgs
y
yV
?
?????????????
s i n
s i n
光学多媒体网页
? http://lqcc.ustc.edu.cn/cui/
? 课程成绩构成：
? 考试,60
? 作业,30（迟交超过 1周者，拒收！）
? 论文,10（自选题目，内容不限，但要符合
科技论文的格式）
Lagrange-Helmhotz恒等式
tgu
utg )( ???
u
u????
unyy nu ????
对光线的角放大率为
Lagrange-Helmhotz恒等式
)/(
)/(
dsh
dsh
?
???
s
s
?
? yn
ny
????
sn
sn
y
yV
?
?????
§ 1.3 薄透镜成像
?一．薄透镜
由两个折射球面组
成，过两球面圆心的直
线为光轴，顶点间距 d。
|||,|,,21 ssrrd ???
0?d
薄透镜，通常
可以认为，两球面顶点重合，称为光心。
? 二．薄透镜成像公式
? 1．用逐次成像法推导
Ln
1? 2?
1Q? Q?Q
n n?
1r
2r?
s
s??
s?
d
2C 1
C1O 2OO
1r
nn
s
n
ds
n LL ???
???
1
1 r
nn L ???
2r
nn
s
n
s
n LL ???
???
?
?
?
2
2 r
nn L????
s
n
s
n ?
?
? 21 ????
21 r
nn
r
nn LL ??????
1r
nn
s
n
s
n LL ???
??
21 r
nn
r
nn LL ????? ??
薄透镜的光焦度
0?d
物在像方，虚物
第一次成像
第二次成像
21 r
nn
r
nn
s
n
s
n LL ??????
?
?
?
?
??
?
?
?
n
r
nn
r
nn
n
f
LL
21
?
?
?
??
?
?
?
??
n
r
nn
r
nn
n
f
LL
21
)
11
)(1(
1
21 rr
n
ff
L ??
???
物方焦距???s
??s
1??? nn
像方焦距
磨镜者公式
透镜的焦距
正透镜与负透镜
? 焦距为正值的透镜是正透镜；焦距为负值的
透镜是负透镜。
? 正透镜的像方焦点在像方；负透镜的像方焦
点在物方。
? 正透镜使入射的平行光汇聚在像方焦点；负
透镜使入射的平行光发散。
? 空气中，中间厚边缘薄的透镜是正透镜；中
间薄边缘厚的透镜是负透镜。
)11)(1(
1
21 rr
n
ff
L ??
???
21
11
rr ?负透镜21
11
rr ?正透镜
01 ?r
?
?
?
?
?
??????
????
?
?
?
??
?
0&0
0
&0
0
122
122
2
ffrrr
ff
rrr
r
01 ?r
?
?
?
?
?
??????
????
?
?
?
??
?
0&0
0
&0
0
122
122
2
ffrrr
ff
rrr
r
从 Fermat原理看，这是很自然的结果。
1????
s
f
s
f
Gauss物像 公式
1)(
1
21
??
?
?
??
?
? s
n
s
n
r
nn
r
nn LL 21 r
nn
r
nn
s
n
s
n LL ??????
?
?
图示
f f?
s s?
fxs ?? fxs ????? 1?
?
?
???
?
fx
f
fx
f
fffxfffx ???????
ffxx ???
Newton物像公式
fffxfxxx ????????
三,Newton物像公式
四．像的横向放大率
? 总放大率为两次成像的放大率的乘积
21VVV ?
sn
sn
?
???
))((
sn
sn
sn
sn L
L ????
??????
五,Lagrange-Helmhotz恒等式
? Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立
unyunyy n u L ?????????
薄透镜作图法
三对共轭的特殊光线
平行于光轴的入射光线 ←→ 经过像方焦点的光线
经过物方方焦点的光线 ←→ 平行于光轴的像方光线
经过透镜光心的入射光线 ←→ 经过透镜光心的像方光线
正透镜作图法
FF?像方焦点 物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
负透镜作图法
平行于光轴的入射光线 ←→ 经过像方焦点的光线
经过物方方焦点的光线 ←→ 平行于光轴的像方光线
经过透镜光心的入射光线 ←→ 经过透镜光心的像方光线
FF?像方焦点 物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
FF?像方焦点 物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
F
F?像方焦点
物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
2F
1F?1
F 2F?
1L 2L
透镜组的逐次成像作图法
将物经第一个透镜的所成的像作为第二个透镜的物，再次进行成像，逐个进行。
2F
1F?1
F 2F?
1L 2
L
虚物与实物
应用逐次成像法的过程中，必须区分物和像的虚实性。
只要第一镜的像处于第二镜的物方，对于第二镜来说都
是实物；反之都是虚物。也就是说，像的虚实性与作为
物的虚实性之间应该是没有关系的。
2F2F?
返回
如果将上述第一透镜的像作为第二透镜的实物
处理，则会得到错误的结果
虚像作为物
在第二镜的物方则为实物，在第二镜的像方则为虚物。
透镜组的逐次成像计算法
? 对第一个透镜用成像公式计算，确定像的位
置与虚实性
? 将该像作为第二个透镜的物，再次进行成像，
依次逐个进行。
? 如果像是下一个透镜的实物，则直接应用公
式进行计算；如果是虚物，则其物距是负值。
§ 1.4 共轴球面系统的成像
? 共轴球面系统
一,可以用逐步成像法得出总的物
像关系
? 使用作图法或计算法, 逐次成像, 最后得到像的特
性 。
二、共轴球面系统的基点和基面
? 薄透镜中, 只要知道了光心位置, 物方和像方焦点
或焦平面位置, 则可以方便地解决任何光线的成像
问题 。 同样, 对于共轴的球面系统, 可以将其等效
为一个球面透镜, 确定了基本的点和面后, 也可以
完全确定物像关系 。
? 共轴球面系统的基点和基平面包括焦点 （ 焦平面 ）,
主点 （ 主平面 ）, 以及节点等 。
? 1,焦点
? 与光轴平行的入射光线经光学系统后与光轴的交点
为像方焦点 F ；物方光轴上一点发出的光线经光学
系统后与光轴平行, 该点为像方焦点 F’。
? 2,焦平面
? 过焦点与光轴垂直的平面为焦平面 。 与无穷远处的
像平面共轭的物平面为物方焦平面 F；与无穷远处的
物平面共轭的像平面为像方焦平面 F‘ 。
F F?
F F?
? 3,主平面
? 横向 （ 垂轴 ） 放大率等于 ＋ 1的一对共轭平面
为主平面 。 物方主平面 H,像方主平面 H’ 。
? 4,主点
? 主平面与主光轴的交点为主点 。 物方主点 H，
像方主点 H’。
H?H
H?H
Q Q?
三．共轴球面系统的物像关系
? 1,作图法
? 2,计算法
? 对已知参数的共轴球面系统, 无论用作图法
还是计算法, 其原理和步骤都与单个薄透镜
的成像情况相同 。
H?HF F?
H H?F F?
对于任意光线，也可以得到其共轭光线
H?HF F?
P
Q
P?
Q?
F H H? F?
M M?
R R?
x f f? x?
s?s
y
y??
x
f
y
y ???
f
x
y
y
?
????
ffxx ???
f
x
x
f
?
??
f
fs
fs
f
?
????
? 1???? sfsf
fs
f
?? f
fs
?
????
计算法
Gauss物像 公式
Newton物像公式
Gauss公式，距离从主平面算起
Newton公式，距离从焦平面算起
四．基点和基平面的确定
? 由已知的系统的基点和基平面求整个系统的
基点和基平面。
1,作图法
1F
1H 1H? 2H 2H?
1F? 2
F 2F?
F? H?系统一 系统二
? 2,计算法
? 第一系统像方焦点到第二系统物方焦点间距为
Δ,第一系统像方主点到第二系统物方主点间
距为 d。
1H 1H?
2H 2H?
1F 1F? 2F
2F?
F? H?
1f? 2f
Hx?
f-?
1H
2H?2H
1H? 1F? 2F F? H?1F 2F?
h
h?
1M 1M?
2R 2R?
h
h?
?
d
2f?
2s
2s?
1
2
2
2
2 ??
?
?
s
f
s
f
?
??
?
??? 22
22
22
2
sf
fs
sfs
共轭与 FF ??1
2
1
s
f
h
h ??
? 2s
f
h
h
?
???
?
在两对对顶的直角三角形中，有以下比例关系
22
1
s
f
s
f
?
????
1
2
2 f
fss
?
????
?
??
?
?? 22
1
2 sf
f
fs
?
??? 22
2
sfs
?
????? 21 fff
? ?
? ?
?
??
?
??????
?
???
?
????????? 22212122
2
)()( fdffffffffsx
H
?
?????
?
???
?
????
?
???? 2221
1
2
1
2
2
)())(( ffff
f
f
f
fss
?
????? 21 fff
?
??? 2fdx
H
21 ff ?? 12 ff ?? ff ?? HH xx ??
???
21 fff
??
1dfx
H
由光线的可逆性，以及物方、像方的可对易性，
可以得到关于物方的焦平面和主平面的参数
即可以由两个已知的系统得到它们合成后系统的光学参数
?
????? 21 fff
?
??? 2fdx
H
???
21 fff
??
1dfx
H
Δ：第一系统像方焦点到第二系统物方焦点间距
d,第一系统像方主点到第二系统物方主点间距
§ 1.5光线转换矩阵
? 一．光线的状态
? 光线的特征可以用两个要素描述：光线的方
向，和线上一点的位置。
? 可用光线相对于主光轴的角度表示其方向，
用线上一点到主光轴的距离表示该点的位置。
? 光线经过球面后，方向改变，上述角度和高
度的数值会发生改变。
二, 光线的矩阵表示
? 单球面的折射和反射
?
? ??
?? ??
n n?
C
M
i
i?
O
y?y
x
r ??
A
r?
r??
inni ???
?? ??i ?? ????i
xy??? ?
)()( xynxyn ????? ??
满足近轴条件
在 ΔMAC中 xy?
rx?注意
yr nnnn ?????? ?? yn ??? ?
??
?
???
?????
yy
ynn
0
??
???
?
???
?
?
??
y
n ?
???
?
???
?
???
?
???
? ???
y
n ?
10
1
???
?
???
??
y
nr ??
???
?
???
?
?
????
y
nr ??
表示光线入射前后的状态，
称为光线的 状态矩阵
???
?
???
? ???
10
1R
表示折射球面的作用，
称为 折射矩阵
对于反射球面 1????? nn
r
2???
???
?
???
??
y
nr ??
???
?
???
?
?
????
y
nr ??
光线的状态矩阵
???
?
???
? ???
10
1R
折射矩阵
1?R 折射矩阵行列式的值等于 1
rRr ?? ??
状态矩阵 表示的是光线在某一点的状态，而不是整个光线的状态。
所以，选取的点不同，状态矩阵就不同。
折射矩阵 表示的是在入射点前后，光线状态的改变。
过渡矩阵
? 光线经过连续两个球面折射
1?
1??
1n 1n?
1?
1O
1y?1y
21d
2y?2y
2??
1r
?
2O
1r?
?
2r
?
2r?
?
2?
2n?2n
2?
21 nn ??
21 ?? ??
返回
1M?
2M
1??
1n?
1?
1O
1y?1y
21d
2y?2y
2O
1r?
?
2r
?
2?
2n
2?
21 nn ??
21 ?? ??
1M?
2M 光线从第一折射面到第二折射面，
状态改变
:1M?
???
?
???
?
?
??
??
1
11
1 y
n
r
??
:1M?
???
?
???
??
2
22
2 y
n
r
??
这一过程中，没有发生折射，是自由传播，称
为过渡。两折射面之间的空间称为 过渡空间
01122 ???? ?? nn
21d
???
?
?
???
?
2
22
y
n ?
???
?
???
?
? 1
01
121 nd
???
?
???
?
?
??
y
n 11?
过渡空间 的长度
过渡空间 的折射率
21 nn ??
???
?
???
?
?? 1
01
121
21 ndT
称为两折射面间的 过渡矩阵
11212 ydy ???? ?
1111212 )( ynndy ?????? ?
121 ?T
下一页
1212 rTr
?? ??
11211212 rRTrTr ??? ??? 11212222 rRTRrRr ??? ???
图示上一页
经过过渡空间后 经过整个系统后
1212 RTRS ?12 rSr ?? ??
称为共轴球面系统的 系统矩阵
???
?
???
??
2221
1211
SS
SSS
?S ???????? ?? 101 2 ???????? ? 101
121 nd
???????? ??101 1 ???????? ??? 101 2 ??
?
?
???
?
?????
??
1
1
1211121
1
ndnd
???
?
???
?
????
????????????
1211121
12121211212
1
)(1
ndnd
ndnd
121211 1 ndS ???? )( 121212112 ndS ?????????
12121 ndS ?? 121122 1 ndS ????
12S???
系统的光焦度
1212 RTRS ?
对于 n个共轴球面组成的系统
? 其系统矩阵一般可表示为
21T?S 32T3R43T 1R4R
??
11,?? nnnn RTR
1?S
1? 2? 3? 4? 1??n n?
2R
三．成像矩阵的计算
1??m
1?mO
1n 1n?
1?
1O mO
m?
mn?mn1??mn1?mn2n 2n?
2?
Q
y?
2O
s s?
1P mP
y
Q?
下一页
1?
m??
1r
? mr?
?
在系统前后，各有一个过渡空间
???
?
???
??
y
nr
Q
11??
???
?
???
?
?
??
??
y
n
r mmm
?
???
?
???
??
1
01
1
1 nsT Q ??
?
?
???
?
???? 1
01
m
mQ nsT
Pm到 Q‘处自由空间的过渡矩阵为Q到 P1处自由空间的过渡矩阵为
Q到 Q‘的光线的矩阵变换为
QQmQQ rSTTr
??
1?? ??
物 Q的状态矩阵 像 Q’的状态矩阵
系统矩阵 S
上一页
下一页
物像之间光线的变换用矩阵表示为
???????? ?? 1
01
mns
???
?
???
?
2221
1211
SS
SS ??
?
???
?
?
1
01
1ns
???????? y
n 11?
???????? ??? 101 mns ???
???
?
?
?
?
2222121
1212111
)(
)(
SSnsS
SSnsS
???
?
???
?
y
n 11?
???
?
???
?
??????????
??
12221211122121
1212111
)()()()(
)(
SnsSSnnssSnsSnsS
SSnsS
mmm?
?
?
?
???
?
y
n 11?
???
?
???
?
???????????
???
ySnsSnSnnssSnsSnsS
ySnSnsS
mmm ])([])()()([
])([
1222111211122121
121112111
?
?
????????? ???yn mm?
???
?
???
?
??????????
??
12221211122121
1212111
)()()()(
)(
SnsSSnnssSnsSnsS
SSnsSA
mmm
称为 物像矩阵,其行列式的值等于 1
上一页
下一页
ySnsSnSnnssSnsSnsSy mmm ])([])()()([ 1222111211122121 ????????????? ?
近轴条件下,y’ 与 α 1无关
0])()()([ 111211122121 ???????? ?nSnnssSnsSnsS mm
???
?
???
?
???
??
1222
1212111
)(0
)(
SnsS
SSnsSA
m
ySnsSy m ])([ 1222 ?????
? ? ? ? 2212112111 )(][ SnsSSnsSns m ??????
11121
21221
)(
)(
SSns
SSns
n
s
m ?
???
?
?
用系统矩阵元素表示的
物像关系
上一页
下一页
y
y??? 1222 )( SnsS m????
1])(][)([ 122212111 ????? SnsSSnsS m
])(/[1 12111 SnsS ???
???
?
???
? ???
?
?
0
1A
系统的横向放大率为
横向放大率亦可表示为
系统的物像矩阵可记为
1)(0 )(
1222
1212111 ?
???
??
SnsS
SSnsSA
m
由于
所以
上一页
1、一个等曲率双凸透镜，放在水面上。球面半径为 3cm，中心
厚度 2cm，玻璃和水的折射率分别为 1.50和 1.33。透镜下 4cm
处物点 Q。计算两曲面的光焦度，并计算 Q点像的位置。
解法一：逐次成像法
1
1
1 67.503.0
33.150.1 ??????? m
r
nn wg
1
2
2 67.1603.0
50.100.1 ??
?
????? m
r
nn ga
Q第一次成像
1
1
??? snsn wg
m
s
n
ns
w
g 054.0
04.0
33.167.5
50.1
1
1 ??
?
?
??
?
第二次成像，物距 s2=0.02+0.054=0.074m
2
2
???
? s
n
s
n ga m
s
n
n
s
g
a 28.0
074.0
50.167.16
00.1
2
2
1 ??
?
?
??
?
在前镜面
下 26cm处
wn
gn
an
解法二：用矩阵方法
wn
gn
an ??
?
?
???
? ??
???
?
???
?
???
?
???
? ???
10
1
1/
01
10
1 12
gnd
S
???
?
???
? ?
???
?
???
?
???
?
???
? ??
10
67.51
15.1/02.0
01
10
67.161
???
?
???
? ??
93.0013.0
17.2178.0
11121
21221
)(
)(
SSns
SSns
n
s
m ?
???
?
?
mnSSns
SSnss ?
?
????
11121
21221
)(
)( m28.0
78.0)17.21(
33.1
04.0
0 1 3.093.0
33.1
04.0
??
??
??
??
2,L1和 L2为薄透镜,L1的焦距为
4cm,L2材料的折射率为 1.5,球面
半径为 12cm，球面上镀有反射膜。 L1
和 L2间距为 10cm，物在前 5.6cm处，
求 Q点最后成像的位置。 1L 2L
第二镜的焦距为
cmf 8.4
12
5.110
1
2 ?
?
????
cmf 8.4
12
5.110
1
2 ??
?
???
???
经第一镜，像距为
cmfs fss 1446.5 4*6.5
11
11
1 ??????
再经第二镜成像 cms 4
2 ?? cmfs
fss 2.2
8.44
)8.4(*4
22
22
2 ????
???
?
???
对于 L1，有 cms 8.7?
cmfs fss 2.848.7 4*8.7
1
1 ?
???
???
共有三次成像
关于透射反射镜的推导
对于反射球面，物方折射率
为 nL,像方折射率为 n
第一透射球面
10 r
nn
s
n
s
n LL ???
第二反射球面
20 r
nn
s
n
s
n LL ???
???
?
21 r
nn
r
nn
s
n
s
n LL ??????
?
?
21
1111
r
n
r
n
ss
LL ?????
??
21 r
nn
r
nn
n
f
LL ???
?
21 r
nn
r
nn
n
f
LL ???
???
? 一空心玻璃球，内外半径分别
为 r和 R，置于空气中。玻璃的
折射率 n=1.5，求系统的基点
解法一、用共轴球面系统成象方法
对于每一个单球面，在近轴条件下，物方、像方的主点就是球面顶点。
1? 11 ?? n
Rf
11 ??? n
nRf 起点为 O1点
2? n
nrf
?? 12 n
rf
??? 12
起点为 O2点
)]([ 122112 rRffFF ????????? 1)(11 ??????????? n rRrRnnRnnr
12
21
12 ?
????? fff
))(1(12
21
12 rRn
n R rfff
???????
rfffX H ??? ?????? ? 22112
RfffX H ??? ????? 12112
))(1( rRn
n R r
????
§ 1.6几何光学仪器
cms 250 ?
? 一, 人眼
黄斑
盲点
中央凹
明视距离
示意眼
空
气
角
膜
晶
状
体
视
网
膜
玻
璃
液
水
状
液
d(mm) n
角膜 0.5 1.376
水状
液
3.1 1.336
晶状
体
3.6 1.386
玻璃
液
17.2 1.336
r(mm)
7.7
6.8
10.0
-6.0
-9.7
简化眼
等效于一个可变焦距的凸透镜 。 视网膜
到光心的距离等于眼睛对无穷远处聚焦
时的像方焦距 。
mmf 1.17? mmf 8.22??
33.1?n
mmr 7.5?
F O C F?
mmr 7.9( ??视网膜）
二．光学仪器
? 1．偏转棱镜
)()()()( 22112121 iiiiiiii ?????????????
???
22 ii? ?? ???? 11 ii
?
2i 2i?
?
1i
1i?
11 ii ?? 22 ii ??
21 s ins in ini ??
??
2
1
s in
s in
i
in
2
s in
2
s in
?
?? m?
偏转角
有最小偏转角
2、全反射棱镜与光纤
? 光线从光密介质射向光疏介质
1i 1i
2i
1n
2n
2211 s i ns i n inin ?
22 ??i
121 /s in nni C ?
全反射临界角
（内反射）
)/ar cs i n ( 121 nni C ?
12 nn ?? 12 ii ??
全反射棱镜
倒转棱镜
屋脊形五棱镜
?5.67
?5.67
光纤
单根光线不能传输图像
依靠集束光线传
输图像
波
罗
组
合
棱
镜
3、照相机
单镜头反光照相机（ SLR) 旁轴取景器式照相机
箱式照相机
双镜头反光照相机
成像镜头
取景镜头
底片
底
片镜头
毛玻璃
反
光
板
五棱镜
反
光
板
透
反
镜
眼
睛
成
像
镜
头
镜头与反光板机械联
动，实现调焦
照相机的幅面与视角
135相机底片,24× 36
120相机底片,60× 60
照相机的镜头
? 为了获得高质量的影像，镜头通常由多组球
面透镜构成，可以消除色差、像差、球差、
彗差等。
镜头的焦距
f
f
f
d?? mmd 43~24?
24x36
d
d
?
?
f
f
镜头的焦距与像的大小
通过增大
像距放大
图像
在镜头与相机
之间加接圈
（近摄接圈）
标准镜头（ standard-lens） f,45~55mm
长焦镜头（ tele-lens ） f>75mm
广角镜头（ wide-lens） f<40mm
物距与景深
物方景深
像方景深
fss
111 ??
? fs
fss
??
?
?
222
2
2
)1()1()(
)(
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??????
?
f
s
sd
f
s
f
sdf
fs
sfdssdfsf
ds
2)1( ??
??
??
f
s
s
s 1??
f
s
即景深大增大使小大对于固定的,,,,sssf ??
即景深小减小使大相同时，对于大的在,,,ssfs ??
光圈：调节曝光量，改变成像质量
为光阑直径光圈数 D
D
fF,?
2
2 1
F
D ??? 光阑面积进入镜头的光强
F数 =1,1.2,1.4,2,2.8,4,5.6,8,11,16,22……
2 21
快门：控制曝光量
高速时，是一条光缝扫过底片
速度 1/t,B,1,2,4,8,16,30,60,125，
250（ 300）,500,1000,2000……
4、投影仪器
照明系统 成像系统
光
源
聚
光
镜
成
像
镜
屏
幕
波
罗
组
合
棱
镜
??2
0s明视距离
0/2 sy??
fy /2 ???
f
s
M
e
0?
?
?
?
?
角放大率
?2y
y
s
f
fs ?
放大镜
0f? ef?
物
镜
目
镜
0F? eF
0F eF?
??
0s
y
? ??
?
e
o
f
y
oy?
y
e
o
f
s
y
yM 0????
?
?
0
0 fy
yV o ?????
eo ff
sM ??? 0
unANAN
ANV o
s i n..:..
..
?
?
数值孔径
，物镜的标识为
焦距，目镜的标识为,eee ffM ?
显微镜
0f? ef
0F? eF
?
? ??
?
e
o
f
y
o
o
f
y
?
?
??
e
o
f
fM ??????
?
?
物镜的孔径望远镜的参数标识为,,DDM ?
∞处物，对物镜的张角 ω很小 Kepler望远镜
Galileo望远镜
0f?
ef?
波罗组合棱镜,使实
像倒转为正像
目镜
物镜
双筒望远镜
棱镜光谱仪（单色仪）
波
罗
组
合
棱
镜
? 一, 几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统
后成像的理论 。
? 二, 几何光学中光的物理模型
? 光线：任意一点可以向任一方向发出直线, 称为光
线 。 光的直线传播, 反射和折射都可以用直线段及
其方向的改变表示 。
? 几何光学是关于光的唯象理论。
? 对于光线，是无法从物理上定义其速度的。
? 在几何光学领域，也无法定义诸如波长、频率、能
量等物理量。
? 三, 几何光学的实验定律
? 1,光的直线传播定律
? 在均匀媒质中, 光沿直线传播 。
P Q
? 2,光的反射律
物
观察者（接收器）
平面镜
挡
板
ii ??
反射光在入射面内
界面
i?i
入射面
n?
光的反射定律
? 1、反射光在入射面内
? 2、反射角等于入射角
? 3、光的折射定律
介质 2
介质 1
分界面
物
像
1i
2i
21 s i n/s i n ii
只与两种介质有关
1i 1i?
2i
2211 s i ns i n inin ?
折射光在入射面内
Snell定律
界面
入射面
n?
? 4、光路可逆原理
? 光线如果沿原来反射和折射方向入射时,
则相应的反射和折射光将沿原来的入射
光的方向 。
如果物点 Q发出的光线经光学系统后在
Q‘点成像, 则 Q’点发出的光线经同一系统
后必然会在 Q点成像 。 即物像之间是共轭
的 。
Q Q’
四,Fermat 原理
P Q
光实际传播的路径，是与介质有关的。
费马 （ Fermat） 原理,两点间光的实际路径,
是光程平稳的路径 。 （ 1679年 ）
光程：折射率 × 光所经过的路程, 即 nS。
一般情况下为折射率的路径积分 。
平稳：极值（极大、极小）或恒定值。
在数学上，用变分表示
?QP nds
?)( PQ? 0][ ?? Q
P
n d s?
椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定
值
在椭球面上一点作相切的平面
和球面，则经平面反射的光线中，实
际光线光程最小，经球面反射的光线
中，实际光线光程最大。
抛物面焦点发出的光，反射
后变为平行光，汇聚在无穷远处，
光程为极大值。
由 Fermat原理导出几何光学的实
验定律
? （ 1） 光的直线传播定律
在均匀媒质中, 两点间光程最短的路径是
直线 。
? （ 2） 光的反射定律
P’是 P点关于 Σ
面的对称点 。
P,Q,O’三
点确定平面 Π。
直线 QP’与反射
面 Σ交于 O点。
则易知当 i’=i时,QO+OP为光程最短的路径。
Q点发出的光经
反射面 Σ到达 P点
Q
P
Q’ P’O
1i
2i
2n
x 1
nxp ?
pPQ ???
?
? 2h
1h
2222221121 )()( xphnxhnOPnQOnQ O P ???????
22
2
2
22
1
1
)(
)()(
xph
xpn
xh
xn
dx
QOPd
??
??
?
? 11
s in in? 22 s in in? 0?
过 Q,P点作与 Σ面
垂直的平面 Π
平面 Π内的光程比该
平面外的光程短
折射定律
? 4,物像之间的等光程性
物点 Q与像点 Q‘之间的光程总是平稳
的, 即不管光线经何路径, 凡是由 Q通过
同样的光学系统到达 Q’的光线, 都是等
光程的 。
五．几何光学定律成立的条件
? 1,光学系统的尺度远大于光波的波长 。
? 2,介质是均匀和各向同性的 。
? 3,光强不是很大 。
§ 1.2 近轴光在单球面上的成像
? 一, 物与像的虚实性
? 1,同心光束
从同一点发出的或汇聚到同一点的光线束,
称为同心光束 。
? 2,光具组：若干反射面或折射面组成
的光学系统 。
光轴：光具组的对称轴
? 3,实物与虚物, 实像与虚像
? 发出同心光束的物点, 为实物点；物方
同心光束延长后汇聚所成的点, 为虚物
点 。
? 同心光束汇聚在像方形成的点，为实像
点；像方发散的同心光束反向延长后汇
聚的点，为虚像点。
实物成实像 实物成虚像
虚物成实像 虚物成虚像
? 4.物方和像方
物点所在的空间为物方空间
像点所在的空间为像方空间
5.理想光具组
? 精确成像的必要条件是物上一点与像上一点对应。
? 使同心光束保持其同心性不变的光具组为理想光具
组
? 理想光具组是成像的必要条件
二．近轴光在单球面上的成像
?
n n?
1C
O
r
s s?
rd
i
i?
Q
M
Q?
u ? u?
p p?
? 从 Q点发出的光线 QM折射后变为 MQ’
1.轴上物点成像
inin ??? s i ns i n
i
rsp
s ins in
??
? i
rsp
?
????
s ins in ?
inrsn
p
s in
s in
)(
??
? )(s in
s in
rsn
p
in ??
??
??
??
应用正弦定理
中，和在 1MCQΔΔ Q M C ?1
)( rsn
p
? )( rsn
p
??
??
?c o s)(2)( 222 rsrrrsp ?????
?c o s)(2)( 222 rsrrrsp ????????
2s i n)(4
222 ?rsrsp ??? 2s i n)(4 222 ?rsrsp ??????
?c o s)(22 2222 rsrrrrssp ?????? ?c o s)(2)(22 rsrrsrs ?????
)c o s1)((22 ????? rsss
2s in)(4
22 ?rsrs ???
在△ QMC1和△ Q’MC1
中分别应用余弦公式
2s i n)(4
222 ?rsrsp ???
2s i n)(4
222 ?rsrsp ??????
)( rsn
p
? )( rsn
p
??
??
?
?
??
22
22
)(
2
s i n)(4
rsn
rsrs ?
22
22
)(
2
s i n)(4
rsn
rsrs
???
???? ?
?? 22
2
)( rsn
s
22
2
)( rsn
s
???
?
2s in4
2 ?r?? ?
? 22
2
)([ rsn
s ]
)( 22
2
rsn
s
???
?
Φ不同,s’不同，即从 Q点发出的同心光束不能保持同心性
? 欲使折射光线保持同心性，必须满足近
轴（傍轴）条件
0?? 0
2
s in 2 ??
s
rsn
s
rsn
?
????? )()(
?? 22
2
)( rsn
s
22
2
)( rsn
s
???
?
2s in4
2 ?r?? ?
? 22
2
)([ rsn
s ]
)( 22
2
rsn
s
???
?
r
nn
s
n
s
n ????
?
?
r
nn ???? 折射球面的光焦度
平行光入射
像方焦距，像点 Q‘所在位置为像方焦点
??s f
nn
rns ??
??
?
??
r
nn
s
n
s
n ????
?
?
???s f
nn
nrs ?
??
?
折射光为平行光
物方焦距，物点 Q所在位置为物方焦点
1??
?
?
s
f
s
f
Gauss公式
f f?
2、轴外物点成像
相当于光轴绕球心旋转
满足近轴条件时，圆弧变为直线。
sn
sn
is
is
s t g i
itgs
PQ
QP
?
??????????
s i n
s i n
像的横向放大率
1F
1F?
焦点与焦平面
F F?C
经过焦平面的光线
折射球面的光学参数
?n n?
1C
O
f f?
F F?
r
物方焦距 像方焦距
物方焦点 像方焦点
物方焦平面 像方焦平面
? 符号约定
? （ 1） 物点在顶点左侧, 物距 s>0；物点
在球面右侧, 物距 s<0。
? （ 2） 对于折射球面, 像点在顶点右侧,
像距 s’>0；像点在顶点左侧, 像距 s’<0。
对于反射球面, 像点在顶点右侧, 像距
s’<0；像点在顶点左侧, 像距 s’>0。
f f?
0?s 0??s
0??s 0?s
? （ 3） 线段在主光轴之上, y>0；线段在
主光轴之下, y<0。
? （ 4） 球面曲率中心在顶点右侧, 其曲率
半径 r>0；球面曲率中心在顶点左侧,
r<0。
0?y 0??y
0?y 0??y
0?r0?r
? （ 5） 物方焦点在顶点左侧, 物方焦距 f>0；
像方焦点在顶点右侧, 像方焦距 f’>0。
? （ 6） 角度自主光轴或球面法线算起, 逆时针
方向为正, 顺时针方向为负 。
0?f
0??f
0?u
0??f
0??u
0?f
0?i
0?i
? 图中所标均为绝对值, 对于是负值的参数,
应在其前面加上负号 。
由折射球面物像公式推
导反射球面物像公式
ii ???
inin ??? s i ns i n?
nn ????
r
n
r
nn
s
n
s
n 2??????
??
?
r
n
s
n
s
n 2???
?
rss
211 ???
?
?
?
反射镜的像方在球面左侧
?像的横向放大率
sn
sn
is
is
s t g i
itgs
y
yV
?
?????????????
s i n
s i n
光学多媒体网页
? http://lqcc.ustc.edu.cn/cui/
? 课程成绩构成：
? 考试,60
? 作业,30（迟交超过 1周者，拒收！）
? 论文,10（自选题目，内容不限，但要符合
科技论文的格式）
Lagrange-Helmhotz恒等式
tgu
utg )( ???
u
u????
unyy nu ????
对光线的角放大率为
Lagrange-Helmhotz恒等式
)/(
)/(
dsh
dsh
?
???
s
s
?
? yn
ny
????
sn
sn
y
yV
?
?????
§ 1.3 薄透镜成像
?一．薄透镜
由两个折射球面组
成，过两球面圆心的直
线为光轴，顶点间距 d。
|||,|,,21 ssrrd ???
0?d
薄透镜，通常
可以认为，两球面顶点重合，称为光心。
? 二．薄透镜成像公式
? 1．用逐次成像法推导
Ln
1? 2?
1Q? Q?Q
n n?
1r
2r?
s
s??
s?
d
2C 1
C1O 2OO
1r
nn
s
n
ds
n LL ???
???
1
1 r
nn L ???
2r
nn
s
n
s
n LL ???
???
?
?
?
2
2 r
nn L????
s
n
s
n ?
?
? 21 ????
21 r
nn
r
nn LL ??????
1r
nn
s
n
s
n LL ???
??
21 r
nn
r
nn LL ????? ??
薄透镜的光焦度
0?d
物在像方，虚物
第一次成像
第二次成像
21 r
nn
r
nn
s
n
s
n LL ??????
?
?
?
?
??
?
?
?
n
r
nn
r
nn
n
f
LL
21
?
?
?
??
?
?
?
??
n
r
nn
r
nn
n
f
LL
21
)
11
)(1(
1
21 rr
n
ff
L ??
???
物方焦距???s
??s
1??? nn
像方焦距
磨镜者公式
透镜的焦距
正透镜与负透镜
? 焦距为正值的透镜是正透镜；焦距为负值的
透镜是负透镜。
? 正透镜的像方焦点在像方；负透镜的像方焦
点在物方。
? 正透镜使入射的平行光汇聚在像方焦点；负
透镜使入射的平行光发散。
? 空气中，中间厚边缘薄的透镜是正透镜；中
间薄边缘厚的透镜是负透镜。
)11)(1(
1
21 rr
n
ff
L ??
???
21
11
rr ?负透镜21
11
rr ?正透镜
01 ?r
?
?
?
?
?
??????
????
?
?
?
??
?
0&0
0
&0
0
122
122
2
ffrrr
ff
rrr
r
01 ?r
?
?
?
?
?
??????
????
?
?
?
??
?
0&0
0
&0
0
122
122
2
ffrrr
ff
rrr
r
从 Fermat原理看，这是很自然的结果。
1????
s
f
s
f
Gauss物像 公式
1)(
1
21
??
?
?
??
?
? s
n
s
n
r
nn
r
nn LL 21 r
nn
r
nn
s
n
s
n LL ??????
?
?
图示
f f?
s s?
fxs ?? fxs ????? 1?
?
?
???
?
fx
f
fx
f
fffxfffx ???????
ffxx ???
Newton物像公式
fffxfxxx ????????
三,Newton物像公式
四．像的横向放大率
? 总放大率为两次成像的放大率的乘积
21VVV ?
sn
sn
?
???
))((
sn
sn
sn
sn L
L ????
??????
五,Lagrange-Helmhotz恒等式
? Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立
unyunyy n u L ?????????
薄透镜作图法
三对共轭的特殊光线
平行于光轴的入射光线 ←→ 经过像方焦点的光线
经过物方方焦点的光线 ←→ 平行于光轴的像方光线
经过透镜光心的入射光线 ←→ 经过透镜光心的像方光线
正透镜作图法
FF?像方焦点 物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
负透镜作图法
平行于光轴的入射光线 ←→ 经过像方焦点的光线
经过物方方焦点的光线 ←→ 平行于光轴的像方光线
经过透镜光心的入射光线 ←→ 经过透镜光心的像方光线
FF?像方焦点 物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
FF?像方焦点 物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
F
F?像方焦点
物方焦点
像方焦平面 物方焦平面
2F
1F?1
F 2F?
1L 2L
透镜组的逐次成像作图法
将物经第一个透镜的所成的像作为第二个透镜的物，再次进行成像，逐个进行。
2F
1F?1
F 2F?
1L 2
L
虚物与实物
应用逐次成像法的过程中，必须区分物和像的虚实性。
只要第一镜的像处于第二镜的物方，对于第二镜来说都
是实物；反之都是虚物。也就是说，像的虚实性与作为
物的虚实性之间应该是没有关系的。
2F2F?
返回
如果将上述第一透镜的像作为第二透镜的实物
处理，则会得到错误的结果
虚像作为物
在第二镜的物方则为实物，在第二镜的像方则为虚物。
透镜组的逐次成像计算法
? 对第一个透镜用成像公式计算，确定像的位
置与虚实性
? 将该像作为第二个透镜的物，再次进行成像，
依次逐个进行。
? 如果像是下一个透镜的实物，则直接应用公
式进行计算；如果是虚物，则其物距是负值。
§ 1.4 共轴球面系统的成像
? 共轴球面系统
一,可以用逐步成像法得出总的物
像关系
? 使用作图法或计算法, 逐次成像, 最后得到像的特
性 。
二、共轴球面系统的基点和基面
? 薄透镜中, 只要知道了光心位置, 物方和像方焦点
或焦平面位置, 则可以方便地解决任何光线的成像
问题 。 同样, 对于共轴的球面系统, 可以将其等效
为一个球面透镜, 确定了基本的点和面后, 也可以
完全确定物像关系 。
? 共轴球面系统的基点和基平面包括焦点 （ 焦平面 ）,
主点 （ 主平面 ）, 以及节点等 。
? 1,焦点
? 与光轴平行的入射光线经光学系统后与光轴的交点
为像方焦点 F ；物方光轴上一点发出的光线经光学
系统后与光轴平行, 该点为像方焦点 F’。
? 2,焦平面
? 过焦点与光轴垂直的平面为焦平面 。 与无穷远处的
像平面共轭的物平面为物方焦平面 F；与无穷远处的
物平面共轭的像平面为像方焦平面 F‘ 。
F F?
F F?
? 3,主平面
? 横向 （ 垂轴 ） 放大率等于 ＋ 1的一对共轭平面
为主平面 。 物方主平面 H,像方主平面 H’ 。
? 4,主点
? 主平面与主光轴的交点为主点 。 物方主点 H，
像方主点 H’。
H?H
H?H
Q Q?
三．共轴球面系统的物像关系
? 1,作图法
? 2,计算法
? 对已知参数的共轴球面系统, 无论用作图法
还是计算法, 其原理和步骤都与单个薄透镜
的成像情况相同 。
H?HF F?
H H?F F?
对于任意光线，也可以得到其共轭光线
H?HF F?
P
Q
P?
Q?
F H H? F?
M M?
R R?
x f f? x?
s?s
y
y??
x
f
y
y ???
f
x
y
y
?
????
ffxx ???
f
x
x
f
?
??
f
fs
fs
f
?
????
? 1???? sfsf
fs
f
?? f
fs
?
????
计算法
Gauss物像 公式
Newton物像公式
Gauss公式，距离从主平面算起
Newton公式，距离从焦平面算起
四．基点和基平面的确定
? 由已知的系统的基点和基平面求整个系统的
基点和基平面。
1,作图法
1F
1H 1H? 2H 2H?
1F? 2
F 2F?
F? H?系统一 系统二
? 2,计算法
? 第一系统像方焦点到第二系统物方焦点间距为
Δ,第一系统像方主点到第二系统物方主点间
距为 d。
1H 1H?
2H 2H?
1F 1F? 2F
2F?
F? H?
1f? 2f
Hx?
f-?
1H
2H?2H
1H? 1F? 2F F? H?1F 2F?
h
h?
1M 1M?
2R 2R?
h
h?
?
d
2f?
2s
2s?
1
2
2
2
2 ??
?
?
s
f
s
f
?
??
?
??? 22
22
22
2
sf
fs
sfs
共轭与 FF ??1
2
1
s
f
h
h ??
? 2s
f
h
h
?
???
?
在两对对顶的直角三角形中，有以下比例关系
22
1
s
f
s
f
?
????
1
2
2 f
fss
?
????
?
??
?
?? 22
1
2 sf
f
fs
?
??? 22
2
sfs
?
????? 21 fff
? ?
? ?
?
??
?
??????
?
???
?
????????? 22212122
2
)()( fdffffffffsx
H
?
?????
?
???
?
????
?
???? 2221
1
2
1
2
2
)())(( ffff
f
f
f
fss
?
????? 21 fff
?
??? 2fdx
H
21 ff ?? 12 ff ?? ff ?? HH xx ??
???
21 fff
??
1dfx
H
由光线的可逆性，以及物方、像方的可对易性，
可以得到关于物方的焦平面和主平面的参数
即可以由两个已知的系统得到它们合成后系统的光学参数
?
????? 21 fff
?
??? 2fdx
H
???
21 fff
??
1dfx
H
Δ：第一系统像方焦点到第二系统物方焦点间距
d,第一系统像方主点到第二系统物方主点间距
§ 1.5光线转换矩阵
? 一．光线的状态
? 光线的特征可以用两个要素描述：光线的方
向，和线上一点的位置。
? 可用光线相对于主光轴的角度表示其方向，
用线上一点到主光轴的距离表示该点的位置。
? 光线经过球面后，方向改变，上述角度和高
度的数值会发生改变。
二, 光线的矩阵表示
? 单球面的折射和反射
?
? ??
?? ??
n n?
C
M
i
i?
O
y?y
x
r ??
A
r?
r??
inni ???
?? ??i ?? ????i
xy??? ?
)()( xynxyn ????? ??
满足近轴条件
在 ΔMAC中 xy?
rx?注意
yr nnnn ?????? ?? yn ??? ?
??
?
???
?????
yy
ynn
0
??
???
?
???
?
?
??
y
n ?
???
?
???
?
???
?
???
? ???
y
n ?
10
1
???
?
???
??
y
nr ??
???
?
???
?
?
????
y
nr ??
表示光线入射前后的状态，
称为光线的 状态矩阵
???
?
???
? ???
10
1R
表示折射球面的作用，
称为 折射矩阵
对于反射球面 1????? nn
r
2???
???
?
???
??
y
nr ??
???
?
???
?
?
????
y
nr ??
光线的状态矩阵
???
?
???
? ???
10
1R
折射矩阵
1?R 折射矩阵行列式的值等于 1
rRr ?? ??
状态矩阵 表示的是光线在某一点的状态，而不是整个光线的状态。
所以，选取的点不同，状态矩阵就不同。
折射矩阵 表示的是在入射点前后，光线状态的改变。
过渡矩阵
? 光线经过连续两个球面折射
1?
1??
1n 1n?
1?
1O
1y?1y
21d
2y?2y
2??
1r
?
2O
1r?
?
2r
?
2r?
?
2?
2n?2n
2?
21 nn ??
21 ?? ??
返回
1M?
2M
1??
1n?
1?
1O
1y?1y
21d
2y?2y
2O
1r?
?
2r
?
2?
2n
2?
21 nn ??
21 ?? ??
1M?
2M 光线从第一折射面到第二折射面，
状态改变
:1M?
???
?
???
?
?
??
??
1
11
1 y
n
r
??
:1M?
???
?
???
??
2
22
2 y
n
r
??
这一过程中，没有发生折射，是自由传播，称
为过渡。两折射面之间的空间称为 过渡空间
01122 ???? ?? nn
21d
???
?
?
???
?
2
22
y
n ?
???
?
???
?
? 1
01
121 nd
???
?
???
?
?
??
y
n 11?
过渡空间 的长度
过渡空间 的折射率
21 nn ??
???
?
???
?
?? 1
01
121
21 ndT
称为两折射面间的 过渡矩阵
11212 ydy ???? ?
1111212 )( ynndy ?????? ?
121 ?T
下一页
1212 rTr
?? ??
11211212 rRTrTr ??? ??? 11212222 rRTRrRr ??? ???
图示上一页
经过过渡空间后 经过整个系统后
1212 RTRS ?12 rSr ?? ??
称为共轴球面系统的 系统矩阵
???
?
???
??
2221
1211
SS
SSS
?S ???????? ?? 101 2 ???????? ? 101
121 nd
???????? ??101 1 ???????? ??? 101 2 ??
?
?
???
?
?????
??
1
1
1211121
1
ndnd
???
?
???
?
????
????????????
1211121
12121211212
1
)(1
ndnd
ndnd
121211 1 ndS ???? )( 121212112 ndS ?????????
12121 ndS ?? 121122 1 ndS ????
12S???
系统的光焦度
1212 RTRS ?
对于 n个共轴球面组成的系统
? 其系统矩阵一般可表示为
21T?S 32T3R43T 1R4R
??
11,?? nnnn RTR
1?S
1? 2? 3? 4? 1??n n?
2R
三．成像矩阵的计算
1??m
1?mO
1n 1n?
1?
1O mO
m?
mn?mn1??mn1?mn2n 2n?
2?
Q
y?
2O
s s?
1P mP
y
Q?
下一页
1?
m??
1r
? mr?
?
在系统前后，各有一个过渡空间
???
?
???
??
y
nr
Q
11??
???
?
???
?
?
??
??
y
n
r mmm
?
???
?
???
??
1
01
1
1 nsT Q ??
?
?
???
?
???? 1
01
m
mQ nsT
Pm到 Q‘处自由空间的过渡矩阵为Q到 P1处自由空间的过渡矩阵为
Q到 Q‘的光线的矩阵变换为
QQmQQ rSTTr
??
1?? ??
物 Q的状态矩阵 像 Q’的状态矩阵
系统矩阵 S
上一页
下一页
物像之间光线的变换用矩阵表示为
???????? ?? 1
01
mns
???
?
???
?
2221
1211
SS
SS ??
?
???
?
?
1
01
1ns
???????? y
n 11?
???????? ??? 101 mns ???
???
?
?
?
?
2222121
1212111
)(
)(
SSnsS
SSnsS
???
?
???
?
y
n 11?
???
?
???
?
??????????
??
12221211122121
1212111
)()()()(
)(
SnsSSnnssSnsSnsS
SSnsS
mmm?
?
?
?
???
?
y
n 11?
???
?
???
?
???????????
???
ySnsSnSnnssSnsSnsS
ySnSnsS
mmm ])([])()()([
])([
1222111211122121
121112111
?
?
????????? ???yn mm?
???
?
???
?
??????????
??
12221211122121
1212111
)()()()(
)(
SnsSSnnssSnsSnsS
SSnsSA
mmm
称为 物像矩阵,其行列式的值等于 1
上一页
下一页
ySnsSnSnnssSnsSnsSy mmm ])([])()()([ 1222111211122121 ????????????? ?
近轴条件下,y’ 与 α 1无关
0])()()([ 111211122121 ???????? ?nSnnssSnsSnsS mm
???
?
???
?
???
??
1222
1212111
)(0
)(
SnsS
SSnsSA
m
ySnsSy m ])([ 1222 ?????
? ? ? ? 2212112111 )(][ SnsSSnsSns m ??????
11121
21221
)(
)(
SSns
SSns
n
s
m ?
???
?
?
用系统矩阵元素表示的
物像关系
上一页
下一页
y
y??? 1222 )( SnsS m????
1])(][)([ 122212111 ????? SnsSSnsS m
])(/[1 12111 SnsS ???
???
?
???
? ???
?
?
0
1A
系统的横向放大率为
横向放大率亦可表示为
系统的物像矩阵可记为
1)(0 )(
1222
1212111 ?
???
??
SnsS
SSnsSA
m
由于
所以
上一页
1、一个等曲率双凸透镜，放在水面上。球面半径为 3cm，中心
厚度 2cm，玻璃和水的折射率分别为 1.50和 1.33。透镜下 4cm
处物点 Q。计算两曲面的光焦度，并计算 Q点像的位置。
解法一：逐次成像法
1
1
1 67.503.0
33.150.1 ??????? m
r
nn wg
1
2
2 67.1603.0
50.100.1 ??
?
????? m
r
nn ga
Q第一次成像
1
1
??? snsn wg
m
s
n
ns
w
g 054.0
04.0
33.167.5
50.1
1
1 ??
?
?
??
?
第二次成像，物距 s2=0.02+0.054=0.074m
2
2
???
? s
n
s
n ga m
s
n
n
s
g
a 28.0
074.0
50.167.16
00.1
2
2
1 ??
?
?
??
?
在前镜面
下 26cm处
wn
gn
an
解法二：用矩阵方法
wn
gn
an ??
?
?
???
? ??
???
?
???
?
???
?
???
? ???
10
1
1/
01
10
1 12
gnd
S
???
?
???
? ?
???
?
???
?
???
?
???
? ??
10
67.51
15.1/02.0
01
10
67.161
???
?
???
? ??
93.0013.0
17.2178.0
11121
21221
)(
)(
SSns
SSns
n
s
m ?
???
?
?
mnSSns
SSnss ?
?
????
11121
21221
)(
)( m28.0
78.0)17.21(
33.1
04.0
0 1 3.093.0
33.1
04.0
??
??
??
??
2,L1和 L2为薄透镜,L1的焦距为
4cm,L2材料的折射率为 1.5,球面
半径为 12cm，球面上镀有反射膜。 L1
和 L2间距为 10cm，物在前 5.6cm处，
求 Q点最后成像的位置。 1L 2L
第二镜的焦距为
cmf 8.4
12
5.110
1
2 ?
?
????
cmf 8.4
12
5.110
1
2 ??
?
???
???
经第一镜，像距为
cmfs fss 1446.5 4*6.5
11
11
1 ??????
再经第二镜成像 cms 4
2 ?? cmfs
fss 2.2
8.44
)8.4(*4
22
22
2 ????
???
?
???
对于 L1，有 cms 8.7?
cmfs fss 2.848.7 4*8.7
1
1 ?
???
???
共有三次成像
关于透射反射镜的推导
对于反射球面，物方折射率
为 nL,像方折射率为 n
第一透射球面
10 r
nn
s
n
s
n LL ???
第二反射球面
20 r
nn
s
n
s
n LL ???
???
?
21 r
nn
r
nn
s
n
s
n LL ??????
?
?
21
1111
r
n
r
n
ss
LL ?????
??
21 r
nn
r
nn
n
f
LL ???
?
21 r
nn
r
nn
n
f
LL ???
???
? 一空心玻璃球，内外半径分别
为 r和 R，置于空气中。玻璃的
折射率 n=1.5，求系统的基点
解法一、用共轴球面系统成象方法
对于每一个单球面，在近轴条件下，物方、像方的主点就是球面顶点。
1? 11 ?? n
Rf
11 ??? n
nRf 起点为 O1点
2? n
nrf
?? 12 n
rf
??? 12
起点为 O2点
)]([ 122112 rRffFF ????????? 1)(11 ??????????? n rRrRnnRnnr
12
21
12 ?
????? fff
))(1(12
21
12 rRn
n R rfff
???????
rfffX H ??? ?????? ? 22112
RfffX H ??? ????? 12112
))(1( rRn
n R r
????
§ 1.6几何光学仪器
cms 250 ?
? 一, 人眼
黄斑
盲点
中央凹
明视距离
示意眼
空
气
角
膜
晶
状
体
视
网
膜
玻
璃
液
水
状
液
d(mm) n
角膜 0.5 1.376
水状
液
3.1 1.336
晶状
体
3.6 1.386
玻璃
液
17.2 1.336
r(mm)
7.7
6.8
10.0
-6.0
-9.7
简化眼
等效于一个可变焦距的凸透镜 。 视网膜
到光心的距离等于眼睛对无穷远处聚焦
时的像方焦距 。
mmf 1.17? mmf 8.22??
33.1?n
mmr 7.5?
F O C F?
mmr 7.9( ??视网膜）
二．光学仪器
? 1．偏转棱镜
)()()()( 22112121 iiiiiiii ?????????????
???
22 ii? ?? ???? 11 ii
?
2i 2i?
?
1i
1i?
11 ii ?? 22 ii ??
21 s ins in ini ??
??
2
1
s in
s in
i
in
2
s in
2
s in
?
?? m?
偏转角
有最小偏转角
2、全反射棱镜与光纤
? 光线从光密介质射向光疏介质
1i 1i
2i
1n
2n
2211 s i ns i n inin ?
22 ??i
121 /s in nni C ?
全反射临界角
（内反射）
)/ar cs i n ( 121 nni C ?
12 nn ?? 12 ii ??
全反射棱镜
倒转棱镜
屋脊形五棱镜
?5.67
?5.67
光纤
单根光线不能传输图像
依靠集束光线传
输图像
波
罗
组
合
棱
镜
3、照相机
单镜头反光照相机（ SLR) 旁轴取景器式照相机
箱式照相机
双镜头反光照相机
成像镜头
取景镜头
底片
底
片镜头
毛玻璃
反
光
板
五棱镜
反
光
板
透
反
镜
眼
睛
成
像
镜
头
镜头与反光板机械联
动，实现调焦
照相机的幅面与视角
135相机底片,24× 36
120相机底片,60× 60
照相机的镜头
? 为了获得高质量的影像，镜头通常由多组球
面透镜构成，可以消除色差、像差、球差、
彗差等。
镜头的焦距
f
f
f
d?? mmd 43~24?
24x36
d
d
?
?
f
f
镜头的焦距与像的大小
通过增大
像距放大
图像
在镜头与相机
之间加接圈
（近摄接圈）
标准镜头（ standard-lens） f,45~55mm
长焦镜头（ tele-lens ） f>75mm
广角镜头（ wide-lens） f<40mm
物距与景深
物方景深
像方景深
fss
111 ??
? fs
fss
??
?
?
222
2
2
)1()1()(
)(
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??????
?
f
s
sd
f
s
f
sdf
fs
sfdssdfsf
ds
2)1( ??
??
??
f
s
s
s 1??
f
s
即景深大增大使小大对于固定的,,,,sssf ??
即景深小减小使大相同时，对于大的在,,,ssfs ??
光圈：调节曝光量，改变成像质量
为光阑直径光圈数 D
D
fF,?
2
2 1
F
D ??? 光阑面积进入镜头的光强
F数 =1,1.2,1.4,2,2.8,4,5.6,8,11,16,22……
2 21
快门：控制曝光量
高速时，是一条光缝扫过底片
速度 1/t,B,1,2,4,8,16,30,60,125，
250（ 300）,500,1000,2000……
4、投影仪器
照明系统 成像系统
光
源
聚
光
镜
成
像
镜
屏
幕
波
罗
组
合
棱
镜
??2
0s明视距离
0/2 sy??
fy /2 ???
f
s
M
e
0?
?
?
?
?
角放大率
?2y
y
s
f
fs ?
放大镜
0f? ef?
物
镜
目
镜
0F? eF
0F eF?
??
0s
y
? ??
?
e
o
f
y
oy?
y
e
o
f
s
y
yM 0????
?
?
0
0 fy
yV o ?????
eo ff
sM ??? 0
unANAN
ANV o
s i n..:..
..
?
?
数值孔径
，物镜的标识为
焦距，目镜的标识为,eee ffM ?
显微镜
0f? ef
0F? eF
?
? ??
?
e
o
f
y
o
o
f
y
?
?
??
e
o
f
fM ??????
?
?
物镜的孔径望远镜的参数标识为,,DDM ?
∞处物，对物镜的张角 ω很小 Kepler望远镜
Galileo望远镜
0f?
ef?
波罗组合棱镜,使实
像倒转为正像
目镜
物镜
双筒望远镜
棱镜光谱仪（单色仪）
波
罗
组
合
棱
镜
