第六章 傅立叶变换光学
衍射系统的屏函数
夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析
阿贝成像原理
变换光学
? 处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光
的相干叠加。这是传统光学的一般方法。
? 可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇
到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。衍射
障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。
? 所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。
? 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非
相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，
它们的作用都可以应用变换的方法处理。
§ 6.1 衍射系统的屏函数
? 能使波前的复振
幅发生改变的物，
统称为衍射屏。
? 衍射屏将波的空
间分为前场和后
场两部分。前场
为照明空间，后
场为衍射空间。
? 波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别称为
入射场、透射场（或反射场），接收屏上的
复振幅为接收场。
),(~1 yxU
),(~ 2 yxU
),(~ yxU ??
入射场
透射或反射场
接收场
(,)xy衍 射 屏 (,)xy??接 收 屏
z
1(,)U x y入 射 场 2(,)U x y衍 射 场 (,)U x y??接 收 场
衍 射 空 间
照 明 空 间
(,)xy衍 射 屏 (,)xy??接 收 屏
z
1(,)U x y
入 射 场
2 (,)U x y
衍 射 场
(,)U x y??
接 收 场
衍 射 空 间
照 明 空 间
(,)xy衍 射 屏 (,)xy??接 收 屏
z
1(,)U x y
入 射 场
2(,)U x y
衍 射 场
(,)U x y??
接 收 场
衍 射 空 间
照 明 空 间
? 衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或
反射场） 。用函数表示，就是透过率或反射
率函数，统称屏函数。
),(~
),(~),(~
1
2
yxU
yxUyxt ?衍射屏函数
)],(e x p [),(),(~ yxiyxtyxt t??
),( yxt
),( yxt?
屏函数的模。模为常数的衍射屏称为位相型
的,如透镜、棱镜等。
屏函数的幅角即位相。幅角为常数的衍射屏称
为振幅型的,如单缝、圆孔等。
相因子判断法
? 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而
完全确定接收场。
? 但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，
完全确定屏函数几乎是不可能的。
? 只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。
? 了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改变
来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。
? 一般都是在傍轴近似下进行判断。
波前的相因子
)]s in( s ine x p[ 21 yxik ?? ?
]2ex p [
22
z
yxik ?
]2ex p [
22
z
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2
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z
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z
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22
z
yyxx
z
yxik ????
? 以原点位相为 0,xoy平面上点（ x,y）的位
相因子
]2ex p [
22
z
yxik ?
22
e xp[ ]
2
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z
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Q
(,)xy
zo
z
? 以物点位相为 0,xoy平面上点（ x,y）的位
相因子
? 以原点位相为 0,xoy平面上点（ x,y）的位
相因子
? 以物点位相为 0,xoy平面上点（ x,y）的 位
相因子
Q
(,)xy
z
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2
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z
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透镜的位相变换函数（透过率函数
? 透镜的有效口径为 D。
? 忽略透镜的吸收
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2
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2
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L
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1/),( 12 ?? AAyxa
) ] },(),([e x p{)],(e x p[),(~ 12 yxyxiyxiyxt LL ??? ???
对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光
轴。从图上可以求得经透镜后的位相差
)],([2),( 21 yxndyxL ????? ???
)]([2 21021 ????????? dn??
))(1(2 210 ?????? n???
00
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近轴条件下
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1
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1
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111 2)11()(),( r
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r
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可得透镜的位相变换函数为
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L
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其相因子为
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2
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棱镜的位相变换函数（透过率函数）
? 薄的楔形棱镜，可以得
到
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???? )1(20 n???
?x?? 0d 棱镜中心处的厚度
xnkyxP ?? )1(),( ???
)])(1(e x p [),(~ 21 yxnikyxt P ?? ???? 二维情况下
§ 6.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频
谱分析
1,空间频率的概念
在空间上也可以定义周期和频率, 空间
周期 d的倒数就是空间频率, 即有 f=1/d。 f称
为空间频率 。
2,正弦光栅的傅立叶变换
平行光正入射 )2co s ()(
~ 010 ?? ??? fxttxt
11 )(
~ AxU ?
112 )(~)(~)(~ AxtxUxU ?? )]2c o s ([ 010 ?? ?? fxtt
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透射波实际上变为三列波
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§ 6.3 阿贝成像原理
? 对于衍射屏，可以用 Fourier变换将其展开为
Fourier级数或 Fourier积分
22
0
0
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n
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d：衍射屏的（空间）周期
f：衍射屏的（空间）频率
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基频
? 以简单的平面波入射，透射波为
22
2 1 1 1ee
nni f x i f x
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??
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nt
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n级平面波 n级平面波的振幅
{}nt
Fourier 频谱
nt
? 可以用屏函数表示衍射波（透射波）
2e ni f x?
的方向
sin nnf???
x
z
阿贝对成像过程的理解
? 一、可以从几何光学的角度，即光线的折射
来说明成像过程
? 二、也可以从 Fraunhofer衍射的角度，即对
波前的变换来说明成像的过程
? 以正弦光栅的成像说明阿贝成像原理
22
O 1 0 1 1 1 1
11( ) e e
22
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第一步，物光波（屏函数的平面波）经过透镜在
其焦平面上汇聚成衍射斑，即点光源
第二步，焦平面上的衍射斑作为相干的点光源，
发出的次波在像平面上相干叠加
x
x?
z
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x
x?
z
z
像平面的光波是三个衍射斑
发出光波的相干叠加
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22
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近轴条件下
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三个衍射斑（点光源）发出的光波在像平面上的 复振幅
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B?
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22
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物像间等光程
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(,)IU x y??
像平面光波与物平面光波是相似的，即两者是物像关系
空间频率,f→ f/V，表示像的几何放大或缩小。
像质的反衬度：交流部分与直流部分的比值。反衬度不变
像光波
物光波
1
0
22[ e x p ( ) e x p ( ) ] }
2
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VV
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空间滤波
? 空间频率与波的衍射角相关，
s in nn nf d? ? ???? ? ? df
1? 衍射屏或物的空间频率
低通 高通 带通
可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置
低通 高通 带通
sin nnf?????
阿贝（ 1874） — 波特（ 1906）
空间滤波实验
? 以黑白光栅为物，单色平行光照射
? 在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化
Z
像
平
面
傅
氏
面
黑
白
光
栅
可
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光
阑
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只让 0级，即直流成分通过，则像平面被 0级斑发出的球面波照明。
近轴条件下，被均匀照明
让 0级和 ± 1级通过，则像平面上是 0和 ± 1三个衍射斑发出的次波的相干叠加
1
012 c o s ( )I
xU a a k x
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120 1 22 c o s ( ) 2 c o s ( )I xxU a a k x a k x
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让 0级,± 1和 ± 2级通过，则像平面上是 5个衍射斑发出的次波的相干叠加
31 2 4
1 2 3 4c o s ( ) c o s ( ) c o s ( ) c o s ( )I
xx x xU a k x a k a k a k
z z z z? ? ? ? ?
除 0级外，全开放
衍射系统的屏函数
夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析
阿贝成像原理
变换光学
? 处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究光
的相干叠加。这是传统光学的一般方法。
? 可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场，遇
到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。衍射
障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。
? 所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。
? 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非
相干系统中的一切使波场或者波面产生改变的因素，
它们的作用都可以应用变换的方法处理。
§ 6.1 衍射系统的屏函数
? 能使波前的复振
幅发生改变的物，
统称为衍射屏。
? 衍射屏将波的空
间分为前场和后
场两部分。前场
为照明空间，后
场为衍射空间。
? 波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别称为
入射场、透射场（或反射场），接收屏上的
复振幅为接收场。
),(~1 yxU
),(~ 2 yxU
),(~ yxU ??
入射场
透射或反射场
接收场
(,)xy衍 射 屏 (,)xy??接 收 屏
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1(,)U x y入 射 场 2(,)U x y衍 射 场 (,)U x y??接 收 场
衍 射 空 间
照 明 空 间
(,)xy衍 射 屏 (,)xy??接 收 屏
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入 射 场
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入 射 场
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衍 射 场
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接 收 场
衍 射 空 间
照 明 空 间
? 衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或
反射场） 。用函数表示，就是透过率或反射
率函数，统称屏函数。
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2
yxU
yxUyxt ?衍射屏函数
)],(e x p [),(),(~ yxiyxtyxt t??
),( yxt
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屏函数的模。模为常数的衍射屏称为位相型
的,如透镜、棱镜等。
屏函数的幅角即位相。幅角为常数的衍射屏称
为振幅型的,如单缝、圆孔等。
相因子判断法
? 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而
完全确定接收场。
? 但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，
完全确定屏函数几乎是不可能的。
? 只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。
? 了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改变
来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。
? 一般都是在傍轴近似下进行判断。
波前的相因子
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? 透镜的有效口径为 D。
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对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光
轴。从图上可以求得经透镜后的位相差
)],([2),( 21 yxndyxL ????? ???
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近轴条件下
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可得透镜的位相变换函数为
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棱镜的位相变换函数（透过率函数）
? 薄的楔形棱镜，可以得
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§ 6.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频
谱分析
1,空间频率的概念
在空间上也可以定义周期和频率, 空间
周期 d的倒数就是空间频率, 即有 f=1/d。 f称
为空间频率 。
2,正弦光栅的傅立叶变换
平行光正入射 )2co s ()(
~ 010 ?? ??? fxttxt
11 )(
~ AxU ?
112 )(~)(~)(~ AxtxUxU ?? )]2c o s ([ 010 ?? ?? fxtt
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透射波实际上变为三列波
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§ 6.3 阿贝成像原理
? 对于衍射屏，可以用 Fourier变换将其展开为
Fourier级数或 Fourier积分
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d：衍射屏的（空间）周期
f：衍射屏的（空间）频率
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基频
? 以简单的平面波入射，透射波为
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n级平面波 n级平面波的振幅
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Fourier 频谱
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? 可以用屏函数表示衍射波（透射波）
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的方向
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x
z
阿贝对成像过程的理解
? 一、可以从几何光学的角度，即光线的折射
来说明成像过程
? 二、也可以从 Fraunhofer衍射的角度，即对
波前的变换来说明成像的过程
? 以正弦光栅的成像说明阿贝成像原理
22
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第一步，物光波（屏函数的平面波）经过透镜在
其焦平面上汇聚成衍射斑，即点光源
第二步，焦平面上的衍射斑作为相干的点光源，
发出的次波在像平面上相干叠加
x
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z
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x
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z
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像平面的光波是三个衍射斑
发出光波的相干叠加
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22
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近轴条件下
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三个衍射斑（点光源）发出的光波在像平面上的 复振幅
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A
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阿贝正弦条件
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设物平面 B点的位相为 0
物光波是正弦光栅的屏函数
22
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物像间等光程
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像平面光波与物平面光波是相似的，即两者是物像关系
空间频率,f→ f/V，表示像的几何放大或缩小。
像质的反衬度：交流部分与直流部分的比值。反衬度不变
像光波
物光波
1
0
22[ e x p ( ) e x p ( ) ] }
2
t i f x i f xt
VV
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空间滤波
? 空间频率与波的衍射角相关，
s in nn nf d? ? ???? ? ? df
1? 衍射屏或物的空间频率
低通 高通 带通
可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置
低通 高通 带通
sin nnf?????
阿贝（ 1874） — 波特（ 1906）
空间滤波实验
? 以黑白光栅为物，单色平行光照射
? 在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化
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像
平
面
傅
氏
面
黑
白
光
栅
可
调
光
阑
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只让 0级，即直流成分通过，则像平面被 0级斑发出的球面波照明。
近轴条件下，被均匀照明
让 0级和 ± 1级通过，则像平面上是 0和 ± 1三个衍射斑发出的次波的相干叠加
1
012 c o s ( )I
xU a a k x
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120 1 22 c o s ( ) 2 c o s ( )I xxU a a k x a k x
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让 0级,± 1和 ± 2级通过，则像平面上是 5个衍射斑发出的次波的相干叠加
31 2 4
1 2 3 4c o s ( ) c o s ( ) c o s ( ) c o s ( )I
xx x xU a k x a k a k a k
z z z z? ? ? ? ?
除 0级外，全开放
