主要内容,
1、复功率的定义
2、复功率与瞬时、有功、无功、视在功率
以及功率因数的关系
3、功率因数的提高
4、最大传输功率
课题,复功率和最大传输功率
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
???
?
??
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)c o s (2c o s2)(
???
???
????
? t
i
0
u
p
回顾,
思考,
能否通过电压、电流相量在复数范围
内的运算得到三种功率和功率因数呢？
一, 复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 ?? IU
VA 单位
???
? IUS
1、定义,
js i njc o s
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
????
???????
即,
复功率是一个辅助计算功率的复数，
求出复功率，就可以得到正弦稳态电路的 3
个功率和功率因数。
j X IRIj X ) I(RZIIIZIUS 2222 ????????
??????
复功率也可表示为, （设无源一端口等效阻抗 Z=R+jX）
+
-
U
?
I
?
+ -
aU
? +
-
rU
?
R
jX
rU
?
aU
?
U
?
?
I
?
称为 的有功分量,
称为 的无功分量,
rU
?
U
?
aU
?
U
?
c o s aP U I φ UI??
s i n rQ U I φ UI??
（ 1）正弦电流电路中总的有功功率是电路各部分有功功率之和，
总的无功功率是电路各部分无功功率之和。
结论,
（ 2）有功功率、无功功率分别守恒，复功率也守恒，但视在功
率不守恒。
电路如图，求各支路的复功率。
V )1.37(2 3 6 010 oo ??????? ZU
例 1 +
_
U?
10∠ 0o A
10W
j25W
5W
-j15W
1I? 2I?
解一 )15j5//()2510( ??? jZ
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(236 oo ???????发S
2 * 2 *
11
1 2 3 6 ( ) 7 6 8 j1 9 2 1 V A
1 0 2 5S U Y j? ? ? ??吸
2* 22 1 1 1 4 j 3 3 4 5 V AS U Y? ? ?吸
发吸吸 SSS ?? 21
A )3.105(77.8
15j525j10
15j5
010
o
o
1
???
???
?
???
?
I
解二
A 5.3494.14
o
12 ????
???
III S
VA 1923j769)25j10(77.8 21211 ?????? ZIS 吸
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14 22222 ?????? ZIS 吸
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.105(77.810 o*11
??
???????
??
SIZIS 发
+
_
?U
10∠ 0o A
10W
j25W
5W
-j15W
1
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发吸吸 SSS ?? 21
（ 3） 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下, 任一电路的所
有支路吸收的复功率之和为零 。 即
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
2.复功率小结,
0)j(
11
??
??
???
b
k
k
b
k
kk SQP
.,不等于视在功率守恒复功率守恒注：
21
21
SSS
UUU
???
???
（ 1） 是复数, 而不是相量, 它不对应任意正弦量； S
（ 2） 把 P,Q,S联系在一起它的实部是平均功率，虚部
是 无功功率，模是视在功率；
S
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6，要使功率
因数提高到 0.9,求并联电容 C为多大？
例 2
L
R
C U?
I?
LI?
CI?
+
_
解,
o111 13.53 6.0c o s ???? φφ?
设 R,L支路复功率为,则,1S
CSSS ?? 1
并联电容前有,
kWP 201 ? v a r67.26t a n 111 kPQ ?? ?
AkVjjQPS ????? )67.2620(111
o222 84.25 9.0c o s ???? φφ?
并联电容后,
而有功功率没有变，故,
v a r69.9t a n1 kPQ ??? ?
AkVjjQPS ????? )69.920(1
v a r )36.36v a r (98.161 kjorkjSSS C ?????
取较小的电容，故,
F 49.3 7 4 F3 8 03 1 4 1098.16 2
3
??? ??C
L
R
C U?
I?
LI?
CI?
+
_
3,功率因数提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos?=Scos? S
75kVA
负载 cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
功率因数低带来的问题,
(2) 当输出相同的有功功率时, 线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大 。
i +
-
u Z
?U
?I
?1
?I
?2
c o s ?UIP ? c o s ?? ?I
解决办法,（ 1） 高压传输
（ 2） 改进自身设备
（ 3）并联电容，提高功率因数 。
?U
331 0 1 0 1 0 1 0
5 0, 5 ; 7 5, 82 2 0 0, 9 2 2 0 0, 6I A I A??? ??? ? ? ?
思考题,
是否并联电容越大，功率因数越高？
L
R
C U?
I?
LI?
CI?
+
_
分析
CI
?
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的
有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。
但电路的功率因数提高了。
特点,
?U
LI
?
?1
?I
?2
L
R
C U?
I?
LI?
CI?
+
_
并联电容的确定,
21 s i ns i n ?? III LC ??
补偿容
量不同 全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 —— 使功率因数又由高变低 (性质不同 )
代入得
将
12 ?? c o s
,
c o s U
PI
U
PI
L ??
)tgtg( 21 ??? ??? UPCUI C
)tgtg( 212 ??? ?? UPC
CI
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LI
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?1
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?2
并联电容也可以用功率三角形确定,
?1 ?2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
U
PC
CUQ
φφPQQQ
C
LC
???
?
????
?
?
从功率这个角度来看,
并联电容后, 电源向负载输送的有功 UIL cos?1=UI cos?2
不变, 但是电源向负载输送的无功 UIsin?2<UILsin?1减少了,
减少的这部分无功功率就是并联电容后补偿的, 所以虽然感
性负载吸收的无功不变, 但功率因数却得到改善 。
CI
?
?U
LI
?
?1
?I
?2
解二,
o22 84.25 9.0c o s ??? φφ
F 49.3 74
)84.25tg13.53tg(
3 803 14
1020
)tgtg(
00
2
3
212
?
?
?
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?
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?
?? φφ
U
P
C o
11 13.53 6.0c o s ??? φφ
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6，要使功率
因数提高到 0.9,求并联电容 C为多大？
例 2,
并联电容后减小了电源的“无功”输出，从
而减小了电流的输出，提高了电源设备的利用率，减
小了传输线上的损耗，具有明显的经济意义。
L
R
C U?
I?
LI?
CI?
+
_
再问,若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应
增加多少并联电容, 此时电路的总电流是多大？
o22 19.18 95.0c o s ??? φφ解 o
11 84.25 9.0c o s ??? φφ
F 103 )8,1 91tg5,8 42tg(
220314
1010
)tgtg(
00
2
3
212
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U
P
C
AI 8.4795.02 2 0 1010
3
????
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继
续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减
小却不明显。因此一般将功率因数提高到 0.9即可。
3
3
1 0 1 0
5 0,5
2 2 0 0,9
1 0 1 0
7 5,8
2 2 0 0,6
IA
IA
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二,最大功率传输
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
???
?
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?
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
?????有功功率
负
载
有
源
网
络
等效电路
讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件,
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
(a) 先 设 RL不变,XL改变
显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得最大值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
??(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值
当 RL= Ri 时,P获得最大值
i
2
S
m a x 4 R
UP ?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是,
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
????
ZL= Zi* RL= Ri X
L =-Xi 最佳匹配
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变
获得最大功率的条件是,Xi + XL=0，即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
??
最大功率为
(3) 若 ZL= RL为纯电阻
负载获得的功率为,
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
??
?
?
?
?
?电路中的电流为,
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
???
iiiL
L
ZXRRdRdP ????? 22 0 获得最大功率条件：令
模匹配
电路如图，求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率, 例
I?
4∠ 90o A
ZL
－ j30W
30W -j30W
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
解 W?????? 4515)30//30(30 jjjZ
i
045260)30//30(4 ????? jjU S?
W??? 4515 * jZZ iL当
WP 120154 )260(
2
m a x ???有
电路如图，求（ 1） RL=5W时其消耗的功率；
（ 2） RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
（ 3）在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内
阻抗最佳匹配，并求最大功率。
AjI )6.26(89.0555 010 ( 1 ) o
o
????? ???
例
解
W??????
??
? 551050105 65 jj
jXRZ Li
+
_ U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5W I?
?=105rad/s WRIP
LL 4589.0 22 ????
获最大功率＋当 07.755 )2( 2222 W???? iiL XRR
AjI )5.22(7 6 6.007.755 010 o
o
????? ???
WRIP LL 15.407.77 6 6.0 22 ????
+
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10∠ 0o V
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C
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L
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2
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2
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L
L
L
L
L
CR
CR
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L
L
L
L
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当
获最大功率 1 10 ??? ? W? FCR L ?
AI 110 010
o
???? WRIP i 5512m a x ????
小结,
1、复功率 是一个用来计算其他功率的复数，其中 它的实
部是平均功率 P，虚部是无功功率 Q，模是
视在功率 S；该复数的幅角是功率因数角。
S
2、当含源一端口所带负载可任意改变时，负载上获得最大
功率的条件是,
ZL= Zi* RL= Ri X
L =-Xi
最佳匹配
3、当含源一端口所带负载为纯电阻时，负载上获得最大功
率的条件是,
模匹配
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i
2
S
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1、复功率的定义
2、复功率与瞬时、有功、无功、视在功率
以及功率因数的关系
3、功率因数的提高
4、最大传输功率
课题,复功率和最大传输功率
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回顾,
思考,
能否通过电压、电流相量在复数范围
内的运算得到三种功率和功率因数呢？
一, 复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 ?? IU
VA 单位
???
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1、定义,
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)(
QPφUIφUI
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即,
复功率是一个辅助计算功率的复数，
求出复功率，就可以得到正弦稳态电路的 3
个功率和功率因数。
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复功率也可表示为, （设无源一端口等效阻抗 Z=R+jX）
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（ 1）正弦电流电路中总的有功功率是电路各部分有功功率之和，
总的无功功率是电路各部分无功功率之和。
结论,
（ 2）有功功率、无功功率分别守恒，复功率也守恒，但视在功
率不守恒。
电路如图，求各支路的复功率。
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（ 3） 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下, 任一电路的所
有支路吸收的复功率之和为零 。 即
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.,不等于视在功率守恒复功率守恒注：
21
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（ 1） 是复数, 而不是相量, 它不对应任意正弦量； S
（ 2） 把 P,Q,S联系在一起它的实部是平均功率，虚部
是 无功功率，模是视在功率；
S
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6，要使功率
因数提高到 0.9,求并联电容 C为多大？
例 2
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并联电容前有,
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并联电容后,
而有功功率没有变，故,
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取较小的电容，故,
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3,功率因数提高
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负载 cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
功率因数低带来的问题,
(2) 当输出相同的有功功率时, 线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大 。
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解决办法,（ 1） 高压传输
（ 2） 改进自身设备
（ 3）并联电容，提高功率因数 。
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思考题,
是否并联电容越大，功率因数越高？
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从功率这个角度来看,
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不变, 但是电源向负载输送的无功 UIsin?2<UILsin?1减少了,
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性负载吸收的无功不变, 但功率因数却得到改善 。
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解二,
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已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6，要使功率
因数提高到 0.9,求并联电容 C为多大？
例 2,
并联电容后减小了电源的“无功”输出，从
而减小了电流的输出，提高了电源设备的利用率，减
小了传输线上的损耗，具有明显的经济意义。
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再问,若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应
增加多少并联电容, 此时电路的总电流是多大？
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3
????
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继
续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减
小却不明显。因此一般将功率因数提高到 0.9即可。
3
3
1 0 1 0
5 0,5
2 2 0 0,9
1 0 1 0
7 5,8
2 2 0 0,6
IA
IA
???
? ????
?
???
?? ??
???
二,最大功率传输
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
???
?
?
?
?
?
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
?????有功功率
负
载
有
源
网
络
等效电路
讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件,
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
(a) 先 设 RL不变,XL改变
显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得最大值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
??(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值
当 RL= Ri 时,P获得最大值
i
2
S
m a x 4 R
UP ?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是,
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
????
ZL= Zi* RL= Ri X
L =-Xi 最佳匹配
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变
获得最大功率的条件是,Xi + XL=0，即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
??
最大功率为
(3) 若 ZL= RL为纯电阻
负载获得的功率为,
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
??
?
?
?
?
?电路中的电流为,
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
???
iiiL
L
ZXRRdRdP ????? 22 0 获得最大功率条件：令
模匹配
电路如图，求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率, 例
I?
4∠ 90o A
ZL
－ j30W
30W -j30W
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
解 W?????? 4515)30//30(30 jjjZ
i
045260)30//30(4 ????? jjU S?
W??? 4515 * jZZ iL当
WP 120154 )260(
2
m a x ???有
电路如图，求（ 1） RL=5W时其消耗的功率；
（ 2） RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
（ 3）在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内
阻抗最佳匹配，并求最大功率。
AjI )6.26(89.0555 010 ( 1 ) o
o
????? ???
例
解
W??????
??
? 551050105 65 jj
jXRZ Li
+
_ U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5W I?
?=105rad/s WRIP
LL 4589.0 22 ????
获最大功率＋当 07.755 )2( 2222 W???? iiL XRR
AjI )5.22(7 6 6.007.755 010 o
o
????? ???
WRIP LL 15.407.77 6 6.0 22 ????
+
_ U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5W I?
?=105rad/s
C
CjRY
L
1 ( 3 ) ???
2
2
2
L
)(1)(1
1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
j
CR
R
CRj
R
Y
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
?
?
?
当
获最大功率 1 10 ??? ? W? FCR L ?
AI 110 010
o
???? WRIP i 5512m a x ????
小结,
1、复功率 是一个用来计算其他功率的复数，其中 它的实
部是平均功率 P，虚部是无功功率 Q，模是
视在功率 S；该复数的幅角是功率因数角。
S
2、当含源一端口所带负载可任意改变时，负载上获得最大
功率的条件是,
ZL= Zi* RL= Ri X
L =-Xi
最佳匹配
3、当含源一端口所带负载为纯电阻时，负载上获得最大功
率的条件是,
模匹配
iiiL ZXRR ??? 22
i
2
S
m a x 4 R
UP ?
