主要内容,
1,复数的表示及运算
2、正弦量的描述
课题,复数与正弦量
1.复数的表示形式
① 代数形式
A=a(实 )+jb(虚 )
其中,1j ?? ?
b
a
A
Re
Im
0
r
由上图可知
??
??
s inrb
co sra
a
ba rc tg
bar 22
??
??
8.1 复数的表示及运算
② 三角形式 ???? s injrc o srA
④ 极坐标形式
??? rA
③ 指数形式
（欧拉公式）
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
sin jr cos r re A
sin j cos e
j
j
2.复数的基本运算
（ 1）加、减
设,
11 jbaA ?? 22 jbaB ??；
则,)bb(j)aa(BA
2121 ?????
Re
Im
B
A A+B
（加）
Re
Im
B
A
A-B
-B （减）
（ 2）乘、除
（乘）设,
1j1erA ?? 2j2 erB ??
)(j
21
j
2
j
1 2121 errererBA
????? ????
或,
)(rrrrBA 21212211 ????????????
（除）
)(j
2
1
j
2
j
1 21
2
1
e
r
r
er
er
B/A
???
?
?
??
)(
r
r
r
r
B/A 21
2
1
22
11 ?????
??
??
?
3.讨论
（ 1） ???? 1e j 设,?? jreA
)(jj reeA ???? ??
Re
Im
?
?
r
r
A
?jAe
jαe 为旋转因子
（ 2）由欧拉公式可知
jj090s inj90c o se oo90j o ?????
jj0)90s in (j)90c o s (e oo90j o ?????????
10j11 8 0s inj1 8 0c o se oo1 8 0j o ???????
所以,j,-j,-1都是旋转因子
8.2 正弦量的基本概念
1,正弦量
瞬时值表达式,
i(t)=Imcos(w t+y)
波形,
t
i
O y/w
T
周期 T (period)和频率 f (frequency),
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
Tf
1?
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
? 正弦交流电路 激励和响应均为正弦量的电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路
或交流电路。
（ 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重
要的地位。
? 研究正弦电路的意义,
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分
运算后仍是同频率的正弦函数
优点,
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（ 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号
可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()(
1
k
n
k
k tkAtf ?w ?? ?
?
对正弦电路的分析研究具有重要的理
论价值和实际意义。
(1)幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 )Im
(2) 角频率 (angular frequency)ω
2,正弦量的三要素
t
i
O y/w
T (3) 初相位 (initial phase angle) y
Im
2? y wt
Tf ??w 22 ??
单位,rad/s, 弧度 / 秒
反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点，
常用角度表示。
i(t)=Imcos(w t+y)
0??? t)( yw tψ
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
0
一般规定, |y |?? 。
y =0
y =?/2
y =－ ?/2
例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s，（ 1）写出 i(t)表达式；
（ 2）求最大值发生的时间 t1
t
i
0
100
50
t1
解 )10c o s (100)( 3 y?? tti
yc o s1 0 0500 ???t
3?y ??
由于最大值发生在计时起点右侧
3
?y ??
)310c o s (1 0 0)( 3 ??? tti
有最大值当 310 13 ??t mst 0 4 7.110 331 ＝＝ ?
3,同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差, j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
? j >0,u超前 ij 角, 或 i 落后 u j 角 (u 比 i先到达最大值 )；
? j <0,i 超前 uj 角, 或 u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
w t
u,i
u
i
yu yi
j
O
等于初相位之差 规定,|j | ?? (180° )。
j ＝ 0,同相,
j =?? (?180o ), 反相,特殊相位关系,
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i 0
j= ?/2,
u 领先 i ?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u ?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 100s i n (10)(
)30 100c o s (10)( )2(
0
2
0
1
??
??
tti
tti
?
?
)2 1 0 0c o s (10)(
)43 1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
??
??
??
??
tti
tti
)45 200c o s (10)(
)30 100c o s (10)( )3(
0
2
0
1
??
??
ttu
ttu
?
?
)30 1 0 0c o s (3)(
)30 1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
???
??
tti
tti
?
?
解
045)2(43 ????? ???j
43452 ???j ???
000 1 3 5)1 0 5(30 ????j
000 1 2 0)1 5 0(30 ?????j
)105100c o s (10)( 02 ?? tti ?
不能比较相位差
21 ww ?
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 ?? tti ?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符
号，且在主值范围比较。
三相交流电路：三种电压初相位各差 120?。
Bu CuA
u
w t
4,周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其
平均效果工程上采用有效值来表示。
? 周期电流、电压有效值 (effective value)定义
R 直流 I R 交流 i
ttiRW T d)(2
0?
?TRIW 2?
电流有效
值定义为
??
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
有效值也称均方根值
(root-meen-square)
物
理
意
义
热效应相当
同样,可定义电压有效值,
??
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(
1
? 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+? )
tΨtI
T
I
T
d ) (c o s1
0
22
m? ?? w
TttΨttΨt TTT 2121d2 ) (2c o s1d ) (c o s 0
00
2 ?????? ?? ww?
m
m2
m 7 0 7.022
1 IITI
T
I ?????
) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ???? ww
II 2 m ?
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系,
UUUU 2
2
1
mm ?? 或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设
备铭牌额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值
指的是最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按
最大值考虑 。
（ 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一
般为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i
m
注
1,复数的表示及运算
2、正弦量的描述
课题,复数与正弦量
1.复数的表示形式
① 代数形式
A=a(实 )+jb(虚 )
其中,1j ?? ?
b
a
A
Re
Im
0
r
由上图可知
??
??
s inrb
co sra
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ba rc tg
bar 22
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8.1 复数的表示及运算
② 三角形式 ???? s injrc o srA
④ 极坐标形式
??? rA
③ 指数形式
（欧拉公式）
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
sin jr cos r re A
sin j cos e
j
j
2.复数的基本运算
（ 1）加、减
设,
11 jbaA ?? 22 jbaB ??；
则,)bb(j)aa(BA
2121 ?????
Re
Im
B
A A+B
（加）
Re
Im
B
A
A-B
-B （减）
（ 2）乘、除
（乘）设,
1j1erA ?? 2j2 erB ??
)(j
21
j
2
j
1 2121 errererBA
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或,
)(rrrrBA 21212211 ????????????
（除）
)(j
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3.讨论
（ 1） ???? 1e j 设,?? jreA
)(jj reeA ???? ??
Re
Im
?
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A
?jAe
jαe 为旋转因子
（ 2）由欧拉公式可知
jj090s inj90c o se oo90j o ?????
jj0)90s in (j)90c o s (e oo90j o ?????????
10j11 8 0s inj1 8 0c o se oo1 8 0j o ???????
所以,j,-j,-1都是旋转因子
8.2 正弦量的基本概念
1,正弦量
瞬时值表达式,
i(t)=Imcos(w t+y)
波形,
t
i
O y/w
T
周期 T (period)和频率 f (frequency),
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
Tf
1?
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
? 正弦交流电路 激励和响应均为正弦量的电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路
或交流电路。
（ 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重
要的地位。
? 研究正弦电路的意义,
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分
运算后仍是同频率的正弦函数
优点,
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（ 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号
可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()(
1
k
n
k
k tkAtf ?w ?? ?
?
对正弦电路的分析研究具有重要的理
论价值和实际意义。
(1)幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 )Im
(2) 角频率 (angular frequency)ω
2,正弦量的三要素
t
i
O y/w
T (3) 初相位 (initial phase angle) y
Im
2? y wt
Tf ??w 22 ??
单位,rad/s, 弧度 / 秒
反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点，
常用角度表示。
i(t)=Imcos(w t+y)
0??? t)( yw tψ
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
0
一般规定, |y |?? 。
y =0
y =?/2
y =－ ?/2
例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s，（ 1）写出 i(t)表达式；
（ 2）求最大值发生的时间 t1
t
i
0
100
50
t1
解 )10c o s (100)( 3 y?? tti
yc o s1 0 0500 ???t
3?y ??
由于最大值发生在计时起点右侧
3
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)310c o s (1 0 0)( 3 ??? tti
有最大值当 310 13 ??t mst 0 4 7.110 331 ＝＝ ?
3,同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差, j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
? j >0,u超前 ij 角, 或 i 落后 u j 角 (u 比 i先到达最大值 )；
? j <0,i 超前 uj 角, 或 u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
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等于初相位之差 规定,|j | ?? (180° )。
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j =?? (?180o ), 反相,特殊相位关系,
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u 领先 i ?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u ?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
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0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
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解
045)2(43 ????? ???j
43452 ???j ???
000 1 3 5)1 0 5(30 ????j
000 1 2 0)1 5 0(30 ?????j
)105100c o s (10)( 02 ?? tti ?
不能比较相位差
21 ww ?
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 ?? tti ?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符
号，且在主值范围比较。
三相交流电路：三种电压初相位各差 120?。
Bu CuA
u
w t
4,周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其
平均效果工程上采用有效值来表示。
? 周期电流、电压有效值 (effective value)定义
R 直流 I R 交流 i
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电流有效
值定义为
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1
有效值也称均方根值
(root-meen-square)
物
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义
热效应相当
同样,可定义电压有效值,
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1
? 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+? )
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) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ???? ww
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系,
UUUU 2
2
1
mm ?? 或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设
备铭牌额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值
指的是最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按
最大值考虑 。
（ 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一
般为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i
m
注
