? 重点,
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。
课题：叠加定理和替代定理
(Superposition Theorem and Substitution Theorem)
1、叠加定理
2、替代定理
?主要内容,
1,叠加定理
在线性电路中, 任一支路的电流 (或电压 )可以看成
是电路中每一个独立电源单独作用于电路时, 在该支路
产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
(Superposition Theorem)
2,定理的证明
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法,
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n ??????
或表示为,
)()()( 3
1
2
1
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
???
???
支路电流为,
)()()(
)()()(
3
3
2
3
1
3
32
1
33
32
3
2
32
2
3313
iii
GG
i
uG
GG
G
u
GG
G
Guui SSSSn
???
?
??
?
?
?
???
)()()(
)()(
3
2
2
2
1
2332211
32
1
32
33
22
32
2
2212
iiiububib
GG
i
GG
uG
uG
GG
G
Guui
SSS
SS
SSn
??????
?
?
?
??
?
???
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均
可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零
电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的
二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加, 但叠加只适用于
独立源, 受控源应始终保留 。
4,叠加定理的应用
例 1 求电压 U,
8?
12V
3A
+
– 6?
3? 2?
+
－
U
8? 3A 6?
3? 2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3? 2?
+
－
U(1)
画出分
电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1( ?????
3A电源作用,VU 63)3//6()2( ??? VU 264 ????
解
例 2 ＋
－
10V
2A ＋
－
u
2?
3? 3?
2? 求电流源的电压和发出
的功率
＋
－
10V
＋
－
U（ 1）
2?
3? 3?
2? 2A ＋
－
U（ 2）
2?
3? 3?
2?
＋
Vu 21052531 ???? )()(
Vu 84225 322,)( ?????
Vu 86,? WP 613286,,???
画出分
电路图
为两个简
单电路
10V电源作用,
2A电源作用,
例 3
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A 3? 6?
6V
＋ － 计算电压 u。
画出分
电路图 1?
3A
3? 6?
＋ － u（ 1）
＋
Vu 931361 ???? )//()(
Viu 81266 22 ????? )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3? 6?
6V
＋ －
u (2） i (2)
Ai 2361262 ???? )/()()( Vuuu 178921 ????? )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用,
其余电源作用,
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分
电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1) ＋ －
1? 2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ??? ii
Viiiu 6321 1111 ????? )()()()(
Ai 21 ?)(
Vu 826 ???
u
＋
－
10V
2i ＋ －
1? i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2) ＋ －
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 ????? iii Ai 12 ??)(
Viu 2122 22 ??????? )()()(
Ai 112 ???? )(
受控源始
终保留
10V电源作用,
5A电源作用,
例 5
无源
线性
网络
uS
i
－ ＋
iS
封装好的电路如图，已知下
列实验数据,
Ai
AiVu SS
2
11
?
??
,
响应
时，当
Ai
AiVu SS
1
21
?
???
,
响应
时，当
？响应时，－求 ??? iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有,
SS ukiki 21 ??
代入实验数据，得,221 ?? kk
12 21 ?? kk 1
1
2
1
?
?
k
k
Aiui SS 253 ??????
研
究
激
励
和
响
应
关
系
的
实
验
例 6,
采用倒推法：设 i'=1A。
则
求电流 i 。 RL=2? R1=1 ? R2=1 ? us=51V
+
–
2V 2A
+ – 3V + – 8V + – 21V
+
– us'=34V
3A 8A 21A
5A 13A
i R1 R1 R1
R2 RL +
–
us R2 R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s ????? 即
解
5,齐性原理 （ homogeneity property)
齐性原理
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样
的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样
的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
可加性 (additivity property)。
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的
独立电压源, 或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代, 替代后电路中全部电压
和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理
支
路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
A
ik
+
–
uk 支 路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
＋
＋
－ A
ik
+
–
uk
支
路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
例 求图示电路的支路电压
和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2 i1 ＋
－
u 解
? ?
A
i
10
1010551 1 01
?
???
//)(/
Aii 653 12 ?? / Aii 452 13 ?? /
Viu 6010 2 ??
替
代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2 i1 ＋
－
60V
替代以后有,
Ai 105601 1 01 ??? /)(
Ai 415603 ?? /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同, 其余支路的 u,i关
系不变 。 用 uk替代后, 其余支路电压不变 (KVL),其余支
路电流也不变, 故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变, 故第 k条支
路 uk也不变 (KVL)。
原因
注,
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解
无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
例 1 若要使
试求 Rx。,II x 8
1?
3,替代定理的应用
0.5?
0.5?
+
10V
3? 1? R
x Ix
– + U
I 0.5?
＋
－ 解 用替代,
=
+
0.5?
0.5? 1?
– + U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5? 1?
– + U'
I
0.5?
0.5?
0.5?
1?
– + U'' 0.5?
I81
xIIIIU 80105052
511
52
1,..
.
.
.' ??????
xIIIU 60075018
1
52
51,.
.
.'' ????????
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
例 2 试求 i1。
解 用替代,
6?
5?
+
–
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A ＋
－
7V
I1
AI 5261542 42671,??????
I1
IR R
8?
3V
4?
b ＋ －
2?
+
－
a 20V
3?
I
例 3 已知, uab=0,求电阻 R。
C
1A
解 用替代,
AI
Iu ab
1
033
??
????
用结点法,Vu
C 20?
14 2014121 ???? aua )( 点对
Vuu ba 8?? AI 11 ? AII R 211 ???
Vuuu bCR 12820 ?????
??? 6212R
例 4 2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。
4?
4V 10?
3A
＋
－
2? + － 2V
2? 10?
解
0.5A I
I1
10V
＋
－
2? + － 2V
2? 5?
1
应求电流 I,先化简电路。
622210)512121( 1 ????? u Vu 52.1/61 ??
AI 5.12/)25(1 ??? AI 15.05.1 ???
??? 21/2R
应用结点法得,
例 5 已知, uab=0,求电阻 R。
解
0
0
???
?
cdab
ab
ii
u
用断路替代，得,
Vu bd 105020 ???,
短路替代,
Vu ac 10 ?
4?
42V
30?
0.5A
＋
－
60? 25?
10? 20?
40?
b a
d c
R
Vu R 3010120 ????
1A
Ai R 2143042 ???? /)(
???? 15230
R
R
i
uR
掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。
课题：叠加定理和替代定理
(Superposition Theorem and Substitution Theorem)
1、叠加定理
2、替代定理
?主要内容,
1,叠加定理
在线性电路中, 任一支路的电流 (或电压 )可以看成
是电路中每一个独立电源单独作用于电路时, 在该支路
产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
(Superposition Theorem)
2,定理的证明
G1
is1
G2
us2
G3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法,
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n ??????
或表示为,
)()()( 3
1
2
1
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
???
???
支路电流为,
)()()(
)()()(
3
3
2
3
1
3
32
1
33
32
3
2
32
2
3313
iii
GG
i
uG
GG
G
u
GG
G
Guui SSSSn
???
?
??
?
?
?
???
)()()(
)()(
3
2
2
2
1
2332211
32
1
32
33
22
32
2
2212
iiiububib
GG
i
GG
uG
uG
GG
G
Guui
SSS
SS
SSn
??????
?
?
?
??
?
???
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均
可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零
电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的
二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加, 但叠加只适用于
独立源, 受控源应始终保留 。
4,叠加定理的应用
例 1 求电压 U,
8?
12V
3A
+
– 6?
3? 2?
+
－
U
8? 3A 6?
3? 2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3? 2?
+
－
U(1)
画出分
电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1( ?????
3A电源作用,VU 63)3//6()2( ??? VU 264 ????
解
例 2 ＋
－
10V
2A ＋
－
u
2?
3? 3?
2? 求电流源的电压和发出
的功率
＋
－
10V
＋
－
U（ 1）
2?
3? 3?
2? 2A ＋
－
U（ 2）
2?
3? 3?
2?
＋
Vu 21052531 ???? )()(
Vu 84225 322,)( ?????
Vu 86,? WP 613286,,???
画出分
电路图
为两个简
单电路
10V电源作用,
2A电源作用,
例 3
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A 3? 6?
6V
＋ － 计算电压 u。
画出分
电路图 1?
3A
3? 6?
＋ － u（ 1）
＋
Vu 931361 ???? )//()(
Viu 81266 22 ????? )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3? 6?
6V
＋ －
u (2） i (2)
Ai 2361262 ???? )/()()( Vuuu 178921 ????? )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用,
其余电源作用,
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分
电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1) ＋ －
1? 2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ??? ii
Viiiu 6321 1111 ????? )()()()(
Ai 21 ?)(
Vu 826 ???
u
＋
－
10V
2i ＋ －
1? i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2) ＋ －
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 ????? iii Ai 12 ??)(
Viu 2122 22 ??????? )()()(
Ai 112 ???? )(
受控源始
终保留
10V电源作用,
5A电源作用,
例 5
无源
线性
网络
uS
i
－ ＋
iS
封装好的电路如图，已知下
列实验数据,
Ai
AiVu SS
2
11
?
??
,
响应
时，当
Ai
AiVu SS
1
21
?
???
,
响应
时，当
？响应时，－求 ??? iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有,
SS ukiki 21 ??
代入实验数据，得,221 ?? kk
12 21 ?? kk 1
1
2
1
?
?
k
k
Aiui SS 253 ??????
研
究
激
励
和
响
应
关
系
的
实
验
例 6,
采用倒推法：设 i'=1A。
则
求电流 i 。 RL=2? R1=1 ? R2=1 ? us=51V
+
–
2V 2A
+ – 3V + – 8V + – 21V
+
– us'=34V
3A 8A 21A
5A 13A
i R1 R1 R1
R2 RL +
–
us R2 R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s ????? 即
解
5,齐性原理 （ homogeneity property)
齐性原理
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样
的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样
的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
可加性 (additivity property)。
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的
独立电压源, 或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代, 替代后电路中全部电压
和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理
支
路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
A
ik
+
–
uk 支 路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
＋
＋
－ A
ik
+
–
uk
支
路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
例 求图示电路的支路电压
和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2 i1 ＋
－
u 解
? ?
A
i
10
1010551 1 01
?
???
//)(/
Aii 653 12 ?? / Aii 452 13 ?? /
Viu 6010 2 ??
替
代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2 i1 ＋
－
60V
替代以后有,
Ai 105601 1 01 ??? /)(
Ai 415603 ?? /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同, 其余支路的 u,i关
系不变 。 用 uk替代后, 其余支路电压不变 (KVL),其余支
路电流也不变, 故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变, 故第 k条支
路 uk也不变 (KVL)。
原因
注,
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解
无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
例 1 若要使
试求 Rx。,II x 8
1?
3,替代定理的应用
0.5?
0.5?
+
10V
3? 1? R
x Ix
– + U
I 0.5?
＋
－ 解 用替代,
=
+
0.5?
0.5? 1?
– + U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5? 1?
– + U'
I
0.5?
0.5?
0.5?
1?
– + U'' 0.5?
I81
xIIIIU 80105052
511
52
1,..
.
.
.' ??????
xIIIU 60075018
1
52
51,.
.
.'' ????????
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
例 2 试求 i1。
解 用替代,
6?
5?
+
–
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A ＋
－
7V
I1
AI 5261542 42671,??????
I1
IR R
8?
3V
4?
b ＋ －
2?
+
－
a 20V
3?
I
例 3 已知, uab=0,求电阻 R。
C
1A
解 用替代,
AI
Iu ab
1
033
??
????
用结点法,Vu
C 20?
14 2014121 ???? aua )( 点对
Vuu ba 8?? AI 11 ? AII R 211 ???
Vuuu bCR 12820 ?????
??? 6212R
例 4 2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。
4?
4V 10?
3A
＋
－
2? + － 2V
2? 10?
解
0.5A I
I1
10V
＋
－
2? + － 2V
2? 5?
1
应求电流 I,先化简电路。
622210)512121( 1 ????? u Vu 52.1/61 ??
AI 5.12/)25(1 ??? AI 15.05.1 ???
??? 21/2R
应用结点法得,
例 5 已知, uab=0,求电阻 R。
解
0
0
???
?
cdab
ab
ii
u
用断路替代，得,
Vu bd 105020 ???,
短路替代,
Vu ac 10 ?
4?
42V
30?
0.5A
＋
－
60? 25?
10? 20?
40?
b a
d c
R
Vu R 3010120 ????
1A
Ai R 2143042 ???? /)(
???? 15230
R
R
i
uR
