主要内容,
1、图论中的几个概念
2、电路独立方程个数的确定
课题：电路的图及其独立方程数
? 线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压
和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同
可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
（ 2） 元件的电压、电流关系特性。
（ 1） 电路的连接关系 —KCL,KVL定律。
? 方法的基础
(2) 系统性：计算方法有规律可循。
18世纪，哥尼斯堡城（现名加里宁格勒）的普瑞柯
尔河上有七座桥，把河的两岸和河中的两个小岛连接起来。
该城的居民们喜欢四处散步，于是有人提出一个问题：能
否从某地出发，经过每座桥一次，最后回到原地？
图论是拓扑学的一个分支。拓扑学起源于公元
1736 年一个著名问题 ——哥尼斯堡七桥问题的解决,
B D
A
C
D
C
B
A
欧拉定理 如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于 0
或 2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
哥尼斯堡七桥难题
? 网络图论
3.1 电路的图
1,电路的图
R4
R1 R3
R2
R5 u
S
+ _
i
抛开元
件性质
一个元件作
为一条支路
85 ?? bn
元件的串联及并联
组合作为一条支路
64 ?? bn
6
5
4
3
2
1
7
8
5
4
3
2
1
6
有向图
(1) 图的定义 (Graph) G={支路，节点 } ①
②
１
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支
路和结点与电路的支路和结点一一对应。
a,图中的结点和支路各自是一个整体。
b,移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在,
因此允许有孤立结点存在。
c,如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续
移动到达另一节点所经过的支路构成路
经。
(2) 路径
（ 3）连通图 图 G的任意两节点间至少有一条路经
时称为连通图，非连通图至少存在两
个分离部分。
(4) 子图 若图 G1中所有支路和结点都是图 G中
的支路和结点，则称 G1是 G的子图。
? 树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件,
(1)连通
(2)包含所有节点
(3)不含闭合路径
树支：构成树的支路 连支：属于 G而不属于 T的支路
2）树支的数目是一定的,
连支数,
不
是
树
1?? nb t
)( 1????? nbbbb tl
树
特点 1）对应一个图有很多的树
? 回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通,(2)每个节点
关联 2条支路
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3
1 2
4
5 7
8
不是
回路
回路
2）基本回路的数目是一定的，为连支数
)( 1???? nbbl l
特点
1）对应一个图有很多的回路
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3
1
2
3
6
支路数＝树枝数＋连支数
＝结点数－ 1＋基本回路数 结论
1??? lnb
结点、支路和
基本回路关系
基本回路具有独占的一条连枝
例
8
7
6
5 4
3 2
1
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基
本回路。
8
7
6
5
8 6
4
3
8
2
4
3
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 ??? iii
6 5
4 3
2 1
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 ???? iii
0652 ??? iii
0321 ???? iii
4 1 2 3 ＋ ＋ ＋ ＝ 0
结论
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
结
论
n个结点,b条支路的电路,独立的
KCL和 KVL方程数为,
bnbn ????? )()( 11
另外，一个连通图的树有多个，所以它的
独立回路组也有多个，而且每组的独立回路地个
数是相等的。
【 例 】 画出电路图的树及其基本回路。
1 2
3 4
5 6
1
2
3
4
7
8
4
5 6
1
2
3
7
8
1
3
5 6
1
2
3
4
1 2
3 4
5 6
1
2
3
4
7
8
特殊地，平面图中的独立回路数等于该平面的网孔数
a、网孔,平面图中，其限定区域内不再有支路
的回路。
b、平面图的全部网孔是一组独立回路
结论,结点数为 n，支路数为 b的平面连通图中，
根据所有网孔回路列出的 KVL方程组是独立方程组，
其独立回路数也是（ b-n+1）个。
3、电路中参数的求解
（ 1）一个具有 b条支路和 n个结点的电路，所求未知
参数的个数为 2b。
（ 2）需要 2b个独立方程来求解这 2b个电路参数。
KCL方程 ————（ n – 1）个
KVL方程 ————（ b – n + 1）个
支路的 VCR————b 个
共计,2b 个
因此，可由 2b个方程解出 2b个支路电压和支路
电流，这种解题方法称为 2b法。
实例
求解电流 i5
i5
2 ?
10 ?
10 ?
4 ?
8 ?
8 ? R1
R2
R3
R4
R6
R5
＋ －
＋
－
40V
20V
解,i
1 – i2 – i6 = 0
i2 – i3 + i4 = 0
- i4 + i5 + i6 = 0
KCL
方程
u1 + u2 + u3 = 0
u3 +u4 + u5 = 0
- u2 + u4 + u6 = 0
KVL
方程
3
2
1 2 3
4
4 u1 = R1 i1 u
2 = R2 i2
u3 = R3 i3 - 20 VCR
方程 u4 = R4 i4
u6 = R6 i6 - 40
u5 = R5 i5
3
2
1 2 3
6
1
4
4
5
小结,
5、电路的独立的 KVL方程组有多种求法，其中利
用基本回路和利用网孔列出的方程组是两种有效的
方法。
1、分析电路的目的就是计算每一个支路的电流和电压；
2,b条支路的电路的所有 2b个电压电流量需要用 2b
个独立的方程去求解；
3,n个结点的电路可以列出 （ n – 1）个独立方程；
4、图的所有单连枝回路（即基本回路）是一个独
立回路组；
有关实验
实验 1.3 基尔霍夫定律与电位图
实验原理,
1,KCL
2,KVL
3、电位图
1、图论中的几个概念
2、电路独立方程个数的确定
课题：电路的图及其独立方程数
? 线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压
和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同
可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
（ 2） 元件的电压、电流关系特性。
（ 1） 电路的连接关系 —KCL,KVL定律。
? 方法的基础
(2) 系统性：计算方法有规律可循。
18世纪，哥尼斯堡城（现名加里宁格勒）的普瑞柯
尔河上有七座桥，把河的两岸和河中的两个小岛连接起来。
该城的居民们喜欢四处散步，于是有人提出一个问题：能
否从某地出发，经过每座桥一次，最后回到原地？
图论是拓扑学的一个分支。拓扑学起源于公元
1736 年一个著名问题 ——哥尼斯堡七桥问题的解决,
B D
A
C
D
C
B
A
欧拉定理 如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于 0
或 2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
哥尼斯堡七桥难题
? 网络图论
3.1 电路的图
1,电路的图
R4
R1 R3
R2
R5 u
S
+ _
i
抛开元
件性质
一个元件作
为一条支路
85 ?? bn
元件的串联及并联
组合作为一条支路
64 ?? bn
6
5
4
3
2
1
7
8
5
4
3
2
1
6
有向图
(1) 图的定义 (Graph) G={支路，节点 } ①
②
１
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支
路和结点与电路的支路和结点一一对应。
a,图中的结点和支路各自是一个整体。
b,移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在,
因此允许有孤立结点存在。
c,如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
从图 G的一个节点出发沿着一些支路连续
移动到达另一节点所经过的支路构成路
经。
(2) 路径
（ 3）连通图 图 G的任意两节点间至少有一条路经
时称为连通图，非连通图至少存在两
个分离部分。
(4) 子图 若图 G1中所有支路和结点都是图 G中
的支路和结点，则称 G1是 G的子图。
? 树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件,
(1)连通
(2)包含所有节点
(3)不含闭合路径
树支：构成树的支路 连支：属于 G而不属于 T的支路
2）树支的数目是一定的,
连支数,
不
是
树
1?? nb t
)( 1????? nbbbb tl
树
特点 1）对应一个图有很多的树
? 回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通,(2)每个节点
关联 2条支路
1 2 3
4
5
6
7
8
2
5
3
1 2
4
5 7
8
不是
回路
回路
2）基本回路的数目是一定的，为连支数
)( 1???? nbbl l
特点
1）对应一个图有很多的回路
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3
1
2
3
6
支路数＝树枝数＋连支数
＝结点数－ 1＋基本回路数 结论
1??? lnb
结点、支路和
基本回路关系
基本回路具有独占的一条连枝
例
8
7
6
5 4
3 2
1
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基
本回路。
8
7
6
5
8 6
4
3
8
2
4
3
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 ??? iii
6 5
4 3
2 1
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 ???? iii
0652 ??? iii
0321 ???? iii
4 1 2 3 ＋ ＋ ＋ ＝ 0
结论
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
结
论
n个结点,b条支路的电路,独立的
KCL和 KVL方程数为,
bnbn ????? )()( 11
另外，一个连通图的树有多个，所以它的
独立回路组也有多个，而且每组的独立回路地个
数是相等的。
【 例 】 画出电路图的树及其基本回路。
1 2
3 4
5 6
1
2
3
4
7
8
4
5 6
1
2
3
7
8
1
3
5 6
1
2
3
4
1 2
3 4
5 6
1
2
3
4
7
8
特殊地，平面图中的独立回路数等于该平面的网孔数
a、网孔,平面图中，其限定区域内不再有支路
的回路。
b、平面图的全部网孔是一组独立回路
结论,结点数为 n，支路数为 b的平面连通图中，
根据所有网孔回路列出的 KVL方程组是独立方程组，
其独立回路数也是（ b-n+1）个。
3、电路中参数的求解
（ 1）一个具有 b条支路和 n个结点的电路，所求未知
参数的个数为 2b。
（ 2）需要 2b个独立方程来求解这 2b个电路参数。
KCL方程 ————（ n – 1）个
KVL方程 ————（ b – n + 1）个
支路的 VCR————b 个
共计,2b 个
因此，可由 2b个方程解出 2b个支路电压和支路
电流，这种解题方法称为 2b法。
实例
求解电流 i5
i5
2 ?
10 ?
10 ?
4 ?
8 ?
8 ? R1
R2
R3
R4
R6
R5
＋ －
＋
－
40V
20V
解,i
1 – i2 – i6 = 0
i2 – i3 + i4 = 0
- i4 + i5 + i6 = 0
KCL
方程
u1 + u2 + u3 = 0
u3 +u4 + u5 = 0
- u2 + u4 + u6 = 0
KVL
方程
3
2
1 2 3
4
4 u1 = R1 i1 u
2 = R2 i2
u3 = R3 i3 - 20 VCR
方程 u4 = R4 i4
u6 = R6 i6 - 40
u5 = R5 i5
3
2
1 2 3
6
1
4
4
5
小结,
5、电路的独立的 KVL方程组有多种求法，其中利
用基本回路和利用网孔列出的方程组是两种有效的
方法。
1、分析电路的目的就是计算每一个支路的电流和电压；
2,b条支路的电路的所有 2b个电压电流量需要用 2b
个独立的方程去求解；
3,n个结点的电路可以列出 （ n – 1）个独立方程；
4、图的所有单连枝回路（即基本回路）是一个独
立回路组；
有关实验
实验 1.3 基尔霍夫定律与电位图
实验原理,
1,KCL
2,KVL
3、电位图
