课题,电阻电路的等效变换
2,电阻的串、并联
3,Y—? 变换
? 重点,
1,电路等效的概念
2.1 引言
? 电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路
? 分析方法
（ 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分
析电阻电路的依据；
（ 2）等效变换的方法,也称化简的方法
2.2 电路的等效变换
任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮，且从一个
端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电
路为二端络网 (或一端口网络 )。
1,两端电路（网络）
无
源
无
源
一
端
口
2,两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则
称它们是等效的电路。
i i
B
+
-
u i C
+
-
u i
等效
对 A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
明
确
（ 1）电路等效变换的条件
（ 2）电路等效变换的对象
（ 3）电路等效变换的目的
两电路具有相同的 VCR
未变化的外电路 A中
的电压、电流和功率
化简电路，方便计算
2.3 电阻的串联、并联和串并联
（ 1） 电路特点
1,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 R n
+ _ U k i + _ u1 + _ un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu ??????????? 1
由欧姆定律
结论,
等效
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
(2) 等效电阻
u + _
R e q
i
+ _
R1 R n
+ _ U k i + _ u1 + _ un
u
Rk
iRiRRiRiRiRu eqnnK ????????? )( ??? 11
k
n
k
knkeq RRRRRR ??????? ?
? 1
1 ??
(3) 串联电阻的分压
说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路
+
_
u
R1
R2
+
- u1
-
+ u2
i
o
o
注意方向 !
uu
R
R
R
uRiRu
eq
k
eq
kkk ????
例 两个电阻的分压,
u
RR
Ru
21
1
1 ??
u
RR
Ru
21
2
2 ?
??
(4) 功率
p1=R1i2,p2=R2i2,?, pn=Rni2
p1,p2, ?, pn= R1, R2, ?,Rn
总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+ Rn ) i2
=R1i2+R2i2+ ? +Rni2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
2,电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
(1) 电路特点
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效
由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
=u/R1 +u/R2 + … +u/Rn=u(1/R1+1/R2+… +1/Rn)=uGeq
G =1 / R为电导
(2) 等效电阻
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
k
n
k
kneq GGGGGG ?????? ?
? 1
21 ?
keq
n
eq
eq
RRRRRGR ?????? 即1111
21
?
（ 3） 并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk
??
对于两电阻并联，有,
R1 R2
i1 i2
i
o
o
电流分配与电导成正比
iGGi kk
eq
?
21
2
21
1
1 11
1
RR
iRi
RR
Ri
?
?
?
?
)(
11
1
1
21
1
21
2
2 iiRR
iRi
RR
Ri ???
?
??
?
??
21
21
21
21
11
11
RR
RR
RR
RRR
eq ???
??
（ 4） 功率
p1=G1u2,p2=G2u2,?, pn=Gnu2
p1,p2, ?, pn= G1, G2, ?,Gn
总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+ Gn ) u2
=G1u2+G2u2+ ? +Gnu2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
3,电阻的串并联
例
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
计算各支路的电压和电流。
i1
+
-
i2 i3
i4 i5
18 ?
6 ?
5 ?
4? 12 ?
165V 165V
i1
+
-
i2 i3
18 ? 9 ?
5 ?
6 ?
Ai 15111 6 51 ?? Viu 901566 12 ????
Ai 518902 ??
Ai 105153 ???
Viu 601066 33 ????
Viu 303 34 ??
Ai 574304,?? Ai 5257105,,???
例
解 ① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2
312
8
1
8
1
4
1
2
1
1234 ??????????
V 3412 124 ??? UUU
RI
12
1 ?
V 3244 ???? RIU
RI 2
3
4 ??
求,I1,I4,U4
+
_ 2R 2R 2R 2R
R R I1 I2 I3 I4
12V _ U4
+
_ U2
+
_ U1
+
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤,
（ 1） 求出等效电阻或等效电导；
（ 2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（ 3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压
以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例
6?
15?
5?
5?
d c
b
a
求, Rab,Rcd
????? 1261555 //)(abR
???? 45515 //)(cdR
等效电阻针对电路的某两
端而言，否则无意义。
60?
100?
50?
10?
b a
40?
80?
20?
15?
20?
b
a 5?
6? 6?
7?
b a
c
d
R
R R
R
1,
3,
2,
例
60?
100?
50?
10?
b a
40?
80?
20?
求, Rab
100?
60?
b a
40?
20? 100?
100?
b a
20?
60?
100?
60?
b a
120?
20?
Rab＝ 70?
例
15?
20?
b
a 5?
6? 6?
7?
求, Rab
15? b
a 4?
3?
7?
15?
20?
b
a 5?
6?
6?
7?
15? b
a 4?
10?
Rab＝ 10?
缩短无电阻支路
例
b a
c
d
R
R R
R
求, Rab 对称电路 c、
d等电位
b a
c
d
R
R R
R
b a
c
d
R
R R
R
i
i1
i
i2
21 2
1 iii ??
iRRiiRiRiu ab ????? )( 212121
RiuR abab ??
RR ab ?
短路
根据电
流分配
2.4 电阻的星形联接与三角形联接的
等效变换 (?—Y 变换 )
1,电阻的 ?, Y连接
Y型 网络 ? 型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
b a
c
d
R1 R2
R3 R4
包含
三端
网络
?, Y 网络的变形,
? 型电路 (? 型 ) T 型电路 (Y、星 型 )
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
u23?
R12 R31
R23
i3 ? i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+ –
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =i1Y,i2 ? =i2Y,i3 ? =i3Y,
u12? =u12Y,u23? =u23Y,u31? =u31Y
2,?— Y 变换的等效条件
等效条件,
Y接, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?接, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
u23?
R12 R31
R23
i3 ? i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+ –
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(2) (1)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
由式 (2)解得,
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
(1) (3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得 Y型 ??型的变换条件,
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
??
?
??
?
??
?
或
类似可得到由 ?型 ? Y型的变换条件,
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
???
???
???
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
或
简记方法,
?
? ? RR ?? 相邻电阻乘积或
Y
YΔ
GG ??
相邻电导乘积
?变 Y
Y变 ?
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R?? = 3RY
注意
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
R31
R23
R12
R3
R2
R1 外大内小
(3) 用于简化电路
桥 T 电路 1/3k? 1/3k?
1k?
R E
1/3k?
例
1k?
1k? 1k?
1k? R E
1k?
R E
3k? 3k?
3k?
i
例
1? 4?
1?
+
20V 90?
9? 9? 9?
9? -
1? 4?
1?
+
20V 90?
3? 3?
3?
9? -
计算 90?电阻吸收的功率
1?
10?
+
20V 90?
-
i1 i
?????? 109010 90101eqR
Ai 210/20 ??
Ai 2.09010 2101 ????
WiP 6.3)2.0(9090 221 ????
2A
30?
20?
RL
30?
30?
30?
30?
40?
20?
例 求负载电阻 RL消耗的功率。
2A
30?
20?
RL
10? 10?
10?
30?
40?
20?
2A
40?
RL
10? 10?
10?
40?
IL AI L 1?
WIRP LLL 402 ??
2,电阻的串、并联
3,Y—? 变换
? 重点,
1,电路等效的概念
2.1 引言
? 电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路
? 分析方法
（ 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分
析电阻电路的依据；
（ 2）等效变换的方法,也称化简的方法
2.2 电路的等效变换
任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮，且从一个
端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电
路为二端络网 (或一端口网络 )。
1,两端电路（网络）
无
源
无
源
一
端
口
2,两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则
称它们是等效的电路。
i i
B
+
-
u i C
+
-
u i
等效
对 A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
明
确
（ 1）电路等效变换的条件
（ 2）电路等效变换的对象
（ 3）电路等效变换的目的
两电路具有相同的 VCR
未变化的外电路 A中
的电压、电流和功率
化简电路，方便计算
2.3 电阻的串联、并联和串并联
（ 1） 电路特点
1,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 R n
+ _ U k i + _ u1 + _ un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu ??????????? 1
由欧姆定律
结论,
等效
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
(2) 等效电阻
u + _
R e q
i
+ _
R1 R n
+ _ U k i + _ u1 + _ un
u
Rk
iRiRRiRiRiRu eqnnK ????????? )( ??? 11
k
n
k
knkeq RRRRRR ??????? ?
? 1
1 ??
(3) 串联电阻的分压
说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路
+
_
u
R1
R2
+
- u1
-
+ u2
i
o
o
注意方向 !
uu
R
R
R
uRiRu
eq
k
eq
kkk ????
例 两个电阻的分压,
u
RR
Ru
21
1
1 ??
u
RR
Ru
21
2
2 ?
??
(4) 功率
p1=R1i2,p2=R2i2,?, pn=Rni2
p1,p2, ?, pn= R1, R2, ?,Rn
总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+ Rn ) i2
=R1i2+R2i2+ ? +Rni2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
2,电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
(1) 电路特点
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效
由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
=u/R1 +u/R2 + … +u/Rn=u(1/R1+1/R2+… +1/Rn)=uGeq
G =1 / R为电导
(2) 等效电阻
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
k
n
k
kneq GGGGGG ?????? ?
? 1
21 ?
keq
n
eq
eq
RRRRRGR ?????? 即1111
21
?
（ 3） 并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk
??
对于两电阻并联，有,
R1 R2
i1 i2
i
o
o
电流分配与电导成正比
iGGi kk
eq
?
21
2
21
1
1 11
1
RR
iRi
RR
Ri
?
?
?
?
)(
11
1
1
21
1
21
2
2 iiRR
iRi
RR
Ri ???
?
??
?
??
21
21
21
21
11
11
RR
RR
RR
RRR
eq ???
??
（ 4） 功率
p1=G1u2,p2=G2u2,?, pn=Gnu2
p1,p2, ?, pn= G1, G2, ?,Gn
总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+ Gn ) u2
=G1u2+G2u2+ ? +Gnu2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
3,电阻的串并联
例
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
计算各支路的电压和电流。
i1
+
-
i2 i3
i4 i5
18 ?
6 ?
5 ?
4? 12 ?
165V 165V
i1
+
-
i2 i3
18 ? 9 ?
5 ?
6 ?
Ai 15111 6 51 ?? Viu 901566 12 ????
Ai 518902 ??
Ai 105153 ???
Viu 601066 33 ????
Viu 303 34 ??
Ai 574304,?? Ai 5257105,,???
例
解 ① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2
312
8
1
8
1
4
1
2
1
1234 ??????????
V 3412 124 ??? UUU
RI
12
1 ?
V 3244 ???? RIU
RI 2
3
4 ??
求,I1,I4,U4
+
_ 2R 2R 2R 2R
R R I1 I2 I3 I4
12V _ U4
+
_ U2
+
_ U1
+
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤,
（ 1） 求出等效电阻或等效电导；
（ 2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（ 3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压
以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例
6?
15?
5?
5?
d c
b
a
求, Rab,Rcd
????? 1261555 //)(abR
???? 45515 //)(cdR
等效电阻针对电路的某两
端而言，否则无意义。
60?
100?
50?
10?
b a
40?
80?
20?
15?
20?
b
a 5?
6? 6?
7?
b a
c
d
R
R R
R
1,
3,
2,
例
60?
100?
50?
10?
b a
40?
80?
20?
求, Rab
100?
60?
b a
40?
20? 100?
100?
b a
20?
60?
100?
60?
b a
120?
20?
Rab＝ 70?
例
15?
20?
b
a 5?
6? 6?
7?
求, Rab
15? b
a 4?
3?
7?
15?
20?
b
a 5?
6?
6?
7?
15? b
a 4?
10?
Rab＝ 10?
缩短无电阻支路
例
b a
c
d
R
R R
R
求, Rab 对称电路 c、
d等电位
b a
c
d
R
R R
R
b a
c
d
R
R R
R
i
i1
i
i2
21 2
1 iii ??
iRRiiRiRiu ab ????? )( 212121
RiuR abab ??
RR ab ?
短路
根据电
流分配
2.4 电阻的星形联接与三角形联接的
等效变换 (?—Y 变换 )
1,电阻的 ?, Y连接
Y型 网络 ? 型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
b a
c
d
R1 R2
R3 R4
包含
三端
网络
?, Y 网络的变形,
? 型电路 (? 型 ) T 型电路 (Y、星 型 )
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
u23?
R12 R31
R23
i3 ? i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+ –
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =i1Y,i2 ? =i2Y,i3 ? =i3Y,
u12? =u12Y,u23? =u23Y,u31? =u31Y
2,?— Y 变换的等效条件
等效条件,
Y接, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?接, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
u23?
R12 R31
R23
i3 ? i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+ –
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(2) (1)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
由式 (2)解得,
i3? =u31? /R31 – u23? /R23
i2? =u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31? /R31
(1) (3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得 Y型 ??型的变换条件,
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
??
?
??
?
??
?
或
类似可得到由 ?型 ? Y型的变换条件,
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
???
???
???
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
或
简记方法,
?
? ? RR ?? 相邻电阻乘积或
Y
YΔ
GG ??
相邻电导乘积
?变 Y
Y变 ?
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R?? = 3RY
注意
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
R31
R23
R12
R3
R2
R1 外大内小
(3) 用于简化电路
桥 T 电路 1/3k? 1/3k?
1k?
R E
1/3k?
例
1k?
1k? 1k?
1k? R E
1k?
R E
3k? 3k?
3k?
i
例
1? 4?
1?
+
20V 90?
9? 9? 9?
9? -
1? 4?
1?
+
20V 90?
3? 3?
3?
9? -
计算 90?电阻吸收的功率
1?
10?
+
20V 90?
-
i1 i
?????? 109010 90101eqR
Ai 210/20 ??
Ai 2.09010 2101 ????
WiP 6.3)2.0(9090 221 ????
2A
30?
20?
RL
30?
30?
30?
30?
40?
20?
例 求负载电阻 RL消耗的功率。
2A
30?
20?
RL
10? 10?
10?
30?
40?
20?
2A
40?
RL
10? 10?
10?
40?
IL AI L 1?
WIRP LLL 402 ??
