主要内容,
1、特勒根定理
2、互易定理
课题：特勒根定理和互易定理
4.5 特勒根定理
(Tellegen’s Theorem)
1,特勒根定理 1
任何时刻，对于一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0
功率守恒
定理证明,
表明任何一个电路的全部支路吸收的功率
之和恒等于零。
4 6
5
1
2 3
4
2
3
1
应用
KCL,0
654 ???? iii
0421 ???? iii
0632 ???? iii
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211 ?
63252421
3323111
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
)()(
)(
????
?????
06323
6542
4211
?????
????
???
)(
)(
)(
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
支路电
压用结
点电压
表示
1,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电
流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
4 6
5
1
2 3
4
2
3
1 4 6
5
1
2 3
4
2
3
1
),( kk iu )?,?( kk iu拟功率定理
定理证明,
对电路 2应用 KCL,0654 ???? iii ???
0421 ???? iii ???
0632 ???? iii ???
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
???? ?
63252421
3323111
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
?)(??)(
??)(?
????
?????
0
6323
6542
4211
?????
????
???
)???(
)???(
)???(
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
例 1 (1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us=9V时,
I1=3A,求此时的 U2 。
解 把（ 1）、（ 2）两种情况看成是结构相同，参数不同
的两个电路，利用特勒根定理 2
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,8.44.139,( 2 )
????? ??????? URUIIU得由
),(
? )(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk ??
?
??
?
??
???????
128.425.1234 22 ????????? ?? UU
无源
电阻
网络
P –
+
U1
+
–
Us
R1 I1 I2
–
+
U2 R2
V6.15.1/4.2 2 ???U
例 2,
解
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102 ??U,1?U求
)()( 22112211 IUIUIUIU ???? ?????
11 2
?? ? IU
V.11 ??U
)(2 221111 IUIUUU
??
?
????
110)5(
2
10 11 ??????
?
?
UU
应用特勒根定理需注意,
（ 1）电路中的支路电压必须满足 KVL;
（ 2）电路中的支路电流必须满足 KCL;
（ 3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；
（否则公式中加负号）
（ 4）定理的正确性与元件的特征全然无关。
4,6 互易定理 (Reciprocity Theorem)
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互
易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,
同一激励所产生的响应并不改变 。 具有互易性的网络叫互易
网络, 互易定理是对电路的这种性质所进行的概括, 它广泛
的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
1,互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励
源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当
激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
? 情况 1
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
激励 电压源 电流 响应
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则两个支路中电压电流有如下关系,
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
证明, 由特勒根定理,
0? 0
11
?? ??
??
? b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即,
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得 ??
22112211 iuiuiuiu
?? ???
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu ????
??
0 ?0 221211 iuiiiu SS ?????
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u ?? 或
? 情况 2 激励 电流源 电压 响应
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1 +
–
iS2
a
b (b)
则两个支路中电压电流有如下关系,
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
?? 或
? 情况 3
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系,
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
激励
电流源
电压源 图 b
图 a 电流
响应 图 b
图 a
电压
i2
线性
电阻
网络
NR
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1 +
–
uS2
a
b (b)
+
–
(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,
两个支路电压电流关系 。
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变, 仅理想电源搬移；
(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都
关联，要么都非关联 )；
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意,
例 1 求 (a)图电流 I, (b)图电压 U。
解 利用互易定理
1?
6? I +
– 12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U 6?
6A
I
＋
－
12V
+
－
U
6A
A5.1216//61 12 ????I VU 623 ???
例 2
2? 1?
2? 4? + – 8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解 利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2? 1?
2? 4?
+
– 8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V，求 b图中的电流 I 。
解 1
(1) 利用互易定理知 c 图的
u1
+
–
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (c)
+
–
+
– 1?u
开路电压）(5? 1 Vu ?
c
d
线性
电阻
网络
NR
Req
a
b (d)
5?
5? +
– 5V
a
b
I
(2) 结合 a图，知 c 图的等效电阻,
52102 1 ??? uR eq
戴维宁等
效电路
A5.055 5 ???I
解 2
应用特勒根定理,
?? 22112211 iuiuiuiu ?? ???
0)2(?5 )2(5?10 211 ???????? ?uii AIi 5.0?1 ??
u1
+
–
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
U1＝ 10V,U2＝ 5V
例 4 问图示电路 ?与 ?取何关系时电路具有互易性。
解 在 a-b端口加电流源，解得,
1? 3? 1?
+
–
?U
?I
a
b
c
d
I
+ – U
IS IS
1? 3? 1?
+
–
?U
?I
a
b
c
d
I
+ – U
? ? Scd IIIUIUU 3)1(3 )1( 3 ????????? ?????
在 c-d端口加电流源，解得,
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
????
?????
????
????????
如要电路具有互易性，则,
cdab UU ?
? ? )3(3)1( ?????? ??????
2
?? ? 一般有受控源的电
路不具有互易性。
1、特勒根定理
2、互易定理
课题：特勒根定理和互易定理
4.5 特勒根定理
(Tellegen’s Theorem)
1,特勒根定理 1
任何时刻，对于一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0
功率守恒
定理证明,
表明任何一个电路的全部支路吸收的功率
之和恒等于零。
4 6
5
1
2 3
4
2
3
1
应用
KCL,0
654 ???? iii
0421 ???? iii
0632 ???? iii
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211 ?
63252421
3323111
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
)()(
)(
????
?????
06323
6542
4211
?????
????
???
)(
)(
)(
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
支路电
压用结
点电压
表示
1,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电
流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
4 6
5
1
2 3
4
2
3
1 4 6
5
1
2 3
4
2
3
1
),( kk iu )?,?( kk iu拟功率定理
定理证明,
对电路 2应用 KCL,0654 ???? iii ???
0421 ???? iii ???
0632 ???? iii ???
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
???? ?
63252421
3323111
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
?)(??)(
??)(?
????
?????
0
6323
6542
4211
?????
????
???
)???(
)???(
)???(
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
例 1 (1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us=9V时,
I1=3A,求此时的 U2 。
解 把（ 1）、（ 2）两种情况看成是结构相同，参数不同
的两个电路，利用特勒根定理 2
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,8.44.139,( 2 )
????? ??????? URUIIU得由
),(
? )(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk ??
?
??
?
??
???????
128.425.1234 22 ????????? ?? UU
无源
电阻
网络
P –
+
U1
+
–
Us
R1 I1 I2
–
+
U2 R2
V6.15.1/4.2 2 ???U
例 2,
解
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102 ??U,1?U求
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11 2
?? ? IU
V.11 ??U
)(2 221111 IUIUUU
??
?
????
110)5(
2
10 11 ??????
?
?
UU
应用特勒根定理需注意,
（ 1）电路中的支路电压必须满足 KVL;
（ 2）电路中的支路电流必须满足 KCL;
（ 3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；
（否则公式中加负号）
（ 4）定理的正确性与元件的特征全然无关。
4,6 互易定理 (Reciprocity Theorem)
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互
易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,
同一激励所产生的响应并不改变 。 具有互易性的网络叫互易
网络, 互易定理是对电路的这种性质所进行的概括, 它广泛
的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
1,互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励
源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当
激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
? 情况 1
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
激励 电压源 电流 响应
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则两个支路中电压电流有如下关系,
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
证明, 由特勒根定理,
0? 0
11
?? ??
??
? b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即,
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得 ??
22112211 iuiuiuiu
?? ???
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu ????
??
0 ?0 221211 iuiiiu SS ?????
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u ?? 或
? 情况 2 激励 电流源 电压 响应
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1 +
–
iS2
a
b (b)
则两个支路中电压电流有如下关系,
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
?? 或
? 情况 3
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系,
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
激励
电流源
电压源 图 b
图 a 电流
响应 图 b
图 a
电压
i2
线性
电阻
网络
NR
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1 +
–
uS2
a
b (b)
+
–
(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,
两个支路电压电流关系 。
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变, 仅理想电源搬移；
(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都
关联，要么都非关联 )；
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意,
例 1 求 (a)图电流 I, (b)图电压 U。
解 利用互易定理
1?
6? I +
– 12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U 6?
6A
I
＋
－
12V
+
－
U
6A
A5.1216//61 12 ????I VU 623 ???
例 2
2? 1?
2? 4? + – 8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解 利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2? 1?
2? 4?
+
– 8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V，求 b图中的电流 I 。
解 1
(1) 利用互易定理知 c 图的
u1
+
–
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (c)
+
–
+
– 1?u
开路电压）(5? 1 Vu ?
c
d
线性
电阻
网络
NR
Req
a
b (d)
5?
5? +
– 5V
a
b
I
(2) 结合 a图，知 c 图的等效电阻,
52102 1 ??? uR eq
戴维宁等
效电路
A5.055 5 ???I
解 2
应用特勒根定理,
?? 22112211 iuiuiuiu ?? ???
0)2(?5 )2(5?10 211 ???????? ?uii AIi 5.0?1 ??
u1
+
–
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
U1＝ 10V,U2＝ 5V
例 4 问图示电路 ?与 ?取何关系时电路具有互易性。
解 在 a-b端口加电流源，解得,
1? 3? 1?
+
–
?U
?I
a
b
c
d
I
+ – U
IS IS
1? 3? 1?
+
–
?U
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a
b
c
d
I
+ – U
? ? Scd IIIUIUU 3)1(3 )1( 3 ????????? ?????
在 c-d端口加电流源，解得,
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
????
?????
????
????????
如要电路具有互易性，则,
cdab UU ?
? ? )3(3)1( ?????? ??????
2
?? ? 一般有受控源的电
路不具有互易性。
