9,4 正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路的分析比较,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
??
??
?
?
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法推广应
用于正弦稳态的相量分析中 。
结论
1,引入相量法, 把求正弦稳态电路微分方程的特解
问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后, 可将所有网络定理和方法都应用
于交流, 直流 （ f =0)是一个特例 。
例 1,
R2 +
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2 U?
R2 +
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
画出电路的相量模型
??????
??
???
?
?
??
?
?
?
?
13.28911.923.7245.303
7.175.1049
901047.318
47.3181000
)47.318(1000
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
?
?
?
?
?
,/314,100
,10,500,10,1000 21
sr a dVU
FCmHLRR
???
???????
求,各支路电流。
已知,
解
?????? 1 5 71022 jLjRZ
????
??
????
??
?
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI ??
???
3.526.03.5299.166 01001 ???? ???
A
j
I
C
jR
CjI ??
?
?? 20181.03.526.0
7.175.1049
47.318
1
1
1
1
2 ???????
?
?
?
?
???
AI
C
jR
RI ??
?
?? 7057.03.526.0
7.175.1049
1000
1 1
1
1
3 ???????
?
?
?
Z1 Z2 U?
R2 +
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
列写电路的回路电流方程和节点电压方程 例 2,
解
+ _ su
siL R1
R2
R3 R
4
C SI?
+ _
R1 R2
R3 R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR ???? ?????? 3221121 )()( ??
0)()( 33112431 ??????? IRILjRILjRRR ??? ??
01)1( 42312332 ?????? ICjIRIRICjRR ???? ??
SII ?? ??4
1nU?
2nU?
3nU?
节点法,
Sn UU ?? ?1
011)111( 3
3
1
2
2
321
?????? nnn URURURRLjR ????
Snnn IUCjURUCjRR
???? ??????
12
3
3
43
1)11( ??
SI?
+ _
R1 R2
R3 R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
??
?????
方法一：电源变换
?????? 15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解
例 3,Z
2
SI? Z1 Z Z3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1??Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
??? 231
31S
//
)//(??
45301515
)1515(4
???
??
jj
jj
o
o
3 6, 9-5
455, 6 5 7
?
?? A o9.8113.1 ??
方法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
??
? ZZIU S??
Zeq
Z
0
?U
? I
+
-
Z2
SI? Z1 Z3 0U?
求开路电压,
求等效电阻,
Ω45j15
// 231
??
?? ZZZZ eq
A9.8113.1
454515
4586.84
o
0
0
??
??
?
?
?
?
jZZ
U
I
??
?
例 4 求图示电路的戴维南等效电路。
603003006030060100200 0111 ?????????? j UIIIU o ?????
j300? +
_ 0060?
0U?
+
_
1
4?I
1
?I
50? 50?
j300? +
_ 0060?
0U?
+
_
1200I?
1
?I
100?
＋ _
解
045230
1
60 ??
?? jU o
? 求短路电流,
SCI?
006.01 0 060 ???SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230 ?????
SC
eq I
UZ
?
?
例 5 用叠加定理计算电流 2 I?
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
解,)( )1( SS 短路单独作用 UI ??
32
3
S
'
2 ZZ
ZII
??
??
oo
o
o
30503050
305004
????
????
A3031.2350 30200 o
o
????
32
S"
2 ZZ
UI
???
??
oo
"
2
'
22
1 3 51 5 5.13031.2 ?????
?? III ???
A135155.1350 45100 o
o
??????
A9.1523.1 o???
:)( )2( SS 开路单独作用 ?? IU
'2I"
V45100, oS ??U?已知
,3050
,3050
A,04
o
3
o
31
o
S
Ω
Ω
???
???
??
Z
ZZ
I?
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求, Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件,Z1 Z3= Z2 Zx 得
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j ?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
Z1 Z2
Zx Z3
?
|Z1|??1 ?|Z3|??3 = |Z2|??2 ?|Zx|??x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
?1 +?3 = ?2 +?x
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ ??
11111S )1( IZIβZIZIZU ????? ?????
例 7
解
? I
1 ?I
1 ?Iβ
Z
Z1
+
_ S ?U,90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出
转
转
Z
IZUUI SS ???? ?
)10005050(j10410)1( 1
1
S ???????? ββZZβ
I
U
?
?
41 0104 1 0 ???? ββ,令
.90 1 0 0 0j o
1
S 故电流领先电压??
I
U
?
?
I?
已知, U=115V,U1=55.4V,
U2=80V,R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
方法－,画相量图分析。
例 8
解
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
LU?
2RU?
2U??
2
U?
?
???? c o s2 2122212 UUUUU
A73.132/4.55/ 11 ??? RUI
LR UUUUUU ?????? ????? 121
?
?1.1 1 54 2 3 7.0c o s ??????
?? 9.641 8 02 ?????
H133.0)2/( 8.41s i n ||
6.19c o s || 2.4673.1/80/||
2222
22222
????
?????
fXLθZX
ZRIUZ
πΩ
ΩΩ ?
方法二,
?? ???????? 1158004.55 021 UUU ???
?? c o s1 1 5c o s804.55 ??
?? s i n1 1 5s i n80 ?
093.64
4 2 4.0c o s
?
?
?
?
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
其余步骤同解法一。
U?用相量图分析
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0??时,?ab 如何变化?U
解 1U?
CU?
CI?
CU??
CI??;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR ?
当 R2=0,? ?180?；
当 R2 ??,? ?0?。
o o a b
1U?
2U? CU?
CI?
R2 R1
R1
+
_ U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU??
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
??????
?
?????
????
????
? abU
???
abU??
a
b b
3I?
例 10 图示电路,
。、、、求：
、、、、
212
132
,
520021010
RXXIXR
RVUAIAI
LCL?
?????
R1
R2 jXL
+
_
CU?
U?
+ _ 1 ?I jXC
3
?I
2
?I
解 2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
用相量图分析
AIIII 10451013510210 100321 ????????? ???
VUUUUU CCCR 1501052001 ???????? ???
2752 22 22 ??????? LRRCLRC UUUUUUU ???
??????? 5.7
210
275 15
10
150
2 LC XRX
1RU?
例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
L
+
_ Su L
u
+
_
Li
R
解
)c o s (2 uS tUu ?? ??已知：
应用三要素法,
0)0()0( ?? ?? LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI ???
??
????
?
?
?
?
22 )(
??
RL??
用相量法求正弦稳态解
? ? ?tLLLL eiiiti ?? ?????? 0)()0()()(
????
t
imimL eItIti
???? c o s)c o s ()(
过渡过程与接入时刻有关
????
t
imimL eItIti
???? c o s)c o s ()(
)c o s ()(2 imLi tIti ???? ??，＝当
t
i
0
直接进入稳定状态
???
t
mmLi eItIti
??? )c o s ()(0,＝当
出现瞬时电流大于
稳态电流现象
???
t
mmLi eItIti
??? )c o s ()(0,＝当
t
i
0
电阻电路与正弦电流电路的分析比较,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
??
??
?
?
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法推广应
用于正弦稳态的相量分析中 。
结论
1,引入相量法, 把求正弦稳态电路微分方程的特解
问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后, 可将所有网络定理和方法都应用
于交流, 直流 （ f =0)是一个特例 。
例 1,
R2 +
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2 U?
R2 +
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
画出电路的相量模型
??????
??
???
?
?
??
?
?
?
?
13.28911.923.7245.303
7.175.1049
901047.318
47.3181000
)47.318(1000
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
?
?
?
?
?
,/314,100
,10,500,10,1000 21
sr a dVU
FCmHLRR
???
???????
求,各支路电流。
已知,
解
?????? 1 5 71022 jLjRZ
????
??
????
??
?
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI ??
???
3.526.03.5299.166 01001 ???? ???
A
j
I
C
jR
CjI ??
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1
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?
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C
jR
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7.175.1049
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1 1
1
1
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?
?
?
Z1 Z2 U?
R2 +
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
列写电路的回路电流方程和节点电压方程 例 2,
解
+ _ su
siL R1
R2
R3 R
4
C SI?
+ _
R1 R2
R3 R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR ???? ?????? 3221121 )()( ??
0)()( 33112431 ??????? IRILjRILjRRR ??? ??
01)1( 42312332 ?????? ICjIRIRICjRR ???? ??
SII ?? ??4
1nU?
2nU?
3nU?
节点法,
Sn UU ?? ?1
011)111( 3
3
1
2
2
321
?????? nnn URURURRLjR ????
Snnn IUCjURUCjRR
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12
3
3
43
1)11( ??
SI?
+ _
R1 R2
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4
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cj?
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SU?
,
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3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
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?????
方法一：电源变换
?????? 15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解
例 3,Z
2
SI? Z1 Z Z3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1??Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
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31S
//
)//(??
45301515
)1515(4
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jj
jj
o
o
3 6, 9-5
455, 6 5 7
?
?? A o9.8113.1 ??
方法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
??
? ZZIU S??
Zeq
Z
0
?U
? I
+
-
Z2
SI? Z1 Z3 0U?
求开路电压,
求等效电阻,
Ω45j15
// 231
??
?? ZZZZ eq
A9.8113.1
454515
4586.84
o
0
0
??
??
?
?
?
?
jZZ
U
I
??
?
例 4 求图示电路的戴维南等效电路。
603003006030060100200 0111 ?????????? j UIIIU o ?????
j300? +
_ 0060?
0U?
+
_
1
4?I
1
?I
50? 50?
j300? +
_ 0060?
0U?
+
_
1200I?
1
?I
100?
＋ _
解
045230
1
60 ??
?? jU o
? 求短路电流,
SCI?
006.01 0 060 ???SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230 ?????
SC
eq I
UZ
?
?
例 5 用叠加定理计算电流 2 I?
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
解,)( )1( SS 短路单独作用 UI ??
32
3
S
'
2 ZZ
ZII
??
??
oo
o
o
30503050
305004
????
????
A3031.2350 30200 o
o
????
32
S"
2 ZZ
UI
???
??
oo
"
2
'
22
1 3 51 5 5.13031.2 ?????
?? III ???
A135155.1350 45100 o
o
??????
A9.1523.1 o???
:)( )2( SS 开路单独作用 ?? IU
'2I"
V45100, oS ??U?已知
,3050
,3050
A,04
o
3
o
31
o
S
Ω
Ω
???
???
??
Z
ZZ
I?
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求, Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件,Z1 Z3= Z2 Zx 得
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j ?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
Z1 Z2
Zx Z3
?
|Z1|??1 ?|Z3|??3 = |Z2|??2 ?|Zx|??x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
?1 +?3 = ?2 +?x
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ ??
11111S )1( IZIβZIZIZU ????? ?????
例 7
解
? I
1 ?I
1 ?Iβ
Z
Z1
+
_ S ?U,90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出
转
转
Z
IZUUI SS ???? ?
)10005050(j10410)1( 1
1
S ???????? ββZZβ
I
U
?
?
41 0104 1 0 ???? ββ,令
.90 1 0 0 0j o
1
S 故电流领先电压??
I
U
?
?
I?
已知, U=115V,U1=55.4V,
U2=80V,R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
方法－,画相量图分析。
例 8
解
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
LU?
2RU?
2U??
2
U?
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A73.132/4.55/ 11 ??? RUI
LR UUUUUU ?????? ????? 121
?
?1.1 1 54 2 3 7.0c o s ??????
?? 9.641 8 02 ?????
H133.0)2/( 8.41s i n ||
6.19c o s || 2.4673.1/80/||
2222
22222
????
?????
fXLθZX
ZRIUZ
πΩ
ΩΩ ?
方法二,
?? ???????? 1158004.55 021 UUU ???
?? c o s1 1 5c o s804.55 ??
?? s i n1 1 5s i n80 ?
093.64
4 2 4.0c o s
?
?
?
?
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
其余步骤同解法一。
U?用相量图分析
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0??时,?ab 如何变化?U
解 1U?
CU?
CI?
CU??
CI??;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR ?
当 R2=0,? ?180?；
当 R2 ??,? ?0?。
o o a b
1U?
2U? CU?
CI?
R2 R1
R1
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_ U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU??
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
??????
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?????
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? abU
???
abU??
a
b b
3I?
例 10 图示电路,
。、、、求：
、、、、
212
132
,
520021010
RXXIXR
RVUAIAI
LCL?
?????
R1
R2 jXL
+
_
CU?
U?
+ _ 1 ?I jXC
3
?I
2
?I
解 2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
用相量图分析
AIIII 10451013510210 100321 ????????? ???
VUUUUU CCCR 1501052001 ???????? ???
2752 22 22 ??????? LRRCLRC UUUUUUU ???
??????? 5.7
210
275 15
10
150
2 LC XRX
1RU?
例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
L
+
_ Su L
u
+
_
Li
R
解
)c o s (2 uS tUu ?? ??已知：
应用三要素法,
0)0()0( ?? ?? LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI ???
??
????
?
?
?
?
22 )(
??
RL??
用相量法求正弦稳态解
? ? ?tLLLL eiiiti ?? ?????? 0)()0()()(
????
t
imimL eItIti
???? c o s)c o s ()(
过渡过程与接入时刻有关
????
t
imimL eItIti
???? c o s)c o s ()(
)c o s ()(2 imLi tIti ???? ??，＝当
t
i
0
直接进入稳定状态
???
t
mmLi eItIti
??? )c o s ()(0,＝当
出现瞬时电流大于
稳态电流现象
???
t
mmLi eItIti
??? )c o s ()(0,＝当
t
i
0
