9.1 阻抗和导纳
1,阻抗 正弦稳态情况下
I?
Z U?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
zφZI
UZ ??? ||
?
?
定义阻抗
iuz ??? ??
单位,? I
UZ ? 阻抗模
阻抗角
欧姆定律的
相量形式
当无源网络内为单个元件时有,
RIUZ ?? ?
?
LjXLjI
UZ ??? ?
?
?
CjXCjI
UZ ????
1
??
?
I?
R U?
+
-
Z可以是实数，也可以是虚数
I?
C U?
+
-
I?
L U?
+
-
2,RLC串联电路
由 KVL,.,,,,,, 1jj I
CILIRUUUU CLR ?? ??????
IXXjRICLjR CL ?? )]([)]1([ ?????? ?? IjXR ?)??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - + - uR
zZjXRCjLjRI
UZ ?
?
? ???????? 1?
?
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ - + -
RU
,
Z— 复阻抗； R— 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|— 复阻抗的模； ?z — 阻抗角。
转换关系,
a r c t g
| | 22
?
?
?
?
?
?
??
R
X
φ
XRZ
z
或 R=|Z|cos?z
X=|Z|sin?z
阻抗三角形 |Z|
R
X ?
z
iuz
I
U
Z
??? ??
?
分析 R,L,C 串联电路得出,
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠ ?z为复数，故称复阻抗
（ 2） ?L > 1/?C, X>0,? z>0,电路为感性，电压领先电流；
相量图,选电流为参考向量,
三角形 UR, UX, U 称为电压三
角形，它和阻抗三角形相似。即
CU?
I?RU?
LU?
U?
?z UX 22
XR UUU ??
0?i?
,I j? L’
,U
XU
,
R
+
-
+ - + -
RU
,等效电路
?L<1/?C,X<0,?z <0,电路为容性，电压落后电流；
?L=1/?C, X=0,? z=0,电路为电阻性，电压与电流同相。
CU?
I?RU?
LU?U?
?z
UX 22 XR UUU ??
,I
,U XU,
'j
1
C?
R
+
-
+
-
+ -
RU
,
等效电路
CU?
I?UUR ?? ?
LU?
,I
,U R
+
-
+
- RU
,等效电路
例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103
)60s i n (25
4??
??
f
tu ??
求 i,uR,uL,uC,
解 其相量模型为,
V ?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - + - uR
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ - + -
RU
,
A4.31 4 9.0
4.6354.33
605 o
o
o
???
?
???
Z
UI ??
则 A ω o )4.3(s i n2149.0 ?? ti
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
? -3.4°
相量图
V 4.3235.24.3149.015 oo ???????? IRU R ??
V 4.8642.84.3149.0905.56j ooo ???????? ILU L ?? ?
V 4.9395.34.3149.0905.26C1j ooo
?????????? IU C ?? ?
V o )4.3s i n (22 3 5.2 ?? tωu R
V o )6.86s i n (242.8 ?? tωu L
V o )4.93s i n (295.3 ?? tωu C
注
3,导纳 正弦稳态情况下
I?
Y U?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
yφYU
IY ??? ||
?
?
定义导纳
uiy ??? ??
单位,S UIY ? 导纳模
导纳角
ZYYZ
1,1 ??
对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有,
GRUIY ??? 1?
?
LjBLjU
IY ??? /1 ?
?
?
C
jB
Cj
U
I
Y
?
?
?
?
?
?
I?
R U?
+
-
I?
C U?
+
-
I?
L U?
+
-
Y可以是实数，也可以是虚数
4,RLC并联电路
由 KCL,
CLR IIII
????
???
i
L C R u
iL iC +
-
iL
j1j UCU
L
UG ??? ?
?
???
)j1j( UCLG ??? ??? )j([ UBBG CL ???? )j( UBG ???
,I
j? L, U
LI
,
CI
,
Cωj
1
RI
,
R
+
-
yYjBGLjCjGU
IY ?
?
? ???????? 1?
?
Y— 复导纳； G— 电导 (导纳的实部 )； B— 电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|— 复导纳的模； ? y— 导纳角。
转换关系,
a r c t g
| |
22
?
?
?
?
?
?
??
G
B
φ
BGY
y
或 G=|Y|cos? y
B=|Y|sin? y
导纳三角形 |Y|
G
B
? y
uiy
U
I
Y
??? ??
?
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠ ?y 数，故称复导纳；
（ 2） ?C > 1/?L, B>0,?y>0,电路为容性，电流超前电压
相量图：选电压为参考向量,
2222 )(
CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
CI
,
I??
y
LI
,
0??u
分析 R,L,C 并联电路得出,
三角形 IR, IB,I 称为电流三角
形，它和导纳三角形相似。即
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
IB
?C<1/?L, B<0,?y<0,电路为感性，电流落后电压；
2222 )(
CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
LI
,
I?
?y
CI
,
等效电路
,I
,U
BI
,
'j
1
C?
RI
,
R
+
-
?C=1/?L, B=0,? y =0，电路为电阻性,电流与电压同相
U?
IIG ??,
CI
,
等效电路
,I
j? L’, U
BI
,
RI
,
R
+
-
LI
,
等效电路
,I
,U
RI
,
R
+
-
5,复阻抗和复导纳的等效互换
||j zφZXRZ ????
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性，
X>0，则 B<0，即仍为感性。
yφYBGY ????? ||j
BGXR XRXRZY jjj11 22 ????????
2222,XR XBXR RG ?????? zy φ φZY ???,||
1||
注
G jB Y Z R jX
同样，若由 Y变为 Z，则有,
yz
zy
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
???
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
????????
,
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,||j
2222
22G jB Y Z
R
jX
例 RL串联电路如图，求在 ?＝ 106rad/s时的等效并联电路。
解 RL串联电路的阻抗为,
??????? 02.501.786050 jjXRZ L
?????? ? 601006.010 36LX L ? 0.06mH
50?
L’ R’
Sj
Z
Y
0098.00082.0
2.500128.0
2.501.78
11 0
0
??
????
?
??
???? 1220082.0 11 '' GR
mHL 1 0 2.00 0 9 8.0 1' ?? ?
9.2 阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn ???????? ????????? )( 2121
Z
+
-
U?
I?
UZZU ii ?? ?分压公式 ? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
Z1
+
Z2 Zn
－ U?
I?
1,阻抗的串联
? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jBGYY
1 1
)(分流公式 IYYI ii ???
2,导纳的并联
Y1 + Y2 Yn
－ U
?
I?
Y
+
-
U?
I?
YUYYYUIIII nn ???????? ????????? )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为,
21
21
ZZ
ZZZ
??
例 求图示电路的等效阻抗,?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为,
???
??
??
??
?
??
100130
100
)100100(100
30
)(
2
2
1
j
jj
jXRjX
jXRjX
RZ
CL
CL
?????? ? 1 0 010110 35LX L ?
?????? ? 1 0 0101.010 11 65CX C ?
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
例 图示电路对外呈现感性还是容性？ 。
解 1 等效阻抗为,
???
?
?
???
??
?
???
75.45.5
48
1.5325
63
)43(5
)43(5
63
0
j
j
j
j
j
jZ
3?
3?
－ j6?
j4? 5?
解 2 用相量图求解，取电流 2为参考相量,
U?
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
2I?1I
?
I?
2U?
1U?
＋ ＋ ＋
－ －
－
2I?
I?
2U?
1U? U?
例 图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1 ?
U
U
?
?
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
解 设,Z1=R－ jXC,Z2=R//jXC
21
21
ZZ
ZUU
o ??
??
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
?????
?
实数?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
j
j R X
RXjXR
j R X
jXR
jXRj R X
jXR
Z
Z
2222
2
2
1
2
2
)(
)(
CXR ?
3211 ???
oU
U
?
?
1,阻抗 正弦稳态情况下
I?
Z U?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
zφZI
UZ ??? ||
?
?
定义阻抗
iuz ??? ??
单位,? I
UZ ? 阻抗模
阻抗角
欧姆定律的
相量形式
当无源网络内为单个元件时有,
RIUZ ?? ?
?
LjXLjI
UZ ??? ?
?
?
CjXCjI
UZ ????
1
??
?
I?
R U?
+
-
Z可以是实数，也可以是虚数
I?
C U?
+
-
I?
L U?
+
-
2,RLC串联电路
由 KVL,.,,,,,, 1jj I
CILIRUUUU CLR ?? ??????
IXXjRICLjR CL ?? )]([)]1([ ?????? ?? IjXR ?)??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - + - uR
zZjXRCjLjRI
UZ ?
?
? ???????? 1?
?
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ - + -
RU
,
Z— 复阻抗； R— 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|— 复阻抗的模； ?z — 阻抗角。
转换关系,
a r c t g
| | 22
?
?
?
?
?
?
??
R
X
φ
XRZ
z
或 R=|Z|cos?z
X=|Z|sin?z
阻抗三角形 |Z|
R
X ?
z
iuz
I
U
Z
??? ??
?
分析 R,L,C 串联电路得出,
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠ ?z为复数，故称复阻抗
（ 2） ?L > 1/?C, X>0,? z>0,电路为感性，电压领先电流；
相量图,选电流为参考向量,
三角形 UR, UX, U 称为电压三
角形，它和阻抗三角形相似。即
CU?
I?RU?
LU?
U?
?z UX 22
XR UUU ??
0?i?
,I j? L’
,U
XU
,
R
+
-
+ - + -
RU
,等效电路
?L<1/?C,X<0,?z <0,电路为容性，电压落后电流；
?L=1/?C, X=0,? z=0,电路为电阻性，电压与电流同相。
CU?
I?RU?
LU?U?
?z
UX 22 XR UUU ??
,I
,U XU,
'j
1
C?
R
+
-
+
-
+ -
RU
,
等效电路
CU?
I?UUR ?? ?
LU?
,I
,U R
+
-
+
- RU
,等效电路
例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103
)60s i n (25
4??
??
f
tu ??
求 i,uR,uL,uC,
解 其相量模型为,
V ?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - + - uR
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ - + -
RU
,
A4.31 4 9.0
4.6354.33
605 o
o
o
???
?
???
Z
UI ??
则 A ω o )4.3(s i n2149.0 ?? ti
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
? -3.4°
相量图
V 4.3235.24.3149.015 oo ???????? IRU R ??
V 4.8642.84.3149.0905.56j ooo ???????? ILU L ?? ?
V 4.9395.34.3149.0905.26C1j ooo
?????????? IU C ?? ?
V o )4.3s i n (22 3 5.2 ?? tωu R
V o )6.86s i n (242.8 ?? tωu L
V o )4.93s i n (295.3 ?? tωu C
注
3,导纳 正弦稳态情况下
I?
Y U?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
yφYU
IY ??? ||
?
?
定义导纳
uiy ??? ??
单位,S UIY ? 导纳模
导纳角
ZYYZ
1,1 ??
对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有,
GRUIY ??? 1?
?
LjBLjU
IY ??? /1 ?
?
?
C
jB
Cj
U
I
Y
?
?
?
?
?
?
I?
R U?
+
-
I?
C U?
+
-
I?
L U?
+
-
Y可以是实数，也可以是虚数
4,RLC并联电路
由 KCL,
CLR IIII
????
???
i
L C R u
iL iC +
-
iL
j1j UCU
L
UG ??? ?
?
???
)j1j( UCLG ??? ??? )j([ UBBG CL ???? )j( UBG ???
,I
j? L, U
LI
,
CI
,
Cωj
1
RI
,
R
+
-
yYjBGLjCjGU
IY ?
?
? ???????? 1?
?
Y— 复导纳； G— 电导 (导纳的实部 )； B— 电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|— 复导纳的模； ? y— 导纳角。
转换关系,
a r c t g
| |
22
?
?
?
?
?
?
??
G
B
φ
BGY
y
或 G=|Y|cos? y
B=|Y|sin? y
导纳三角形 |Y|
G
B
? y
uiy
U
I
Y
??? ??
?
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠ ?y 数，故称复导纳；
（ 2） ?C > 1/?L, B>0,?y>0,电路为容性，电流超前电压
相量图：选电压为参考向量,
2222 )(
CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
CI
,
I??
y
LI
,
0??u
分析 R,L,C 并联电路得出,
三角形 IR, IB,I 称为电流三角
形，它和导纳三角形相似。即
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
IB
?C<1/?L, B<0,?y<0,电路为感性，电流落后电压；
2222 )(
CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
LI
,
I?
?y
CI
,
等效电路
,I
,U
BI
,
'j
1
C?
RI
,
R
+
-
?C=1/?L, B=0,? y =0，电路为电阻性,电流与电压同相
U?
IIG ??,
CI
,
等效电路
,I
j? L’, U
BI
,
RI
,
R
+
-
LI
,
等效电路
,I
,U
RI
,
R
+
-
5,复阻抗和复导纳的等效互换
||j zφZXRZ ????
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性，
X>0，则 B<0，即仍为感性。
yφYBGY ????? ||j
BGXR XRXRZY jjj11 22 ????????
2222,XR XBXR RG ?????? zy φ φZY ???,||
1||
注
G jB Y Z R jX
同样，若由 Y变为 Z，则有,
yz
zy
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
???
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
????????
,
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,||j
2222
22G jB Y Z
R
jX
例 RL串联电路如图，求在 ?＝ 106rad/s时的等效并联电路。
解 RL串联电路的阻抗为,
??????? 02.501.786050 jjXRZ L
?????? ? 601006.010 36LX L ? 0.06mH
50?
L’ R’
Sj
Z
Y
0098.00082.0
2.500128.0
2.501.78
11 0
0
??
????
?
??
???? 1220082.0 11 '' GR
mHL 1 0 2.00 0 9 8.0 1' ?? ?
9.2 阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn ???????? ????????? )( 2121
Z
+
-
U?
I?
UZZU ii ?? ?分压公式 ? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
Z1
+
Z2 Zn
－ U?
I?
1,阻抗的串联
? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jBGYY
1 1
)(分流公式 IYYI ii ???
2,导纳的并联
Y1 + Y2 Yn
－ U
?
I?
Y
+
-
U?
I?
YUYYYUIIII nn ???????? ????????? )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为,
21
21
ZZ
ZZZ
??
例 求图示电路的等效阻抗,?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为,
???
??
??
??
?
??
100130
100
)100100(100
30
)(
2
2
1
j
jj
jXRjX
jXRjX
RZ
CL
CL
?????? ? 1 0 010110 35LX L ?
?????? ? 1 0 0101.010 11 65CX C ?
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
例 图示电路对外呈现感性还是容性？ 。
解 1 等效阻抗为,
???
?
?
???
??
?
???
75.45.5
48
1.5325
63
)43(5
)43(5
63
0
j
j
j
j
j
jZ
3?
3?
－ j6?
j4? 5?
解 2 用相量图求解，取电流 2为参考相量,
U?
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
2I?1I
?
I?
2U?
1U?
＋ ＋ ＋
－ －
－
2I?
I?
2U?
1U? U?
例 图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1 ?
U
U
?
?
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
解 设,Z1=R－ jXC,Z2=R//jXC
21
21
ZZ
ZUU
o ??
??
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
?????
?
实数?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
j
j R X
RXjXR
j R X
jXR
jXRj R X
jXR
Z
Z
2222
2
2
1
2
2
)(
)(
CXR ?
3211 ???
oU
U
?
?
