主要内容,
1、结点电压法
2、结点电压法的应用
课题：结 点 电 压 法
(node voltage method)
一、结点电压法
1、方法描述
在图 示 电路中，若选结点 0
为参考结点（地电位），电路中
其它结点相对于参考节点的电位
差（电压）称为结点电压。如图
中 Un1,Un2,Un3。
2、节点电压的概念
① ③ ②
0
以结点电压为变量列写方程求解电路的方法
称为结点电压法，简称结点法。
3、节点电压的特性
（ 1） 结 点电压自动满足 KVL方程
注意到 KVL实质上是电压的单值性定理,即电路
中任意两点间的电压值与绕行的路径无关,即不论沿
哪个回路来编写 KVL方程，所得的结果都是一致的。
因此，当定义,
un1 = u10；
un2 = u20；
un3 = u30
后，就勿需再列 KVL方程了，即 un1, un2, un3不受
KVL方程的约束,——自动满足 KVL方程。从这个意
义上讲，我们说 结 点电压是一组独立的变量集。
任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即
是结点电压 (位 ),方向为从独立结点指向参考结点 。
(uni-unj)+unj-uni=0
KVL自动满足
例如,
uab=uni-unj
uni u
nj
即支路电压等于连接的两个结点电压之差。 就是说，
只要结点电压可以求出，则支路电压就可以求出，电路的其
它量就可求，由此可知,
（ 2） n个结点电路的 (n – 1)个结点电压是完备的独立变量集合
又,uab= uni - unj
4,方程的列写
iS1
uS
iS3
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
(1) 选定参考结点, 标明其余 n-1个独立结点的电压
1 3
2
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
1 3
2
(2) 列 KCL方程,
? iR出 =? iS入
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
把支路电流用结点电压表示,
S2S1
n2n1n1 ii
R
uu
R
u ????
21
0
432
?????? RuR uuR uu n2n3n2n2n1
-i3+i5=－ iS2
2
53
S
S i
R
uu
R
uu ?????? n3n3n2
整理，得,
S2S1n2n1 )( )( iiuRuRR ????
221
111
011111 3
3
2
4322
?????? nuRuRRRuR nn1 )(
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为,
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5533
111
R
uiu
RRuR
S??????
S2n3n2 )()(
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点
电压方程
等效电
流源
其
中
G11=G1+G2 结 点 1的自电导, 等于接在结 点 1上所 有
支路的电导之和 。
G22=G2+G3+G4 结 点 2的自电导, 等于接在 结 点 2上所有
支路的电导之和 。
G12= G21 =-G2 结 点 1与 结 点 2之间的互电导, 等于接在
结 点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之
和, 为负值 。
自电导总为正，互电导总为负。
G33=G3+G5 结 点 3的自电导, 等于接在 结 点 3上所有
支路的电导之和 。
G23= G32 =-G3 结 点 2与 结 点 3之间的互电导, 等于接在 结
点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之和,
为负值 。
iSn2=-iS2＋ uS/R5 流入 结 点 2的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入结点 1的电流源电流的代数和 。
流入结点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
ui ?
4
n2
R
ui ?
4
3
n3n2
R
uui ??
3
2
n2n1
R
uui ??
2
5
S
R
uui n ?? 3
5
由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电
压, 各支路电流可用结点电压表示,
一
般
情
况
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
? ? ? ?
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导, 等于接在 结 点 i上所有支路的电导之和
(包括电压源与电阻串联支路 )。 总为正 。
当电路不含受控源时, 系数矩阵为对称阵 。
iSni — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 (包括
由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导, 等于接在 结 点 i与 结 点 j之间的所
支路的电导之和, 总为 负 。
结点法的一般步骤,
(1) 选定参考结点，标定 n-1个独立结点；
(2) 对 n-1个独立结点, 以结点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
试列写电路的节点电压方程。
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=USGS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例
1,无伴电压源支路的处理
（ 1）以电压源电流为变量，增
补结点电压与电压源间的关系
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
GS
3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2 +
_
3
1
2
二、结点电压法的应用举例
I
(G1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US
看
成
电
流
源
增补方程
（ 2） 选择合适的参考点
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
Us G3
G1
G4 G5
G2
+
_
3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2 +
_
3
1
2
2、受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立
电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。
(1)先 把受控源当作独立
源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
S1)( iuRuRR nn ??? 2
1
1
21
111
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iuguRRuR ??????
例
12 nR uu ?
iS1
R1 R3
R2
gmuR2 + uR2 _
2
1
(1)设参考点,把
受控源当作独
立源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
3S13
4
1
1
2
421
11)111( guiu
RuRuRRR nnn ???????
5
33
534
2
4
1
5
)111(11 RuguuRRRuRuR Snnn ????????
例
22
33
Rui
uu
n
n
??
??
2
1 3
iS1
R1
R4
R3
gu3
+ u3 _
R2
+ － r i
i
R5 + uS _
解
riu n ?1
例 列写电路的结点电压方程。
1V
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
2? 3?
2?
1?
5?
3?
4V
U
4U
3A
3
1
2
Vu n 41 ?
5
415.0)
23
15.01(
321
Uuuu
nnn ?????????
Auu nn 3205050 32 ???? )..(.
注,与电流源串接的
电阻不参与列方程
增补方程,
U = Un3
例 求 U和 I 。
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I
解 1 应用结点法。
3 1 2
Vu n 1001 ?
Vu n 2 1 01 1 01 0 02 ???
205050 321 ???? nnn uuu,.
Vu n 1 7 51 0 550203 ????
VuU n 1 9 52013 ????
AuI n 1 2 01902 ????? /)(
解得,
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1?
100V
20A
110V
＋
－
U
I 解 2 应用回路法。
1
2
3
201 ?i
12012 ?? ii
41 5 0
1 1 042
3
31
/??
???
i
ii
12021 ????? )( iiI
ViU 1 9 52011 0 02 3 ?????
解得,
小结,
1、结点法的方程是按 KCL列出的
2、若电流源支路串联有电阻元件时
3、当其中一条支路为无伴电流源时
4、当其中一条支路含有受控源时
作业,
3-12
3-15（ b）
3-18（ a）
3-20
3-21
1、结点电压法
2、结点电压法的应用
课题：结 点 电 压 法
(node voltage method)
一、结点电压法
1、方法描述
在图 示 电路中，若选结点 0
为参考结点（地电位），电路中
其它结点相对于参考节点的电位
差（电压）称为结点电压。如图
中 Un1,Un2,Un3。
2、节点电压的概念
① ③ ②
0
以结点电压为变量列写方程求解电路的方法
称为结点电压法，简称结点法。
3、节点电压的特性
（ 1） 结 点电压自动满足 KVL方程
注意到 KVL实质上是电压的单值性定理,即电路
中任意两点间的电压值与绕行的路径无关,即不论沿
哪个回路来编写 KVL方程，所得的结果都是一致的。
因此，当定义,
un1 = u10；
un2 = u20；
un3 = u30
后，就勿需再列 KVL方程了，即 un1, un2, un3不受
KVL方程的约束,——自动满足 KVL方程。从这个意
义上讲，我们说 结 点电压是一组独立的变量集。
任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即
是结点电压 (位 ),方向为从独立结点指向参考结点 。
(uni-unj)+unj-uni=0
KVL自动满足
例如,
uab=uni-unj
uni u
nj
即支路电压等于连接的两个结点电压之差。 就是说，
只要结点电压可以求出，则支路电压就可以求出，电路的其
它量就可求，由此可知,
（ 2） n个结点电路的 (n – 1)个结点电压是完备的独立变量集合
又,uab= uni - unj
4,方程的列写
iS1
uS
iS3
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
(1) 选定参考结点, 标明其余 n-1个独立结点的电压
1 3
2
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
1 3
2
(2) 列 KCL方程,
? iR出 =? iS入
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
把支路电流用结点电压表示,
S2S1
n2n1n1 ii
R
uu
R
u ????
21
0
432
?????? RuR uuR uu n2n3n2n2n1
-i3+i5=－ iS2
2
53
S
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R
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整理，得,
S2S1n2n1 )( )( iiuRuRR ????
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111
011111 3
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2
4322
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令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为,
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5533
111
R
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S??????
S2n3n2 )()(
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点
电压方程
等效电
流源
其
中
G11=G1+G2 结 点 1的自电导, 等于接在结 点 1上所 有
支路的电导之和 。
G22=G2+G3+G4 结 点 2的自电导, 等于接在 结 点 2上所有
支路的电导之和 。
G12= G21 =-G2 结 点 1与 结 点 2之间的互电导, 等于接在
结 点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之
和, 为负值 。
自电导总为正，互电导总为负。
G33=G3+G5 结 点 3的自电导, 等于接在 结 点 3上所有
支路的电导之和 。
G23= G32 =-G3 结 点 2与 结 点 3之间的互电导, 等于接在 结
点 1与 结 点 2之间的所有支路的电导之和,
为负值 。
iSn2=-iS2＋ uS/R5 流入 结 点 2的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入结点 1的电流源电流的代数和 。
流入结点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
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3
2
n2n1
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5
S
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5
由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电
压, 各支路电流可用结点电压表示,
一
般
情
况
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
? ? ? ?
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
其中 Gii —自电导, 等于接在 结 点 i上所有支路的电导之和
(包括电压源与电阻串联支路 )。 总为正 。
当电路不含受控源时, 系数矩阵为对称阵 。
iSni — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 (包括
由 电压源与电阻串联支路等效的电流源 )。
Gij = Gji—互电导, 等于接在 结 点 i与 结 点 j之间的所
支路的电导之和, 总为 负 。
结点法的一般步骤,
(1) 选定参考结点，标定 n-1个独立结点；
(2) 对 n-1个独立结点, 以结点电压为未知量,
列写其 KCL方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 结点电压 表示 )；
试列写电路的节点电压方程。
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=USGS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例
1,无伴电压源支路的处理
（ 1）以电压源电流为变量，增
补结点电压与电压源间的关系
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
GS
3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2 +
_
3
1
2
二、结点电压法的应用举例
I
(G1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US
看
成
电
流
源
增补方程
（ 2） 选择合适的参考点
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
Us G3
G1
G4 G5
G2
+
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3
1
2
Us G3
G1
G4 G5
G2 +
_
3
1
2
2、受控电源支路的处理
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立
电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。
(1)先 把受控源当作独立
源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
S1)( iuRuRR nn ??? 2
1
1
21
111
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iuguRRuR ??????
例
12 nR uu ?
iS1
R1 R3
R2
gmuR2 + uR2 _
2
1
(1)设参考点,把
受控源当作独
立源列方程；
(2) 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程。
3S13
4
1
1
2
421
11)111( guiu
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5
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2
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1
5
)111(11 RuguuRRRuRuR Snnn ????????
例
22
33
Rui
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n
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2
1 3
iS1
R1
R4
R3
gu3
+ u3 _
R2
+ － r i
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R5 + uS _
解
riu n ?1
例 列写电路的结点电压方程。
1V
＋
＋
＋
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－
－
－
－
2? 3?
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3A
3
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2
Vu n 41 ?
5
415.0)
23
15.01(
321
Uuuu
nnn ?????????
Auu nn 3205050 32 ???? )..(.
注,与电流源串接的
电阻不参与列方程
增补方程,
U = Un3
例 求 U和 I 。
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
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20A
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解 1 应用结点法。
3 1 2
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Vu n 1 7 51 0 550203 ????
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解得,
90V
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I 解 2 应用回路法。
1
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41 5 0
1 1 042
3
31
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ViU 1 9 52011 0 02 3 ?????
解得,
小结,
1、结点法的方程是按 KCL列出的
2、若电流源支路串联有电阻元件时
3、当其中一条支路为无伴电流源时
4、当其中一条支路含有受控源时
作业,
3-12
3-15（ b）
3-18（ a）
3-20
3-21
