第七章 单方程计量经济学应用模型
生产函数模型
需求函数模型
消费函数模型
投资函数模型
货币需求模型
教学基本要求
本章是课程的重点内容之一。通过教学,要求达到:
? 了解(最低要求):常用的生产函数模型、需求
函数模型、消费函数模型的理论模型和估计方法;
在中国建立与应用生产函数模型、需求函数模型、
消费函数模型过程中实际问题的处理。
? 掌握(较高要求):常用的生产函数模型、需求
函数模型、消费函数模型的理论模型是如何提出
与发展的;在实践中自己提出与发展新的模型的
方法论基础;其它常用的单方程模型,例如投资
函数模型和货币需求函数模型的建模思路。
? 应用(对应用能力的要求):分别选择一个研究
对象,建立中国的实际模型。例如某个行业的生
产函数模型、某种商品的需求函数模型、某类消
费者的消费函数模型。
§ 7.1 生产函数模型 (Production
Function Models,P.F.)
? 几个重要概念
? 以要素之间替代性质的描述为线索的生
产函数模型的发展
? 以技术要素的描述为线索的生产函数模
型的发展
? 几个重要生产函数模型的参数估计方法
? 生产函数模型在技术进步分析中的应用
? 建立生产函数模型中的数据质量问题
一、几个重要概念
⒈ 生产函数
⑴ 定义
? 描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它
可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。
Y f A K L? (,,,)?
?投入的生产要素
?最大产出量
⑵ 生产函数模型的发展
? 从 20年代末,美国数学家 Charles Cobb和经济学家
Paul Dauglas提出了生产函数这一名词,并用 1899-
1922年的数据资料,导出了著名的 Cobb-Dauglas生
产函数。
? 1928年 Cobb,Dauglas C-D生产函数
1937年 Dauglas,Durand C-D生产函数的改进型
1957年 Solow C-D生产函数的改进型
1960年 Solow 含体现型技术进步生产
函数
1967年 Arrow等 两要素 CES生产函数
1967年 Sato 二级 CES生产函数
1968年 Sato,Hoffman VES生产函数
1968年 Aigner,Chu 边界生产函数
1971年 Revanker VES生产函数
1973年 Christensen,Jorgenson 超越对数
生产函数
1980年 三级 CES生产函数
⑶ 生产函数是经验的产物
? 生产函数是在西方国家发展起来的,作为西方经济
学理论体系的一部分,与特定的生产理论与环境相
联系。
? 西方国家发展的生产函数模型可以被我们所应用:
生产函数反应的是生产中投入要素与产出量之间的
技术关系;
生产函数模型的形式是经验的产物;
不能照搬。
⒉ 要素产出弹性 ( Elasticity of Output)
⑴ 要素的产出弹性
? 某投入要素的产出弹性被定义为,当其它投入要
素不变时,该要素增加 1%所引起的产出量的变化
率。
E YY KK fK KYK ? ?? ? ??
E YY LL fL LYL ? ?? ? ??
? 要素产出弹性的数值区间?为什么?
⑵ 规模报酬
? 所有要素的产出弹性之和
? 规模报酬不变
? 规模报酬递增
? 规模报酬递减
? 为什么经常将规模报酬不变作为生产函数必须满足
的条件?
⒊ 要素替代弹性 ( Elasticity of Substitution)
⑴ 要素的边际产量 (Marginal Product)
? 其它条件不变时,某一种投入要素增加一个单位
时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对
产出量的影响程度。
MP f K
MP f L
K
L
?
?
? ?
? ?
/
/
?
? 边际产量不为负。
MP MPK L? ?0 0,,?
?
?
?
?
( )MP
K
f
K
K ? ?
2
2 0
?
?
?
?
( )MP
L
f
L
L ? ?
2
2 0
? 边际产量递减 。
⑵ 要素的边际替代率
(Marginal Rate of Substitution)
? 当两种要素可以互相替代时,就可以采用不同的
要素组合生产相同数量的产出量。要素的边际替
代率指的是在产量一定的情况下,某一种要素的
增加与另一种要素的减少之间的比例。
M R S K LK L? ? ? ?/
? 要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之
比。
M R S MP MP
M R S MP MP
K L L K
L K K L
?
?
?
?
/
/
? 从生产函数可以求得要素的边际产量和要素的边
际替代率。
⑶ 要素替代弹性
? 要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与
边际替代率的变化率之比。
? ? d K LK L d MP MPMP MPL K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
? 要素替代弹性是描述生产行为的重要参数,求得
要素替代弹性是生产函数的重要应用。
? 要素替代弹性不为负。
? 特殊情况:要素替代弹性为 0、要素替代弹性为 ∞。
⒋ 技术进步
⑴ 广义技术进步与狭义技术进步
? 所谓狭义技术进步,仅指要素质量的提高。
? 狭义的技术进步是体现在要素上的,它可以通过
要素的“等价数量”来表示。
? 求得“等价数量”,作为生产函数模型的样本观
测值,以这样的方法来引入技术进步因素。
? 所谓广义技术进步,除了要素质量的提高外,还
包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的
因素,这些因素是独立于要素之外的。
? 在生产函数模型中需要特别处理广义技术进步。
⑵ 中性技术进步
? 假设在生产活动中除了技术以外,只有资本与劳
动两种要素,定义两要素的产出弹性之比为相对
资本密集度,用 ω表示。即
? ? E EL K/
? 如果技术进步使得 ω越来越大,即劳动的产出弹
性比资本的产出弹性增长得快,则称之为 节约劳
动型技术进步 ;如果技术进步使得 ω越来越小,
即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢,
则称之为 节约资本型技术进步 ;如果技术进步前
后 ω不变,即劳动的产出弹性与资本的产出弹性
同步增长,则称之为 中性技术进步 。
? 在中性技术进步中,如果要素之比不随时间变化,
则称为 希克斯中性 技术进步;如果劳动产出率不
随时间变化,则称为 索洛中性 技术进步;如果资
本产出率不随时间变化,则称为 哈罗德中性 技术
进步。
二、以要素之间替代性质的描述为
线索的生产函数模型的发展
⒈ 线性生产函数模型 (Linear P.F.)
Y K L? ? ?? ? ?0 1 2
? ? d K LK L d MP MPMP MPL K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
? ? ?
?为什么?
?如果选择线性生产函数,就意味着承认什么假设?
⒉ 投入产出生产函数模型 (Input-Output P.F.)
? 为什么?
? 如果选择投入产出生产函数,就意味着承认什么
假设?
Y Ka Lb? m in(,)
? ? 0
⒊ C-D生产函数模型
Y AK L? ? ?
E
Y
K
K
Y
A K L
Y
KK
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?
?
? ?? ?1
E
Y
L
L
Y
AK L
Y
LL
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?
?
? ?? ? 1
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d K L
K L
d MP MP
MP MP
L K
L K
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( / )
( / )
( / )
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d
K
L
d
MP
MP
d
K
L
d
K
L
d
K
L
d
K
L
L
K
(l n ( )) (l n ( ))
(l n ( )) (l n ( ))
(l n ( )) (l n ( ) l n ( ))
?
?
?
?
1
? 在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象
变化?是否合理?为什么?
? 在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间
变化?是否合理?为什么?
? 在 C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变
化?是否合理?为什么?
? C-D生产函数中每个参数的数值范围是什么?为什
么?
⒋ CES生产函数模型 (Constant Elasticity
0f Substitution)
??? ??
m
LKAY ??? ?? )( 21
? ?
d K L
K L
d MP MP
MP MP
L K
L K
( / )
( / )
( / )
( / )
? d KL d MPMP L
K
( l n ( )) ( l n ( ))
? ?11 ?
? 替代弹性的推导过程?(独立推导一遍)
? 在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象
变化?是否合理?为什么?
? 在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间
变化?是否合理?为什么?
? 在 CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变
化?是否合理?为什么?
? CES生产函数中每个参数的数值范围是什么?为什
么?
⒌ VES生产函数模型 (Variable Elasticity
0f Substitution)
⑴ 1968年 Sato和 Hoffman
假定
得到
? ?? ? ? ?( )t a b t
Y B L K
t
t
t
t
t
t? ? ?
? ?
?( ( ) )
( )
( )
( )
( )
( )
( )? ?
?
?
?
?
?
?
1 1
11
?与 CES有什么联系与区别?
⑵ 1971年 Revankar
假定
其中
? ? ? ?a b
K
L
Z A
dk
k c
k
a bk
a
?
?
?
?e x p
( ) 1
Z Y L k K L? ?,
? 当 b=0时,
Y
L
A
dk
k c
k
a
a
?
?
?e x p
( ) 1
?
?
?
?
?
?A
a
a
k
c
a
k
a
a
a
a
a
e x p ( ln )
1
1
1
1
1 ?
1 ? ? ? ?a
a Ae A?
?,
Y
L A
a ck
a k
a
a? ?
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( )
1
1
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?A a k ca( )1 1? ?

Y A a KL c La? ? ? ? ?? ?( ( ) )1
1?
?
? ? ? ?? ? ?A a K cLa( )1 1? ? ?
?退化为 CES模型。为什么?
? 当 b=0,a=1时,
Y
L A
dk
k c? ??e x p ( )1
? ? ? ? ? ?A kc A k ce x p ( ln )1
1
1
Y A K L L A K Lc c c
c
c? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
1
1
1
1
1
1 1
? 退化为 C-D生产函数。为什么?
? 当 a=1时,
? ? ?1 bk
Y AK L
b
c
Kc
c
c? ?
?
? ?
1
1 1
1
( ( ) )
Y AK L
b
c
Kc
m
c
c
m
? ?
?
? ?
( ) ( )
( ( ) )
1
1 1
1
?为什么是“变替代弹性”?
为实际应用的 VES生产函数。
⒍ 超越对数生产函数模型 (Translog P.F.)
? 如果,表现为何种时常函数?
? 如果,表现为何种时常函数?
LKL
KLKY
KLLL
KKLK
lnln)( ln
)( lnlnlnln
2
2
0
???
????
??
????
? ? ?KK LL KL? ? ? 0
? ? ?KK LL KL? ? ? 12
⒎ 多要素生产函数模型
⑴ 多要素线性生产函数模型
Y K L E? ? ? ?? ? ? ?0 1 2 3
⑵ 多要素投入产出生产函数模型
Y
K
a
L
b
E
c? m i n (,,)
⑶ 多要素 C-D生产函数模型
Y AK L E? ? ? ?
⑷ 多要素一级 CES生产函数模型
Y A K L E m? ? ?? ? ? ?( )? ? ?? ? ? ?1 2 3 1
? 要素之间的替代弹性是否相同?是多大?为什么?
⑸ 多要素二级 CES生产函数模型
Y a K a E
Y A b Y b L
KE
KE
m
? ?
? ?
? ? ?
? ? ?
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1
1? ?
? ?
?
?
?要素之间的替代弹性是否相同?是多大?为什么?
⑹ 多要素三级 CES生产函数模型
三、以技术进步的描述为线索的生产函
数模型的发展
⒈ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数
模型
Y AK L? ? ?
??? ??
m
LKAY ??? ?? )( 21
Z A
dk
k c
k
a bk
a
?
?
?
?e x p
( ) 1
⒉ 改进的 C-D生产函数模型
? 参数的经济意义是什么?
? 关于技术进步的假设是什么?为什么?
Y A t K L? ( ) ? ?
Y A K Lt? ?0 1( )? ? ?
Y A e K Lt? 0 ? ? ?
⒊ 改进的 CES生产函数模型
? 关于技术进步的假设是什么?为什么?
Y A K Lt m? ? ?? ? ?0 1 21 1( ) ( )? ? ?? ? ?
Y A e K Lt m? ?? ? ?0 1 2 1? ? ?? ? ?( )
⒋ 含体现型技术进步的生产函数模型
⑴ 总量增长方程
? ? ? ?Y
Y
A
A
K
K
L
L? ? ?? ?
⑵ 分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型
Y A J Lt t t t? ? ? ? J K
t mt
m
t
m? ?
?
?
0
1( )?
? ?
?
J
J
K
K a? ? ? ?? ?
? ?
?
? ?Y
Y
A
A
a
K
K
L
L
?
?
?
? ? ? ?? ? ? ?( )
⑶ 分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型
)(
)(
L
L
b
K
K
a
A
A
Y
Y
?
????
?
????
??
???
?
?
???
???
⒌ 引入人力资本的生产函数模型
? Lucas( 1988)为了解决技术内生问题,提出人力
资本的概念,Romer等人( 1992)提出包括人力资
本的生产函数模型
⒍ 边界生产函数模型
⑴ 确定性边界生产函数
Y f K L e u? ?(,,)? ( )u ? 0
Y f K L e f K L e ev u v u? ?? ?(,,) ( (,,) )? ?
⑵ 随机边界生产函数
四、几个重要生产函数模型的参数
估计方法
⒈ C-D生产函数模型及其改进型的估计
⑴ 线性估计方法
⑵非线性估计方法
Y AK L? ? ? ?
Y AK L? ?? ? ?
? 能否线性化,与假设有关。哪个方法更合理?
⒉ CES生产函数模型及其改进型的估计
? 假设?
? 误差?
??? ??? mLKAY ??? ?? )( 21
ln ln l n ( )Y A K Lm? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?1 2
ln ln ln ln (l n ( ))Y A m K m L m KL? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 12 1 2 2
Z X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 2 2 3 3
⒊ VES生产函数的估计
Y AK L b c Kc m
c
c m? ?
? ?
? ?( ) ( )( ( ) )
1
1 1
1 ?
ln ln ln l n ( )Y A m c K cm c L b c K? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 ?
l n ( ) l n ( ) ( )L b c K L K Z? ? ? ? ? ?1 ? ?
Z L KL( ) ln ( )? ? ?? ? ? ? 0
ln ln ln ln ( )Y A m c K cm c L c m bc KL? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 ?
Z X X X? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 2 2 3 3
⒋ 二级 CES生产函数模型的估计
? 二级 CES生产函数为:
Y a K a E
Y A b Y b L
KE
KE
m
? ?
? ?
? ? ?
? ? ?
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1
1? ?
? ?
?
?
? 由第 2级函数展开取近似,得到:
ln ln ln ln ( ln ( ))Y A b m Y b m L mb b Y LKE KE? ? ? ? ?1 2 12 1 2 2? ?
? 由第 1级函数展开取近似,得到:
ln ln ln ( ln ( ))Y a K a E a a KEKE ? ? ?1 2 12 1 1 2 2?
? 代入前式,得到:
??? ???
????
2
212
12
21112
1
22111
))( ln ())( ln (
lnlnlnlnln
L
K
bbm
E
K
aamb
LmbEmabKmabAY
Z X X X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
? 代入后的式中有多个二次项,应该选择多少项?
为什么?
? 是否造成估计结果的任意性?
⒌ 含体现型技术进步生产函数模型的估计
? 估计的生产函数为:
? ? ? ? ?Y
Y
A
A a
K
K
L
L?
?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( )
? 直接作为线性模型估计:
Z X Xt t t t? ? ? ?? ? ? ?0 1 2
? 关键是如何得到 X1t的样本观测值
⒍ 确定性统计边界生产函数模型的修正的普
通最小二乘估计( Corrected OLS,COLS)
? 采用 C-D生产函数形式:
? 其中实质上的边界生产函数为:
为理论上的最大产出量。
Y f K L e u? ?(,,)?
Y AK L e u? ?? ? ( )u ? 0
ln ln ln lnY A K L u? ? ? ?? ?
ln ln ln ln? ? ? ?Y A K L? ?
?Y

作为 的值,代入得到。于是所要求的边界生产函数为:
边界生产函数即是平均生产函数向上平移了 。
ln ( ) ln ln ( )Y a K L u? ? ? ? ? ?? ? ? ?
ln ? ( ?) ? ln ? lnY a K L? ? ? ?? ? ?
? ( ?) ?a a? ? ?? ?
))ln?ln?
)?((( l n)?ln( l n
ii
iii
LK
aYM a xYYM a x
??
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??
????
? ? ? ?? ?Y e K La ? ?
??
??
五、生产函数模型应用一例:生产函数
模型在技术进步分析中的应用
⒈ 从纵向研究技术进步:测算技术进步速度
及其对经济增长的贡献
⑴ 技术进步速度的测定
? 从生产函数模型求得要素的产出弹性
? 计算产出和各种要素的平均增长速度
? 利用增长方程计算技术进步速度
⑵ 技术进步对增长贡献 的测定
⑶实例
⒉ 从横向研究技术进步:部门之间、企业之
间技术进步水平的比较分析
⑴ 建立并估计某行业的企业确定性统计边界生产函
数模型
⑵ 确定技术效率为 1的企业
⑶ 计算每个企业的技术效率
⑷ 实例
六、建立生产函数模型过程中的问题一
例:数据质量问题
⒈ 样本数据的一致性问题
? 一致性问题在生产函数模型中的具体体现
? 为什么建立某个行业的生产函数模型必须采用时
间序列数据?
? 为什么建立某个行业的企业生产函数模型必须采
用截面数据?
? 为什么建立某个特定企业的生产函数模型必须采
用时间序列数据?
⒉ 样本数据的准确性问题
? 样本数据的准确性的两层含义
? 什么样的要素投入量数据才是“准确”的?
? 用部分的数据代替全体的数据必须满足什么假设?
⒊ 样本数据的可比性问题
? 可比性的极端重要性
? 如何才能保证产出量数据的可比性?
? 如何才能保证资本投入量数据的可比性?