单方程计量经济学模型
理论与方法
Theory and Methodology of Single-
Equation Econometric Model
第二章 经典单方程计量经济学模型：
一元线性回归模型
? 回归分析概述
? 一元线性回归模型的参数估计
? 一元线性回归模型检验
? 一元线性回归模型预测
? 实例
§ 2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
二、总体回归函数
三、随机扰动项
四、样本回归函数（ SRF）
§ 2.1 回归分析概述
（ 1） 确定性关系 或 函数关系, 研究的是
确定现象非随机变量间的关系 。
（ 2） 统计依赖 或 相关关系,研究的是非确
定现象随机变量间的关系 。
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
1、变量间的关系
经济变量之间的关系，大体可分为两类：
对变量间 统计依赖关系 的考察主要是通过 相关分析 (correlation
analysis)或 回归分析 (regression analysis)来完成的：
? ? 2,半径半径圆面积 ??? ??f
? ?施肥量阳光降雨量气温农作物产量,,,f?
正相关
线性相关 不相关 相关系数：
统计依赖关系 负相关 11 ??? XY? 有因果关系 回归分析
正相关 无因果关系 相关分析
非线性相关 不相关
负相关
例如,
函数关系：
统计依赖关系 /统计相关关系：
① 不线性相关并不意味着不相关；
② 有相关关系并不意味着一定有因果关系；
③ 回归分析 /相关分析 研究一个变量对另一个
（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定
有因果关系。
④ 相关分析 对称地对待任何（两个）变量，两个
变量都被看作是随机的。 回归分析 对变量的处理方法
存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变
量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
▲ 注意：
回归分析 (regression analysis)是研究一个变量关于另一个
（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论 。
其用意, 在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预
测前者的（总体）均值 。
这里,前一个变量被称为 被解释变量 （ Explained Variable）
或 应变量 （ Dependent Variable）,后一个（些）变量被称为 解
释变量 （ Explanatory Variable） 或 自变量 （ Independent
Variable） 。
2、回归分析的基本概念
回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：
（ 1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得 回
归方程；
（ 2） 对回归方程、参数估计值进行显著性检验；
（ 3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
由于变量间关系的随机性,回归分析 关心的是根
据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体
均值,即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关
的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
例 2.1,一个假想的社区有 100户家庭组成，要研
究该社区每月 家庭消费支出 Y与每月 家庭可支配收
入 X的关系。
即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区
家庭的平均月消费支出水平。
二、总体回归函数
为达到此目的，将该 100户家庭划分为组内收入差
不多的 10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。
表 2, 1, 1 某社区家庭每月收入 与消费支出统计表
每月家庭可支配收入 X （ 元 ）
800 1 1 0 0 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500
561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299
594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321
627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046 2178 2530
638 847 979 1 1 5 5 1397 1595 1804 2068 2266 2629
935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 28 60
968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871
1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552
1 1 2 2 1298 1496 1716 1969 2244 2585
1 1 5 5 1331 1562 1749 2013 2299 2640
1 1 8 8 1364 1573 1771 2035 2310
1210 1408 1606 1804 2101
1430 1650 187 0 2 1 1 2
1485 1716 1947 2200
每
月
家
庭
消
费
支
出
Y
（元）
2002
共计 2420 4950 1 1 4 9 5 1 6 4 4 5 1 9 3 0 5 2 3 8 7 0 2 5 0 2 5 2 1 4 5 0 2 1 2 8 5 1 5 5 1 0
（ 1）由于不确定因素的影响，对同一收入水平 X，
不同家庭的消费支出不完全相同；
（ 2）但由于调查的完备性，给定收入水平 X的消
费支出 Y的分布是确定的，即以 X的给定值为条件的
Y的 条件分布 （ Conditional distribution）是已知的，
如,P(Y=561|X=800） =1/4。
因此，给定收入 X的值 Xi，可得消费支出 Y的 条件
均值 （ conditional mean）或 条件期望 （ conditional
expectation）：
E(Y|X=Xi)
该例中,E(Y | X=800)=561
分析：
描出散点图发现：随着收入的增加，消费
,平均地说, 也在增加，且 Y的条件均值均落在
一根正斜率的直线上。这条直线称为 总体回归线 。
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
每月可支配收入 X（元）
每
月
消
费
支
出
Y
（元）
? 概念：
在给定解释变量 Xi条件下被解释变量 Yi的期望
轨迹称为 总体回归线 （ population regression line），
或更一般地称为 总体回归曲线 （ population
regression curve）。
)()|( ii XfXYE ?
称为（双变量） 总体回归函数 （ population
regression function,PRF） 。
相应的函数：
回归函数（ PRF）说明被解释变量 Y的平均状
态（总体条件期望）随解释变量 X变化的规律。
? 含义：
? 函数形式：
可以是线性或非线性的。
例 2.1中,将居民消费支出看成是其可支配收
入的线性函数时,
ii XXYE 10)|( ?? ??
为一 线性函数。 其中,?0,?1是未知参数，称为
回归系数 （ regression coefficients）。 。
三、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平 Xi下，该社
区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水
平有偏差。
)|( iii XYEY ???
称 ?i为观察值 Yi围绕它的期望值 E(Y|Xi)的 离差
（ deviation）,是一个不可观测的随机变量，又称
为 随机干扰项 （ stochastic disturbance） 或 随机误
差项 （ stochastic error） 。
记
例 2.1中，个别家庭的消费支出为：
（ *）式称为 总体回归函数 （方程） PRF的随机设
定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影
响外，还受其他因素的随机性影响 。
（ 1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出 E(Y|Xi)，称为
系统性（ systematic） 或 确定性 （ deterministic)部分 。
（ 2）其他 随机 或 非确定性 （ nonsystematic)部分 ?i。
即，给定收入水平 Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和,
(*)
由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，
因此也称为 总体回归模型 。
随机误差项主要包括下列因素的影响：
1）在解释变量中被忽略的因素的影响；
2）变量观测值的观测误差的影响；
3）模型关系的设定误差的影响；
4）其它随机因素的影响。
产生并设计随机误差项的主要原因：
1）理论的含糊性；
2）数据的欠缺；
3）节省原则。
四、样本回归函数（ SRF）
问题,能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？
如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？
问：能否从该样本估计总体回归函数 PRF？
回答：能
例 2.2,在例 2.1的总体中有如下一个样本，
表 2, 1, 3 家庭消费支出与可支 配收入的一个随机 样本
Y 8 00 1 1 0 0 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500
X 594 638 1 1 2 2 1 1 5 5 1408 1595 1969 2078 2585 2530
总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在
一次观测中得到总体的一个样本。
核样本的 散点图 （ scatter diagram)：
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该
散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。
该线称为 样本回归线 （ sample regression lines）。
记样本回归线的函数形式为：
iii XXfY 10 ??)(? ?? ???
称为 样本回归函数 （ sample regression function,SRF） 。
这里将 样本回归线 看成 总体回归线 的近似替代
则
注意：
样本回归函数的随机形式 /样本回归模型,
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
iiiii eXYY ????? 10 ???? ???
式中,ie 称为 （样本）残差 （或 剩余 ） 项 （ r e s i d u a l ），代表
了其他影响 iY 的随机因素的集合，可看成是 i? 的估计量 i?? 。
由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此
也称为 样本回归模型 （ sample regression model） 。
▼ 回归分析的主要目的,根据样本回归函数 SRF,估计
总体回归函数 PRF。
注意,这里 PRF可能永
远无法知道。
即，根据
iiiii eXeYY ????? 10 ??? ??
估计 iiiii XXYEY ???? ????? 10)|(
理论与方法
Theory and Methodology of Single-
Equation Econometric Model
第二章 经典单方程计量经济学模型：
一元线性回归模型
? 回归分析概述
? 一元线性回归模型的参数估计
? 一元线性回归模型检验
? 一元线性回归模型预测
? 实例
§ 2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
二、总体回归函数
三、随机扰动项
四、样本回归函数（ SRF）
§ 2.1 回归分析概述
（ 1） 确定性关系 或 函数关系, 研究的是
确定现象非随机变量间的关系 。
（ 2） 统计依赖 或 相关关系,研究的是非确
定现象随机变量间的关系 。
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
1、变量间的关系
经济变量之间的关系，大体可分为两类：
对变量间 统计依赖关系 的考察主要是通过 相关分析 (correlation
analysis)或 回归分析 (regression analysis)来完成的：
? ? 2,半径半径圆面积 ??? ??f
? ?施肥量阳光降雨量气温农作物产量,,,f?
正相关
线性相关 不相关 相关系数：
统计依赖关系 负相关 11 ??? XY? 有因果关系 回归分析
正相关 无因果关系 相关分析
非线性相关 不相关
负相关
例如,
函数关系：
统计依赖关系 /统计相关关系：
① 不线性相关并不意味着不相关；
② 有相关关系并不意味着一定有因果关系；
③ 回归分析 /相关分析 研究一个变量对另一个
（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定
有因果关系。
④ 相关分析 对称地对待任何（两个）变量，两个
变量都被看作是随机的。 回归分析 对变量的处理方法
存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变
量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
▲ 注意：
回归分析 (regression analysis)是研究一个变量关于另一个
（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论 。
其用意, 在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预
测前者的（总体）均值 。
这里,前一个变量被称为 被解释变量 （ Explained Variable）
或 应变量 （ Dependent Variable）,后一个（些）变量被称为 解
释变量 （ Explanatory Variable） 或 自变量 （ Independent
Variable） 。
2、回归分析的基本概念
回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：
（ 1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得 回
归方程；
（ 2） 对回归方程、参数估计值进行显著性检验；
（ 3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
由于变量间关系的随机性,回归分析 关心的是根
据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体
均值,即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关
的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
例 2.1,一个假想的社区有 100户家庭组成，要研
究该社区每月 家庭消费支出 Y与每月 家庭可支配收
入 X的关系。
即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区
家庭的平均月消费支出水平。
二、总体回归函数
为达到此目的，将该 100户家庭划分为组内收入差
不多的 10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。
表 2, 1, 1 某社区家庭每月收入 与消费支出统计表
每月家庭可支配收入 X （ 元 ）
800 1 1 0 0 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500
561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299
594 748 913 1 1 0 0 1309 1452 1738 1991 2134 2321
627 814 924 1 1 4 4 1364 1551 1749 2046 2178 2530
638 847 979 1 1 5 5 1397 1595 1804 2068 2266 2629
935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 28 60
968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871
1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552
1 1 2 2 1298 1496 1716 1969 2244 2585
1 1 5 5 1331 1562 1749 2013 2299 2640
1 1 8 8 1364 1573 1771 2035 2310
1210 1408 1606 1804 2101
1430 1650 187 0 2 1 1 2
1485 1716 1947 2200
每
月
家
庭
消
费
支
出
Y
（元）
2002
共计 2420 4950 1 1 4 9 5 1 6 4 4 5 1 9 3 0 5 2 3 8 7 0 2 5 0 2 5 2 1 4 5 0 2 1 2 8 5 1 5 5 1 0
（ 1）由于不确定因素的影响，对同一收入水平 X，
不同家庭的消费支出不完全相同；
（ 2）但由于调查的完备性，给定收入水平 X的消
费支出 Y的分布是确定的，即以 X的给定值为条件的
Y的 条件分布 （ Conditional distribution）是已知的，
如,P(Y=561|X=800） =1/4。
因此，给定收入 X的值 Xi，可得消费支出 Y的 条件
均值 （ conditional mean）或 条件期望 （ conditional
expectation）：
E(Y|X=Xi)
该例中,E(Y | X=800)=561
分析：
描出散点图发现：随着收入的增加，消费
,平均地说, 也在增加，且 Y的条件均值均落在
一根正斜率的直线上。这条直线称为 总体回归线 。
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
每月可支配收入 X（元）
每
月
消
费
支
出
Y
（元）
? 概念：
在给定解释变量 Xi条件下被解释变量 Yi的期望
轨迹称为 总体回归线 （ population regression line），
或更一般地称为 总体回归曲线 （ population
regression curve）。
)()|( ii XfXYE ?
称为（双变量） 总体回归函数 （ population
regression function,PRF） 。
相应的函数：
回归函数（ PRF）说明被解释变量 Y的平均状
态（总体条件期望）随解释变量 X变化的规律。
? 含义：
? 函数形式：
可以是线性或非线性的。
例 2.1中,将居民消费支出看成是其可支配收
入的线性函数时,
ii XXYE 10)|( ?? ??
为一 线性函数。 其中,?0,?1是未知参数，称为
回归系数 （ regression coefficients）。 。
三、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平 Xi下，该社
区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水
平有偏差。
)|( iii XYEY ???
称 ?i为观察值 Yi围绕它的期望值 E(Y|Xi)的 离差
（ deviation）,是一个不可观测的随机变量，又称
为 随机干扰项 （ stochastic disturbance） 或 随机误
差项 （ stochastic error） 。
记
例 2.1中，个别家庭的消费支出为：
（ *）式称为 总体回归函数 （方程） PRF的随机设
定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影
响外，还受其他因素的随机性影响 。
（ 1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出 E(Y|Xi)，称为
系统性（ systematic） 或 确定性 （ deterministic)部分 。
（ 2）其他 随机 或 非确定性 （ nonsystematic)部分 ?i。
即，给定收入水平 Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和,
(*)
由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，
因此也称为 总体回归模型 。
随机误差项主要包括下列因素的影响：
1）在解释变量中被忽略的因素的影响；
2）变量观测值的观测误差的影响；
3）模型关系的设定误差的影响；
4）其它随机因素的影响。
产生并设计随机误差项的主要原因：
1）理论的含糊性；
2）数据的欠缺；
3）节省原则。
四、样本回归函数（ SRF）
问题,能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？
如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？
问：能否从该样本估计总体回归函数 PRF？
回答：能
例 2.2,在例 2.1的总体中有如下一个样本，
表 2, 1, 3 家庭消费支出与可支 配收入的一个随机 样本
Y 8 00 1 1 0 0 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500
X 594 638 1 1 2 2 1 1 5 5 1408 1595 1969 2078 2585 2530
总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在
一次观测中得到总体的一个样本。
核样本的 散点图 （ scatter diagram)：
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该
散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。
该线称为 样本回归线 （ sample regression lines）。
记样本回归线的函数形式为：
iii XXfY 10 ??)(? ?? ???
称为 样本回归函数 （ sample regression function,SRF） 。
这里将 样本回归线 看成 总体回归线 的近似替代
则
注意：
样本回归函数的随机形式 /样本回归模型,
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
iiiii eXYY ????? 10 ???? ???
式中,ie 称为 （样本）残差 （或 剩余 ） 项 （ r e s i d u a l ），代表
了其他影响 iY 的随机因素的集合，可看成是 i? 的估计量 i?? 。
由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此
也称为 样本回归模型 （ sample regression model） 。
▼ 回归分析的主要目的,根据样本回归函数 SRF,估计
总体回归函数 PRF。
注意,这里 PRF可能永
远无法知道。
即，根据
iiiii eXeYY ????? 10 ??? ??
估计 iiiii XXYEY ???? ????? 10)|(
