第十章 曲线积分与曲面积分
一、教学目标及基本要求：
1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2、会计算两类曲线积分
3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。
4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。
5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。
6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。
二、教学内容及学时分配：
第一节 对弧长的曲线积分 2学时
第二节 对坐标的曲线积分 2学时
第三节 格林公式及其应用 4学时
第四节 对面积的曲面积分 2学时
第五节 对坐标的曲面积分 2学时
第六节 高斯公式 通量与散度 2学时
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 2学时
三、教学内容的重点及难点：
1、二类曲线积分的概念及其计算方法
2、二类曲面积分的概念及其计算方法
3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式
4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。
5、两类曲线积分的关系和区别
6、两类曲面积分的关系和区别
7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用
五、思考题与习题
第一节 习题10—1 131页：3（单数）、4、5
第二节 习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）
第三节 习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7
第四节 习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8
第五节 习题10-5 167页：3（单数）、4
第六节 习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）
第七节 习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4
第一节 对弧长的曲线积分
一、内容要点
由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。
1、引例：求曲线形构件的质量
最后举例巩固计算方法的掌握。
2、为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程，是弧微分、弧长元素。
若是封闭曲线，则第一类曲线积分记为
3、第一类曲线积分的应用：
1）、曲线的长s=
2）、若空间曲线形物体的线密度为，，则其质量M;
质心坐标为，其中;
对x轴的转动惯量
4、第一类曲线积分的计算方法：
若空间曲线参数方程为：， ，则，
=。
例1 计算，其中：，，，
解 因为==，,
所以
例2 ，其中为球面与平面的交线；
解 的参数方程为，，，根据对称性得到=
例3 计算，其中
解 :,,
或解：被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程 ，所以，==
二、教学要求和注意点
1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质
2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法
3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。
第二节 对坐标的曲线积分
一、内容要点
引例：变力沿曲线所作的功
由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。
一、为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线，为向量值函数，为定向弧长元素（有向曲线元）
若曲线的参数方程为：，则
切向量，单位切向量
弧长元素=
定向弧长元素=
=
==
==
上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。
例1 把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中为从点到点的直线段。
解 方向向量，其方向余弦，
原式==
例2.把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中为
从点沿上半圆周到点
解 的参数方程为，切向量
其方向余弦，，
==。
二、第二类曲线积分的应用：
若一质点从点A沿光滑曲线（或分断光滑曲线）移动到点B，在移动过程中，这质点受到力，则该力所作的功
W==
三、第二类曲线积分的计算方法：
1、若空间定向曲线的参数方程，则
=
2、若平面定向曲线的参数方程：，则
=
例1 计算，其中为曲线上从到的一段弧。
解 ==。
例2 计算曲线积分，其中是曲线
从轴正向看去，取顺时针方向
分析 先写出曲线的参数方程，可令，，则，为参数，由题设，的起点、终点对应的参数值分别为和0；在代入计算公式。
解 曲线的参数方程为 ，，，，于是
原式
．
二、教学要求和注意点
1、二类曲线积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。
2、曲线积分与二重积分由格林公式联系起来，并由此得出结果——可用曲线积分计算平面图形的面积。
在本章的讲述中，应提醒学生注意：
1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关。
2、求曲线型构件的质量转动惯量，长度及重心坐标用对弧长的曲线积分；求变力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分。
第三节 格林公式及其应用
一、内容要点
先介绍单连通域，画图说明然后回忆牛顿–––菜布尼兹公式，由此推出格林公式（书上定理1）并证明。
提出格林公式将二重积分与曲线积分联系起来了。
举2个例子说明格林公式的用法
再介绍平面上曲线积分与路径无关的条件。
给出149页定理3，并证明，更重点讲151页公式，然后举2个例子说明该公式的用法。
该堂课讲153页习题3，再由此说明格林公式的条件。
二、教学要求和注意点
第四节 对面积的曲面积分
一、内容要点
引例：求空间曲面的质量
由例子引进对面积的曲面积分的定义，并给出性质
介绍将对面积的曲面积分化为二重积分的计算方法，该方法可概括为“一代二换三投影”。
举3个例子提出该积分与二重积分的区别
二、教学要求和注意点
了解对面积的面积分的定义，掌握其计算方法
在本章的讲述中，应提醒学生注意：
求空间曲面的质量、转动惯量，曲面面积及重心坐标用对面积的曲面积分；
第五节 对坐标的曲面积分
一、内容要点
先介绍有向曲面
引例：稳定流体在单位时间流过曲面 的流量
由例子引入对坐标的曲面积分的定义，给出性质重点说清楚对坐标的曲面积分与曲面的侧有关，同时提醒学生注意区别两类曲面积分。
再介绍对坐标的曲面积分化为二重积分的方法，举2个例子说明该方法。
最后给出两类曲面积分之间的联系。
二、教学要求和注意点
1、二类曲面积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。
2、曲线积分与曲面积分计算空间立体的体积。
3、求稳定的流体在单位时间内通过曲面的流量用对坐标的曲面积分。
第六节 高斯公式 通量与散度
一、内容要点
提出高斯公式，并证明
指出高斯公式将三重积分与曲面积分联系起来了，再举2个例子说明高斯公式。
简单介绍通量与散度，讲几个习题
二、教学要求和注意点
曲面积分与三重积分曲高斯公式联系起来，并由此得出结果——可用曲面积分计算空间立体的体积。
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、内容要点
介绍175页定理1，说明斯托克斯公式将曲线积分与曲面积分联系起来了，讲178页例1及例2。介绍环流量与旋度，本章小结。
二、教学要求和注意点
