第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 四、本章教学内容的深化和拓宽： 指导学生用元素法解决其本专业的实际问题。 五、本章的思考题和习题： 第二节 279页习题6—2 2，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。 第三节 287页习题6—3 1，3，4，5，11。 第一节 定积分的元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积 面积元素= 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成个部分，这个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 第二节 定积分在几何学上的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一  面积元素=，面积= 第一步：在边界方程中解出的两个表达式，. 第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出， ，，面积= 方法二 面积元素=，面积= 第一步：在边界方程中解出的两个表达式，. 第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出， ，，面积= 例1 求，围成的面积 解，，，。当时，于是 面积 例2 计算围成的面积 解 由，得，，当时  面积==18。 2、在曲边梯形、、、（）中，如果曲边的方程为参数方程为， 则其面积 =，其中 例3 求轴与摆线,围成的面积 解 面积 　　　　  例4 星形线()围成的面积. 解 面积 = 3、极坐标系下计算平面图形的面积。 极坐标曲线围成的面积的计算方法： 解不等式，得到。面积= 4、平行截面面积为已知的空间物体的体积 过轴一点作垂直于轴的平面，该平面截空间物体的 截面面积为，,则该物体的体积 例1 一空间物体的底面是长半轴，短半轴的椭 圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。 解 截面面积  5、旋转体体积 在上 ， 曲线、直线围成的曲边梯形 1）绕轴旋转一周形成旋转体，其截面面积， 旋转体体积。 2）绕轴旋转一周形成旋转体： 位于区间[x,x+dx]上的部分绕轴旋转一周而形成的旋转体体积， 原曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 例2摆线　与x轴围成的图形 1）绕轴旋转形成的旋转体体积  = 2）绕轴旋转形成的旋转体体积  =  3）绕旋转形成的旋转体的截面面积。 绕旋转形成的旋转体体积  　　　　  例3 求心形线与射线、围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积 解 心形线的参数方程为，，旋转体体积 == 6、平面曲线的弧长 曲线方程 自变量的范围 弧微分 弧长  显函数     参数方程     极坐标     表中当时，，，，， 弧微分。 例1求摆线　的长 解　，，。 弧长 例2摆线上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标 解　设A点满足要求，此时。根据例2摆线第一拱成弧长，。由条件弧OA的长为，即,,点A的坐标为 例3 求星形线的全长 解　星形线的参数方程为, , ,， . 弧长。 例4 求对数螺线上到的一段弧长 解 ，弧长== 二、教学要求与注意点 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积 第三节 定积分在物理学中的应用 一、内容要点 1、变力沿直线运动所做的功 如左图，设dx很小，物体在变力 的作 用下从点x移动到点x+dx所做的功元素为， 从点a移动到点b, 在变力所做的功 例1　一物体按规律直线运动，所受的阻力与速度的平方成正比，计算物体从 运动到时，克服力所做的功。 解 位于处时物体运动的速度，所受的阻力。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素。物体从运动到时，克服力所做的功。 例2　一个圆拄形水池，底面半径5米，水深10米，要把池中的水全部抽出来，所做的功等于多少？（水的密度=1） 解　如图，将位于处、厚度为的薄层水抽出来，其质量 密度体积，当薄层水的厚度很小时，所做的功元素。要把池中的水全部抽出来，所做的功  例3　一条均匀的链条长，质量，悬挂于某建筑物顶部，需做多 少功才能把它全部拉上建筑物顶部　 解　如图，将位于处、长度为的一小段拉到顶部，其质量为， 所做的功元素。全部拉上建筑物顶部所做的功 2、液体的压力　 例4 一块矩形木板长10米，宽5米。木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水 面一样高，求木板一侧受到的压力。（水的密度=1） 解　如图，木板在处所受的压强为。位于处、长为5米、宽为 米的小矩形受到的压力元素（吨）。整块木板一侧受到的压力（吨）。 3、引力　 例5 如图一质量为的质点位于原点，一根密度为、长为的均匀细棒区间 上，求细棒对质点的引力 解　位于处、长为的小段，其质量为，对质点的引力元素。 细棒对质点的引力 例6 设星形线，上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。 解 如图，位于处、长为的小段，到原点的距离，线密度为，其质量为，其中。该小段对质点的引力元素，其水平分量，铅直分量。因此, 二、教学要求与注意点 不仅会建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于会运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法