第九章 重积分 一、教学目标与基本要求 1、教学目标 本章从曲顶柱体的体积和平面薄片的质量这两个实际例子引入二重积分的概念，不加以证明地指出二重积分存在的充分条件。对二重积分的性质只加以叙述，而不予证明，将三重积分自然地看成是二重积分的推广。总的精神就是对概念和性质不作分析上的严格要求，而把重点放在讨论二重积分和三重积分的计算上，计算二重积分和三重积分的基本途径是将它们化为二次与三次积分，但在直角坐标系下计算二次与三次积分有时会比较困难，因此需要考虑采用其它的坐标，我们将分别讨论最常见的平面极坐标，空间柱面坐标与球面坐标下重积分的计算方法，此外对二重积分的一般换元法进行简单介绍。最后采用元素法介绍重积分在几何与物理问题中的某些应用。 2、基本要求： （1）理解二重积分、三重积分的概念，了解并会应用重积分的性质。 （2）熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法 （3）会利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。 （4）会用重积分求立体体积、曲面面积、平面薄片和空间立体的质量、重心和转动惯量，平面薄片和空间立体对空间一质点的引力等几何与物理量。 二、教学内容及学时分配 第一节 二重积分的概念与性质 2学时 第二节 二重积分的计算法 4学时 第三节 三重积分 4学时 第四节 重积分的应用 2学时 三、教学内容重点与难点 1、重点：二重积分概念，二重积分和三重积分的计算。 2、难点：对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序。 四、教学内容的深化和拓宽： 1、二重积分、三重积分概念的深刻背景 2、二重积分、三重积分的换元积分法 3、重积分的实际应用 五、思考题与习题 第一节 习题9—1 P78： 1，2，4，5 第二节 习题9—2 P95-96： 1，2，3，4，5，6 第三节 习题9—3 P106： 1，2，4，5，6，7，8 ，9， 10，11，12，13，14，15 第四节 习题9—4 P116-117： 2，3，6，7，9，11 第一节 二重积分的概念与性质 一、内容要点 1、引例 例1曲顶柱体的体积 例2平面薄片的质量 通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。 2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。 3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。 例3关于估值定理的应用 例4关于中值定理的应用 4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。 二、教学要求和注意点 理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 第二节 二重积分的计算法 一、内容要点 利用直角坐标计算二重积分 1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分： ①若D为X—型区域： 则  ②若D为Y—型区域： 则  ③若D既非X—型，又非Y—型区域，则将D划分为若干子区域，使每一个子区域为X—型或Y—型。 2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。 例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。 例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。 例3关于利用对称性计算二重积分的例子。 例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。 利用极坐标计算二重积分 1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。 2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。 3、确定积分上下限的办法。 例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分 例2利用二重积分计算概率积分  例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分 例4利用极坐标计算二重积分 二、教学要求和注意点 1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法 2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。 3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。 第四节 三重积分 一、内容要点 1、三重积分的概念，存在性及性质 2、三重积分在直角坐标系下的计算 ①先单积分后二重积分 ②先二重积分后单积分 3、更换积分次序 例1将三重积分化为三次积分 例2更换积分次序 例3先二重积分后单积分 4、柱面坐标系下三重积分的计算。 5、何时选用柱面坐标——当是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子等时，常用柱面坐标计算。 6、球面坐标系下三重积分的计算。 7、何时选用球面坐标——当是球体或其部分，或被积函数含有式子时，常用球面坐标计算。 例1化三重积分为柱面坐标系下的三次积分。 例2化三重积分为球面坐标系下的三次积分。 例3利用三重积分求体积或质量。 二、教学要求和注意点 1、在直角坐标系中，当用“先一后二”法计算三重积分时，如何恰当选择第一次单积分的积分变量颇为关键，一般方法是：先把围成的各边界曲面通过显式方程表出，如果x，y，z中的某个变量恰好出现在两个显式方程的左端，并且不出现于任一方程的右端，则可选该变量作为第一次单积分的积分变量。 2、在重积分的计算中，换元法也是强有力的手段。 第四节 重积分的应用——元素法 一、内容要点 1、曲面面积： 2、物体的质量： 平面薄片质量  空间物体质量  3、物体重心： 平面薄片的重心： 空间物体的重心：  4、转动惯量： 平面薄片对坐标轴及原点的转动惯量：    空间物体对于坐标面、坐标轴及原点的转动惯量：    5、引力：  例1求曲面面积 例2求物体的重心 例3求转动惯量 二、教学要求和注意点 1、掌握三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的算法。 2、用元素法解决实际问题