第三章 微分学的应用
一、应用的理论基础
-----中值定理
二、函数的性态
第一节 中值定理
一,Rolle 中值定理
二,Lagrange中值定理
三,Cauchy中值定理
四,Taylor中值定理
五,小结
几何事实,
.
,
平行的在该点处的切线与弦
上至少有一点连续可导曲线弧在
AB
CAB
A
o
x
y
b
B
a
, D
, C
1
?
2
?
, M
几何 事实,
a b1? 2? x
y
o
)( xfy ?
.
,
的在该点处的切线是水平
上至少有一点连续可导曲线弧在 CAB
C
物理事实, 斜上抛物体的运动
.
,
的在该点处的切线是水平
上至少有一点连续可导曲线弧在 CAB
1?
C
xa b
y
o
)( xfy ?
A B
一、罗尔 (Rolle)定理
Rolle定理 如果函数 f(x) 具有
上连续；在闭区间 ],[ ).1( ba
上可导；在开区间 ),( ).2( ba
使得一点至少则 ),,( ba?? ?.0)( ?? ?f
例如,32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx
,)3,1( 上可导在 ?,0)3()1( ??? ff且
))3,1(1(,1 ????取,0)( ???f ),(2)( ??? xxf?
).()(,).3( bfaf ?即端点处的函数值相对区间
,]3,1[ 上连续在 ?
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
,0?? x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有
,0?? x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有;0)()(l i m)( 0 ?? ????????? ???? x fxff x;0)()(lim)( 0 ?? ???????? ???? x fxff x,)( 存在??f?
).()( ?????? ?? ff,0)( ???? f只有
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)( xfy ?
.
,
水平的
在该点处的切线是点
上至少有一在曲线弧
C
ABC
物理解释,
变速直线运动在
折返点处,瞬时速
度等于零,
注意, (1),若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,
其结论可能不成立，是一个充分条件；
(2),条件 (3)保证了最值在区间内取得。
例如,];2,2[,??? xxy
,
,)0(]2,2[
的其它两个条件
满足罗尔定理不存在外上除在 f ??
.0)(
2]2[
??
?
xf一点能使
内找不到，但在区间;0,0 ]1,0(,1
??
?
?
???
x
xxy
].1,0[,?? xxy
又例如,不满足条件 (1)
不满足条件 (3)
例 1
,1
015 5
的正实根小于
有且仅有一个证明方程 ??? xx
证,15)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ??? ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
)1(5)( 4 ??? xxf但 ))1,0((,0 ?? x 矛盾,.为唯一实根?
几何事实,
.
,
平行的在该点处的切线与弦
上至少有一点连续可导曲线弧在
AB
CAB
A
o
x
y
b
B
a
, D
, C
1
?
2
?
, M
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
Lagrange定理 如果函数 f(x) 具有
上连续；在闭区间 ],[ ).1( ba
上可导；在开区间 ),( ).2( ba
使得一点至少则 ),,( ba?? ?
ab
afbff
?
??? )()()(? ).()()()( afbffab ???? ?或
).()( bfaf ?去掉了与罗尔定理相比条件中
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
注意：
a b1? 2?x xo
y
)( xfy ?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
，纵坐标之差与，点 )(),( xNMbax ???
.,)( 零两端点的函数值同时为在曲线 BAx?
作辅助函数
) ],()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意, 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
另外辅助函数 F(x)也可以从定理的结论出发设得：
).()()(),,( ?? fab afbfba ?????? 使结论为
.)()()( 时成立在即 ?????? xxfab afbf
)()()()( xfab afbfxF ??????有
,),(,],[)( 内可导在连续在由于 babaxF
.],[)( 上满足罗尔定理的条件在 baxF
),()()()( xfxab afbfxF ????可设
.)()()()( ab abfbafbFaF ????且
,),(],[)( 内可导在上连续，在设 babaxf
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx ???
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
微分中值定理
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf定理 3
证 ],,[ baI ?设
,)()( ],,[ 2121 即可均有若 xfxfbaxx ????
有为此不妨设 ],,[ 21 baxx ??
? ? 内可导在上连续在 ),(,],[],[)( 2121 xxbaxxxf ?
),,( 21 使得则 xx?? ?
.0))(()()( 1212 ???? xxfxfxf ?
,)()( ],,[ 2121 成立均有即 xfxfbaxx ????
例 2 ).11(2a r cco sa r cs i n ?????? xxx证明
证 ]1,1[,a r cc o sa r cs i n)( ???? xxxxf设
?????? ?????? 22 1 11 1)( xxxf?,0?
)1,1(,)( ???? xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0( ??f?又 20 ???,2??,2??C即
.2a r cco sa r cs i n ???? xx
)1,1(??x
上连续，在又 ]1,1[)( ??xxf?
).01()1(),01()1( ??????? ffff
]1,1[,)( ???? xCxf
例 3,)1l n (1,0 xxxxx ????? 时证明当
证 ),1l n ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1l n ( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
在区间 [ 1,2 ] 上，求函数 4)( xxf ? 满足
拉格朗日中值定理的 ξ 。
例 4
34)( xxf ??解
1512 )1()2( ??? ff
33 415,154 ?? ??即
)( 1?F )( 2?F xo
y ??? ?? )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
几何事实,
.
,
平行的在该点处的切线与弦
上至少有一点连续可导曲线弧在
AB
CAB
)()(
)()(
afbf
aFbF
AB
?
?
的斜率为弦
??
?
XdX
dY
Cauchy定理 如果函数 f(x), F(x)具有
上连续；在闭区间 ],[ ).1( ba
上可导；在开区间 ),( ).2( ba
.0)(],,[ ).3( ???? xFbax
使得一点至少则 ),,( ba?? ?
.)()( )()()( )( aFbF afbfFf ????? ??
三、柯西 (Cauchy)中值定理
此为 Lagrange定理对两个函数的情形,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y ??? ?? )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
??
证 作辅助函数
)].()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
??
???
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( ???
?
? f
ab
afbf
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数例 5
证 分析, 结论可变形为
)()]0()1([2 ?? fff ???
,]1,0[)( 中值定理的条件上满足在则 R o l l exF
有内至少存在一点在,)1,0( ??
) ],0()1([2)( fff ?????即
?????? xxfffx )()]0()1([2
)()]0()1([)( 2 xfffxxF ???设
0)()]0()1([2 ???? ?? fff
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数例 5
另证 分析, 结论可变形为
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2 ???
??
xx
xf,)( 2xxg ?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0( ??
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff ?????即
( 1 ), 设 )( xf 在 0x 处连续,则有
( 2 ), 设 )( xf 在 0x 处可导,则有
例如,当 x 很小时,xe x ?? 1,xx ?? )1ln (
[ ??? )()( 0xfxf ]
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf ??????
（如下图）
)()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
1、问题的提出
四、泰勒 (Taylor)中值定理
xey ?
xy ?? 1
o
xey ?
o
xy?
)1ln( xy ??
不足,
问题,寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?
误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
(1),精确度不高； (2),误差不能估计,
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010 ???????? ?
误差 )()()( xPxfxR nn ??
0x
)( xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交0x
2,Pn和 Rn的确定
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
),( 00 xfa ?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?得 ),,2,1,0()(
!
1
0
)( nkxf
ka
k
k ???
),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
3、泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 ( T ay l or ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有 直到 )1( ?n 阶的导
数,则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ?
的一个 n 次多项式与一个余项 )( xR n 之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
.)()!1( )()( 010
)1(
之间与介于，其中 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且
证明,
两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR n? 及 nxxn ))(1( 0?? 在以 0x 及 1? 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ? !1
)(
)(
)( )1(
1
0 ?
?
?
?
? n
R
xx
xR nn
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式
?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
拉格朗日形式的余项
? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?
])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxoxxk xfxf ????? ?
?
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00
??
? n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR ??即
注意,
1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf
?
??
??
???? ?
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2
??
?
?
??
??
????
?
?
?
? n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf ?
4,麦克劳林 (Maclaurin)公式
求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
例 6
由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx ????? ?
估计误差 )0( ?x设
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n其误差 )!1( ?? n eR n
).10()!1()!1()( 11 ?????? ?? ?
?
n
x
n
x
n xn
ex
n
exR
常用函数的麦克劳林公式
)()!12()1(!5!3s in 22
1253
?
?
???????? n
n
n xo
n
xxxxx ?
)()!2()1(!6!4!21c o s 2
2642
n
n
n xo
n
xxxxx ???????? ?
)(1)1(32)1l n ( 1
132
?
?
????????? n
n
n xo
n
xxxxx ?
)(11 1 2 nn xoxxxx ??????? ?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1( 2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
计算 4
0
3c o s2lim 2
x
xe x
x
??
?
.
解 )(!211 442
2 xoxxe x ?????
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx ????
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????
4
44
0
)(
12
7
lim
x
xox
x
?
?
?
原式,
12
7?
例 7
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF ?)()()( bfaf ?
Rolle定理,Lagrange定理, Cauchy定理及
Taylor定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
Taylor
中值定理
五、小结
一、应用的理论基础
-----中值定理
二、函数的性态
第一节 中值定理
一,Rolle 中值定理
二,Lagrange中值定理
三,Cauchy中值定理
四,Taylor中值定理
五,小结
几何事实,
.
,
平行的在该点处的切线与弦
上至少有一点连续可导曲线弧在
AB
CAB
A
o
x
y
b
B
a
, D
, C
1
?
2
?
, M
几何 事实,
a b1? 2? x
y
o
)( xfy ?
.
,
的在该点处的切线是水平
上至少有一点连续可导曲线弧在 CAB
C
物理事实, 斜上抛物体的运动
.
,
的在该点处的切线是水平
上至少有一点连续可导曲线弧在 CAB
1?
C
xa b
y
o
)( xfy ?
A B
一、罗尔 (Rolle)定理
Rolle定理 如果函数 f(x) 具有
上连续；在闭区间 ],[ ).1( ba
上可导；在开区间 ),( ).2( ba
使得一点至少则 ),,( ba?? ?.0)( ?? ?f
例如,32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx
,)3,1( 上可导在 ?,0)3()1( ??? ff且
))3,1(1(,1 ????取,0)( ???f ),(2)( ??? xxf?
).()(,).3( bfaf ?即端点处的函数值相对区间
,]3,1[ 上连续在 ?
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
,0?? x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有
,0?? x若 ;0)()( ?? ????? x fxf则有;0)()(l i m)( 0 ?? ????????? ???? x fxff x;0)()(lim)( 0 ?? ???????? ???? x fxff x,)( 存在??f?
).()( ?????? ?? ff,0)( ???? f只有
几何解释,
a b1? 2? x
y
o
)( xfy ?
.
,
水平的
在该点处的切线是点
上至少有一在曲线弧
C
ABC
物理解释,
变速直线运动在
折返点处,瞬时速
度等于零,
注意, (1),若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,
其结论可能不成立，是一个充分条件；
(2),条件 (3)保证了最值在区间内取得。
例如,];2,2[,??? xxy
,
,)0(]2,2[
的其它两个条件
满足罗尔定理不存在外上除在 f ??
.0)(
2]2[
??
?
xf一点能使
内找不到，但在区间;0,0 ]1,0(,1
??
?
?
???
x
xxy
].1,0[,?? xxy
又例如,不满足条件 (1)
不满足条件 (3)
例 1
,1
015 5
的正实根小于
有且仅有一个证明方程 ??? xx
证,15)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ??? ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx??,0)( ???f
)1(5)( 4 ??? xxf但 ))1,0((,0 ?? x 矛盾,.为唯一实根?
几何事实,
.
,
平行的在该点处的切线与弦
上至少有一点连续可导曲线弧在
AB
CAB
A
o
x
y
b
B
a
, D
, C
1
?
2
?
, M
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
Lagrange定理 如果函数 f(x) 具有
上连续；在闭区间 ],[ ).1( ba
上可导；在开区间 ),( ).2( ba
使得一点至少则 ),,( ba?? ?
ab
afbff
?
??? )()()(? ).()()()( afbffab ???? ?或
).()( bfaf ?去掉了与罗尔定理相比条件中
).()()( ????? fab afbf结论亦可写成
注意：
a b1? 2?x xo
y
)( xfy ?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
，纵坐标之差与，点 )(),( xNMbax ???
.,)( 零两端点的函数值同时为在曲线 BAx?
作辅助函数
) ],()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ???? Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ?????? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?????或 拉格朗日中值公式
注意, 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
另外辅助函数 F(x)也可以从定理的结论出发设得：
).()()(),,( ?? fab afbfba ?????? 使结论为
.)()()( 时成立在即 ?????? xxfab afbf
)()()()( xfab afbfxF ??????有
,),(,],[)( 内可导在连续在由于 babaxF
.],[)( 上满足罗尔定理的条件在 baxF
),()()()( xfxab afbfxF ????可设
.)()()()( ab abfbafbFaF ????且
,),(],[)( 内可导在上连续，在设 babaxf
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx ???
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
微分中值定理
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf定理 3
证 ],,[ baI ?设
,)()( ],,[ 2121 即可均有若 xfxfbaxx ????
有为此不妨设 ],,[ 21 baxx ??
? ? 内可导在上连续在 ),(,],[],[)( 2121 xxbaxxxf ?
),,( 21 使得则 xx?? ?
.0))(()()( 1212 ???? xxfxfxf ?
,)()( ],,[ 2121 成立均有即 xfxfbaxx ????
例 2 ).11(2a r cco sa r cs i n ?????? xxx证明
证 ]1,1[,a r cc o sa r cs i n)( ???? xxxxf设
?????? ?????? 22 1 11 1)( xxxf?,0?
)1,1(,)( ???? xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0( ??f?又 20 ???,2??,2??C即
.2a r cco sa r cs i n ???? xx
)1,1(??x
上连续，在又 ]1,1[)( ??xxf?
).01()1(),01()1( ??????? ffff
]1,1[,)( ???? xCxf
例 3,)1l n (1,0 xxxxx ????? 时证明当
证 ),1l n ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?????????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1l n ( ???? xx
x???0?又 x????? 111,11 11 1 ????? x
,11 xxxx ??????,)1l n (1 xxxx ????即
在区间 [ 1,2 ] 上，求函数 4)( xxf ? 满足
拉格朗日中值定理的 ξ 。
例 4
34)( xxf ??解
1512 )1()2( ??? ff
33 415,154 ?? ??即
)( 1?F )( 2?F xo
y ??? ?? )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
几何事实,
.
,
平行的在该点处的切线与弦
上至少有一点连续可导曲线弧在
AB
CAB
)()(
)()(
afbf
aFbF
AB
?
?
的斜率为弦
??
?
XdX
dY
Cauchy定理 如果函数 f(x), F(x)具有
上连续；在闭区间 ],[ ).1( ba
上可导；在开区间 ),( ).2( ba
.0)(],,[ ).3( ???? xFbax
使得一点至少则 ),,( ba?? ?
.)()( )()()( )( aFbF afbfFf ????? ??
三、柯西 (Cauchy)中值定理
此为 Lagrange定理对两个函数的情形,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y ??? ?? )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
??
证 作辅助函数
)].()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( ????????? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( ?? ?????? FfaFbF afbf
.0)(,),( ??? ?? 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
??
???
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( ???
?
? f
ab
afbf
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数例 5
证 分析, 结论可变形为
)()]0()1([2 ?? fff ???
,]1,0[)( 中值定理的条件上满足在则 R o l l exF
有内至少存在一点在,)1,0( ??
) ],0()1([2)( fff ?????即
?????? xxfffx )()]0()1([2
)()]0()1([)( 2 xfffxxF ???设
0)()]0()1([2 ???? ?? fff
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? ??? 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数例 5
另证 分析, 结论可变形为
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2 ???
??
xx
xf,)( 2xxg ?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0( ??
?
???
?
?
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff ?????即
( 1 ), 设 )( xf 在 0x 处连续,则有
( 2 ), 设 )( xf 在 0x 处可导,则有
例如,当 x 很小时,xe x ?? 1,xx ?? )1ln (
[ ??? )()( 0xfxf ]
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf ??????
（如下图）
)()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
1、问题的提出
四、泰勒 (Taylor)中值定理
xey ?
xy ?? 1
o
xey ?
o
xy?
)1ln( xy ??
不足,
问题,寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?
误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
(1),精确度不高； (2),误差不能估计,
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010 ???????? ?
误差 )()()( xPxfxR nn ??
0x
)( xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交0x
2,Pn和 Rn的确定
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
),( 00 xfa ?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?得 ),,2,1,0()(
!
1
0
)( nkxf
ka
k
k ???
),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
3、泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 ( T ay l or ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的某个开区间 ),( ba 内具有 直到 )1( ?n 阶的导
数,则当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ?
的一个 n 次多项式与一个余项 )( xR n 之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
.)()!1( )()( 010
)1(
之间与介于，其中 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且
证明,
两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR n? 及 nxxn ))(1( 0?? 在以 0x 及 1? 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ? !1
)(
)(
)( )1(
1
0 ?
?
?
?
? n
R
xx
xR nn
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式
?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
拉格朗日形式的余项
? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?
])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxoxxk xfxf ????? ?
?
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
皮亚诺形式的余项
0)( )(lim
00
??
? n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR ??即
注意,
1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf
?
??
??
???? ?
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2
??
?
?
??
??
????
?
?
?
? n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf ?
4,麦克劳林 (Maclaurin)公式
求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
例 6
由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx ????? ?
估计误差 )0( ?x设
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n其误差 )!1( ?? n eR n
).10()!1()!1()( 11 ?????? ?? ?
?
n
x
n
x
n xn
ex
n
exR
常用函数的麦克劳林公式
)()!12()1(!5!3s in 22
1253
?
?
???????? n
n
n xo
n
xxxxx ?
)()!2()1(!6!4!21c o s 2
2642
n
n
n xo
n
xxxxx ???????? ?
)(1)1(32)1l n ( 1
132
?
?
????????? n
n
n xo
n
xxxxx ?
)(11 1 2 nn xoxxxx ??????? ?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1( 2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
计算 4
0
3c o s2lim 2
x
xe x
x
??
?
.
解 )(!211 442
2 xoxxe x ?????
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx ????
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????
4
44
0
)(
12
7
lim
x
xox
x
?
?
?
原式,
12
7?
例 7
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF ?)()()( bfaf ?
Rolle定理,Lagrange定理, Cauchy定理及
Taylor定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
Taylor
中值定理
五、小结
