第三节 高阶导数
二、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的概念
一、高阶导数的概念
定义, 若函数 )( xfy ? 的导数 )( xfy ??? 可导,
或 即
)( ????? yy 或 )d
d(
d
d
d
d
2
2
x
y
xx
y ?
类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,
1?n 阶导数的导数称为 n 阶导数,
或
)(xf 的 二阶导数,记作的导数为
依次类推,
分别记作
则称
例
nx)1( ?
解,
!)1( ?n 规定 0 ! = 1
思考,
求
,1 1 xy ???,)1( 1 2xy ?????,)1( 21)1( 32 xy ???????
?)(ny 1)1( ?? n,?
例,设 求
解, xy c o s?? )s in ( 2??? x
)c o s ( 2????? xy )s in ( 22 ?? ??? x
)2s in ( 2???? x
)2c o s ( 2??????? xy )3s in ( 2???? x
一般地,?? xx n s in ()(s i n )(
类似可证,
?? xx n c o s ()(c o s )(
)2??n
)2??n
二、高阶导数的运算法则
(C为常数 )
!2
)1( ?nn
!
)1()1(
k
knnn ????? ??
莱布尼兹 (Leibniz) 公式
都有 n 阶导数,则及设函数
vu ???? 3
)( ?vu vuvu ????
)( ??vu )( ????? vuvu vuvu ?????? 2 vu ???
)( ???vu vu ???? vu ???? 3 vu ????
用数学归纳法可证 莱布尼兹公式 成立,
例,求
解, 设,,22 xveu x ?? 则
xkk eu 2)( 2?
,2 xv ??,2???v
0)( ?kv
代入莱布尼兹公式,得
?)20(y xe2202 2x? xe 219220 ?? x? !2
1920 ?? 2?
xe2182
)20,,2,1( ??k
)20,,3( ??k
内容小结
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
(4) 利用莱布尼兹公式
高阶导数的求法
? ? ?? )(1 nxa 1)( !)1( ??? nn xa n
? ? ?? )(1 nxa 1)( ! ?? nxa n
如,