第八节 函数的连续性与间断点
二,函数的间断点
一,函数连续性的定义
一,函数连续性的定义
可见,函数 在点 0x
定义, 在 的某邻域内有定义,
则称函数,)( 0 连续在 xxf
(1) 在点 即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件,
存在 ;
且
有定义,存在 ;
continue )()(lim,),( 00
0
xPxPx xx ??????? ?
若 在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上
连续,或称它为该区间上的 连续函数,
.],[ baC
例如,
在 上连续,
( 有理整函数 )
又如,有理分式函数
在其定义域内连续,
在闭区间 上的连续函数的集合记作
只要,0)( 0 ?xQ 都有 )()(li m 0
0
xRxRxx ??
对自变量的增量 有函数的增量
)( xfy ?
xo
y
0x x
x?
y?
)()(lim 0
0
xfxfxx ?? )()(lim 000 xfxxfx ?????
0l im 0 ???? yx
)()()( 000 ?? ?? xfxfxf
左连续 右连续
,0???,0??? 当 ????? xxx 0 时,有
????? yxfxf )()( 0
函数 在点 连续有下列等价命题,
在
二,函数的间断点
在
在
(1) 函数
(2) 函数 不存在 ;
(3) 函数 存在,但
)()(lim 0
0
xfxf
xx
?
?
不连续,
设 在点 的某去心邻域内有定义,则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义,但
虽有定义,且
称为 间断点,
无定义 ;
间断点分类,
第一类间断点,
及 均存在,
若 称
0x
若 称
0x
第二类间断点,
及 中至少一个不存在,
称
0x
若其中有一个为振荡,称
0x
若其中有一个为
,?
为可去间断点,
为跳跃间断点,
为 无穷间断点,
为 振荡间断点,
例如,
2
??x
为其无穷间断点,
0?x 为其振荡间断点,
1?x 为可去间断点, o
y
1
xy tan?
2? x
y
o
x
y xy 1sin?
0
)1(1)(lim 1 fxfx ???
显然
1?x 为其可去间断点,
?
?
?
?
?
??
1,
1,
)(
2
1 x
xx
xfy
(4)
1 xo
y
2
1
1
(5)
??
?
?
?
??
?
??
??
0,1
0,0
0,1
)(
xx
x
xx
xfy
x
y
o
1
1?
,1)0( ???f 1)0( ??f
0?x 为其跳跃间断点,
内容小结
左连续 右连续
第一类间断点 可去间断点跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点 无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一
个不存在
在点 间断的类型
在点 连续的等价形式