第四节 无穷大与无穷小
二,无穷大
三, 无穷小与无穷大的关系
一,无穷小
一,无穷小
当
定义,若 时,函数
则称函数
例如,
函数 当 时为无穷小 ;
函数 时为无穷小 ;
函数 当
)??x(或
为 时的 无穷小,
时为无穷小,
)??x(或
定义 1、
说明, 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当 时,
C
C
时,函数(或 )??x
则称函数 为
若
(或 )??x
则
时的 无穷小,
定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 )
其中 ?为
0xx ?
时的 无穷小量, Axfxx ?? )(lim 0
?? Axf )(,?
证,
Axf
xx
?
?
)(lim
0
,0,0 ???? ?? 当 ???? 00 xx 时,有
??? Axf )(
Axf ?? )(?
0lim
0
?
?
?
xx
对自变量的其它变化过程类似可证,
二,无穷大
定义 2, 若 任给 M > 0,
一切满足不等式 的 x,总有
则称函数 当 时为 无穷大,
使对
若在定义中将 ① 式改为
①
则记作 ))(l i m(
)( 0
???
??
?
xf
x
xx
)( Xx ?
)( ??x
))(li m( ???? xfx
(正数 X ),
记作
,))(( Mxf ??
总存在
例, 证明
证, 任给正数 M,要使 即
只要取,1M?? 则对满足 的一切 x,有
所以
若 则直线 0xx?
为曲线 的铅直渐近线,
说明,
渐近线
无穷小与无穷大的关系
若 为无穷大,)(
1
xf 为无穷小 ;
若 为无穷小,且,0)( ?xf 则 )(
1
xf 为无穷大,
则
据此定理,关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论,
定理 2.在自变量的同一变化过程中,
说明,
内容小结
1,无穷小与无穷大的定义
2,无穷小与函数极限的关系
3,无穷小与无穷大的关系