高数课件
重庆大学数理学院
教师 吴新生
第八章
多元函数微分法及其应用
开 始
退出
第一节 多元函数的基本概念
返 回
第二节 偏导数
第四节 多元复合函数的求导法则
第五节 隐函数的求导公式
第六节 微分法在几何上的应用
第八节 多元函数的极值及其求法
第七节 方向导数与梯度
第三节 全微分
总习题
返 回
一,区域
四,多元函数的连续性三,多元函数的极限
二,多元函数概念
第一节 多元函数的基本概念
习题
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域
设 是 xOy平面上的一个点,δ 是某一
正数,与点 距离小于 δ 的点 的全体
称为 的 邻域,记为,即
也就是
返 回
0 0 0(,)P x y
0 0 0(,)P x y (,)P x y
0P 0(,)UP?
00(,) { }U P P P P????
22
0 0 0(,) { (,) ( ) ( ) }U P x y x x y y??? ? ? ? ?
下一页
2.区域
设 E是平面上的一个点集,P是平面上的一个
点,如果存在点 P的某一邻域 使,
则称 P为 E的 内点 (图 8-1).
如果点集 E的点都是内点，则
称 E为 开集,
如果点 P的任一邻域内既有属
P 于 E的点，也有不属于 E的点，
E 则称 P为 E的 边界点 （图 8-2）,
设 D是开集,如果对于 D内的
图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
下一页上一页
()UP ()U P E?
返 回
来,而且该折线上的点都属于 D,
P 则称开集 D是 连通的,
连通的开集称为 区域 或 开区域,
E 开区域连同它的边界一起,称
为 闭区域,
图 8-2
3.n维空间
设 n为取定的一个自然数,我们称有序 n元数组
的全体为 n维空间,而每个有序 n元数
组 称为 n维空间中的一个点,数 称
12(,,,)nx x x
12(,,,)nx x x ix
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为该点的第 i个坐标,n维空间记为,
n维空间中两点 及 间
的距离规定为
n
12(,,,)nP x x x 12(,,,)nQ y y y
2 2 2
1 1 2 2( ) ( ) ( )nnP Q y x y x y x? ? ? ? ? ? ?
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二、多元函数概念
定义 1 设 D是平面上的一个点集,如果对于
每个点 P=(x,y)∈D,变量 z按照一定法则总有确
定的值和它对应,则称 z是变量 x,y的 二元函数
(或点 P的函数 ),记为
点集 D称为该函数的 定义域,x,y称为 自变量,z
(,) ( )z f x y z f P?? 或
例题
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也称为 因变量,数集
称为该函数的 值域,
把定义 1中的平面点集 D换成 n维空间内的点集
D.则可类似的定义 n元函数,当
n=1时,n元函数就是一元函数,当 n≥2 时 n元函
数统称为 多元函数,
{ (,),(,) }z z f x y x y D??
12(,,,)nu f x x x?
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三、多元函数的极限
二元函数 当,,即
时的极限,
这里 表示点 以任何方式趋于,也就
是点 与点 间的距离趋于零，即
定义 2 设函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）
内有定义,是 D的内点或边界点如果
对于任意给定的正数 ε,总存在正数 δ,使得
对于适合不等式
(,)z f x y? 0xx? 0yy?
0 0 0(,) (,)P x y P x y?
0PP? 0P
0P
22
0 0 0( ) ( ) 0P P x x y y? ? ? ?
0 0 0(,)P x y?
P
P
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的一切点 P(x,y)∈D,都有
成立，则称常 A为函数 f(x,y)当,
时的极限，记作
或
这里,
22
0 0 00 ( ) ( )P P x x y y ?? ? ? ? ?
(,)f x y A ???
0xx? 0yy?
0
lim (,)xx f x y A? ?
(,)f x y A? ( 0)? ?
0PP? ?
例题
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四、多元函数的连续性
定义 3 设函数 f(x,y)在开区域 (或闭区域 )D
内有定义,是 D的内点或边界点且,
如果
则称函数 f(x,y)在点 连续,
若函数 f(x,y)在点 不连续，则称 为
函数 f(x,y)的 间短点,
函数
0PD?
0
0
00l i m (,) (,)xx
yy
f x y f x y
?
?
?
0P
22
22
22
,0
(,)
0,
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
? ?
? =0
0 0 0(,)P x y
0 0 0(,)P x y
0 0 0(,)P x y
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当 x→0,y→0 时的极限不存在，所以点 (0,0)是
该函数的一个 间断点,
函数
在圆周 上没有定义，所以该圆周上各
点都是间断点，是一条曲线,
性质 1(最大值和最小值定理 ) 在有界闭区
域 D上的多元连续函数，在 D上一定有最大值和
最小值,
在 D上至少有一点 及一点,使得 为最
大值而 为最小值，即对于一切 P∈D,有
22
1sin
1z xy? ??
22 1xy??
1P 2P 1()fP
2()fP
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性质 2(介值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元
函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它
在 D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
如果 μ 是函数在 D上的最小值 m和最大值 M之间
的一个数，则在 D上至少有一点 Q，使得 f(Q)=μ.
*性质 3(一致连续性定理 ) 在有界闭区域上
的多元连续函数必定在 D上一致连续,
若 f(P)在有界闭区域 D上连续，那么对于任意
给定的正数 ε,总存在正数 δ,使得对于 D上的
21( ) ( ) ( )f P f P f P??
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任意二点,只要当 时，都有
成立,
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点
处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，
则极限值就是函数在该点函数值，即
12( ) ( )f P f P ???
0P
0
0li m ( ) ( )PP f P f P? ?
例题
12,PP 12PP ??
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一,偏导数的定义及其计算方法
二,高阶偏导数
第二节 偏导数
习题 返 回
一、偏导数的定义及其计算方法
定义 设函数 在点 的某
一邻域内有定义，当 y固定在 而 x固定在 处
有增量 Δx 时，相应地函数有增量
如果
（ 1）
存在，则称此极限为函数 在点
处对 x的偏导数,记作
(,)z f x y? 00(,)xy
0y 0x
0 0 0 0(,) (,)f x x y f x y? ? ?
0 0 0 0
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y
x??
? ? ?
?
(,)z f x y?
00(,)xy
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例如，极限 (1)可以表示为
(2)
类似地,函数 在点 对 y的偏导
数定义为
000
000
0,0,,( )x x x xx x x x
yyy y y y
zf
z f x y
xx
???
???
??
??
或
0 0 0 0
00 0
(,) (,)(,) l i m
x x
f x x y f x yf x y
x??
? ? ??
?
(,)z f x y? 00(,)xy
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(3)
记作
如果函数 在区域 D内每一点 (x,y)
处对 x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x,y函数,它就称为函数 对自变量 x
的偏导函数,记作
0 0 0 0
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y
y??
? ? ?
?
000
000
0,0,,( )x x x xx x x x
yyy y y y
zf
z f x y
xx
???
???
??
??
或
(,)z f x y?
(,)z f x y?
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类似的，可以定义函数 z=f(x,y)对自变量 y的
偏导函数，记作
求 时只要把 y暂时看作常量对 x求导数；求
时只要把暂 x时看作常量对 y求导数,
,,(,)xxzf z f x yxx???? 或
,,(,)yyzf z f x y
yy
??
??
或
f
x
?
?
f
y
?
?
例题
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图 8-6x
y
z
0x
0y
O
0MxT
yT
0(,)z f x y?
0(,)z f x y?
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二、高阶偏导数
设函数 z=f(x,y)在区域 D内具有偏导数
那么在 D内 都是 x,y的函数,如
果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数
z=f(x,y)的二阶偏导数,按照对变量求导次序的
不同下列四个二阶偏导数：
222(,),(,) xxxy zzzz fxyfxy xxxyxxy ???????? ?????? ????? ????
(,),(,)xyzzf x y f x y
xy
????
(,) (,)xyf x y f x y、
22
2 (,),(,)x x x y
z z z zf x y f x y
x x x y x x y
? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?
????? ? ? ? ? ? ???
??
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二元函数 z=f(x,y)在点 的偏导数有下
述几何意义,
设 为曲面 z=f(x,y)上的一点,
过 作平面,截此曲面得一曲线，此曲
线在平面 上的方程为,则导数
，即偏导数,就是
这曲线在点 处的切线 对 x轴的斜率 (见
图 8-6).同样偏导数 的几何意义是曲
面被平面 所截得的曲线在点 处的切线
对 y轴的斜率,
00(,)xy
0 0 0 0 0(,,(,) )M x y f x y
0M 0yy?
0yy? 0(,)z f x y?
0
0
(,)d f x y
xxdx ?
00(,)xf x y
0M 0 xMT
00(,)yf x y
0xx? 0M
0 xMT
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其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数,同
样可得三阶、四阶,···以及 n阶偏导数,二阶及二
阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数,
定理 如果函数 z=f(x,y)的两个二阶混合偏
导数 及 在 D内连续，那么在该区域内
这两个二阶混合偏导数必相等,
222(,),(,) xxxy zzzz fxyfxy xxxyxxy ???????? ?????? ????? ????
22
2(,),(,)y x y y
z z z zf x y f x y
x y y x y y y
????? ? ? ? ? ?
? ? ? ?????
? ? ? ? ? ? ?????
2z
yx
?
??
2z
xy
?
?? 例题
例题
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第三节 全微分及其应用
习题
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第三节 全微分及其应用
二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一
个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变
化率,
上面两式的左端分别叫做二元函数对 x和对 y的
偏增量，而右端分别叫做二元函数对 x和对 y的
偏微分,
设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的某邻域内有定
义，并设 为这邻域内的任意一
(,) (,) (,)xf x x y f x y f x y x? ? ? ? ?
(,) (,) (,)yf x y y f x y f x y y? ? ? ? ?
(,)P x x y y? ? ? ? ?
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点，则称这两点的函数值之差
为函数在点 P对应于自变量增量 Δx, Δy 的 全增
量,记作 Δz,即
定义 如果函数 z=f(x,y)在点 (x,y)的全增
量
(1)
可表示为
(,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ?
(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
()z A x B y o ?? ? ? ? ? ?
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其中 A,B不依赖于 Δx, Δy 而仅与 x,y有关，
，则称函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
可微分，而 称为函数 z=f(x,y)在点
(x,y)全微分，记作 dz,即
(2)
如果函数在区域 D内各点处都可微分，那么称
这函数 在 D内可微分,
下面讨论函数 z=f(x,y)在点 (x,y)可微分的条
件,
定理 1(必要条件 ) 如果函数 z=f(x,y)在点
22( ) ( )xy? ? ? ? ?
A x B y? ? ?
d z A x B y? ? ? ?
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(x,y)可微分，则该函数在点 (x,y)的偏导数
必定存在，且函数 z=f(x,y)在点 (x,y)的全微
分为
(3)
证 设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)可微分,于是
对于点 P的某个邻域内的任意点
,(2)式总成立,特别当 时 (2)式也应成立，
这时,所以 (2)式成为
z
x
?
?
z
y
?
?
zzd z x y
xy
??? ? ? ?
??
(,)P x x y y? ? ? ? ?
x? ??
0y??
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上式两边各除以,再令 而极限，就
得
从而，偏导数 存在，而且等于 A.同样可证
=B.所以三式成立,证毕,
(,) (,) ( )f x x y f x y A x x?? ? ? ? ? ? ?
x? 0x??
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y A
x??
? ? ? ?
?
z
x
?
?
z
y
?
?
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定理 2(充分条件 ) 如果 z=f(x,y)的偏导数
在 (x,y)连续，则函数在该点可微分,
证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定
义的函数 (对于偏导数也如此 )，所以假定偏导
数在点 P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某
一邻域内必然存在的意思,设点 为
这邻域内任意一点，考察函数的全增量
zz
xy
??
??
、
(,)x x y y? ? ? ?
(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
? ?(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?
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在第一个方括号内的表达式，由于 y+Δy 不变，
因而可以看作是 x的一元函数 的增量,
于是应用拉格郎日中值定理，得到
又依假设,在点 连续，所以上式可
写为
? ?(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?
? ?(,) (,)f x y y f x y? ? ? ?
(,)f x y y??
(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?
11(,) 0 1xf x x y y x??? ? ? ? ? ? ? ? ( )
(,)xf x y (,)xy
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(4)
其中 为 Δx, Δy 的函数，且当
时,.
同理可证第二个方括号内的表达式可写为
(5)
其中 为 Δy 的函数，且当 时,.
由 (4),(5)两式可见，在偏导数连续的假定
下，全增量 Δz 可以表示为
(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?
1(,)xf x y x x?? ? ? ?
1? 0,0xy? ? ? ?
1 0? ?
2(,) (,) (,)yf x y y f x y f x y y y?? ? ? ? ? ? ?
2? 0y?? 2 0? ?
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容易看出
它就是随着 即 而趋于零
的,
这就证明了 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微分的,
12(,) (,)xyz f x y x f x y y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ?
12
12
xy?? ??
?
? ? ? ??
0,0xy? ? ? ? 0? ?
例题
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第四节 多元复合函数的求导法则
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习题
第四节 多元复合函数的求导法则
定理 如果函数 及 都在点 t
可导，函数 z=f(u,v)在对应点 (u,v)具有连续偏
导数，则符合函数 在 t可导，切
其导数可用下列公式计算：
(1)
证 设 t获得增量 Δt,这时,
的对应增量为 Δu, Δv,由此，函数 z=f(u,v)
()ut?? ()vt??
? ?( ),( )z f t t???
d z z d u z d u
d t u d t v d t
????
??
()ut?? ()vt??
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相应的获得增量 Δz,根据规定，函数 z=f(u,v)
在点 (u,v)具有连续偏导数，于是由第三节公式
(6)有
这里，当 时,.
将上式两边各除以 Δt,得
因为当,时,,
12
zzz u v u v
uv ??
??? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
0,0uv? ? ? ? 120,0??? ? ? ?
12
z z u z v u v
t u t v t t t??
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
0t?? 0,0uv? ? ? ? u du
t dt
? ?
?
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，所以
这就证明符合函数 在点 t可导，
且其导数可用公式 (1)计算,证毕,
全微分形式不变
设函数 z=f(u.v)具有连续偏导数，则有全微
分
v dv
t dt
? ?
?
0
l i m
x
z z d u z d v
t u d t v d t? ?
? ? ???
? ? ?
? ?( ),( )z f t t???
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如果 u,v又是 x,y的函数,
且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数
的全微分为
zzd z d u d v
uv
????
??
(,)u x y?? (,)v x y??
? ?(,),(,)z f x y x y???
zzdz dx dy
xy
????
??
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其中 及 发分别由公式 (4)及 (5)给出,把公
式 (4)及 (5)中的 及 带如上式，得
z
x
?
?
z
y
?
?
z
x
?
?
z
y
?
?
z u z v z u z vd z d x d y
u x v x u y v y
??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?
????? ? ? ? ? ? ? ???
??
z u u z v vd x d y d x d y
u x y v x y
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
zzd u d v
uv
????
??
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由此可见，无论 z是自变量 u,v的函数或中间变
量 u,v的函数，它的全微分形式是一样的,这个
性质叫做全微分形式不变性,
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一,一个方程的情形
二,方程组的情形
第五节 隐函数的求导公式
返 回
习题
一、一个方程的情况
隐函数存在定理 1 设函数 在点
的某一邻域内具有连续偏导数，且
，,则方程 在点
的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具
有连续导数的函数,它满足条件
，并有
（ 1）
(,)F x y
00(,)P x y
00(,) 0F x y ?
00(,) 0yF x y ? 00(,) 0F x y ? 00(,)xy
()y f x?
00()y f x?
x
y
Fdy
d x F
??
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公式推导：
将方程 所确定的函数
代入，得恒等式
其左端可以看作是 x的一个复合函数，求这个函
数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，
即得
由于,且,所以存在 的
00(,) 0F x y ? ()y f x?
(,( ) ) 0F x f x ?
0F F d y
x y d x
????
??
yF 00
(,) 0yF x y ? 00(,)xy
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一个邻域，在这个邻域内,于是得
如果 的二阶偏导数也都连续，我们
可以把等式 (1)的两端看作 x的复合偏导数而再
求一次导，即得
0yF ?
x
y
Fdy
d x F
??
(,)F x y
2
2
xx
yy
FFd y d y
d x x F y F d x
? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ?
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隐函数存在定理可以判定由方程
所确定的二元函数 的存在，以及这
个函数的性质。
隐函数存在定理 2 设函数 在点
的某一邻域内具有连续的偏导数，
22
x x y y x x x y y y y x x
y y y
F F F F F F F F F
F F F
????
? ? ? ???
??
22
3
2x x y x y x y y y x
y
F F F F F F F
F
??
??
(,,) 0F x y z ?
(,)z f x y?
(,,) 0F x y z ?
0 0 0(,,)P x y z
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且,则方程
在点 的某一邻域内恒能
唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函
数,它满足条件,并
有
(2)
将公式 (2)做如下的推导，由于
将上式两端分别对 x和 y求导，应用复合函数求
导
0 0 0 0 0 0(,,) 0,(,,) 0xF x y z F x y z??
(,,) 0F x y z ? 0 0 0(,,)x y z
(,)z f x y? 0 0 0(,)z f x y?
,,yx
zz
FFzz
x F y F
??? ? ? ?
??
(,,(,) ) 0F x y f x y ?
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法则得
因为 连续，且,所以存在点
的一个邻域，在这个邻域内,
于是得
0,0x z y zzzF F F F
xy
??? ? ? ?
zF 0 0 0(,,) 0zF x y z ?
0 0 0(,,)x y z 0zF ?
,,yx
zz
FFzz
x F y F
??? ? ? ?
??
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二、方程组的情况
考虑方程组
(5)
在四个变量中，一般只能有两个变量独立化，
因此方程组 (5)就有可能确定两个二元函数,这
种情形下我们可以由函数 F,G的性质来断定方
程组 (5)所确定的两个二元函数的存在，以及它
们的性质,
(,,,) 0
(,,,) 0
F x y u v
G x y u v
??
? ?
?
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隐函数存在定理 3 设 以及
在点 的某一邻域内
具有对各个变量的连续偏导数，又
、,且
偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比
(Jacobi)行列式 )：
(,,,)F x y u v
(,,,)G x y u v 0 0 0 0(,,,)P x y u v
0 0 0 0(,,,) 0F x y u v ? 0 0 0 0(,,,) 0G x y u v ?
(,)
(,)
FF
FG uv
J
GGuv
uv
??
? ??
??
???
??
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在点 不等于零，则方程组
,在点
的某一邻域内恒能唯一确定一组
单值连续且具有连续偏导数的函数
，,它们满足条件,
，并有
0 0 0 0(,,,)P x y u v
0 0 0 0(,,,) 0F x y u v ? 0 0 0 0(,,,) 0G x y u v ?
0 0 0 0(,,,)x y u v
(,)u u x y?
(,)v v x y? 0 0 0(,)u u x y?
0 0 0(,)v v x y?
1 (,)
(,)
xv
xv
uv
uv
FF
GGu F G
FFx J x u
GG
??
? ? ? ?
??
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(6)
1 (,)
(,)
ux
ux
uv
uv
FF
GGu F G
FFx J u x
GG
??
? ? ? ?
??
1 (,)
(,)
yv
yv
uv
uv
FF
GGu F G
FFy J y v
GG
??
? ? ? ?
??
返 回下一页上一页
下面仅就公式 (6)做如下推导,
由于
1 (,)
(,)
uy
uy
uv
uv
FF
GGu F G
FFy J u y
GG
??
? ? ? ?
??
? ?,,(,),(,) 0F x y u x y v x y ?
? ?,,(,),(,) 0G x y u x y v x y ?
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将恒等式两边分别对 x求导，应用复合函数求导
法则得
这是关于 的线性方程组，由假设可知在
点 的一个邻域，系数行列式
0
0
x u v
x u v
uv
F F F
xx
uv
G G G
xx
???
? ? ?
?? ??
?
???
? ? ?
? ???
,uvxx????
0 0 0 0(,,,)P x y u v
0uv
uv
FF
J
GG
??
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从而可解出,得
同理，可得
,uvxx????
1 (,) 1 (,),
(,) (,)
u F G v F G
x J x v x J u x
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
1 (,) 1 (,),
(,) (,)
u F G v F G
y J y v y J u y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
返 回上一页
一,空间曲线的切线与法平面
二,曲面的切平面与法线
第六节 微分法在几何上的应用
返 回
习题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线 Γ 的参数方程
(1)
这里假定 (1)式的三个函数都可导,
在曲线 Γ 上取对应与 的一点
及对应于 的邻近一点
.根据解析几何，
曲线的割线 的方程是
( ),( ),( )x t y t z t? ? ?? ? ?
0tt? 0 0 0
(,,)M x y z
0t t t? ? ?
0 0 0(,,)M x x y y z z? ? ? ? ? ? ?
MM?
0 0 0x x y y z z
xyz
? ? ???
???
返 回下一页
当 沿着 Γ 趋于,时割线 的极限位
置 就是曲线 Γ 在点 处的 切线 (图 8-7).
用 Δt 除上式的各分母，得
令 (这 Δt→0),
通过对上式取极限，即得
图 8-7 曲线在点 处的切线方程
M MM?
MT M
z
MM ??
M
M?
0 0 0x x y y z z
xyz
t t t
? ? ?
??
???
? ? ?
z
x
y
M
T
M?
?
O
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这里当要假定 都不能为
零,
切线的方向向量称为 曲线的切向量,向量
就是曲线通过 Γ 在点 处的一个切向量,
点通过 而与切线垂直的平面称为曲线 Γ 在
0 0 0
0 0 0( ) ( ) ( )
x x y y z z
t t t? ? ?
? ? ???
? ? ?
z
0 0 0( ) ( ) ( )t t t? ? ?? ? ?、、
? ?000( ),( ),( )T t t t? ? ?????
M
M
返 回下一页上一页
点 处的法平面，它是通过点 而
以 T为法向量的平面，因此这 法平面的方程 为
z
M 0 0 0(,,)M x y z
0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t x x t y y t z z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
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二、曲面的切平面与法线
我们先讨论由隐式给出曲面方程
的情形，然后把显式给出的曲面方程 z=f(x,y)
作为它的特殊情形,
设曲面 Σ 由方程 (9)给出,是曲
面 Σ 上的一点，并设函数 的偏导数
在该点连续且不同时为零,在曲线 Σ 上，通过点
M引一条曲线 Γ( 图 8-8)，假定曲线 Γ 的参数方
程为
z
(,,) 0F x y z ?
0 0 0(,,)M x y z
(,,)F x y z
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程为
(10)
对应于点
且,
,不全为
零，则由 (2)式可得这
曲线的切线方程为
图 8-8
( ),( ),( )x t y t z t? ? ?? ? ?
z
z
x
yO
M
T
?
?
n
0tt?
0 0 0(,,)M x y z 0()t??
0()t?? 0()t??
0 0 0
0 0 0( ) ( ) ( )
x x y y z z
t t t? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
返 回下一页上一页
引入向量
则
表示 (10)在点 M处的切向量z
? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,),(,,),(,,)x y zF x y z F x y z F x y z
0 0 0 0 0 0 0(,,) ( ) (,,) ( )xyF x y z t F x y z t?????
0 0 0(,,) ( ) 0zF x y z t? ???
? ?0( ),( ),( )T t t t? ? ?? ? ??
返 回下一页上一页
与向量 n垂直,因为曲线 (10)是曲面上通过点 M的
任意一条曲线，它们在点 M的切线都与同一个向
量 n垂直，所以曲面上通过点 M的一切曲线在点 M
的切线都在同一个平面上,这个平面称为曲面 Σ
在点 M的 切平面,这 切平面的方程 是
(12)
通过点 而垂直于切平面 (12)的
直线称为曲面在该点的 法线,法线方程 是
z
0 0 0 0 0 0 0 0(,,) ( ) (,,) ( )xyF x y z x x F x y z y y? ? ?
0 0 0 0(,,) ( ) 0zF x y z z z? ? ?
0 0 0(,,)M x y z
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垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向
量,
向量
就是曲面 Σ 在点 M处的一个法向量,
z
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
(,,) (,,) (,,)x y z
x x y y z z
F x y z F x y z F x y z
? ? ???
? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,),(,,),(,,)x y zF x y z F x y z F x y z
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一,方向导数
二,梯度
第七节 方向导数与梯度
返 回
习题
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
设函数 z=f(x,y)在 P(x,y)的某一邻域 U(P)内
有定义,自点 P引射线,设 x轴正向到射线 的
转角为,并设 为 上的另
一点 (图 8-9)且,我们考虑函数的增
量 与 两点间
的距离 的比值,当 沿着
趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极
l l
? (,)P x x y y? ? ? ? ? l
()P U P??
(,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ?PP?、
22( ) ( )xy? ? ? ? ? P
? l
P
返 回下一页
限为函数 f(x,y)在点 P沿
方向 的方向导数，记
作,即
图 8-9
l
y
?
O
?
x
y?
P
x?
P?
l
f
l
?
?
0
(,) (,)l imf f x x y y f x y
l ? ??
? ? ? ? ? ??
?
返 回下一页上一页
定理 如果函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微
分的，那么函数在该点沿任一方向的导数都存
在且有
其中 为 x轴到方向 的转角,
证 根据函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微
分的假定，函数的增量可以表达为
c o s si nf f f
l x y
??? ? ???
? ? ?
? l
(,) (,) ( )fff x x y y f x y x y oxy ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
返 回下一页上一页
两边各除以,得到
所以
?
(,) (,)f x x y y f x y
?
? ? ? ? ?
()f x f y o
xy
?
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
??
()c os sinf f o
xy
???
?
??? ? ?
??
返 回下一页上一页
这就证明了方向导数存在且其值为
0
(,) (,)l im f x x y y f x y
? ??
? ? ? ? ?
c o s sinff
xy
??????
??
c o s si nf f f
l x y
??? ? ???
? ? ?
返 回下一页上一页
对于三元函数 u=f(x,y,z)来说，它在空间一
点 P(x,y,z)沿着 (设方向 的方向为
)的方向导数，同样可以定义为
其中,
同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可
微分，那么函数在该点沿着方向 的方向导数
l l ? ? ?、、
0
(,,) (,,)l imf f x x y y z z f x y z
l ? ??
? ? ? ? ? ? ? ??
?
2 2 2( ) ( ) ( )x y z? ? ? ? ? ? ?c o s,x ????
c o s,c o s,yz? ? ? ?? ? ? ?
l
返 回下一页上一页
为
c o s c o s c o sf f f f
l x y z
? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
返 回下一页上一页
二、梯度
在二元函数的情形，设函数 z=f(x,y)在平面
区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
P(x,y)∈D,都可以定出一个向量
这向量称为函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的 梯度,
记作,即
ffij
xy
???
??
g ra d (,)f x y
g r a d (,) fff x y i j
xy
????
??
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函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的
模为方向导数的最大值,
由梯度的定义可知，梯度的模为
一般来说二元函数 z=f(x,y)在几何上表示一
个曲面，这曲面被平面 z=c(c是常数 )所截得的
曲线 L的方程为
22
gra d (,)
ff
f x y
xy
??????
?? ????
???? ??
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这条曲线 在 xOy面
的投影是一条平面曲
线 (图 8-10)，它
在 xOy平面直角坐标
系中的方程为
图 8-10
(,)z f x y
zc
??
? ?
?
y
O x
g ra d (,)f x y
1(,)f x y c?
(,)f x y c?
2(,)f x y c?
*L
L
*L
(,)f x y c?
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对于曲线 上的一切点，已给函数的函数值都
是 c，所以我们称平面曲线 为函数 z=f(x,y)的
等高线,
由于等高线 f(x,y)=c上任一点 P(x,y)处的
法线斜率为
所以梯度
*L
11
x
yx
y
f
dy ff
dx f
? ? ? ?
??
???
??
??
*L
ffij
xy
???
??
返 回下一页上一页
为等高线上点 P处的法向量,因此我们可得梯度
与等高线的下述关系：函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)
的梯度方向与过点 P的等高线 f(x,y)=c在这点的
法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线
指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数
在这个法线方向的方向导数,这个法线方向就是
方向导数取得最大值的方向,
对于三元函数来说，函数 u=f(x,y,z)在空
间区域 G内具有一阶连续偏导数，则对每一点
，都可定出一个向量(,,)P x y z G?
返 回下一页上一页
这向量称为函数 u=f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的 梯
度,将它记作,即
如果我们引进曲面
f f fi j k
x y z
? ? ???
? ? ?
g r a d (,,)f x y z
gr a d (,) f f ff x y i j k
x y z
? ? ?? ? ?
? ? ?
(,,)f x y z c?
返 回下一页上一页
为函数 u=f(x,y,z)的 等量面 的概念，则可得函
数 u=f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的梯度的方向与过
点 P的等量面 f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方
向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高
的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方
向的方向导数,
返 回上一页
一,多元函数的极值及最大值、最小值
二,条件极值
第八节 多元函数的极值及其求法
返 回
习题
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数 在点 的
某个邻域内有定义，对于该邻域内异于
的点,如果都适合不等式
则称函数在点 有 极大值 ；如
果都适合不等式
(,)z f x y? 00(,)xy
00(,)xy
(,)xy
00(,) (,)f x y f x y?
00(,)xy 00(,)f x y
返 回下一页
则称函数在点 有 极小值,极大
值、极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称
为 极值点,
以上关于二元函数的极值概念，可推广到 n
元函数,设 n元函数 在点 的某一邻
域内有定义，如果对于该邻域内有异于 的任
何点 都不适合不等式
00(,) (,)f x y f x y?
00(,)xy 00(,)f x y
()u f P? 0P
0P
P
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则称函数 在点 有 极大值 (极小值 ),
定理 1(必要条件 ) 设函数 在
点 具有偏导数，且在点 处有极
值，则它在该点的偏导数必然为零：
证 不妨设 在点 处
有极大值,依极大值的定义，在 的某邻
00( ) ( ) ( ( ) ( ) )f P f P f P f P??
()fP
0P 0
()fP
(,)z f x y?
00(,)xy 00(,)xy
0 0 0 0(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
(,)z f x y?
00(,)xy
00(,)xy
返 回下一页上一页
域内异于 的点 都适合不等式
特殊地，该邻域内取 而 的点，也
应合适不等式
这表明一元函数 在 处取得极大
值，因而必有
(,)xy
00(,)xy
00(,) (,)f x y f x y?
0yy? 0xx?
0 0 0(,) (,)f x y f x y?
0(,)f x y 0xx?
00(,) 0xf x y ?
返 回下一页上一页
类似地可证
如果三元函数 在点
具有偏导数，则它在点 具有极值的
必要条件为
定理 2(充分条件 ) 设函数 在
00(,) 0yf x y ?
(,,)u f x y z? 0 0 0(,,)x y z
0 0 0(,,)x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,) 0,(,,) 0,(,,) 0x y zf x y z f x y z f x y z? ? ?
(,)z f x y?
返 回下一页上一页
点 的某邻域内连续且具有 一阶及二阶
连续偏导数，又,
，令
则 在 处是否取得极值的条件如
下：
(1) 时具有极值，且当
时有极大值，当 时有极小值；
(2) 时没有极值；
(3) 时可能有极值，也可能没
00(,)xy
00(,) 0xf x y ? 00(,) 0yf x y ?
0 0 0 0 0 0(,),(,),(,)x x x y y yf x y A f x y B f x y C? ? ?
(,)f x y
00(,)xy
2 0A C B?? 0A?
0A?
2 0A C B??
2 0A C B??
返 回下一页上一页
有极值，还需另作讨论,
二阶连续偏导数的函数 的极值
的求法叙述如下：
第一步 解方程组
求得一切实数解，即可求得一切驻点,
第二步 对于每一个驻点,求出
二阶偏导数的值 和,
第三步 定出 的符号，按定理 2的
(,)z f x y?
(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
00(,)xy
AB,C
2AC B?
返 回下一页上一页
结论判定 是否是极值、是极大值还是极
小值,
0(,)f x y
返 回下一页上一页
二、条件极值 拉格朗日乘数法
上面所讨论的极值问题，对于函数的自变
量，除了限制在函数的定义域以外，并无其他
条件，所以有时候称为 无条件极值,但在实际问
题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条
件的极值问题,
例如，求表面积为 而体积为最大的长方
体的体积问题,设长方体的三棱的长为
还必须满足附加条件,象这
种对自变量有附加条件的极值称为 条件极值,
2a
,,x y z
22 ( )x y y z x z a? ? ?
返 回下一页上一页
对于有些实际问题，可以把条件极值化为
无条件极值，然后利用第一目中的方法加以解
决,例如上述问题，可由条件
，将 z表示成 x,y的函数
再把它代入 中，于是问题就化为求
2 2
2 ( )
a xyz
xy
??
?
V xyz?
22 ( )x y y z x z a? ? ?
2 2
2 2 ( )
x y a x y
V
xy
???
? ??
???
返 回下一页上一页
的无条件极值,
但在很多情形下，将条件极值化为无条件
极值并不这样简单,我们另有一种直接寻求条件
极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极
值的问题,
拉格朗日乘数法 要找函数
在附加条件 下的可能极值点，可以
先构成辅助函数
其中 为某一常数,求其对 x与 y的一阶偏导数，
(,)z f x y?
(,) 0xy? ?
(,) (,) (,)F x y f x y x y????
?
返 回下一页上一页
并使之为零，然后与方程 联立起来：
由这方程组解出 及,则其中 就是函
数 在附加条件 下的可能极值
点的坐标,
(,) 0xy? ?
(,) (,) 0
(,) (,) 0
(,) 0
xx
yy
f x y x y
f x y x y
xy
??
??
?
? ??
?
???
?
??
(,)f x y (,) 0xy? ?
,xy,xy?
返 回下一页上一页
第八章结束
上一页 返 回
总习题 八
1.在, 充分,,, 必要, 和, 充分, 三者中选
择一个正
确的填入下列空格内：
（ 1） 在点 可微分是
在该点连续的 充分 条件, 在点
连续是 在该点可微分的 必要 条件,
（ 2） 在点 的偏导数
及 存在是 在该点可微分的 必要
(,)f x y
下一页 返 回
(,)xy (,)f x y
(,)f x y (,)xy
(,)f x y
(,)z f x y? (,)xy z
x
?
?
z
y
?
?
(,)f x y
条件, 在点 可微分是函数在
该点的偏导数 及 存在的 充分 条件,
（ 3） 的偏导数 及 在点
存在且连续是 在该点可微分的
充分 条件,
（ 4）函数 的两个二阶混合偏导
数 及 在区域 D内连续是这两个二阶
下一页 返 回
(,)z f x y? (,)xy
z
x
?
?
z
y
?
?
上一页
(,)z f x y? z
x
?
?
z
y
?
?
(,)xy (,)f x y
(,)z f x y?
2z
xy
?
??
2z
yx
?
??
混合偏导数在 D内相等的 充分 条件,
2.求函数 的定义
域，并求,
3.证明极限 不存在,
下一页 返 回上一页
1
2
0
lim (,)
x
y
f x y
?
?
2
22
4
(,)
l n (1 )
xy
f x y
xy
?
?
??
2
240
0
lim
x
y
xy
xy?
?
?
题解
题解
4.设
求 及,
5.求下列函数的一阶和二阶偏导数：
下一页 返 回上一页
2
22
22
22
,0
(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
?
???
(,)xf x y (,)yf x y
2(1 ) ln ( )z x y?? ( 2) yzx?
题解
题解 题解
6.求函数 当
时的全增量和全微分,
7.设
证明,在点 (0,0)处连续且偏导数存
在，但不可微分,
下一页 返 回上一页
22
22
2 2 3 / 2
22
,0
()(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
?
???
0,0 3y??
2,1,0, 0 1,x y x? ? ? ?
22
xyz
xy
?
?
(,)f x y
题解
题解
8.设,而 都是可微
函数，求,
9.设 具有连续偏导数，而
求,
10.设,其中 f具有连续
的二阶偏导数，求,
下一页 返 回上一页
,,,u v w? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
du
dt
( ),( )x t y t????yux?
(,,)z f u v w?
,,z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ?
(,,),yz f u x y u x e??
2z
xy
?
??
题解
题解
题解
11.设 试求
和,
12.求螺旋线
在点 处的切线及法平面方程,
13.在曲面 上求一点，使这点处的法线
垂直于平面,并写出这法线
的方程,
下一页 返 回上一页
c o s,s in,.uux e v y e v z u v? ? ?
z
x
?
?
z
y
?
?
c o s,s i n,x a y a z b? ? ?? ? ?
(,0,0)a
z xy?
2 9 0x y z? ? ? ?
题解
题解
题解
14.设 x轴正向到方向 的转角为,求函数
在点 (1,1)沿方向 的方向导数，并分别确定转
角,使这导数有 (1)最大值,(2)最小值,(3)
等于 0.
15.求函数 在椭球面
上点 处沿外法线方向的方向导
数,
下一页 返 回上一页
l
22(,)f x y x x y y? ? ?
?
l
?
2 2 2u x y z? ? ?
2 2 2
1x y z
a b c
? ? ?
0 0 0 0(,,)M x y z
题解
题解
16.求平面 和柱面
的交线上与 xOy平面距离最短的点,
17.在第一卦限内做椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的
四面体的体积最小,求着切平面的切点，并求此
最小体积,
返 回上一页
22 1xy??1
3 4 5
x y z? ? ?
2 2 2
1x y z
a b c
? ? ?
题解
题解
解,求定义域
需满足
即 需满足
下一页 返 回
(,)xy
2
22
22
40
10
l n (1 ) 0
xy
xy
xy
? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
?
(,)xy
2
22
22
40
10
11
xy
xy
xy
? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
?
(,)x y D??
而 是 D的一个内点,
返 回
2
22
4
(,)
l n (1 )
xy
f x y
xy
?
??
??
? ?2 2 2(,) 4 0,0 1D x y x y x y? ? ? ? ? ?
上一页
1,0
2
??
????
1
2
0
12
l im (,),0
32
ln
4
x
y
f x y f
?
?
??
? ? ???
??
解：
设当 时,沿 的方向趋近于
零
显然，该极限随 k的 不同而改变,
返 回
0x ? y
22
2 4 2 4 200l im l imxx
yy
x y k x
x y x k x??
??
??
1
2y kx?
2
4 2 40
0
l im
(1 ) 1x
y
k x k
k x k?
?
??
??
解：
当,显然,
当,
下一页 返 回
(,) (,)(,) l i m
x x
f x x y f x yf x y
x? ? ?
? ? ??
?
22 0xy?? 0xf ?
22 0xy??
x
yx
yx
yxx
yxx
f
x
x
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?
??
22
2
22
2
0
)(
)(
lim
下一页 返 回
2 2 2 2 2
2 2 2 20
( ) ( ) [ ( ) ]l im
[ ( ) ] ( )x
x x y x y x y x x y
x x y x y x??
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2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 20
( ) ( ) ( )
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[ ( ) ] ( )x
x x x x x y x y
y x y
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x x y x y??
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? ? ?
???
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222
3
)(
2
yx
xy
?
?
上一页
同理
当,显然,
当,
返 回
22 0xy??
22 0xy??
0yf ?
222
222
)(
)(
yx
yxxf
y ?
??
上一页
解：
返 回
2
1
xZ xy? ? 2
2
yx
yZ
y ??
22 )(
1
yx
Z xx
?
??
22
2
()x y y x
yZZ
xy
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22
2
22
2
)(
22
)(
22)(2
yx
yx
yx
yyyxZ
yy ?
??
?
????
解：
返 回
1yxZ y x ?? xxZ y
y ln??
2)1( ???? yxx xyyZ
11 lnyy
x y y xZ Z x y x x
??? ? ? ?
2)( ln xxZ y
yy ??
解,全增量
返 回
)1,2()03.1,01.2( ffZ ???
3
2
03.101.2
03.101.2
22 ??
??
222
23
222
22
)()(
)2()(
yx
yxy
yx
xxyyxyZ
x ?
???
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222
23
222
22
)()(
)2()(
yx
xyx
yx
xyyyxxZ
y ?
??
?
????
下一页
返 回上一页
22
21
0 0 1 0 0 3
0 0 3
x x y x
yy
d z Z, Z,
.
??? ? ? ? ?
?
证明,
显然
时,
有
返 回下一页
(0 0 ) 0f ?，
,,0 ??? ????
? ?22(,) (,)x y x y x y ?? ? ? ?
2 2 2 2 2
33
2 2 2 222
1 ( )
0
4
( ) ( )
x y x y
x y x y
?
??
??
返 回下一页
2
1
2
1
22
4
1)(
4
1 ???? yx
处连续在 )0,0(),( yxf?
000lim)0,0()0,0(lim
00
????? ???
???? xx
fxf
xx
又
0)0,0( ?? xf
0)0,0( ?yf同理：
上一页
返 回下一页上一页
(0,0 )即在 处，偏导存在
? ?yfxfZ yx ????? )0,0()0,0(而
0)0,0()0,0( ??????? fyxf
2
3
22
22
)( yx
yx
???
??
?
222
0
022
0
0 )(
limlim
yx
yx
yx
Z
y
x
y
x ???
???
???
?
??
??
??
??
又：
返 回
若令 沿 方向趋近于 0xky ???y?
2 2 2 4
2 2 2 2 2 200l im l im( ) ( 1 )xx
y y k x
x y k x
x y k x? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ??
? ? ? ? ?
则
2
22(1 )
k
k
?
?
上一页
解,
返 回
xy
d u d x d yuu
d t d t d t
??
)('ln)('1 txxtyx yy ?? ?? ?
解,
返 回
v w v w
z v wZ Z Z Z
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?
? ? ?
u w u w
z u wZ Z Z Z
? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
u u v
z u vZ Z Z Z
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?
? ? ?
解,
返 回
' ' ' 'yu x u xZu f f f e fxx??? ? ? ???
2
' ( '' '' ) '' ''y y y yu uu uy x u x yZ e f f x e f e f x e fxy? ? ? ? ? ???
uyxyxuyuyyuuy feffxefefxe '''''''''2 ?????
解,
返 回
c o s,sinyux e v y e v??
x
ya r c t gvyxu ???? ),ln (
2
1 22
Z Z u Z v
x u x v x
? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ?
2
22
2
2
2 ( ) 1 ( )
y
x x
vu
yxy
x
?
??
? ?
下一页
返 回上一页
2222 yx
uyv
yx
x
?
?
?
?
ueuuvv ??? )s inc o s(
uevvvu
y
Z ???
?
? )s inc o s(同理：
解,
返 回
' s in,c o s,'x a y a Z b?? ??? ? ? ?
0)0,0,( ??对应的而点 a
},,0{ baT ??
?
?
?
??
??
0byaZ
ax切线方程为
0??? bZay法平面方程为：
解,
返 回
? ?
0 0 0
00
(,,)
,,1
Z x y x y z
yxn
?
?
??
设曲面 上这点为
1
1
31
00 ??? xy由题意得：
3
3,1
0
00
??
?????
Z
xy
1
3
3
1
1
3
)3,1,3(
?
?
?
?
?
???
Zyx
法线方程为：
这点为
解,
返 回
c o s sinl f f
f x y
??? ? ???
? ? ?
?? s in)2(c o s)2( xyyx ????
)4c o s (2s i nc o s11 ???? ?????? ），（fl即：
24 时，有最大值（1 ）当 ?? ?
245 ?? 时，有最小值（2 ）当 ??
时，值为047 π（3 ）当 ??
解,
返 回
(,,) ( c o s c o s c o s )x y z x y z
u u u u
n ? ? ?
? ? ? ?
?
)c o s2c o s2c o s2 000 ??? zyx ???
)
2
,
2
,
2
(),,(
,1
222
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
FFFn
c
z
b
y
a
x
F
zyx
?????
????
?
则
令
下一页
返 回下一页
)2,2,2( 2 02 02 0),,(
000 c
z
b
y
a
xn
zyx ????
?
则
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
0
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
0
2
2
co s
c
z
b
y
a
x
a
x
c
z
b
y
a
x
a
x
??
?
??
?
?
?? ?
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
0
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
0
co s,co s
c
z
b
y
a
x
a
z
c
z
b
y
a
x
a
y
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?
??
?? ??
上一页
返 回
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
),,(
222
000
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
n
u
zyx
??
??
?
?
?
?
上一页
解,
返 回
22 1xy ??由题意得，就是要在的 条件下
有最小值使 )431(5 yxZ ???
得：
令
0
)1()
43
1(5 22
???
??????
?
?
fff
yx
yx
f
yx由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
01
02
4
5
02
3
5
22
yx
y
x
?
?
下一页
返 回上一页
最短点与面为 xo y
Z
yx
)
12
35
,
5
3
,
5
4
(
12
35
5
3
,
5
4
,
24
25
?
??
????? ?
解,
返 回下一页
0 0 0
0 0 0
0 0 02 2 2
(,,)
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
x y z
x y z
x x y y z z
a b c
? ? ? ? ? ? ? ? ?
设切点,则切平面方程为
),0,0);0,,0);0,0,
0)()()(
0
2
0
2
0
2
02
0
02
0
02
0
z
c
y
b
x
a
zz
a
z
yy
b
y
xx
a
x
（（（
：则与三点坐标轴交点为
即 ??????
上一页
返 回下一页
2 2 2
0 0 0
1,
6
abcU
x y z?? 即为最小值
则有,设
令
0
)1(
6
1
000
2
0
2
0
2
0
000
222
????
??????
?
?
ffff
c
z
b
y
a
x
zyx
cba
f
zyx
上一页
返 回下一页
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??
?
?
??
?
?
1
0
21
6
1
0
21
6
1
0
1
8
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
000
222
2
0
2
2
000
222
2
0
2
2
000
222
c
z
b
y
a
x
c
z
zyx
cba
b
y
yzx
cba
a
x
xzy
cba
?
?
?
上一页
返 回
a b c
cba
a b c
c
z
b
y
a
x
3),
3
,
3
,
3
(
3
4
3
,
3
,
3
,
3
000
极值为所求点为
解得：
?
??
???
?
上一页
习 题 8-1
1.已知函数 试
求,
2.试证函数 满足关系式,
3.以知函数,试求
.
22(,) ta n xf x y x y x y
y
? ? ?
(,)f tx ty
(,) (,) (,) (,) (,)F x y u v F x u F x v F y u F y v? ? ? ?
(,) ln lnF x y x y?
下一页 返 回
(,,) w u vf u v w u w ???
(,,)f x y x y x y??
4.求下列各函数的定义域：
下一页 返 回
2(1 ) l n ( 2 1 )z y x? ? ?
上一页
11( 2 ) z
x y x y
??
??
( 3 ) z x y??
22
( 4 ) l n ( )
1
x
z y x
xy
? ? ?
??
5.求下列各极限：
下一页 返 回
2 2 2 2
2 2 2 2
1
( 5 )
( 0 )
z R x y z
x y z r
Rr
? ? ? ? ?
? ? ?
??
上一页
22
( 6 ) a r c c o s zz
xy
?
?
220
1
1(1 ) lim
x
y
xy
xy??
?
? 2210
ln ( )( 2 ) lim y
x
y
xe
xy??
?
?
6.证明下列极限不存在：
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2
0
s in ( )( 5 ) lim
x
y
xy
y??
221
0
ln ( )( 2 ) lim y
x
y
xe
xy??
?
?00
24
( 3 ) l im
x
y
xy
xy?
?
??
22
22
220
0
1 c o s ( )( 6 ) l im
() xyxy
xy
x y e??
??
?
0
0
(1 ) lim
x
y
xy
xy??
?
?
22
2 2 20
0
( 2 ) l im
()x
y
xy
x y x y?
?
??
7.函数 在何处是间断的？
8.证明,
2
2
2
2
yxz
yx
??
?
上一页 返 回
221
0
lim 0
x
y
xy
xy??
?
?
例 1 圆柱体的体积 和它的底半径,高
之间具有关系
这里，当, 在集合 内
取定一对值 时,的对应值就随之确定,
例 2 一定量的理想气体的压强,体积 和
绝对温度 之间具有关系
V r h
2V r h??
r h ? ?(,) 0,0r h r h??
(,)rh V
p V
T
RTp
V?
下一页 返 回
其中 为常数,这里，当, 在集合
内取定一对值 时，
的值就随之确定,
例 3 设 是电阻 并联后的总电阻，由
电学知道，它们之间具有关系
这里，当 在集合
内取定一对值 时,的对应值就随之确
定,
V T
p
12RR、R
? ?(,) 0,0V T V T?? (,)VT
R
12
12
RRR
RR
?
?
12RR,? ?1 2 1 2(,) 0,0R R R R??
12()RR、
R
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例 4 设
求证
证 因为
可见，对任给,取 则当
2 2 2 2
22
1(,) ( ) si n ( 0 )f x y x y x y
xy
? ? ? ?
?
0
0
lim (,) 0
x
y
f x y
?
?
?
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
11( ) s i n 0 s i nx y x y x y
x y x y? ? ? ? ??? ≤
0? ? ???
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时，总有
成立，所以
220 ( 0 ) ( 0 )xy ?? ? ? ? ?
22
22
1( ) s i n 0xy
xy
?? ? ?
?
0
0
lim (,) 0
x
y
f x y
?
?
?
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例 5 求
解 这里 在区域
和区域
内都有定义,同时为 及 的边界点,
但无论在 内还是在 内考虑，下列运算都
是正确的：
? ?1 (,) 0D x y x??
0 (0,2)P 1D
0
2
s in ( )lim
x
y
xy
x??
s i n ( )(,) xyf x y
x?
? ?2 (,) 0D x y x??
2D
1D 2D
0 0 2
2
s i n ( ) s i n ( )l i m l i m l i m 1 2 2
x x y y
y
x y x y y
xx? ? ?
?
? ? ?
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例 6 求
解 函数 是初等函数，它的定
义域为
因 不是连通的，故 不是区域,但
是区域，且,所以 是函数 的
一个定义域,因,故
1
2
lim
x
y
xy
xy??
?
(,) xyf x y xy??
? ?(,) 0,0D x y x y? ? ?
D D
? ?1 (,) 0,0D x y x y? ? ?
1DD? 1D
(,)f x y
01(1,2 )PD?
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例 7 求
解
1
2
3l i m (1,2 )
2xy
xy f
xy??
? ??
0
0
11
lim
x
y
xy
xy?
?
??
00
11 11
l im l im
( 1 1 )xxyy
xy xy
xy x y x y??
?? ??
?
??
下一页上一页 返 回
0
0
11l i m
211xy xy??
??
??
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习 题 8-2
1.求下列函数的偏导数
下一页 返 回
33(1 ) z x y y x?? 22
( 2) uvz
uv
??
(3 ) ln ( )z x y? 2( 4) sin( ) c os ( )z x y x y??
( 5 ) ln ta n xz
y
? ( 6) (1 )
yz x y??
(7 )
y
zux? ( 8 ) a r c ta n( ) zu x y??
2.设,求证,
3.设,求证,
4.折,
求,
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2 lT
g
?? 0TTlglg??????
11()
xyze ???
22 2zzx y x
xy
????
??
(,) ( 1 ) a r c s i n xf x y x y
y
? ? ?
(,1)xfx
5.设,在 (2,4,5)处的切线对于 x
轴的倾角是多少？
6.求下列函数的, 和
下一页 返 回上一页
22
4
4
xy
z
y
? ?
??
?
? ?
?
2
2
z
x
?
?
2
2
z
y
?
?
2z
xy
?
??
4 4 2 2(1 ) 4z x y x y? ? ?
( 2) a r c ta n xz
y
?
(3) xzy?
7.设,求
，, 及,
8.设,求 及,
9.验证：
满足 ；
满足
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2 2 2(,,)f x y z x y y z zx? ? ?(0,0,1)
xxf
(1,0,2 )xzf ( 0,1,0)yzf ? ( 2,0,1)zzxf
ln ( )z x xy? 2
2
z
xy
?
??
2
2
z
xy
?
??
2(1 ) s ink n ty e n x?? 2
2
yyk
tx
???
??
2 2 2( 2 ) r x y z? ? ?
2 2 2
2 2 2
2r r r
x y z r
? ? ?? ? ?
? ? ?
例 1 求 在点 (1,2)处的偏导
数,
解 把 看作常量
把 看作常量
将 (1,2)代入上面的结果，就是
223z x x y y? ? ?
23z xyx? ???
y
x
32z xy
y
? ??
?
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例 2 求 的偏导数
解
1
2
2 1 3 2 8x
y
z
x ??
? ? ? ?
?
1
2
3 1 2 2 7x
y
z
y ??
? ? ? ?
?
2 sin 2z x y?
2 s in 2z xyx? ?? 22 c o s 2z xy
y
? ?
?
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例 2 求 的偏导数
解
1
2
2 1 3 2 8x
y
z
x ??
? ? ? ?
?
1
2
3 1 2 2 7x
y
z
y ??
? ? ? ?
?
2 sin 2z x y?
2 s in 2z xyx? ?? 22 c o s 2z xy
y
? ?
?
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例 3 设,求证：
证 因为,,
所以
2 ( 0,1 )z x x x? ? ?
1 2
ln
x z z z
y x x y
????
??
1yz yx
x
?? ?
?
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lnyz xx
y
? ?
?
111 ln
l n l n
2
yy
yy
x z z x
y x x x
y x x y y x
x x z
???? ? ?
??
? ? ?
例 4 求 的偏导数,
解 把 y和 z都看作常量，得
由于所给函数关于自变量的对称性，所以
2 2 2r x y z? ? ?
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2 2 2
r x x
xrx y z
?
??
? ??
,r y r z
y r z r
????
??
例 6 设,求,
、, 及,
解
3 2 331z x y x y x y? ? ? ?
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2
2
z
x
?
?
2z
yx
?
??
2z
xy
?
??
2
2
z
y
?
?
2
3
z
x
?
?
2 2 333z x y y y
x
? ? ? ?
?
3229z x y x y x
y
? ? ? ?
?
2
2
2 6
z xy
x
? ?
?
2
226 9 1z x y y
yx
? ? ? ?
??
返 回
2
226 9 1z x y y
xy
? ? ? ?
??
上一页
2
3
2 2 1 8
z x xy
y
? ??
?
2
2
3 6
z y
x
? ?
?
例 7 验证 满足方程
证 因为,
所以,
下一页 返 回
22lnz x y??
22
22 0
zz
xy
????
??
2 2 2 21l n l n ( )
2
z x y x y? ? ? ?
22
zx
x x y
? ?
?? 22
zy
y x y
? ?
??
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2
( ) ( )
z x y x x y x
x x y x y
? ? ? ???
? ? ?
因此
例 8 证明函数 满足方程
下一页 返 回
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2
( ) ( )
z x y y y x y
y x y x y
? ? ? ???
? ? ?
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 0( ) ( )
z z y x x y
x y x y x y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
上一页
1u
r
?
其中,
证
由于函数关于自变量的对称性，所以
下一页 返 回
222
2 2 2 0
uuu
x y z
???? ? ?
? ? ?
上一页
2 2 2r x y z? ? ?
2 2 3
11u r x x
x r x r r r
??? ? ? ? ? ?
??
22
2 3 4 3 5
33u x x r x x
x r r x r r
??? ? ? ? ? ?
因此
返 回上一页
2 2 2 2
2 3 5 2 3 5
33,u x y u x z
y r r y r r
??? ? ? ? ? ?
222
2 2 2
2 2 2 2
3 5 3 5
3 3 ( ) 3 3
0
uuu
x y z
x y z r
r r r r
???
??
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
习 题 8-3
1.求下列函数的全微分：
2.求函数 当 时
的全微分,
下一页 返 回
(1 ) xz x y
y
?? ( 2 )
y
xze?
22
( 3 )
y
z
xy
?
?
( 4 ) yzux?
22l n (1 )z x y? ? ? 1,2xy??
3.求函数 当
时的全增量和全微分,
4.求函数 当
时的全微分,
返 回
xyze?
0,2y? ? ?
yz
x
? 2,1,0,1,x y x? ? ? ?
1,1,0, 1 5,x y x? ? ? ?
0,1y? ? ?
上一页
例 1 计算函数 的全微分,
解 因为
所以
例 2 计算函数 在点 (2,1)处的全微分,
解 因为
下一页 返 回
22z x y y??
22,2zz x y x y
xy
??? ? ?
??
22 ( 2 )dz x y dx x y dy? ? ?
xyze?
,x y x yzzy e x e
xy
????
??
所以
例 3 计算函数 的全微分,
解
所以,
返 回
22 2d z e d x e d y??
s i n
2
yzyu x e? ? ?
22
22
11
,2xx
yy
zz ee
xy??
?? ??
??
11,c o s,
22
y z y zu u y uze y e d z
x y z
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
1( c o s )
22
y z y zyd u d x z e d y y e d z? ? ? ?
上一页
习 题 8-4
1.设,而,
求,
2.设,而,
求,
下一页 返 回
,zz
xy
??
??
22z u v?? u x y?? v x y??
2 lnz u v? x
u
y
? 32v x y??
,zz
xy
??
??
3.设,而,,
求,
4.设,而,,
求,
下一页 返 回上一页
2xyze ?? sinxt? 3yt?
dz
dt
a r c s i n ( )z x y?? 3xt? 34yt?
dz
dt
5.设,而,求,
6.设,而,
，求,
7.设,而,
下一页 返 回上一页
xye? dz
dx
a r c ta n ( )z x y?
co szx?
s iny a x?
du
dx
2
()
1
axe y z
u
a
??
?
a r c ta n xz
y
?
x u v?? y u v??
验证
8.求下列函数的一阶偏导数 (其中 f具有一阶连
续
偏导数 )
下一页 返 回上一页
22
z z u v
u v u v
? ? ???
? ? ?
? ? 221 (,)xyu f x y e??
返 回上一页
? ?2,xyuf
yz
??
? ??
??
? ? ? ?3,,u f x x y x y z?
习 题 8-5
1.设,求,
2.设,求,
3.设,求 及,
4.设,求 及,
下一页 返 回
dy
dx
2sin 0xy e x y? ? ?
22l n a r c t a n yxy
x
?? dy
dx
2 2 0x y z x y z? ? ? ?z
x
?
?
z
y
?
?
lnxz
zy
?
z
x
?
?
z
y
?
?
5.设,
证明,
6.设 都是
由 所确定的具有连续偏导数的
函数，证明
下一页 返 回上一页
2 s i n ( 2 3 ) 2 3x y z x y z? ? ? ? ?
1zz
xy
????
??
(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y? ? ?
(,,) 0F x y z ?
1y y z
y z x
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
7.设 具有连续偏导数，证明由方程
所确定的函数
满足,
8.设,求,
返 回上一页
(,)uv?
(,)z f x y?
(,) 0c x a z c y b z? ? ? ?
zza b c
xy
????
??
0xe xy z?? 2
2
z
x
?
?
习 题 8-6
1.求曲线
在点 处的切线及法线平面方
程,
2.求曲线 在对应
的点处切线及法平面方程,
下一页 返 回
1t?
s i n,1 c o s,4 s i n
2
tx t t y t z? ? ? ? ?
1,1,2 2
2
????
????
21,,
1
ttx y z t
tt
?? ? ?
?
3.求曲线
在点 处的切线及法线平面方程,
4.求曲线,
在点 处的切线及法线平面方程,
下一页 返 回
21,,
1
ttx y z t
tt
?? ? ?
?
? ?0 0 0,,x y z
2 2 2 30
2 3 5 4 0
x y z x
xyz
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
? ?1,1,1
上一页
5.求曲线 上的点，使在该点
的切线平行于平面,
6.求曲面 在点 处的切线
及法线平面方程,
返 回
23,,x t y t z t? ? ?
24x y z? ? ?
3ze z x y? ? ? (2,1,0)
上一页
习 题 8-7
1.求函数 在点 (1,2)处沿从点 (1,2)
到点 的方向的方向导数,
2.求函数 在抛物线 上点
(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向 x轴正
向的切线方向的方向导数,
3.求函数 在点
下一页 返 回
2 4yx?
22z x y??
( 2,2 3 )?
ln ( )z x y??
22
221
xy
z
ab
??
? ? ???
??
,
22
ab??
????
处沿曲线 这点的内法线方向的
方向导数,
4.求函数 在点 (1,1,2)处沿
方向角为 的方向的方
向导数,
下一页 返 回
22
22 1
xy
ab
??
上一页
23z x y z x y z? ? ?
,,
3 4 3
? ? ?? ? ?? ? ?
5.求函数,在点 (5,1,2)处沿从点
(5,1,2)到点 (9,4,14)的方向的方向导数,
6.求函数
在曲线 上点 (1,1,1)处，
沿曲线在该点的切线 (对应于 t增大的方向 )的
方向导数,
7.求函数 在球面
上点 处，沿球面在该点的外法线
方向的方向导数,
返 回
u xyz?
2 2 2u x y z? ? ?
上一页
23,,x t y t z t? ? ?
u x y z? ? ? 2 2 2 1x y z? ? ?
0 0 0(,,)x y z
习 题 8-8
1.求函数 的极值,
2.求函数 的极值,
3.求函数 的极值,
4.求函数 在适合附加条件 的极
大值
下一页 返 回
22(,) 4 ( )f x y x y x y? ? ? ?
22(,) ( 6 ) ( 4 )f x y x x y y? ? ?
22(,) ( 2 )xf x y e x y y? ? ?
z xy? 1xy??
5.从斜边之长为 的一切直角三角形中，求有
最大周长的直角三角形,
6.要造一个容积等于定数 的长方体无盖水池，
应如何选择水池的尺寸，方可使它的面积最
小,
7.在平面 xOy上求一点，使它到 及
三角线的距离平方之和最小,
下一页 返 回
l
上一页
k
0,0xy??
2 1 6 0xy? ? ?
8.将周长为 2p的矩形绕它的一边旋转而构成一
个圆柱体,问矩形的边长各位多少时，才可使
圆柱体的体积为最大,
9.求内接于半径为 a的球有最大体积的长方体,
10.抛物面 被平面 截
成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短路
径,
返 回上一页
1x y z? ? ?22z x y??
重庆大学数理学院
教师 吴新生
第八章
多元函数微分法及其应用
开 始
退出
第一节 多元函数的基本概念
返 回
第二节 偏导数
第四节 多元复合函数的求导法则
第五节 隐函数的求导公式
第六节 微分法在几何上的应用
第八节 多元函数的极值及其求法
第七节 方向导数与梯度
第三节 全微分
总习题
返 回
一,区域
四,多元函数的连续性三,多元函数的极限
二,多元函数概念
第一节 多元函数的基本概念
习题
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域
设 是 xOy平面上的一个点,δ 是某一
正数,与点 距离小于 δ 的点 的全体
称为 的 邻域,记为,即
也就是
返 回
0 0 0(,)P x y
0 0 0(,)P x y (,)P x y
0P 0(,)UP?
00(,) { }U P P P P????
22
0 0 0(,) { (,) ( ) ( ) }U P x y x x y y??? ? ? ? ?
下一页
2.区域
设 E是平面上的一个点集,P是平面上的一个
点,如果存在点 P的某一邻域 使,
则称 P为 E的 内点 (图 8-1).
如果点集 E的点都是内点，则
称 E为 开集,
如果点 P的任一邻域内既有属
P 于 E的点，也有不属于 E的点，
E 则称 P为 E的 边界点 （图 8-2）,
设 D是开集,如果对于 D内的
图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
下一页上一页
()UP ()U P E?
返 回
来,而且该折线上的点都属于 D,
P 则称开集 D是 连通的,
连通的开集称为 区域 或 开区域,
E 开区域连同它的边界一起,称
为 闭区域,
图 8-2
3.n维空间
设 n为取定的一个自然数,我们称有序 n元数组
的全体为 n维空间,而每个有序 n元数
组 称为 n维空间中的一个点,数 称
12(,,,)nx x x
12(,,,)nx x x ix
返 回下一页上一页
为该点的第 i个坐标,n维空间记为,
n维空间中两点 及 间
的距离规定为
n
12(,,,)nP x x x 12(,,,)nQ y y y
2 2 2
1 1 2 2( ) ( ) ( )nnP Q y x y x y x? ? ? ? ? ? ?
返 回下一页上一页
二、多元函数概念
定义 1 设 D是平面上的一个点集,如果对于
每个点 P=(x,y)∈D,变量 z按照一定法则总有确
定的值和它对应,则称 z是变量 x,y的 二元函数
(或点 P的函数 ),记为
点集 D称为该函数的 定义域,x,y称为 自变量,z
(,) ( )z f x y z f P?? 或
例题
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也称为 因变量,数集
称为该函数的 值域,
把定义 1中的平面点集 D换成 n维空间内的点集
D.则可类似的定义 n元函数,当
n=1时,n元函数就是一元函数,当 n≥2 时 n元函
数统称为 多元函数,
{ (,),(,) }z z f x y x y D??
12(,,,)nu f x x x?
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三、多元函数的极限
二元函数 当,,即
时的极限,
这里 表示点 以任何方式趋于,也就
是点 与点 间的距离趋于零，即
定义 2 设函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）
内有定义,是 D的内点或边界点如果
对于任意给定的正数 ε,总存在正数 δ,使得
对于适合不等式
(,)z f x y? 0xx? 0yy?
0 0 0(,) (,)P x y P x y?
0PP? 0P
0P
22
0 0 0( ) ( ) 0P P x x y y? ? ? ?
0 0 0(,)P x y?
P
P
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的一切点 P(x,y)∈D,都有
成立，则称常 A为函数 f(x,y)当,
时的极限，记作
或
这里,
22
0 0 00 ( ) ( )P P x x y y ?? ? ? ? ?
(,)f x y A ???
0xx? 0yy?
0
lim (,)xx f x y A? ?
(,)f x y A? ( 0)? ?
0PP? ?
例题
返 回下一页上一页
四、多元函数的连续性
定义 3 设函数 f(x,y)在开区域 (或闭区域 )D
内有定义,是 D的内点或边界点且,
如果
则称函数 f(x,y)在点 连续,
若函数 f(x,y)在点 不连续，则称 为
函数 f(x,y)的 间短点,
函数
0PD?
0
0
00l i m (,) (,)xx
yy
f x y f x y
?
?
?
0P
22
22
22
,0
(,)
0,
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
? ?
? =0
0 0 0(,)P x y
0 0 0(,)P x y
0 0 0(,)P x y
返 回下一页上一页
当 x→0,y→0 时的极限不存在，所以点 (0,0)是
该函数的一个 间断点,
函数
在圆周 上没有定义，所以该圆周上各
点都是间断点，是一条曲线,
性质 1(最大值和最小值定理 ) 在有界闭区
域 D上的多元连续函数，在 D上一定有最大值和
最小值,
在 D上至少有一点 及一点,使得 为最
大值而 为最小值，即对于一切 P∈D,有
22
1sin
1z xy? ??
22 1xy??
1P 2P 1()fP
2()fP
返 回下一页上一页
性质 2(介值定理 ) 在有界闭区域 D上的多元
函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它
在 D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
如果 μ 是函数在 D上的最小值 m和最大值 M之间
的一个数，则在 D上至少有一点 Q，使得 f(Q)=μ.
*性质 3(一致连续性定理 ) 在有界闭区域上
的多元连续函数必定在 D上一致连续,
若 f(P)在有界闭区域 D上连续，那么对于任意
给定的正数 ε,总存在正数 δ,使得对于 D上的
21( ) ( ) ( )f P f P f P??
返 回下一页上一页
任意二点,只要当 时，都有
成立,
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点
处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，
则极限值就是函数在该点函数值，即
12( ) ( )f P f P ???
0P
0
0li m ( ) ( )PP f P f P? ?
例题
12,PP 12PP ??
返 回上一页
一,偏导数的定义及其计算方法
二,高阶偏导数
第二节 偏导数
习题 返 回
一、偏导数的定义及其计算方法
定义 设函数 在点 的某
一邻域内有定义，当 y固定在 而 x固定在 处
有增量 Δx 时，相应地函数有增量
如果
（ 1）
存在，则称此极限为函数 在点
处对 x的偏导数,记作
(,)z f x y? 00(,)xy
0y 0x
0 0 0 0(,) (,)f x x y f x y? ? ?
0 0 0 0
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y
x??
? ? ?
?
(,)z f x y?
00(,)xy
返 回下一页
例如，极限 (1)可以表示为
(2)
类似地,函数 在点 对 y的偏导
数定义为
000
000
0,0,,( )x x x xx x x x
yyy y y y
zf
z f x y
xx
???
???
??
??
或
0 0 0 0
00 0
(,) (,)(,) l i m
x x
f x x y f x yf x y
x??
? ? ??
?
(,)z f x y? 00(,)xy
返 回下一页上一页
(3)
记作
如果函数 在区域 D内每一点 (x,y)
处对 x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x,y函数,它就称为函数 对自变量 x
的偏导函数,记作
0 0 0 0
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y
y??
? ? ?
?
000
000
0,0,,( )x x x xx x x x
yyy y y y
zf
z f x y
xx
???
???
??
??
或
(,)z f x y?
(,)z f x y?
返 回下一页上一页
类似的，可以定义函数 z=f(x,y)对自变量 y的
偏导函数，记作
求 时只要把 y暂时看作常量对 x求导数；求
时只要把暂 x时看作常量对 y求导数,
,,(,)xxzf z f x yxx???? 或
,,(,)yyzf z f x y
yy
??
??
或
f
x
?
?
f
y
?
?
例题
返 回下一页上一页
图 8-6x
y
z
0x
0y
O
0MxT
yT
0(,)z f x y?
0(,)z f x y?
返 回下一页上一页
二、高阶偏导数
设函数 z=f(x,y)在区域 D内具有偏导数
那么在 D内 都是 x,y的函数,如
果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数
z=f(x,y)的二阶偏导数,按照对变量求导次序的
不同下列四个二阶偏导数：
222(,),(,) xxxy zzzz fxyfxy xxxyxxy ???????? ?????? ????? ????
(,),(,)xyzzf x y f x y
xy
????
(,) (,)xyf x y f x y、
22
2 (,),(,)x x x y
z z z zf x y f x y
x x x y x x y
? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?
????? ? ? ? ? ? ???
??
返 回下一页上一页
二元函数 z=f(x,y)在点 的偏导数有下
述几何意义,
设 为曲面 z=f(x,y)上的一点,
过 作平面,截此曲面得一曲线，此曲
线在平面 上的方程为,则导数
，即偏导数,就是
这曲线在点 处的切线 对 x轴的斜率 (见
图 8-6).同样偏导数 的几何意义是曲
面被平面 所截得的曲线在点 处的切线
对 y轴的斜率,
00(,)xy
0 0 0 0 0(,,(,) )M x y f x y
0M 0yy?
0yy? 0(,)z f x y?
0
0
(,)d f x y
xxdx ?
00(,)xf x y
0M 0 xMT
00(,)yf x y
0xx? 0M
0 xMT
返 回下一页上一页
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数,同
样可得三阶、四阶,···以及 n阶偏导数,二阶及二
阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数,
定理 如果函数 z=f(x,y)的两个二阶混合偏
导数 及 在 D内连续，那么在该区域内
这两个二阶混合偏导数必相等,
222(,),(,) xxxy zzzz fxyfxy xxxyxxy ???????? ?????? ????? ????
22
2(,),(,)y x y y
z z z zf x y f x y
x y y x y y y
????? ? ? ? ? ?
? ? ? ?????
? ? ? ? ? ? ?????
2z
yx
?
??
2z
xy
?
?? 例题
例题
返 回上一页
第三节 全微分及其应用
习题
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第三节 全微分及其应用
二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一
个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变
化率,
上面两式的左端分别叫做二元函数对 x和对 y的
偏增量，而右端分别叫做二元函数对 x和对 y的
偏微分,
设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的某邻域内有定
义，并设 为这邻域内的任意一
(,) (,) (,)xf x x y f x y f x y x? ? ? ? ?
(,) (,) (,)yf x y y f x y f x y y? ? ? ? ?
(,)P x x y y? ? ? ? ?
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点，则称这两点的函数值之差
为函数在点 P对应于自变量增量 Δx, Δy 的 全增
量,记作 Δz,即
定义 如果函数 z=f(x,y)在点 (x,y)的全增
量
(1)
可表示为
(,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ?
(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
()z A x B y o ?? ? ? ? ? ?
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其中 A,B不依赖于 Δx, Δy 而仅与 x,y有关，
，则称函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
可微分，而 称为函数 z=f(x,y)在点
(x,y)全微分，记作 dz,即
(2)
如果函数在区域 D内各点处都可微分，那么称
这函数 在 D内可微分,
下面讨论函数 z=f(x,y)在点 (x,y)可微分的条
件,
定理 1(必要条件 ) 如果函数 z=f(x,y)在点
22( ) ( )xy? ? ? ? ?
A x B y? ? ?
d z A x B y? ? ? ?
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(x,y)可微分，则该函数在点 (x,y)的偏导数
必定存在，且函数 z=f(x,y)在点 (x,y)的全微
分为
(3)
证 设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)可微分,于是
对于点 P的某个邻域内的任意点
,(2)式总成立,特别当 时 (2)式也应成立，
这时,所以 (2)式成为
z
x
?
?
z
y
?
?
zzd z x y
xy
??? ? ? ?
??
(,)P x x y y? ? ? ? ?
x? ??
0y??
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上式两边各除以,再令 而极限，就
得
从而，偏导数 存在，而且等于 A.同样可证
=B.所以三式成立,证毕,
(,) (,) ( )f x x y f x y A x x?? ? ? ? ? ? ?
x? 0x??
0
(,) (,)l i m
x
f x x y f x y A
x??
? ? ? ?
?
z
x
?
?
z
y
?
?
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定理 2(充分条件 ) 如果 z=f(x,y)的偏导数
在 (x,y)连续，则函数在该点可微分,
证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定
义的函数 (对于偏导数也如此 )，所以假定偏导
数在点 P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某
一邻域内必然存在的意思,设点 为
这邻域内任意一点，考察函数的全增量
zz
xy
??
??
、
(,)x x y y? ? ? ?
(,) (,)z f x x y y f x y? ? ? ? ? ? ?
? ?(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?
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在第一个方括号内的表达式，由于 y+Δy 不变，
因而可以看作是 x的一元函数 的增量,
于是应用拉格郎日中值定理，得到
又依假设,在点 连续，所以上式可
写为
? ?(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ? ?
? ?(,) (,)f x y y f x y? ? ? ?
(,)f x y y??
(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?
11(,) 0 1xf x x y y x??? ? ? ? ? ? ? ? ( )
(,)xf x y (,)xy
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(4)
其中 为 Δx, Δy 的函数，且当
时,.
同理可证第二个方括号内的表达式可写为
(5)
其中 为 Δy 的函数，且当 时,.
由 (4),(5)两式可见，在偏导数连续的假定
下，全增量 Δz 可以表示为
(,) (,)f x x y y f x y y? ? ? ? ? ? ?
1(,)xf x y x x?? ? ? ?
1? 0,0xy? ? ? ?
1 0? ?
2(,) (,) (,)yf x y y f x y f x y y y?? ? ? ? ? ? ?
2? 0y?? 2 0? ?
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容易看出
它就是随着 即 而趋于零
的,
这就证明了 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微分的,
12(,) (,)xyz f x y x f x y y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ?
12
12
xy?? ??
?
? ? ? ??
0,0xy? ? ? ? 0? ?
例题
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第四节 多元复合函数的求导法则
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习题
第四节 多元复合函数的求导法则
定理 如果函数 及 都在点 t
可导，函数 z=f(u,v)在对应点 (u,v)具有连续偏
导数，则符合函数 在 t可导，切
其导数可用下列公式计算：
(1)
证 设 t获得增量 Δt,这时,
的对应增量为 Δu, Δv,由此，函数 z=f(u,v)
()ut?? ()vt??
? ?( ),( )z f t t???
d z z d u z d u
d t u d t v d t
????
??
()ut?? ()vt??
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相应的获得增量 Δz,根据规定，函数 z=f(u,v)
在点 (u,v)具有连续偏导数，于是由第三节公式
(6)有
这里，当 时,.
将上式两边各除以 Δt,得
因为当,时,,
12
zzz u v u v
uv ??
??? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
0,0uv? ? ? ? 120,0??? ? ? ?
12
z z u z v u v
t u t v t t t??
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
0t?? 0,0uv? ? ? ? u du
t dt
? ?
?
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，所以
这就证明符合函数 在点 t可导，
且其导数可用公式 (1)计算,证毕,
全微分形式不变
设函数 z=f(u.v)具有连续偏导数，则有全微
分
v dv
t dt
? ?
?
0
l i m
x
z z d u z d v
t u d t v d t? ?
? ? ???
? ? ?
? ?( ),( )z f t t???
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如果 u,v又是 x,y的函数,
且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数
的全微分为
zzd z d u d v
uv
????
??
(,)u x y?? (,)v x y??
? ?(,),(,)z f x y x y???
zzdz dx dy
xy
????
??
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其中 及 发分别由公式 (4)及 (5)给出,把公
式 (4)及 (5)中的 及 带如上式，得
z
x
?
?
z
y
?
?
z
x
?
?
z
y
?
?
z u z v z u z vd z d x d y
u x v x u y v y
??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?
????? ? ? ? ? ? ? ???
??
z u u z v vd x d y d x d y
u x y v x y
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
zzd u d v
uv
????
??
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由此可见，无论 z是自变量 u,v的函数或中间变
量 u,v的函数，它的全微分形式是一样的,这个
性质叫做全微分形式不变性,
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一,一个方程的情形
二,方程组的情形
第五节 隐函数的求导公式
返 回
习题
一、一个方程的情况
隐函数存在定理 1 设函数 在点
的某一邻域内具有连续偏导数，且
，,则方程 在点
的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具
有连续导数的函数,它满足条件
，并有
（ 1）
(,)F x y
00(,)P x y
00(,) 0F x y ?
00(,) 0yF x y ? 00(,) 0F x y ? 00(,)xy
()y f x?
00()y f x?
x
y
Fdy
d x F
??
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公式推导：
将方程 所确定的函数
代入，得恒等式
其左端可以看作是 x的一个复合函数，求这个函
数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，
即得
由于,且,所以存在 的
00(,) 0F x y ? ()y f x?
(,( ) ) 0F x f x ?
0F F d y
x y d x
????
??
yF 00
(,) 0yF x y ? 00(,)xy
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一个邻域，在这个邻域内,于是得
如果 的二阶偏导数也都连续，我们
可以把等式 (1)的两端看作 x的复合偏导数而再
求一次导，即得
0yF ?
x
y
Fdy
d x F
??
(,)F x y
2
2
xx
yy
FFd y d y
d x x F y F d x
? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ?
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隐函数存在定理可以判定由方程
所确定的二元函数 的存在，以及这
个函数的性质。
隐函数存在定理 2 设函数 在点
的某一邻域内具有连续的偏导数，
22
x x y y x x x y y y y x x
y y y
F F F F F F F F F
F F F
????
? ? ? ???
??
22
3
2x x y x y x y y y x
y
F F F F F F F
F
??
??
(,,) 0F x y z ?
(,)z f x y?
(,,) 0F x y z ?
0 0 0(,,)P x y z
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且,则方程
在点 的某一邻域内恒能
唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函
数,它满足条件,并
有
(2)
将公式 (2)做如下的推导，由于
将上式两端分别对 x和 y求导，应用复合函数求
导
0 0 0 0 0 0(,,) 0,(,,) 0xF x y z F x y z??
(,,) 0F x y z ? 0 0 0(,,)x y z
(,)z f x y? 0 0 0(,)z f x y?
,,yx
zz
FFzz
x F y F
??? ? ? ?
??
(,,(,) ) 0F x y f x y ?
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法则得
因为 连续，且,所以存在点
的一个邻域，在这个邻域内,
于是得
0,0x z y zzzF F F F
xy
??? ? ? ?
zF 0 0 0(,,) 0zF x y z ?
0 0 0(,,)x y z 0zF ?
,,yx
zz
FFzz
x F y F
??? ? ? ?
??
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二、方程组的情况
考虑方程组
(5)
在四个变量中，一般只能有两个变量独立化，
因此方程组 (5)就有可能确定两个二元函数,这
种情形下我们可以由函数 F,G的性质来断定方
程组 (5)所确定的两个二元函数的存在，以及它
们的性质,
(,,,) 0
(,,,) 0
F x y u v
G x y u v
??
? ?
?
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隐函数存在定理 3 设 以及
在点 的某一邻域内
具有对各个变量的连续偏导数，又
、,且
偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比
(Jacobi)行列式 )：
(,,,)F x y u v
(,,,)G x y u v 0 0 0 0(,,,)P x y u v
0 0 0 0(,,,) 0F x y u v ? 0 0 0 0(,,,) 0G x y u v ?
(,)
(,)
FF
FG uv
J
GGuv
uv
??
? ??
??
???
??
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在点 不等于零，则方程组
,在点
的某一邻域内恒能唯一确定一组
单值连续且具有连续偏导数的函数
，,它们满足条件,
，并有
0 0 0 0(,,,)P x y u v
0 0 0 0(,,,) 0F x y u v ? 0 0 0 0(,,,) 0G x y u v ?
0 0 0 0(,,,)x y u v
(,)u u x y?
(,)v v x y? 0 0 0(,)u u x y?
0 0 0(,)v v x y?
1 (,)
(,)
xv
xv
uv
uv
FF
GGu F G
FFx J x u
GG
??
? ? ? ?
??
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(6)
1 (,)
(,)
ux
ux
uv
uv
FF
GGu F G
FFx J u x
GG
??
? ? ? ?
??
1 (,)
(,)
yv
yv
uv
uv
FF
GGu F G
FFy J y v
GG
??
? ? ? ?
??
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下面仅就公式 (6)做如下推导,
由于
1 (,)
(,)
uy
uy
uv
uv
FF
GGu F G
FFy J u y
GG
??
? ? ? ?
??
? ?,,(,),(,) 0F x y u x y v x y ?
? ?,,(,),(,) 0G x y u x y v x y ?
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将恒等式两边分别对 x求导，应用复合函数求导
法则得
这是关于 的线性方程组，由假设可知在
点 的一个邻域，系数行列式
0
0
x u v
x u v
uv
F F F
xx
uv
G G G
xx
???
? ? ?
?? ??
?
???
? ? ?
? ???
,uvxx????
0 0 0 0(,,,)P x y u v
0uv
uv
FF
J
GG
??
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从而可解出,得
同理，可得
,uvxx????
1 (,) 1 (,),
(,) (,)
u F G v F G
x J x v x J u x
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
1 (,) 1 (,),
(,) (,)
u F G v F G
y J y v y J u y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
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一,空间曲线的切线与法平面
二,曲面的切平面与法线
第六节 微分法在几何上的应用
返 回
习题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线 Γ 的参数方程
(1)
这里假定 (1)式的三个函数都可导,
在曲线 Γ 上取对应与 的一点
及对应于 的邻近一点
.根据解析几何，
曲线的割线 的方程是
( ),( ),( )x t y t z t? ? ?? ? ?
0tt? 0 0 0
(,,)M x y z
0t t t? ? ?
0 0 0(,,)M x x y y z z? ? ? ? ? ? ?
MM?
0 0 0x x y y z z
xyz
? ? ???
???
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当 沿着 Γ 趋于,时割线 的极限位
置 就是曲线 Γ 在点 处的 切线 (图 8-7).
用 Δt 除上式的各分母，得
令 (这 Δt→0),
通过对上式取极限，即得
图 8-7 曲线在点 处的切线方程
M MM?
MT M
z
MM ??
M
M?
0 0 0x x y y z z
xyz
t t t
? ? ?
??
???
? ? ?
z
x
y
M
T
M?
?
O
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这里当要假定 都不能为
零,
切线的方向向量称为 曲线的切向量,向量
就是曲线通过 Γ 在点 处的一个切向量,
点通过 而与切线垂直的平面称为曲线 Γ 在
0 0 0
0 0 0( ) ( ) ( )
x x y y z z
t t t? ? ?
? ? ???
? ? ?
z
0 0 0( ) ( ) ( )t t t? ? ?? ? ?、、
? ?000( ),( ),( )T t t t? ? ?????
M
M
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点 处的法平面，它是通过点 而
以 T为法向量的平面，因此这 法平面的方程 为
z
M 0 0 0(,,)M x y z
0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0t x x t y y t z z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
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二、曲面的切平面与法线
我们先讨论由隐式给出曲面方程
的情形，然后把显式给出的曲面方程 z=f(x,y)
作为它的特殊情形,
设曲面 Σ 由方程 (9)给出,是曲
面 Σ 上的一点，并设函数 的偏导数
在该点连续且不同时为零,在曲线 Σ 上，通过点
M引一条曲线 Γ( 图 8-8)，假定曲线 Γ 的参数方
程为
z
(,,) 0F x y z ?
0 0 0(,,)M x y z
(,,)F x y z
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程为
(10)
对应于点
且,
,不全为
零，则由 (2)式可得这
曲线的切线方程为
图 8-8
( ),( ),( )x t y t z t? ? ?? ? ?
z
z
x
yO
M
T
?
?
n
0tt?
0 0 0(,,)M x y z 0()t??
0()t?? 0()t??
0 0 0
0 0 0( ) ( ) ( )
x x y y z z
t t t? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
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引入向量
则
表示 (10)在点 M处的切向量z
? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,),(,,),(,,)x y zF x y z F x y z F x y z
0 0 0 0 0 0 0(,,) ( ) (,,) ( )xyF x y z t F x y z t?????
0 0 0(,,) ( ) 0zF x y z t? ???
? ?0( ),( ),( )T t t t? ? ?? ? ??
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与向量 n垂直,因为曲线 (10)是曲面上通过点 M的
任意一条曲线，它们在点 M的切线都与同一个向
量 n垂直，所以曲面上通过点 M的一切曲线在点 M
的切线都在同一个平面上,这个平面称为曲面 Σ
在点 M的 切平面,这 切平面的方程 是
(12)
通过点 而垂直于切平面 (12)的
直线称为曲面在该点的 法线,法线方程 是
z
0 0 0 0 0 0 0 0(,,) ( ) (,,) ( )xyF x y z x x F x y z y y? ? ?
0 0 0 0(,,) ( ) 0zF x y z z z? ? ?
0 0 0(,,)M x y z
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垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向
量,
向量
就是曲面 Σ 在点 M处的一个法向量,
z
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
(,,) (,,) (,,)x y z
x x y y z z
F x y z F x y z F x y z
? ? ???
? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,),(,,),(,,)x y zF x y z F x y z F x y z
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一,方向导数
二,梯度
第七节 方向导数与梯度
返 回
习题
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
设函数 z=f(x,y)在 P(x,y)的某一邻域 U(P)内
有定义,自点 P引射线,设 x轴正向到射线 的
转角为,并设 为 上的另
一点 (图 8-9)且,我们考虑函数的增
量 与 两点间
的距离 的比值,当 沿着
趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极
l l
? (,)P x x y y? ? ? ? ? l
()P U P??
(,) (,)f x x y y f x y? ? ? ? ?PP?、
22( ) ( )xy? ? ? ? ? P
? l
P
返 回下一页
限为函数 f(x,y)在点 P沿
方向 的方向导数，记
作,即
图 8-9
l
y
?
O
?
x
y?
P
x?
P?
l
f
l
?
?
0
(,) (,)l imf f x x y y f x y
l ? ??
? ? ? ? ? ??
?
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定理 如果函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微
分的，那么函数在该点沿任一方向的导数都存
在且有
其中 为 x轴到方向 的转角,
证 根据函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)是可微
分的假定，函数的增量可以表达为
c o s si nf f f
l x y
??? ? ???
? ? ?
? l
(,) (,) ( )fff x x y y f x y x y oxy ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
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两边各除以,得到
所以
?
(,) (,)f x x y y f x y
?
? ? ? ? ?
()f x f y o
xy
?
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
??
()c os sinf f o
xy
???
?
??? ? ?
??
返 回下一页上一页
这就证明了方向导数存在且其值为
0
(,) (,)l im f x x y y f x y
? ??
? ? ? ? ?
c o s sinff
xy
??????
??
c o s si nf f f
l x y
??? ? ???
? ? ?
返 回下一页上一页
对于三元函数 u=f(x,y,z)来说，它在空间一
点 P(x,y,z)沿着 (设方向 的方向为
)的方向导数，同样可以定义为
其中,
同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可
微分，那么函数在该点沿着方向 的方向导数
l l ? ? ?、、
0
(,,) (,,)l imf f x x y y z z f x y z
l ? ??
? ? ? ? ? ? ? ??
?
2 2 2( ) ( ) ( )x y z? ? ? ? ? ? ?c o s,x ????
c o s,c o s,yz? ? ? ?? ? ? ?
l
返 回下一页上一页
为
c o s c o s c o sf f f f
l x y z
? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
返 回下一页上一页
二、梯度
在二元函数的情形，设函数 z=f(x,y)在平面
区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
P(x,y)∈D,都可以定出一个向量
这向量称为函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的 梯度,
记作,即
ffij
xy
???
??
g ra d (,)f x y
g r a d (,) fff x y i j
xy
????
??
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函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的
模为方向导数的最大值,
由梯度的定义可知，梯度的模为
一般来说二元函数 z=f(x,y)在几何上表示一
个曲面，这曲面被平面 z=c(c是常数 )所截得的
曲线 L的方程为
22
gra d (,)
ff
f x y
xy
??????
?? ????
???? ??
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这条曲线 在 xOy面
的投影是一条平面曲
线 (图 8-10)，它
在 xOy平面直角坐标
系中的方程为
图 8-10
(,)z f x y
zc
??
? ?
?
y
O x
g ra d (,)f x y
1(,)f x y c?
(,)f x y c?
2(,)f x y c?
*L
L
*L
(,)f x y c?
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对于曲线 上的一切点，已给函数的函数值都
是 c，所以我们称平面曲线 为函数 z=f(x,y)的
等高线,
由于等高线 f(x,y)=c上任一点 P(x,y)处的
法线斜率为
所以梯度
*L
11
x
yx
y
f
dy ff
dx f
? ? ? ?
??
???
??
??
*L
ffij
xy
???
??
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为等高线上点 P处的法向量,因此我们可得梯度
与等高线的下述关系：函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)
的梯度方向与过点 P的等高线 f(x,y)=c在这点的
法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线
指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数
在这个法线方向的方向导数,这个法线方向就是
方向导数取得最大值的方向,
对于三元函数来说，函数 u=f(x,y,z)在空
间区域 G内具有一阶连续偏导数，则对每一点
，都可定出一个向量(,,)P x y z G?
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这向量称为函数 u=f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的 梯
度,将它记作,即
如果我们引进曲面
f f fi j k
x y z
? ? ???
? ? ?
g r a d (,,)f x y z
gr a d (,) f f ff x y i j k
x y z
? ? ?? ? ?
? ? ?
(,,)f x y z c?
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为函数 u=f(x,y,z)的 等量面 的概念，则可得函
数 u=f(x,y,z)在点 P(x,y,z)的梯度的方向与过
点 P的等量面 f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方
向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高
的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方
向的方向导数,
返 回上一页
一,多元函数的极值及最大值、最小值
二,条件极值
第八节 多元函数的极值及其求法
返 回
习题
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数 在点 的
某个邻域内有定义，对于该邻域内异于
的点,如果都适合不等式
则称函数在点 有 极大值 ；如
果都适合不等式
(,)z f x y? 00(,)xy
00(,)xy
(,)xy
00(,) (,)f x y f x y?
00(,)xy 00(,)f x y
返 回下一页
则称函数在点 有 极小值,极大
值、极小值统称为 极值,使函数取得极值的点称
为 极值点,
以上关于二元函数的极值概念，可推广到 n
元函数,设 n元函数 在点 的某一邻
域内有定义，如果对于该邻域内有异于 的任
何点 都不适合不等式
00(,) (,)f x y f x y?
00(,)xy 00(,)f x y
()u f P? 0P
0P
P
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则称函数 在点 有 极大值 (极小值 ),
定理 1(必要条件 ) 设函数 在
点 具有偏导数，且在点 处有极
值，则它在该点的偏导数必然为零：
证 不妨设 在点 处
有极大值,依极大值的定义，在 的某邻
00( ) ( ) ( ( ) ( ) )f P f P f P f P??
()fP
0P 0
()fP
(,)z f x y?
00(,)xy 00(,)xy
0 0 0 0(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
(,)z f x y?
00(,)xy
00(,)xy
返 回下一页上一页
域内异于 的点 都适合不等式
特殊地，该邻域内取 而 的点，也
应合适不等式
这表明一元函数 在 处取得极大
值，因而必有
(,)xy
00(,)xy
00(,) (,)f x y f x y?
0yy? 0xx?
0 0 0(,) (,)f x y f x y?
0(,)f x y 0xx?
00(,) 0xf x y ?
返 回下一页上一页
类似地可证
如果三元函数 在点
具有偏导数，则它在点 具有极值的
必要条件为
定理 2(充分条件 ) 设函数 在
00(,) 0yf x y ?
(,,)u f x y z? 0 0 0(,,)x y z
0 0 0(,,)x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0(,,) 0,(,,) 0,(,,) 0x y zf x y z f x y z f x y z? ? ?
(,)z f x y?
返 回下一页上一页
点 的某邻域内连续且具有 一阶及二阶
连续偏导数，又,
，令
则 在 处是否取得极值的条件如
下：
(1) 时具有极值，且当
时有极大值，当 时有极小值；
(2) 时没有极值；
(3) 时可能有极值，也可能没
00(,)xy
00(,) 0xf x y ? 00(,) 0yf x y ?
0 0 0 0 0 0(,),(,),(,)x x x y y yf x y A f x y B f x y C? ? ?
(,)f x y
00(,)xy
2 0A C B?? 0A?
0A?
2 0A C B??
2 0A C B??
返 回下一页上一页
有极值，还需另作讨论,
二阶连续偏导数的函数 的极值
的求法叙述如下：
第一步 解方程组
求得一切实数解，即可求得一切驻点,
第二步 对于每一个驻点,求出
二阶偏导数的值 和,
第三步 定出 的符号，按定理 2的
(,)z f x y?
(,) 0,(,) 0xyf x y f x y??
00(,)xy
AB,C
2AC B?
返 回下一页上一页
结论判定 是否是极值、是极大值还是极
小值,
0(,)f x y
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二、条件极值 拉格朗日乘数法
上面所讨论的极值问题，对于函数的自变
量，除了限制在函数的定义域以外，并无其他
条件，所以有时候称为 无条件极值,但在实际问
题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条
件的极值问题,
例如，求表面积为 而体积为最大的长方
体的体积问题,设长方体的三棱的长为
还必须满足附加条件,象这
种对自变量有附加条件的极值称为 条件极值,
2a
,,x y z
22 ( )x y y z x z a? ? ?
返 回下一页上一页
对于有些实际问题，可以把条件极值化为
无条件极值，然后利用第一目中的方法加以解
决,例如上述问题，可由条件
，将 z表示成 x,y的函数
再把它代入 中，于是问题就化为求
2 2
2 ( )
a xyz
xy
??
?
V xyz?
22 ( )x y y z x z a? ? ?
2 2
2 2 ( )
x y a x y
V
xy
???
? ??
???
返 回下一页上一页
的无条件极值,
但在很多情形下，将条件极值化为无条件
极值并不这样简单,我们另有一种直接寻求条件
极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极
值的问题,
拉格朗日乘数法 要找函数
在附加条件 下的可能极值点，可以
先构成辅助函数
其中 为某一常数,求其对 x与 y的一阶偏导数，
(,)z f x y?
(,) 0xy? ?
(,) (,) (,)F x y f x y x y????
?
返 回下一页上一页
并使之为零，然后与方程 联立起来：
由这方程组解出 及,则其中 就是函
数 在附加条件 下的可能极值
点的坐标,
(,) 0xy? ?
(,) (,) 0
(,) (,) 0
(,) 0
xx
yy
f x y x y
f x y x y
xy
??
??
?
? ??
?
???
?
??
(,)f x y (,) 0xy? ?
,xy,xy?
返 回下一页上一页
第八章结束
上一页 返 回
总习题 八
1.在, 充分,,, 必要, 和, 充分, 三者中选
择一个正
确的填入下列空格内：
（ 1） 在点 可微分是
在该点连续的 充分 条件, 在点
连续是 在该点可微分的 必要 条件,
（ 2） 在点 的偏导数
及 存在是 在该点可微分的 必要
(,)f x y
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(,)xy (,)f x y
(,)f x y (,)xy
(,)f x y
(,)z f x y? (,)xy z
x
?
?
z
y
?
?
(,)f x y
条件, 在点 可微分是函数在
该点的偏导数 及 存在的 充分 条件,
（ 3） 的偏导数 及 在点
存在且连续是 在该点可微分的
充分 条件,
（ 4）函数 的两个二阶混合偏导
数 及 在区域 D内连续是这两个二阶
下一页 返 回
(,)z f x y? (,)xy
z
x
?
?
z
y
?
?
上一页
(,)z f x y? z
x
?
?
z
y
?
?
(,)xy (,)f x y
(,)z f x y?
2z
xy
?
??
2z
yx
?
??
混合偏导数在 D内相等的 充分 条件,
2.求函数 的定义
域，并求,
3.证明极限 不存在,
下一页 返 回上一页
1
2
0
lim (,)
x
y
f x y
?
?
2
22
4
(,)
l n (1 )
xy
f x y
xy
?
?
??
2
240
0
lim
x
y
xy
xy?
?
?
题解
题解
4.设
求 及,
5.求下列函数的一阶和二阶偏导数：
下一页 返 回上一页
2
22
22
22
,0
(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
?
???
(,)xf x y (,)yf x y
2(1 ) ln ( )z x y?? ( 2) yzx?
题解
题解 题解
6.求函数 当
时的全增量和全微分,
7.设
证明,在点 (0,0)处连续且偏导数存
在，但不可微分,
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22
22
2 2 3 / 2
22
,0
()(,)
0,0
xy
xy
xyf x y
xy
?
???
?? ?
?
???
0,0 3y??
2,1,0, 0 1,x y x? ? ? ?
22
xyz
xy
?
?
(,)f x y
题解
题解
8.设,而 都是可微
函数，求,
9.设 具有连续偏导数，而
求,
10.设,其中 f具有连续
的二阶偏导数，求,
下一页 返 回上一页
,,,u v w? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
du
dt
( ),( )x t y t????yux?
(,,)z f u v w?
,,z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ?
(,,),yz f u x y u x e??
2z
xy
?
??
题解
题解
题解
11.设 试求
和,
12.求螺旋线
在点 处的切线及法平面方程,
13.在曲面 上求一点，使这点处的法线
垂直于平面,并写出这法线
的方程,
下一页 返 回上一页
c o s,s in,.uux e v y e v z u v? ? ?
z
x
?
?
z
y
?
?
c o s,s i n,x a y a z b? ? ?? ? ?
(,0,0)a
z xy?
2 9 0x y z? ? ? ?
题解
题解
题解
14.设 x轴正向到方向 的转角为,求函数
在点 (1,1)沿方向 的方向导数，并分别确定转
角,使这导数有 (1)最大值,(2)最小值,(3)
等于 0.
15.求函数 在椭球面
上点 处沿外法线方向的方向导
数,
下一页 返 回上一页
l
22(,)f x y x x y y? ? ?
?
l
?
2 2 2u x y z? ? ?
2 2 2
1x y z
a b c
? ? ?
0 0 0 0(,,)M x y z
题解
题解
16.求平面 和柱面
的交线上与 xOy平面距离最短的点,
17.在第一卦限内做椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的
四面体的体积最小,求着切平面的切点，并求此
最小体积,
返 回上一页
22 1xy??1
3 4 5
x y z? ? ?
2 2 2
1x y z
a b c
? ? ?
题解
题解
解,求定义域
需满足
即 需满足
下一页 返 回
(,)xy
2
22
22
40
10
l n (1 ) 0
xy
xy
xy
? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
?
(,)xy
2
22
22
40
10
11
xy
xy
xy
? ??
?
? ? ??
?
? ? ?
?
(,)x y D??
而 是 D的一个内点,
返 回
2
22
4
(,)
l n (1 )
xy
f x y
xy
?
??
??
? ?2 2 2(,) 4 0,0 1D x y x y x y? ? ? ? ? ?
上一页
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2
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2
0
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l im (,),0
32
ln
4
x
y
f x y f
?
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??
解：
设当 时,沿 的方向趋近于
零
显然，该极限随 k的 不同而改变,
返 回
0x ? y
22
2 4 2 4 200l im l imxx
yy
x y k x
x y x k x??
??
??
1
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2
4 2 40
0
l im
(1 ) 1x
y
k x k
k x k?
?
??
??
解：
当,显然,
当,
下一页 返 回
(,) (,)(,) l i m
x x
f x x y f x yf x y
x? ? ?
? ? ??
?
22 0xy?? 0xf ?
22 0xy??
x
yx
yx
yxx
yxx
f
x
x
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???
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22
2
22
2
0
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)(
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下一页 返 回
2 2 2 2 2
2 2 2 20
( ) ( ) [ ( ) ]l im
[ ( ) ] ( )x
x x y x y x y x x y
x x y x y x??
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2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 20
( ) ( ) ( )
()
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x x x x x y x y
y x y
xx
x x y x y??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
???
? ? ? ?
222
3
)(
2
yx
xy
?
?
上一页
同理
当,显然,
当,
返 回
22 0xy??
22 0xy??
0yf ?
222
222
)(
)(
yx
yxxf
y ?
??
上一页
解：
返 回
2
1
xZ xy? ? 2
2
yx
yZ
y ??
22 )(
1
yx
Z xx
?
??
22
2
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yZZ
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2
22
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22
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22)(2
yx
yx
yx
yyyxZ
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??
?
????
解：
返 回
1yxZ y x ?? xxZ y
y ln??
2)1( ???? yxx xyyZ
11 lnyy
x y y xZ Z x y x x
??? ? ? ?
2)( ln xxZ y
yy ??
解,全增量
返 回
)1,2()03.1,01.2( ffZ ???
3
2
03.101.2
03.101.2
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??
222
23
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22
)()(
)2()(
yx
yxy
yx
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23
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22
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)2()(
yx
xyx
yx
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??
?
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下一页
返 回上一页
22
21
0 0 1 0 0 3
0 0 3
x x y x
yy
d z Z, Z,
.
??? ? ? ? ?
?
证明,
显然
时,
有
返 回下一页
(0 0 ) 0f ?，
,,0 ??? ????
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2 2 2 2 2
33
2 2 2 222
1 ( )
0
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x y x y
x y x y
?
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??
返 回下一页
2
1
2
1
22
4
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4
1 ???? yx
处连续在 )0,0(),( yxf?
000lim)0,0()0,0(lim
00
????? ???
???? xx
fxf
xx
又
0)0,0( ?? xf
0)0,0( ?yf同理：
上一页
返 回下一页上一页
(0,0 )即在 处，偏导存在
? ?yfxfZ yx ????? )0,0()0,0(而
0)0,0()0,0( ??????? fyxf
2
3
22
22
)( yx
yx
???
??
?
222
0
022
0
0 )(
limlim
yx
yx
yx
Z
y
x
y
x ???
???
???
?
??
??
??
??
又：
返 回
若令 沿 方向趋近于 0xky ???y?
2 2 2 4
2 2 2 2 2 200l im l im( ) ( 1 )xx
y y k x
x y k x
x y k x? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ??
? ? ? ? ?
则
2
22(1 )
k
k
?
?
上一页
解,
返 回
xy
d u d x d yuu
d t d t d t
??
)('ln)('1 txxtyx yy ?? ?? ?
解,
返 回
v w v w
z v wZ Z Z Z
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?
? ? ?
u w u w
z u wZ Z Z Z
? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
u u v
z u vZ Z Z Z
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?
? ? ?
解,
返 回
' ' ' 'yu x u xZu f f f e fxx??? ? ? ???
2
' ( '' '' ) '' ''y y y yu uu uy x u x yZ e f f x e f e f x e fxy? ? ? ? ? ???
uyxyxuyuyyuuy feffxefefxe '''''''''2 ?????
解,
返 回
c o s,sinyux e v y e v??
x
ya r c t gvyxu ???? ),ln (
2
1 22
Z Z u Z v
x u x v x
? ? ? ? ?? ? ?
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2
22
2
2
2 ( ) 1 ( )
y
x x
vu
yxy
x
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??
? ?
下一页
返 回上一页
2222 yx
uyv
yx
x
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ueuuvv ??? )s inc o s(
uevvvu
y
Z ???
?
? )s inc o s(同理：
解,
返 回
' s in,c o s,'x a y a Z b?? ??? ? ? ?
0)0,0,( ??对应的而点 a
},,0{ baT ??
?
?
?
??
??
0byaZ
ax切线方程为
0??? bZay法平面方程为：
解,
返 回
? ?
0 0 0
00
(,,)
,,1
Z x y x y z
yxn
?
?
??
设曲面 上这点为
1
1
31
00 ??? xy由题意得：
3
3,1
0
00
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?????
Z
xy
1
3
3
1
1
3
)3,1,3(
?
?
?
?
?
???
Zyx
法线方程为：
这点为
解,
返 回
c o s sinl f f
f x y
??? ? ???
? ? ?
?? s in)2(c o s)2( xyyx ????
)4c o s (2s i nc o s11 ???? ?????? ），（fl即：
24 时，有最大值（1 ）当 ?? ?
245 ?? 时，有最小值（2 ）当 ??
时，值为047 π（3 ）当 ??
解,
返 回
(,,) ( c o s c o s c o s )x y z x y z
u u u u
n ? ? ?
? ? ? ?
?
)c o s2c o s2c o s2 000 ??? zyx ???
)
2
,
2
,
2
(),,(
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222
2
2
2
2
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2
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c
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b
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a
x
F
zyx
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????
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则
令
下一页
返 回下一页
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000 c
z
b
y
a
xn
zyx ????
?
则
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0
4
2
0
4
2
0
2
0
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
0
2
2
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b
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a
x
c
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2
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2
0
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co s,co s
c
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b
y
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x
a
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c
z
b
y
a
x
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上一页
返 回
4
2
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4
2
0
4
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
0
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222
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c
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b
y
a
x
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b
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a
x
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u
zyx
??
??
?
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上一页
解,
返 回
22 1xy ??由题意得，就是要在的 条件下
有最小值使 )431(5 yxZ ???
得：
令
0
)1()
43
1(5 22
???
??????
?
?
fff
yx
yx
f
yx由
?
?
?
?
?
?
?
?
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???
???
???
01
02
4
5
02
3
5
22
yx
y
x
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?
下一页
返 回上一页
最短点与面为 xo y
Z
yx
)
12
35
,
5
3
,
5
4
(
12
35
5
3
,
5
4
,
24
25
?
??
????? ?
解,
返 回下一页
0 0 0
0 0 0
0 0 02 2 2
(,,)
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
x y z
x y z
x x y y z z
a b c
? ? ? ? ? ? ? ? ?
设切点,则切平面方程为
),0,0);0,,0);0,0,
0)()()(
0
2
0
2
0
2
02
0
02
0
02
0
z
c
y
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x
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zz
a
z
yy
b
y
xx
a
x
（（（
：则与三点坐标轴交点为
即 ??????
上一页
返 回下一页
2 2 2
0 0 0
1,
6
abcU
x y z?? 即为最小值
则有,设
令
0
)1(
6
1
000
2
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2
0
2
0
000
222
????
??????
?
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ffff
c
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b
y
a
x
zyx
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f
zyx
上一页
返 回下一页
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???
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0
21
6
1
0
21
6
1
0
1
8
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
000
222
2
0
2
2
000
222
2
0
2
2
000
222
c
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b
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cba
b
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cba
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上一页
返 回
a b c
cba
a b c
c
z
b
y
a
x
3),
3
,
3
,
3
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3
4
3
,
3
,
3
,
3
000
极值为所求点为
解得：
?
??
???
?
上一页
习 题 8-1
1.已知函数 试
求,
2.试证函数 满足关系式,
3.以知函数,试求
.
22(,) ta n xf x y x y x y
y
? ? ?
(,)f tx ty
(,) (,) (,) (,) (,)F x y u v F x u F x v F y u F y v? ? ? ?
(,) ln lnF x y x y?
下一页 返 回
(,,) w u vf u v w u w ???
(,,)f x y x y x y??
4.求下列各函数的定义域：
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2(1 ) l n ( 2 1 )z y x? ? ?
上一页
11( 2 ) z
x y x y
??
??
( 3 ) z x y??
22
( 4 ) l n ( )
1
x
z y x
xy
? ? ?
??
5.求下列各极限：
下一页 返 回
2 2 2 2
2 2 2 2
1
( 5 )
( 0 )
z R x y z
x y z r
Rr
? ? ? ? ?
? ? ?
??
上一页
22
( 6 ) a r c c o s zz
xy
?
?
220
1
1(1 ) lim
x
y
xy
xy??
?
? 2210
ln ( )( 2 ) lim y
x
y
xe
xy??
?
?
6.证明下列极限不存在：
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2
0
s in ( )( 5 ) lim
x
y
xy
y??
221
0
ln ( )( 2 ) lim y
x
y
xe
xy??
?
?00
24
( 3 ) l im
x
y
xy
xy?
?
??
22
22
220
0
1 c o s ( )( 6 ) l im
() xyxy
xy
x y e??
??
?
0
0
(1 ) lim
x
y
xy
xy??
?
?
22
2 2 20
0
( 2 ) l im
()x
y
xy
x y x y?
?
??
7.函数 在何处是间断的？
8.证明,
2
2
2
2
yxz
yx
??
?
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221
0
lim 0
x
y
xy
xy??
?
?
例 1 圆柱体的体积 和它的底半径,高
之间具有关系
这里，当, 在集合 内
取定一对值 时,的对应值就随之确定,
例 2 一定量的理想气体的压强,体积 和
绝对温度 之间具有关系
V r h
2V r h??
r h ? ?(,) 0,0r h r h??
(,)rh V
p V
T
RTp
V?
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其中 为常数,这里，当, 在集合
内取定一对值 时，
的值就随之确定,
例 3 设 是电阻 并联后的总电阻，由
电学知道，它们之间具有关系
这里，当 在集合
内取定一对值 时,的对应值就随之确
定,
V T
p
12RR、R
? ?(,) 0,0V T V T?? (,)VT
R
12
12
RRR
RR
?
?
12RR,? ?1 2 1 2(,) 0,0R R R R??
12()RR、
R
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例 4 设
求证
证 因为
可见，对任给,取 则当
2 2 2 2
22
1(,) ( ) si n ( 0 )f x y x y x y
xy
? ? ? ?
?
0
0
lim (,) 0
x
y
f x y
?
?
?
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
11( ) s i n 0 s i nx y x y x y
x y x y? ? ? ? ??? ≤
0? ? ???
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时，总有
成立，所以
220 ( 0 ) ( 0 )xy ?? ? ? ? ?
22
22
1( ) s i n 0xy
xy
?? ? ?
?
0
0
lim (,) 0
x
y
f x y
?
?
?
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例 5 求
解 这里 在区域
和区域
内都有定义,同时为 及 的边界点,
但无论在 内还是在 内考虑，下列运算都
是正确的：
? ?1 (,) 0D x y x??
0 (0,2)P 1D
0
2
s in ( )lim
x
y
xy
x??
s i n ( )(,) xyf x y
x?
? ?2 (,) 0D x y x??
2D
1D 2D
0 0 2
2
s i n ( ) s i n ( )l i m l i m l i m 1 2 2
x x y y
y
x y x y y
xx? ? ?
?
? ? ?
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例 6 求
解 函数 是初等函数，它的定
义域为
因 不是连通的，故 不是区域,但
是区域，且,所以 是函数 的
一个定义域,因,故
1
2
lim
x
y
xy
xy??
?
(,) xyf x y xy??
? ?(,) 0,0D x y x y? ? ?
D D
? ?1 (,) 0,0D x y x y? ? ?
1DD? 1D
(,)f x y
01(1,2 )PD?
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例 7 求
解
1
2
3l i m (1,2 )
2xy
xy f
xy??
? ??
0
0
11
lim
x
y
xy
xy?
?
??
00
11 11
l im l im
( 1 1 )xxyy
xy xy
xy x y x y??
?? ??
?
??
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0
0
11l i m
211xy xy??
??
??
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习 题 8-2
1.求下列函数的偏导数
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33(1 ) z x y y x?? 22
( 2) uvz
uv
??
(3 ) ln ( )z x y? 2( 4) sin( ) c os ( )z x y x y??
( 5 ) ln ta n xz
y
? ( 6) (1 )
yz x y??
(7 )
y
zux? ( 8 ) a r c ta n( ) zu x y??
2.设,求证,
3.设,求证,
4.折,
求,
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2 lT
g
?? 0TTlglg??????
11()
xyze ???
22 2zzx y x
xy
????
??
(,) ( 1 ) a r c s i n xf x y x y
y
? ? ?
(,1)xfx
5.设,在 (2,4,5)处的切线对于 x
轴的倾角是多少？
6.求下列函数的, 和
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22
4
4
xy
z
y
? ?
??
?
? ?
?
2
2
z
x
?
?
2
2
z
y
?
?
2z
xy
?
??
4 4 2 2(1 ) 4z x y x y? ? ?
( 2) a r c ta n xz
y
?
(3) xzy?
7.设,求
，, 及,
8.设,求 及,
9.验证：
满足 ；
满足
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2 2 2(,,)f x y z x y y z zx? ? ?(0,0,1)
xxf
(1,0,2 )xzf ( 0,1,0)yzf ? ( 2,0,1)zzxf
ln ( )z x xy? 2
2
z
xy
?
??
2
2
z
xy
?
??
2(1 ) s ink n ty e n x?? 2
2
yyk
tx
???
??
2 2 2( 2 ) r x y z? ? ?
2 2 2
2 2 2
2r r r
x y z r
? ? ?? ? ?
? ? ?
例 1 求 在点 (1,2)处的偏导
数,
解 把 看作常量
把 看作常量
将 (1,2)代入上面的结果，就是
223z x x y y? ? ?
23z xyx? ???
y
x
32z xy
y
? ??
?
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例 2 求 的偏导数
解
1
2
2 1 3 2 8x
y
z
x ??
? ? ? ?
?
1
2
3 1 2 2 7x
y
z
y ??
? ? ? ?
?
2 sin 2z x y?
2 s in 2z xyx? ?? 22 c o s 2z xy
y
? ?
?
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例 2 求 的偏导数
解
1
2
2 1 3 2 8x
y
z
x ??
? ? ? ?
?
1
2
3 1 2 2 7x
y
z
y ??
? ? ? ?
?
2 sin 2z x y?
2 s in 2z xyx? ?? 22 c o s 2z xy
y
? ?
?
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例 3 设,求证：
证 因为,,
所以
2 ( 0,1 )z x x x? ? ?
1 2
ln
x z z z
y x x y
????
??
1yz yx
x
?? ?
?
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lnyz xx
y
? ?
?
111 ln
l n l n
2
yy
yy
x z z x
y x x x
y x x y y x
x x z
???? ? ?
??
? ? ?
例 4 求 的偏导数,
解 把 y和 z都看作常量，得
由于所给函数关于自变量的对称性，所以
2 2 2r x y z? ? ?
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2 2 2
r x x
xrx y z
?
??
? ??
,r y r z
y r z r
????
??
例 6 设,求,
、, 及,
解
3 2 331z x y x y x y? ? ? ?
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2
2
z
x
?
?
2z
yx
?
??
2z
xy
?
??
2
2
z
y
?
?
2
3
z
x
?
?
2 2 333z x y y y
x
? ? ? ?
?
3229z x y x y x
y
? ? ? ?
?
2
2
2 6
z xy
x
? ?
?
2
226 9 1z x y y
yx
? ? ? ?
??
返 回
2
226 9 1z x y y
xy
? ? ? ?
??
上一页
2
3
2 2 1 8
z x xy
y
? ??
?
2
2
3 6
z y
x
? ?
?
例 7 验证 满足方程
证 因为,
所以,
下一页 返 回
22lnz x y??
22
22 0
zz
xy
????
??
2 2 2 21l n l n ( )
2
z x y x y? ? ? ?
22
zx
x x y
? ?
?? 22
zy
y x y
? ?
??
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2
( ) ( )
z x y x x y x
x x y x y
? ? ? ???
? ? ?
因此
例 8 证明函数 满足方程
下一页 返 回
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2
( ) ( )
z x y y y x y
y x y x y
? ? ? ???
? ? ?
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 0( ) ( )
z z y x x y
x y x y x y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
上一页
1u
r
?
其中,
证
由于函数关于自变量的对称性，所以
下一页 返 回
222
2 2 2 0
uuu
x y z
???? ? ?
? ? ?
上一页
2 2 2r x y z? ? ?
2 2 3
11u r x x
x r x r r r
??? ? ? ? ? ?
??
22
2 3 4 3 5
33u x x r x x
x r r x r r
??? ? ? ? ? ?
因此
返 回上一页
2 2 2 2
2 3 5 2 3 5
33,u x y u x z
y r r y r r
??? ? ? ? ? ?
222
2 2 2
2 2 2 2
3 5 3 5
3 3 ( ) 3 3
0
uuu
x y z
x y z r
r r r r
???
??
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
习 题 8-3
1.求下列函数的全微分：
2.求函数 当 时
的全微分,
下一页 返 回
(1 ) xz x y
y
?? ( 2 )
y
xze?
22
( 3 )
y
z
xy
?
?
( 4 ) yzux?
22l n (1 )z x y? ? ? 1,2xy??
3.求函数 当
时的全增量和全微分,
4.求函数 当
时的全微分,
返 回
xyze?
0,2y? ? ?
yz
x
? 2,1,0,1,x y x? ? ? ?
1,1,0, 1 5,x y x? ? ? ?
0,1y? ? ?
上一页
例 1 计算函数 的全微分,
解 因为
所以
例 2 计算函数 在点 (2,1)处的全微分,
解 因为
下一页 返 回
22z x y y??
22,2zz x y x y
xy
??? ? ?
??
22 ( 2 )dz x y dx x y dy? ? ?
xyze?
,x y x yzzy e x e
xy
????
??
所以
例 3 计算函数 的全微分,
解
所以,
返 回
22 2d z e d x e d y??
s i n
2
yzyu x e? ? ?
22
22
11
,2xx
yy
zz ee
xy??
?? ??
??
11,c o s,
22
y z y zu u y uze y e d z
x y z
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
1( c o s )
22
y z y zyd u d x z e d y y e d z? ? ? ?
上一页
习 题 8-4
1.设,而,
求,
2.设,而,
求,
下一页 返 回
,zz
xy
??
??
22z u v?? u x y?? v x y??
2 lnz u v? x
u
y
? 32v x y??
,zz
xy
??
??
3.设,而,,
求,
4.设,而,,
求,
下一页 返 回上一页
2xyze ?? sinxt? 3yt?
dz
dt
a r c s i n ( )z x y?? 3xt? 34yt?
dz
dt
5.设,而,求,
6.设,而,
，求,
7.设,而,
下一页 返 回上一页
xye? dz
dx
a r c ta n ( )z x y?
co szx?
s iny a x?
du
dx
2
()
1
axe y z
u
a
??
?
a r c ta n xz
y
?
x u v?? y u v??
验证
8.求下列函数的一阶偏导数 (其中 f具有一阶连
续
偏导数 )
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22
z z u v
u v u v
? ? ???
? ? ?
? ? 221 (,)xyu f x y e??
返 回上一页
? ?2,xyuf
yz
??
? ??
??
? ? ? ?3,,u f x x y x y z?
习 题 8-5
1.设,求,
2.设,求,
3.设,求 及,
4.设,求 及,
下一页 返 回
dy
dx
2sin 0xy e x y? ? ?
22l n a r c t a n yxy
x
?? dy
dx
2 2 0x y z x y z? ? ? ?z
x
?
?
z
y
?
?
lnxz
zy
?
z
x
?
?
z
y
?
?
5.设,
证明,
6.设 都是
由 所确定的具有连续偏导数的
函数，证明
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2 s i n ( 2 3 ) 2 3x y z x y z? ? ? ? ?
1zz
xy
????
??
(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y? ? ?
(,,) 0F x y z ?
1y y z
y z x
? ? ?? ? ? ?
? ? ?
7.设 具有连续偏导数，证明由方程
所确定的函数
满足,
8.设,求,
返 回上一页
(,)uv?
(,)z f x y?
(,) 0c x a z c y b z? ? ? ?
zza b c
xy
????
??
0xe xy z?? 2
2
z
x
?
?
习 题 8-6
1.求曲线
在点 处的切线及法线平面方
程,
2.求曲线 在对应
的点处切线及法平面方程,
下一页 返 回
1t?
s i n,1 c o s,4 s i n
2
tx t t y t z? ? ? ? ?
1,1,2 2
2
????
????
21,,
1
ttx y z t
tt
?? ? ?
?
3.求曲线
在点 处的切线及法线平面方程,
4.求曲线,
在点 处的切线及法线平面方程,
下一页 返 回
21,,
1
ttx y z t
tt
?? ? ?
?
? ?0 0 0,,x y z
2 2 2 30
2 3 5 4 0
x y z x
xyz
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
? ?1,1,1
上一页
5.求曲线 上的点，使在该点
的切线平行于平面,
6.求曲面 在点 处的切线
及法线平面方程,
返 回
23,,x t y t z t? ? ?
24x y z? ? ?
3ze z x y? ? ? (2,1,0)
上一页
习 题 8-7
1.求函数 在点 (1,2)处沿从点 (1,2)
到点 的方向的方向导数,
2.求函数 在抛物线 上点
(1,2)处，沿着这抛物线在该点处偏向 x轴正
向的切线方向的方向导数,
3.求函数 在点
下一页 返 回
2 4yx?
22z x y??
( 2,2 3 )?
ln ( )z x y??
22
221
xy
z
ab
??
? ? ???
??
,
22
ab??
????
处沿曲线 这点的内法线方向的
方向导数,
4.求函数 在点 (1,1,2)处沿
方向角为 的方向的方
向导数,
下一页 返 回
22
22 1
xy
ab
??
上一页
23z x y z x y z? ? ?
,,
3 4 3
? ? ?? ? ?? ? ?
5.求函数,在点 (5,1,2)处沿从点
(5,1,2)到点 (9,4,14)的方向的方向导数,
6.求函数
在曲线 上点 (1,1,1)处，
沿曲线在该点的切线 (对应于 t增大的方向 )的
方向导数,
7.求函数 在球面
上点 处，沿球面在该点的外法线
方向的方向导数,
返 回
u xyz?
2 2 2u x y z? ? ?
上一页
23,,x t y t z t? ? ?
u x y z? ? ? 2 2 2 1x y z? ? ?
0 0 0(,,)x y z
习 题 8-8
1.求函数 的极值,
2.求函数 的极值,
3.求函数 的极值,
4.求函数 在适合附加条件 的极
大值
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22(,) 4 ( )f x y x y x y? ? ? ?
22(,) ( 6 ) ( 4 )f x y x x y y? ? ?
22(,) ( 2 )xf x y e x y y? ? ?
z xy? 1xy??
5.从斜边之长为 的一切直角三角形中，求有
最大周长的直角三角形,
6.要造一个容积等于定数 的长方体无盖水池，
应如何选择水池的尺寸，方可使它的面积最
小,
7.在平面 xOy上求一点，使它到 及
三角线的距离平方之和最小,
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l
上一页
k
0,0xy??
2 1 6 0xy? ? ?
8.将周长为 2p的矩形绕它的一边旋转而构成一
个圆柱体,问矩形的边长各位多少时，才可使
圆柱体的体积为最大,
9.求内接于半径为 a的球有最大体积的长方体,
10.抛物面 被平面 截
成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短路
径,
返 回上一页
1x y z? ? ?22z x y??
