第五节 极限运算法则
二,极限的四则运算法则
三,复合函数的极限运算法则
一,无穷小运算法则
一,无穷小运算法则
时,有? ?,,m in 21 ??? ?
定理 1.有限个无穷小的和还是无穷小,
证, 考虑两个无穷小的和, 设
,0??? 当 时,有
当 时,有
取 则当 ???? 00 xx
???? ??? 22 ?? ?? ?? 因此
这说明当 时,为无穷小量,
类似可证, 有限个 无穷小之和仍为无穷小,
定理 2, 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
证, 设 Mu ?
又设,0l im
0
?? ?xx 即,0??? 当
时,有 M?? ? 取 ? ?,,m in 21 ??? ?
则当 ),( 0 ?xx ??? 时,就有 ??u ?u ?? ??? MM
故 即 是 时的无穷小,
推论 1, 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2, 有限个无穷小的乘积是无穷小,
例 1、
求
解,
01lim ?
?? xx
利用定理 2 可知
说明, y = 0 是 的渐近线,
x
xy si n?
二,极限的四则运算法则
,)(lim,)(lim BxgAxf ??则有定理 3, 若
1、
2、
3、
证 1、
因,)(lim,)(lim BxgAxf ??则有
?? ???? BxgAxf )(,)(
(其中 ??,为无穷小 )
于是 )()()()( ?? ????? BAxgxf
)()( ?? ???? BA
由定理 1 可知 ??? 也是无穷小,再利用极限与无穷小
的关系定理,知定理结论成立,
证明 2略
证 3、
为无穷小
(详见 P44)B
2?
??B
1
)(
1
xg? )( 0xx
???
因,)(lim,)(lim BxgAxf ??有
,)(,)( ?? ???? BxgAxf 其中 ??,
设 BABA ???? ?? )( 1 ??? BB )( ?? AB ?
无穷小有界
因此 ?
由极限与无穷小关系定理,得
??? BAxg xf )( )(为无穷小,
定理三中的 1,2、可以推广到有限个函数的
??? )]()()([ xhxgxflim ),()()( xl i m hxl i m gxl i m f ??
??? )]()()([ xhxgxflim ),()()( xl i m hxl i m gxl i m f ??
（ 1）
（ 2）
推论 1, )(lim)](li m [ xfCxfC ?( C 为常数 )
推论 2, nn xfxf ])(lim[)](l i m [ ?( n 为正整数 )
情形
若,lim,lim ByAx nnnn ?? ???? 则有
)(li m)1( nnn yx ???
nnn yx??li m)2(
,00)3( 时且当 ?? By n BAy
x
n
n
n
?
??
l i m
BA ??
BA?
提示, 因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由
定理 3,4,5 直接得出结论,
定理 4、
例 2、
设有分式函数 其中
都是
多项式,试证,
证, ?? )(lim
0
xRxx )(lim
)(lim
0
0
xQ
xP
xx
xx
?
?
说明,若 不能直接用商的运算法则,
若
例 3、
求
解, x = 1 时
32
45lim 2
1 ?
??
? x
xx
x
0?
312
4151 2
??
????
分母 = 0,分子 ≠0,但因
分式求极限一般有如下结果：
为非负常数 )
?
m
mm
x
axaxa ??? ?
??
?110lim
nnn bxbxb ??? ? ?110
定理 5、
有定理3 有则令,0xfxxxf ??? )(),()()( ??
babxlimaxlimxx ???? 那么而如果,)(,)(),( ???? ）（
证：
baxlimxlim
xxlinxl i m f
????
??
)()(
)]()([)(
??
??
由第三节定理 3推论，有
ba0ba0xl i m f ???? 故即,,)(
三,复合函数的极限运算法则
定理 6,设 且 x 满足 时,
,)( ax ?? 又 则有
证,,0???,0??? 当 ???? au0
时,有 ??? Auf )(
,02 ??? 当
200 ???? xx 时,有 ?? ?? ax )(
对上述
取 ? ?,,m in 21 ??? ? 则当 ???? 00 xx 时
ax ?)(? au ?? ?? 故?0
Auf ?? )(,??
①
因此 ① 式成立,
说明,
若定理 6中,)(li m
0
??? xxx ?则类似可得
?? ])([li m
0
xfxx ? Aufu ??? )(li m
内容小结
1,极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
(3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2,求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
0)1 xx ?时,用代入法 ( 分母不为 0 )
0)2 xx ?时,对
0
0 型,约去公因子
??x)3 时,分子分母同除最高次幂, 抓大头”
(2) 复合函数极限求法 设中间变量
二,极限的四则运算法则
三,复合函数的极限运算法则
一,无穷小运算法则
一,无穷小运算法则
时,有? ?,,m in 21 ??? ?
定理 1.有限个无穷小的和还是无穷小,
证, 考虑两个无穷小的和, 设
,0??? 当 时,有
当 时,有
取 则当 ???? 00 xx
???? ??? 22 ?? ?? ?? 因此
这说明当 时,为无穷小量,
类似可证, 有限个 无穷小之和仍为无穷小,
定理 2, 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
证, 设 Mu ?
又设,0l im
0
?? ?xx 即,0??? 当
时,有 M?? ? 取 ? ?,,m in 21 ??? ?
则当 ),( 0 ?xx ??? 时,就有 ??u ?u ?? ??? MM
故 即 是 时的无穷小,
推论 1, 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 2, 有限个无穷小的乘积是无穷小,
例 1、
求
解,
01lim ?
?? xx
利用定理 2 可知
说明, y = 0 是 的渐近线,
x
xy si n?
二,极限的四则运算法则
,)(lim,)(lim BxgAxf ??则有定理 3, 若
1、
2、
3、
证 1、
因,)(lim,)(lim BxgAxf ??则有
?? ???? BxgAxf )(,)(
(其中 ??,为无穷小 )
于是 )()()()( ?? ????? BAxgxf
)()( ?? ???? BA
由定理 1 可知 ??? 也是无穷小,再利用极限与无穷小
的关系定理,知定理结论成立,
证明 2略
证 3、
为无穷小
(详见 P44)B
2?
??B
1
)(
1
xg? )( 0xx
???
因,)(lim,)(lim BxgAxf ??有
,)(,)( ?? ???? BxgAxf 其中 ??,
设 BABA ???? ?? )( 1 ??? BB )( ?? AB ?
无穷小有界
因此 ?
由极限与无穷小关系定理,得
??? BAxg xf )( )(为无穷小,
定理三中的 1,2、可以推广到有限个函数的
??? )]()()([ xhxgxflim ),()()( xl i m hxl i m gxl i m f ??
??? )]()()([ xhxgxflim ),()()( xl i m hxl i m gxl i m f ??
（ 1）
（ 2）
推论 1, )(lim)](li m [ xfCxfC ?( C 为常数 )
推论 2, nn xfxf ])(lim[)](l i m [ ?( n 为正整数 )
情形
若,lim,lim ByAx nnnn ?? ???? 则有
)(li m)1( nnn yx ???
nnn yx??li m)2(
,00)3( 时且当 ?? By n BAy
x
n
n
n
?
??
l i m
BA ??
BA?
提示, 因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由
定理 3,4,5 直接得出结论,
定理 4、
例 2、
设有分式函数 其中
都是
多项式,试证,
证, ?? )(lim
0
xRxx )(lim
)(lim
0
0
xQ
xP
xx
xx
?
?
说明,若 不能直接用商的运算法则,
若
例 3、
求
解, x = 1 时
32
45lim 2
1 ?
??
? x
xx
x
0?
312
4151 2
??
????
分母 = 0,分子 ≠0,但因
分式求极限一般有如下结果：
为非负常数 )
?
m
mm
x
axaxa ??? ?
??
?110lim
nnn bxbxb ??? ? ?110
定理 5、
有定理3 有则令,0xfxxxf ??? )(),()()( ??
babxlimaxlimxx ???? 那么而如果,)(,)(),( ???? ）（
证：
baxlimxlim
xxlinxl i m f
????
??
)()(
)]()([)(
??
??
由第三节定理 3推论，有
ba0ba0xl i m f ???? 故即,,)(
三,复合函数的极限运算法则
定理 6,设 且 x 满足 时,
,)( ax ?? 又 则有
证,,0???,0??? 当 ???? au0
时,有 ??? Auf )(
,02 ??? 当
200 ???? xx 时,有 ?? ?? ax )(
对上述
取 ? ?,,m in 21 ??? ? 则当 ???? 00 xx 时
ax ?)(? au ?? ?? 故?0
Auf ?? )(,??
①
因此 ① 式成立,
说明,
若定理 6中,)(li m
0
??? xxx ?则类似可得
?? ])([li m
0
xfxx ? Aufu ??? )(li m
内容小结
1,极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
(3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2,求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
0)1 xx ?时,用代入法 ( 分母不为 0 )
0)2 xx ?时,对
0
0 型,约去公因子
??x)3 时,分子分母同除最高次幂, 抓大头”
(2) 复合函数极限求法 设中间变量
