第二节 数列的极限
二,收敛数列的性质
一、数列极限的定义
一,数列极限的定义
定义,自变量取正整数的函数称为 数列,记作
或 称为通项 (一般项 ),
设 为一数列 如果存在常数 a 有下列关系,
当 n > N 时,总有
记作
此时也称数列 收敛,否则称数列 发散,
ax nn ???li m 或 )( ??? nax n
则称该数列 的极限为 a,
?? ???? axa n)( Nn ?
即 ),( ?ax n ?? )( Nn ?
几何解释,
例如,
??,1,,43,32,21 ?n n1?? n nx n )(1 ??? n
??a??a
)(
1?Nx 2?Nx
??,2,,8,4,2 nnnx 2? )( ???? n
收敛数列
发散数列
已知 证明
证, ?? 0nx 2)1(
1
?? n 1
1
?? n
,)1,0(?? ? 欲使 只要,11 ???n 即 ?n
取,]11[ ?? ?N 则当 Nn? 时,就有,0 ???nx
故 0)1(
)1(limlim
2 ??
??
???? n
x
n
nnn 也可由 2)1( 10 ??? nx
.11??
N 与 ? 有关,但不唯一,
不一定取最小的 N,
说明, 取 ? ?11 ?? ?N
例 1、
设,1?q 证明等比数列
证, 0?nx
欲使 只要 即
亦即
因此,取 ???????? qN ln
ln1 ?
,则当 n > N 时,就有
???? 01nq
故 0l i m 1 ???? nn q
.lnln1 qn ???
的极限为 0,
例 2、
证, 用反证法, 及 且,ba?
取 因,lim ax n
n ??? 故存在 N1,
从而 2 banx ??
定理 1（极限的唯一性）如果数列 收敛，
那么它的 极限唯一,
使当 n > N1 时,
假设
二、收敛数列的性质
同理,因,li m bx nn ??? 故存在 N2,使当 n > N2 时,有
从而 2 banx ??
??23 ba 22 abnab ax ?? ???? 2 banx ?? 2 abn b ??na x? 23 ab??矛盾, 因此收敛数列的极限必唯一,则当 n > N 时,? ?,,m a x 21 NNN ?取 故假设不真 ! nx 满足的不等式
}{ nx
证明数列 是发散的,
证, 用反证法,
假设数列 ? ?
nx
收敛,则有唯一极限 a 存在,
取
,21??
则存在 N,
2
1
2
1 ???? axa n
但因
nx
交替取值 1 与－ 1,
),( 2121 ?? aa 内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时,有
因此该数列发散,
例、
证, 设 取,1??,N?则 当 Nn ? 时,
从而有
aax n ??? a?? 1
取 ? ?,,,,m a x
21 NxxxM ?? a?1
则有
.),2,1( ??? nMx n
由此证明收敛数列必有界,
说明, 此性质反过来不一定成立, 例如,
? ?1)1( ?? n 虽有界但不收敛,
,1?? ax n有
数列
定理 2、（收敛数列的有界性）
如果数列 收敛，那么数列 一定 有界 。}{ nx}{ nx
若 且
时,有
,)0(?
.)0(?
证, 对 a > 0,取
推论,若数列 从某项起 )0(?
.)0(? (用反证法证明 )
定理 3、（ 收敛数列的保号性）
}{ nx
则
,??? ax kn
证, 设数列 是数列 的任一子数列,
若 则
,0?? ?,N? 当 时,有
现取正整数 K,使 于是当 Kk ? 时,有
?kn N?
从而有 由此证明
.lim ax knk ???
定理 4、（收敛数列的与其子数列的关系）
如果数列 收敛于 a那么它的任意子
数列也 收敛,且极限也是 a。
}{ nx
内容小结
1,数列极限的, ? – N, 定义及应用
2,收敛数列的性质,
唯一性 ; 有界性 ; 保号性 ;
任一子数列收敛于同一极限
3,极限存在准则,
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
二,收敛数列的性质
一、数列极限的定义
一,数列极限的定义
定义,自变量取正整数的函数称为 数列,记作
或 称为通项 (一般项 ),
设 为一数列 如果存在常数 a 有下列关系,
当 n > N 时,总有
记作
此时也称数列 收敛,否则称数列 发散,
ax nn ???li m 或 )( ??? nax n
则称该数列 的极限为 a,
?? ???? axa n)( Nn ?
即 ),( ?ax n ?? )( Nn ?
几何解释,
例如,
??,1,,43,32,21 ?n n1?? n nx n )(1 ??? n
??a??a
)(
1?Nx 2?Nx
??,2,,8,4,2 nnnx 2? )( ???? n
收敛数列
发散数列
已知 证明
证, ?? 0nx 2)1(
1
?? n 1
1
?? n
,)1,0(?? ? 欲使 只要,11 ???n 即 ?n
取,]11[ ?? ?N 则当 Nn? 时,就有,0 ???nx
故 0)1(
)1(limlim
2 ??
??
???? n
x
n
nnn 也可由 2)1( 10 ??? nx
.11??
N 与 ? 有关,但不唯一,
不一定取最小的 N,
说明, 取 ? ?11 ?? ?N
例 1、
设,1?q 证明等比数列
证, 0?nx
欲使 只要 即
亦即
因此,取 ???????? qN ln
ln1 ?
,则当 n > N 时,就有
???? 01nq
故 0l i m 1 ???? nn q
.lnln1 qn ???
的极限为 0,
例 2、
证, 用反证法, 及 且,ba?
取 因,lim ax n
n ??? 故存在 N1,
从而 2 banx ??
定理 1（极限的唯一性）如果数列 收敛，
那么它的 极限唯一,
使当 n > N1 时,
假设
二、收敛数列的性质
同理,因,li m bx nn ??? 故存在 N2,使当 n > N2 时,有
从而 2 banx ??
??23 ba 22 abnab ax ?? ???? 2 banx ?? 2 abn b ??na x? 23 ab??矛盾, 因此收敛数列的极限必唯一,则当 n > N 时,? ?,,m a x 21 NNN ?取 故假设不真 ! nx 满足的不等式
}{ nx
证明数列 是发散的,
证, 用反证法,
假设数列 ? ?
nx
收敛,则有唯一极限 a 存在,
取
,21??
则存在 N,
2
1
2
1 ???? axa n
但因
nx
交替取值 1 与－ 1,
),( 2121 ?? aa 内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时,有
因此该数列发散,
例、
证, 设 取,1??,N?则 当 Nn ? 时,
从而有
aax n ??? a?? 1
取 ? ?,,,,m a x
21 NxxxM ?? a?1
则有
.),2,1( ??? nMx n
由此证明收敛数列必有界,
说明, 此性质反过来不一定成立, 例如,
? ?1)1( ?? n 虽有界但不收敛,
,1?? ax n有
数列
定理 2、（收敛数列的有界性）
如果数列 收敛，那么数列 一定 有界 。}{ nx}{ nx
若 且
时,有
,)0(?
.)0(?
证, 对 a > 0,取
推论,若数列 从某项起 )0(?
.)0(? (用反证法证明 )
定理 3、（ 收敛数列的保号性）
}{ nx
则
,??? ax kn
证, 设数列 是数列 的任一子数列,
若 则
,0?? ?,N? 当 时,有
现取正整数 K,使 于是当 Kk ? 时,有
?kn N?
从而有 由此证明
.lim ax knk ???
定理 4、（收敛数列的与其子数列的关系）
如果数列 收敛于 a那么它的任意子
数列也 收敛,且极限也是 a。
}{ nx
内容小结
1,数列极限的, ? – N, 定义及应用
2,收敛数列的性质,
唯一性 ; 有界性 ; 保号性 ;
任一子数列收敛于同一极限
3,极限存在准则,
夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则
