第七节 无穷小的比较
,0 时?x xxx s in,3 2都是无穷小,引例,
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但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的,
定义,
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,0lim ???若 则称 ? 是比 ? 高阶 的无穷小,
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若
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或
??,设 是自变量同一变化过程中的 无穷小,
记作
则称 ? 是比 ? 低阶 的无穷小 ;
则称 ? 是 ? 的 同阶 无穷小 ;
则称 ? 是关于 ? 的 k 阶 无穷小 ;
则称 ? 是 ? 的 等价 无穷小,记作
例 1,证明, 当 时,～
证,
～
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定理 1,～
～
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证, 1lim ???
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例如,,0 时?x ～,ta n xx～ 故
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定理 2, 设 且 存在,则
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例如,xxx 5si n 2ta nlim0? xxx 52lim0?? ?
设对同一变化过程,?,? 为无穷小,说明,
无穷小的性质,
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则,
例 2.
求,1c o s
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12
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x
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解,
内容小结
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1,无穷小的比较
设 ?,? 对同一自变量的变化过程为无穷小,且
?是 ? 的高阶无穷小
?是 ? 的低阶无穷小
?是 ? 的同阶无穷小
?是 ? 的等价无穷小
?是 ? 的 k 阶无穷小