第四章：不定积分 一、本章的教学目标及基本要求 1、理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。 2、熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。 3、掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。 二、本章各界教学内容及学时分配 第一节 不定积分的概念与性质 2学时 第二节 换元积分法 4学时 第三节 分部积分法 2学时 第四节 有理函数的积分 2学时 三、本章教学内容的重点和难点 1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法； 2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法，有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。 四、本章内容的深化和拓广 1、了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义； 2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫； 3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。 五、本章教学方式及教学过程中应注意的问题 1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方； 2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点； 3、本章主要以计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作业，防止学生只抄教材后的答案。 六、本章的思考题和习题 第一节 习题4-1，第 1、2、3、4题 第二节 习题4-2，第1、2、（1）-（33）；第2、（34）-（40）题 第三节 习题4-3，第1-22题 第四节 习题4-4，第1-22题，写本章的总结 第一节 不定积分的概念与性质 一、内容要点 1、原函数与不定积分的概念 2、不定积分的性质 二、教学要求和注意点 教学要求：理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算。 注意点： 1、原函数与不定积分的概念： 由导数及导数的意义引入原函数的概念； 解释不定积分的几何意义； 强调原函数和不定积分的特性，并举例说明； 由基本积分表说明基本积分方法； 2、不定积分的性质： 说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性； 列出不定积分的性质并给与证明，证明过程中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解； 第二节 换元积分法 一、内容要点 举较多的例以说明利用换元积分法求不定积分的基本方法 1、教材上的例1-例3，讲解时充分强调第一换元积分法“凑微分”的基本方法，强调熟悉一些简单函数的微分的重要性； 材上的例4-例11，讲解时充分强调第一换元积分法应结合被积函数的代数恒等变形等手段 求不定积分； 3、教材上的例12-例20，讲解时强调要充分利用三角函数的代数特性及微分特性求不定积分；万能变换的应用及其与三角函数恒等变形方法之间的关系。 二、教学要求和注意点 教学要求： 了解第一换元积分法的意义及证明方法；掌握第一换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；熟悉一些常见简单函数的微分。了解第二换元积分法的意义及证明方法；掌握第二换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二换元发与第一换元法之间的区别，了解第二换元积分法适用的函数类型。 教学注意点： 1、由不定积分的意义引入换元积分法的公式； 2、由不定积分的意义证明第一换元公式的正确性； 3、讲解利用第一换元法求不定积分的基本方法和步骤 4、由不定积分的意义引入第二换元积分法的公式； 5、由不定积分的意义证明第二换元公式的正确性； 6、讲解利用第二换元法求不定积分的基本方法和步骤，④强调换元函数的可逆性。 7、例题：举例以说明利用第二换元积分法求不定积分的基本方法 8、教材上的例21-例24，说明第二换元法的基本方法和适应的函数； 9、介绍二次多项式的平方根的积分方法 第三节 分部积分法 一、内容要点 1、分部积分法： 由不定积分的意义引入不定积分的分部积分公式； 教材上的例1-例7，说明分部积分法的基本方法及其特性； 教材上的例8-例10，说明应注意分部积分法应与其它的方法结合使用。 2、有理式的积分： 有理式分解的最后形式和分解方法； 有理式分解后每一部分的积分法； 例：分解及说明分解的步骤。 二、教学要求和注意点 教学要求：了解分部积分法的意义及证明方法；掌握分布积分法的基本步骤和适应函数；了解有理式积分的基本思想及有理式分解的基本方法 第四节 有理函数的积分 一、内容要点 1、有理函数的积分： 例1-例4，说明有理函数积分的基本方法和步骤； 三角有理似的积分，说明三角有理式的积分可通过万能变换化为有理式的积分，用教材上的例5说明； 无理式的积分，用例6-例9说明一次无理式和二次无理式可通过适当的变换化为有理式的积分，并总结变换式的规律； 2、归纳不定积分的积分方法和应注意的地方 二、教学要求和注意点 掌握有理函数积分的基本方法；归纳不定积分的积分方法和应注意的地方