第二章 导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1．记住导数和微分的各种术语和记号； 2．知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系； 3．知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义； 4．记住常数及基本初等函数的导数公式； 5．知道双曲函数与反双曲函数的导数公式； 6．知道高阶导数的定义； 7．知道隐函数的定义； 8．记住反函数的求导法则； 9．记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式； 10．知道对数求导法及其适用范围； 11．知道相关变化率的定义及其简单应用； 12．记住基本初等函数的微分公式； 13．知道微分在近似计算及误差估计中的应用； 14．记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 （二）领会 领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义； 领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系； 领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系； 领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系； 领会微分形式的不变性； 领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系； 领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。 （三）运用 会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等； 会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在； 会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程； 会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在； 会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数； 会求反函数的导数； 会求复合函数的导数； 会求隐函数的一阶、二阶导数； 会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数； 10．会求函数的高阶导数； 11．会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数； 12．会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 13．会用微分定义和微分法则求微分； 14．会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数； 15．会用微分求函数的近似值。 （四）分析综合 综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数； 综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性； 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数； 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面求曲线切线与法线的问题及相关变化率问题；综合运用微分的定义及几何意义解决近似计算及误差估计问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节 导数的概念 4学时 第二节 函数的求导法则 4学时 第三节 高阶导数 2学时 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 2学时 第五节 函数的微分 2学时 三、教学内容的重点及难点： 导数的概念与几何意义及物理意义； 可导与连续的关系； 导数的运算法则与基本求导公式； 微分的概念与微分的运算法则； 可微与可导的关系。 四、教学内容的深化和拓宽： 导数概念的深刻背景； 复合函数的求导法则的应用； 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数 公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数； 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面的曲线切线与法线 的问题及相关变化率问题。 五、思考题与习题 第一节：Part I 习题2-1 6（2）， 7（1）（3）（5），8，9。 Part II习题2-1 11，14（1）， 16， 18。 第二节：PartI习题2-2 2（1）（3）（5）（7）， 3（2）， 4。 Part II习题2-2 6（1）（3）（5）， 7（2）（4）（6）（9）， 8（1）（3）（5）， 9， 10（2）， 12（2）（18）（19）。 第三节：习题2-3 1（1）（4）（9）（12）， 3（1），5，8（4）， 9（3）。 第四节：习题2-4 1（1）（3），2，3（3），4（3）（4）， 7（1），8（1）（4），11。 第五节：习题2-5 3（1）（3）（5）（7）（9）（10），4（1）（3）， 6，7。 第一节 导数的概念 一、内容要点 Part I (2学时) 导数的两个基本实际背景是曲线的切线斜率与变速运动的瞬时速度。 函数在一点处的导数的定义为函数在该点处的关于自变量的变化率，即  3．单侧导数的定义 Part II（2学时） 函数可导性与连续性的关系：若函数在一点处可导，则函数在该点处连续，反之不然。 导数的实用举例（扩充） 二、教学要求和注意点 教学要求： 理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义。 理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件。 了解函数可导的充要条件：存在 教学注意点： 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率： 切线的斜率；速度与加速度；角速度与角加速度；电流，等等。 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导。 注意要用函数可导的充要条件：存在来判断 分段函数在分段点处是否可导。 第二节 函数的求导法则 一、内容要点 Part I (2学时) 函数的线性组合、积与商的求导法则   ； 反函数的导数 Part II (2学时) 复合函数的求导法则； 小结基本求导法则与导娄公式： 常数和基本初等函数的导数公式； 函数的和、差、积、商的求导法则； 反函数的求导法则； 复合函数的求导法则。 二、教学要求和注意点 教学要求： 掌握函数的线性组合、积与商的求导法则与复合函数的链式法则。 教学注意点： 牢记  arcsin x，arccos x，arctan x，arccot x，sinh x，cosh x 等15个初等函数的导数，必须做到“倒背如流”。 2．在求导法则中，复合函数在链式求导法则是中心，应用时一要弄清函数的复合关系，做到不遗漏，不重复；二是在每步求导时要弄清关于哪一个变量求导（即使这个变量不明显出现），熟练掌握的关键是多做练习。 第三节 高阶导数 一、内容要点 高阶导数的定义； 一些特殊函数的高阶导数公式； 两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 二、教学要求和注意点 教学要求： 1．了解和会求高阶导数； 2．知道莱布尼兹求导公式： 教学注意点： 要求学生记住高阶导数  是有用的。 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 一、内容要点 1．由一般方程F（x,y）=0确定的隐函数的导数：方程两端关于x求导并解出。 由参数方程 确定的隐函数的导数：=。 相关变化率：由变量x(t)与y(t)满足的关系式导出两个变化率与之间的关系，从而由其中的一个变化率求得另一个变化率。 二、教学要求和注意点 教学要求： 会求由一般方程与参数方程所确定的隐函数的一阶、二阶导数。 根据实际问题，会建立两个相依变量之间的关系式，进而解决相关变化率问题。 教学注意点： 要了解隐函数的导数与显函数的导数在形式上的不同：显函数的导数一般是自变量x的表达式；由一般方程F(x,y)=0确定的隐函数的导数中通常既含数则通常是参数t的表达式，对求这两类函数的二阶导数尤其需要学生加强练习，这是很多学生常常出错的地方。 第五节 函数的微分 一、内容要点 1．函数在一点处可微及其微分的定义：若自变量x在x0处取得增量后，函数增量可表示为：  （其中A与有关而与无关），则称在点处可微，称为在点处的微分，记作。 2．在处可微在处可导，且或 3．微分的运算法则：    微分形式的不变性：若，则 4．微分的意义：表示曲线在点的近旁可用该点处的切线近似代替，即“以直代曲。” 5．微分的应用：用微分进行近似计算和估计误差。 二、教学要求和注意点 教学要求： 理解函数微分的定义、可微的条件并了解微分的意义。 掌握微分基础公式以及微分运算法则。 会用一次函数近似表示初等函数并知道绝对误差与相对误差的概念。 教学注意点： 1．要抓住函数可微的定义——若在处给出增量后，函数增量可表示为（A与x0有关而与无关），也就是说，函数的增量与自变量增量的线性函数相差的只是的高阶无穷小；线性函数就叫函数（在处）的微分，把握了这点，微分的意义和应用就容易理解了。 2．要熟练掌握微分的运算法则（包括微分形式的不变性），因为微分的运算法则在以后的章节如“不定积分”、“定积分”及“微分方程”中都将用到。