第十二章微分方程
一、教学目标及基本要求
1、了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线等概念。
2、掌握可分离变量微分方程的解法。
3、掌握齐次方程的解法，并知道如何解可化为齐次的方程。
4、会用微小量分析法建立微分方程解决应用问题。
5、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程的通解公式。
6、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和。
7、会用变量代换解伯努利方程。
8、掌握判别全微分方程的条件并会用曲线积分求全微分方程的通解。
9、知道积分因子的概念并会用积分因子法求一些简单的微分方程的解。
10、掌握用降阶法解特殊类型的二阶微分方程。
11、了解函数线性无关与线性相关的概念。
12、理解二阶齐次线性方程通解的结构与二阶非齐次线性方程通解的结构，并知道n阶线性方程的通解与有类似的结构。
13、理解线性方程解的叠加原理。
14、掌握求二阶常系数齐次线性方程的通解的方法（欧拉指数法），并了解高阶常系数齐次线性方程的解法。
15、会用待定系数法求自由项特殊的两类形式的二阶常系数非齐次线性方程的特解，并写出通解。
16、会用叠加原理，求自由项的二阶常系数非齐次线性方程的特解。
二、本章各节教学内容及学时分配
第一节微分方程的基本概念
第二节可分离变量的微分方程 2学时
第三节齐次方程 2学时
第四节一阶线性微分方程 2学时
第五节全微分方程 2学时
第六节可降阶的高阶微分方程 2学时
第七节高阶线性微分方程 2学时
第八节常系数齐次微分方程 2学时
第九节常系数非齐次微分方程 2学时
三、本章教学内容的重点和难点
1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；
2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；
3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；
4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
四、本章教学内容的深化和拓宽：
1、分离变量法的理论根据；
2、方向场与几何解释；
3、等斜线与图解法；
4、常用的变量代换；
5、怎样列微分方程解应用题；
6、黎卡提方程；
7、近似积分法；
8、全微分方程的推广；
9、二阶齐次方程；
10、高阶微分方程的补充；
11、刘维尔公式；
12、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；
13、求线性非齐次方程的一个特解；
14、常数变易法；
15、欧拉公式法。
本章的主要参考书目：
1、陈兰祥编 高等数学同步精讲（下册）北京 学苑出版社2003
2、曹治勋等编 高等数学全程指导（下册）沈阳 东北大学出版社2003
3、黄光谷等编 高等数学学习指导与习题解析（下册）第二版、武汉华中科技大学出版社 2002
本章的思考题和习题
解下列方程（第1-6题）
1、
2、可微
3、
4、
5、
6、
7、已知可微函数满足；
8、已知；
9、求与曲线族相交成角的曲线；
10、一容器的容积为100L，盛满盐水，含10kg的盐，现以每分钟3L的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？
第一节 习题12—1 1（1）（3）（5）、2（1）（3）、3、4、5 （2）
第二节 习题12-2 1（1）（3）（5）（7）（9）、2（1）（3）（5）3、5、6
第三节 习题12-3 1（2）（4）（6）（8）、2（1）（3）3、4、（2）（4）
第四节 习题12-4 1（2）（4）（6）（8）2、3、4
第五节 习题12-5 1（2）（4）（6）（8）2、3、4
第六节 习题12-6 1（2）（4）（6）（8）（10）、 2（2）（4）（6）、 3、4．
第七节 习题12-7 1、2、4（2）（4）（6）、5、6
第八节 习题12-8 1（2）（4）（6）（8）（10）2（2）（4）（6）4、5
第八节 习题12-9 1（2）（4）（6）（8）（10）、2（2）（4）、4、5、6
第一节 微分方程的基本概念
一、内容要点：
先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；
常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；
二、教学要求和注意点
了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线
第二节 可分离变量的微分方程
一、内容要点：
可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定义及解法。
本单元的讲课提纲：
然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程与分离变量法。重点是微分方程的阶、通解与特解等概念，分离变量法。难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可分离变量方程的方法，以及具体积分方法。
二、教学要求和注意点
掌握可分离变量微分方程的解法
注意问题：通常只表示一个原函数，积分常数C有时写成
第三节 齐次方程
内容要点：
齐次方程的定义及求解公式，可化为齐次方程的定义以及解法
本单元的讲课提纲
齐次方程的判别和解法不算困难，难在寻找相应的变量代换的问题，变量代换法比较灵活，可多举一些各类型的例题，让学生多见识一些变量代换，以便学生活跃思路，积累经验。重点是齐次方程与变量代换法，难点是寻找变量代换。
第四节 一阶线性微分方程
一、内容要点：
一阶线性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法
本单元的讲课提纲
（1）讲线性非齐次的一阶方程的解法时，要交待变易常数的想法并加强练习，这对今后讲二阶线性方程和线性方程组的常数变易法是有益的。
（2）导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后，可顺利导出满足条件的特解公式，还应指出两点：第一，当时，线性方程的解总可通过两次积分求得，第二，揭示通解结构。重点是解线性非齐次方程的公式法与常数变易法。难点是伯努利方程。关键是套求解公式或常数变易法及凑微分或令z解伯努利方程。
二、教学要求和注意点
1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程的通解公式。
2、 知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和
3、齐次方程与线性齐次方程的作用
第五节 全微分方程
一、内容要点：
全微分方程的定义及其条件，解的表达式常见的积分因子。
本单元的讲课提纲
1、全微分方程的解法关键在于首先将方程写成
验证如果成立，则可把上式写成解为,求有下列三种方法：
1）线积分法 2）偏积分法 3）分组观察凑全微分法
2、若中，则可以寻求一个积分因子，使得，即存在使得从而是通解。
二、教学要求和注意点
判断和求解全微分方程的方法；寻找积分因子的分组观察法；
第六节 可降阶的高阶微分方程
一、内容要点：
可降阶的高阶微分方程的三种类型： ，找出解的表达式及解法。
本单元的讲课提纲：
1、关于高阶微分方程的解法
求解的思路是通过变量代换把高阶方程的求解化为较低阶方程求解，教材介绍了三种可降阶方程的类型，对于不属于这三类方程的特殊高阶方程有时也能通过换元或者全微分等手段变成这三种类型进行求解。
2、
只需逐步积分即可求解，在求积分过程中每次都需增加一个常数，最后的解应包含n个常数。
3、可降阶的二阶微分方程
通常的二阶微分方程为，有四个变数，仅当缺少
时一定可以降阶求解。
二、教学要求和注意点
解方程中令的作用，的导出过程
第七节 高阶线性微分方程
一、内容要点：
二阶线性微分方程的解的结构，高阶线性微分方程的解的结构，常数变易法，函数组线性无关的充分必要条件。
本单元的教学提纲
1、关于二阶线性微分方程的解的结构
①齐次线性方程和非齐次线性方程都有解的可加性。
②非齐次线性方程的通解可表示为一个特解与相应齐次线性方程的通解之和。
③线性方程的通解包括了该方程的所有解。
2、关于二阶线性方程只须知道齐次方程的一个特解，则利用常数变易法可求出它的全部解。
3、对于二阶非齐次线性方程而言，若相应的二阶齐次线性方程的通解为，也可用常数变易法找出其特解。
本单元的作业：
二、教学要求和注意点
二阶线性齐次方程中，通解中所含特解的线性无关性
第八节 常系数齐次线性微分方程
一、内容要点：
二阶常系数齐次线性方程的定义，特征方程、通解、n阶常系数齐次线性方程的定义，特征方程、通解。
本单元的讲课提纲
高阶微分方程一般都很难求得通解，只有常系数线性微分方程的解法已经完全解决，一般形式可写成
其中是常数，由于假设为它的解，经求导代入方程消去后得到的相应的特征方程
这是n次方程，它一定有n个根，其中可以是k重实根，也可以是k重共轭复根，每一个都对应齐次方程的一个特解，共得到n个线性无关的特解，利用线性微分方程解的结构，可构成n个任意常数的通解。
本单元的作业：
二、教学要求和注意点
第九节 常系数非齐次线性微分方程
一、内容要点：
二阶常系数非齐次线性方程的定义及在自由项为两种特殊形式时用待定系数法寻找特解。
本单元的讲课提纲
非齐次常系数方程的通解可表示为相应的齐次方程通解与非齐次方程一个特解之和，从而关键在于寻求特解，当自由项为时，可通过待定系数法求特解，应熟练掌握，若自由项可写成若干个项相加，应用线性方程解的结构定理。但自由项不是本节的两种形式，可用常数变易法求特解。
二、教学要求和注意点
常系数非齐次线性微分方程中自由项的局限性。
