第十一章 无穷级数
一、本章的教学目标及基本要求：
1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；
2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；
3、掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件；
4、掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法；
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理；
6、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；
7、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，
8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；
9、掌握，，，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数；了解幂级数在近似计算上的简单应用；
10、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。
二、本章各节教学内容（列出节名）及学时分配：（20学时）
第一节 常数项级数的概念及性质 2学时
第二节 常数项级数的审敛法 4学时
第三节 幂级数 3学时
第四节 函数展开成幂级数 3学时
第五节 函数的幂级数展开式的应用 2学时
第七节 傅里叶级数 4学时
第八节 一般周期函数的傅里叶级数 1学时
本章小结 １学时．
三、本章教学内容的重点和难点：
重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．
难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．
四、本章教学内容的深化和拓宽：
五、本章的思考题和习题：
第一节 习题11—1 教材193页：1 (4)；2 (3)；3 (1) (2)；4 (1) (5)．
第二节 习题11-2 教材206页：1 (2) (3) (5)；2 (1) (3)；4 (1) (2) (3) (6)，5 (1) (2) (4) (5)．
第三节 习题11-3 教材215页：1 (3) (4) (7) (8)，2 (1) (3)．
第四节 习题11-4 教材223页：2 (2) (4) (5)；5．
第五节 习题11-5 教材229页：1 (2)
第六节 习题11-6 教材250页：1 (1)；2 (2)；6；7．
第七节 习题12-7 教材256页：1 (3)；2 (1)．
第一节 常数项级数的概念及性质
一、内容要点
1、常数项级数概念：
常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；
例１．
2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：
性质1：若级数收敛于和s，则级数也收敛，且其和为ks．(证明)
性质2：若级数、分别收敛于和s、(，则级数也收敛，且其和为s±(．(证明)
性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明)
性质4：若级数收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；
性质5(级数收敛的必要条件)：若级数收敛，则它的一般项un趋于零，即．(证明)；
例２，例３．
二、教学要求和注意点
第二节 常数项级数的审敛法
一、内容要点
正项级数及其审敛法：
1．正项级数的概念；
2．基本定理：正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界．(证明)
3．比较审敛法：设和都是正项级数，且un ( vn (n = 1, 2, …)．若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散．(证明)
推论：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N，使当n ( N时有un ( kvn (k > 0)成立，则级数收敛；如果级数发散，且当n ( N时有un ( kvn (k > 0)成立，则级数发散．
例１，例２；
4．比较审敛法的极限形式：设和都是正项级数，
(1) 如果，且级数收敛，则级数收敛；
(2) 如果或，且级数发散，则级数发散．(证明)
例３～ 例７；
5．比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设为正项级数，如果
，
则当( < 1时级数收敛；( > 1(或)时级数发散；( = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；
例8，例9；
6．根值审敛法(柯西判别法)：设为正项级数，如果
，
则当( < 1时级数收敛；( > 1(或)时级数发散；( = 1时级数可能收敛也可能发散．(证明)；
例10；
7．极限审敛法：设为正项级数，
(1) 如果(或)，则级数发散；
(2) 如果p>1，而，则级数收敛．(证明)
例11，例12.
交错级数及其审敛法:
1．交错级数的概念：
2．莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件：
(1) un ( un + 1 (n = 1, 2, 3, …)；
(2)
则级数收敛，且其和s ( u1，其余项rn的绝对值( rn ( ( un + 1． (证明)
例12，例13．
绝对收敛与条件收敛：
1. 绝对收敛与条件收敛的概念；
2. 定理：如果级数绝对收敛，则级数必定收敛．(证明)
例14 ～ 例16．
二、教学要求和注意点
第三节 幂级数
一、内容要点
函数项级数的概念：
函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数．
幂级数及其收敛性：
1．幂级数的概念；
2．幂级数的收敛性：
例1；
(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数当x = x0(x0 ( 0)时收敛，则适合不等式( x ( < ( x0 (的一切x使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数当x = x0时发散，则适合不等式( x ( > ( x0 (的一切x使这幂级数发散．(证明)
推论：如果幂级数不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得
当( x ( < R时，幂级数绝对收敛;
当( x ( > R时，幂级数发散；
当x = R或x = (R时，幂级数可能收敛也可能发散．
(2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念；
(3) 幂级数的收敛半径的求法:
定理２：如果
，
其中an、an + 1 是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
(证明)，
例2 ～ 例7；
3．幂级数的运算：
幂级数的加法、减法、乘法、除法；
4．幂级数的和函数的性质：
性质1：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续．
性质2：幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式
．
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．
性质3：幂级数的和函数s(x)在其收敛区间((R , R)内可导，并有逐项求导公式
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径．
例8，例9．
二、教学要求和注意点
第四节 函数展开成幂级数
一、内容要点
泰勒级数(Taylor)
1．泰勒级数和麦克劳林级数的概念；
2．定理：设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n((时的极限为零，即
(证明)．
函数展开成幂级数的方法：
1．直接展开法:
例1 (e x的展开)；例2 (sinx的展开)
2．间接展开法：
例3 (ln(1+x)的展开)，例4 (cosx的展开) , 例5～例9．
二、教学要求和注意点
第五节 函数的幂级数展开式的应用
一、内容要点
近似计算：
例1 ～ 例3；
欧拉(Euler)公式：
(1) 复数项级数的概念：
复数项级数、复数项级数收敛与绝对收敛；
(2) 欧拉(Euler)公式：eix = cosx + I sinx .
二、教学要求和注意点
第七节 傅立叶级数
一、内容要点
概念：
1．三角函数系及其正交性；
性质：三角函数系在[(( , ( ]上正交(证明)．
2．三角级数；
3．傅立叶级数：，其中
函数展开成傅立叶级数的条件：
狄利克雷定理：设f(x)是周期为2(的周期函数，如果它满足：
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点，
则f(x)的傅立叶级数收敛，并且
当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；
当x是f(x)的间断点时，级数收敛于
将函数展开成傅立叶级数：
1．f(x)以2( 为周期，且满足收敛条件，则f(x)可展成((( , +()上的傅立叶级数．
例1～例3．
2．f(x)在[(( , ( ]上有定义，且满足收敛条件，则f(x)可展成[(( , ( ]上的傅立叶级数．
例4．
3．f(x)在[０, ( ]上有定义，且满足收敛条件，则f(x)既可展成[０, ( ]上的正弦级数，也可展成[０, ( ]上的余弦级数．
例5．
二、教学要求和注意点
第八节 一般周期函数的傅立叶级数
一、内容要点
周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
定理：设周期为2l的为周期函数f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为
其中
当f(x)为奇函数时，
其中
当f(x)为偶函数时，
其中
(证明)
例1，例2．
本章小结．
二、教学要求和注意点
