第八章 多元函数微分法及其应用 （讲授法 18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元 函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节 多元函数的基本概念 2课时 第二节 偏导数 2学时 第三节 全微分 2学时 第四节 多元复合函数的求导法则 2学时 第五节 隐函数的求导公式 2学时 多元函数微分学的几何应用 2学时 方向导数与梯度 2学时 第八节 多元函数的极值及其求法 2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 多元函数的极限与连续； 偏导数的定义；全微分的定义 多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 方向导数与梯度的定义 多元函数的极值与最值的求法 难点： 多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 由方程组确定的隐函数的求导法则； 梯度的模及方向的意义； 条件极值的求法 四、教学内容的深化和拓宽： 多元函数微分学的几个概念的深刻背景； 多元复合函数的求导法则的应用； 由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数 利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质； 将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念 利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。 五、思考题与习题 第一节：习题8-1 2，5（1）（3），6（1）（3）（5）， 7（1） 第二节：习题8-2 1（1）（3）（5）（6）， 3， 5， 6（2）， （9）， 8（1）9（2） 第三节：习题8-3 1（1）（4）（9）（12）， 3（1），5，8（4）， 9（3）。 第四节：习题8-4 1，3，5，7，8（1），10，12（3） 第五节：习题8-5 1，3，5，7，9，10（1）（3） 六、教学方式（手段） 本章主要采用讲授新课的方式，并辅以多媒体教学。 第一节 多元函数的基本概念 一、内容要点 平面点集 维空间 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 二、教学要求和注意点 教学要求： 1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 教学注意点： 多元函数的极限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点，也可以沿着曲线的方向趋于定点，这意味着多元函数的极限较一元函数的极限复杂得多。 第二节 偏导数 一、内容要点 偏导数的定义及其计算法   高阶偏导数 二、教学要求和注意点 教学要求： 理解多元函数偏导数的概念，并会求具体多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数，知道多元函数的连续性与偏导数之间的关系。 教学注意点： 在一元函数中，可导的要求比连续的要求更高，即可导必连续，但连续不一定可导。而对多元函数而元，偏导数存在时，多元函数却不一定连续，这是多元函数与一元函数的本质差别，应让学生举出反例，如  第三节 全微分 一、内容要点 全微分的定义； 全微分在近似计算中的应用 二、教学要求和注意点 教学要求： 理解全微分的概念， 会求全微分， 了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性， 了解全微分在近似计算中的应用。 教学注意点： 要求学生对全微分的原始定义  有很好的理解。 在一元函数中，可导与可微是等价的。但对多元函数而言，可微一定可导，可导却不一定可微。另外，还要让学生知道，但对多元函数而言，可微一定连续。判断全微分存在的充分条件是偏导数连续。 第四节 多元复合函数的求导法则 一、内容要点 1．复合函数的中间变量均为一元函数的情形 设，，则，且  2．复合函数的中间变量均为多元函数的情形 设，，则，且   3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 设，，则，且   二、教学要求和注意点 教学要求： 会求复合函数的中间变量均为一元函数的情形 理解并会求复合函数的中间变量均为多元函数的情形 会求复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 教学注意点： 多元复合函数的求导法则实际上是一元复合函数求导法则的推广，都是所谓的链锁法则，要求学生掌握其本质，重点要掌握和理解复合函数的中间变量均为多元函数的情形。在具体求导时，最好能画出变量之间关系的树形图。 第五节 隐函数的求导公式 一、内容要点 1．由一个方程确定的隐函数的导数；由一个方程确定的隐函数的偏导数， 2．由方程组确定的隐函数的导数 二、教学要求和注意点 教学要求： 会求由一个方程确定的隐函数的导数 2．会求由方程组确定的隐函数的导数 教学注意点： 在计算由方程组确定的隐函数的导数时，要注意区分哪些是自变量，哪些是因变量，一般来说，有多少个方程就可以确定多少个因变量，剩下的全是自变量。 第六节 多元函数微分学的几何应用（讲授法 2学时） 一、内容要点 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 二、教学要求和注意点 教学要求： 会求空间曲线的切线与法平面 2．会求曲面的切平面与法线 教学注意点： 在计算空间曲线的切线与法平面时，关键是要求出其切向量；在计算空间曲面的切平面与法线时，关键是要求出其切平面的法向量。 第七节 方向导数与梯度（讲授法 2学时） 一、内容要点 方向导数 梯度 二、教学要求和注意点 教学要求： 1．会求二元和三元函数沿任意方向的方向导数 2．理解梯度的定义。 教学注意点： 偏导数只研究了函数沿坐标轴方向的变化率，而实际问题中往往要求知道函数沿任何方向的变化率；另外要强调梯度的模就是方向导数的最大值，梯度的方向就是函数值增加得最快的方向。 第八节 多元函数的极值及其求法（讲授法 2学时） 一、内容要点 多元函数的极值及最大值、最小值 条件极值 乘数法 二、教学要求和注意点 教学要求： 理解多元函数极值和条件极值的概念， 掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学注意点： 实际问题一般总要受到多个因素的制约，因此有必要研究多元函数的极值与最值问题。最值点可能在区域的内部，也可能在区域的边界上，因此，求函数的最值时，要求出它在区域内部的所有极值以及在边界上的最值，再加以比较，从中找出函数在整个区域上的最值；研究条件极值的基本方法是将条件极值转化为无条件极值，即所谓的乘数法。