Cq重庆大学电子课件
课件制作, 吴新生 樊桂洁
课程, 高等数学
2005年 6月
第一章 函数与极限
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
本章主要内容, 映射 函数
函数极限数列极限 无穷大与无穷小
函数的连续性与间断点
第一节 映射与函数
一、集合
二、映射
三、函数
一、集合
（一）定义及表示法
定义 1,称 为 集
元素 a 属于集合 M,记作,Ma?
元素 a 不属于集合 M,记作 Ma ? ( 或 Ma? )
.
不含任何元素的集合称为 空集,记作 ?,
含有有限个元素的集合成为 有限集,
不是有限集的集合称为 无限集,
N：全体自然数集合 N+：全体正整数集合
Z：全体整数集合 Q：全体有理数集合
R:全体实数集合 R*:全体正实数集合
合 。 组成集合的事物称为 元素,
(1) 列举法, 按某种方式将集合中的元素一一列举出
来,
例, 有限集合 ? ?naaaA,,,21 ?? ? ? niia 1??
(2) 描述法, ? ? xM ?x 所具有的特征
例, 整数集合 ? ? Z x?N?x 或 ??? Nx
有理数集 q
p
??
??Q,N,Z ??? qp p 与 q 互质
实数集合 ? ? R x?x 为有理数或无理数
??
?
表示法：
1、基本运算：
? 并集,由所有属于 A或者属于 B的元素
组成的集合，记作 A∪B 。
? 交集,由即属于 A又属于 B的元素组
成的集合，记作 A∩B 。
? 差集,所有属于 A而不属于 B的元素组
成的集合，记作 A\B
? 补集,称集合 I为全集，称 I\A为 A的余
集或补集。
A
BA\
B
BA?
BA?
A
cAB
B
? 直积 ? ? ),( yxBA ??,Ax? By?
特例, RR? 记 2R 为平面上的全体点集 A
B BA?
（二）集合的运算
交换律, A∪B ＝ B∪A, A∩B ＝ B∩A ；
结合律,（ A∪B ） ∪ C＝ A∪ （ B∪C ），
分配律, （ A∪B ） ∩ C＝（ A∩C ） ∪ （ B∩C ），
对偶律,（ A∪B ） C＝ AC∩B C，
（ A∩B ） ∩ C＝ A∩ （ B∩C ）；
（ A∩B ） ∪ C＝（ A∪C ） ∩ （ B∪C ）；
（ A∩B ） C＝ AC∪B C；
2、集合的并、交、补运算满足下列法则：
点的 ? 邻域
其中,a 称为邻域中心,? 称为邻域半径,
去心 ? 邻域
左 ? 邻域,
右 ? 邻域,
)(
??a??a a
f
二、映射（一）映射的概念
设 X,Y是两个非空集合，如果存在一个法
则 f,使得对 X中的每个元素 x，按法则 f,在 Y
中有唯一确定的元素 y与之对应，则 称 f 为
从 X到 Y的映射 。记作
定义：
.,YXf ?
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作 ).( xfy ?
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像,
集合 X 称为映射 f 的 定义域 ;
Y 的子集 ?)( Xf ? ?Xxxf ?)( 称为 f 的 值域,
X
x
Y
y
1、构成映射必备的三要素：
?
2,元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不
一定唯一,
③ 对应法则 f是对每个 x∈ X，有唯一确定的
y=f(x)与之对应。
② 值域范围 Df Y;
① 定义域 Df=X；
注意：
对映射 若 YXf ?)(,则称 f 为 满射 ;
X Yf
)( Xf?
若 有
则称 f 为 单射 ;
若 f 既是满射又是单射,
则称 f 为 双射 或 一一映射,
X Y
满射,
单射,
双射,
X (数集 或点集 )
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠ ? ) Y (数集 )f f 称为 X 上的 泛函
X (≠ ? ) X f f 称为 X 上的 变换
R f
f 称为定义在 X 上的 为 函数
映射又称为算子,
名称, 例如,
说明,
1、逆映射的定义
定义, 若映射 为单射,则存在一新映射
使
习惯上,Dxxfy ??,)(
的逆映射记成
)D(fx,)x(fy 1 ?? ?
例如,映射 其逆映射为
)(DfD
f
1?f
其中
称此映射 1?f 为 f 的 逆映射,
（二） 逆映射与复合映射
定义：
设有两个映射
其中
1YXg ?,ZYf 2 ?:
，
21 YY ?
则由映射 g和 f可以定出一个从 X到 Z的对应法则，
它将每个 映成Xx? Zxgf ?)]([
Xxxgfxgf,ZXgf ??? )],([))((,??
显然，这个对应法则确定了一个从 X到 Z的映射，
这个映射称为映射 g和 f构成的 复合映射,记作
gf ? 即
2、复合映射
三、函数
（一）函数的概念
定义域 Df
定义 4,设数集,RD ? 则称映射 为定义在
D 上的 函数,记为
Dxxfy ??,)(
自变量因变量 f ( D ) 称为值域 Rf
(对应规则 ) (值域 )(定义域 )
Dx ??
f ? ?
DxxfyyDfy ???? ),()(
? 定义域
? 对应规律 —— 对应规律的表示方法, 解析法、
图象法,列表法。
使表达式及实际问题都有意义的
函数构成要素
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，
自变量集合,
那么这两个函数就是相同的，否则就是不同。
设函数,,)( Dxxfy ?? 且有区间,DI ?
1、有界性
,Dx ??,0?? M 使,)( Mxf ?称 )(xf
,Ix ??,0?? M 使,)( Mxf ?
称 )(xf
为 有界函数,
在 I 上有界,
,Dx ? 使若对任意正数 M,均存在,)( Mxf ?
则称 f ( x ) 无界,
，称 在 I上有上界
称 在 I上有下界
（二） 函数的几种特性
,0?? M,x I?? )(xf使 Mxf ?)(
,0?? M,x I?? 使 Mxf ?)( )(xf
2,单调性
,,21 Ixx ?? 21 xx ? 时,
,)()( 21 xfxf ?若 称 )(xf 为 I 上的
,)()( 21 xfxf ?若 称 )(xf 为 I 上的
单调增函数 ;
单调减函数,
x
y
1x 2x
,Dx ?? 且有,Dx ??
若 则称 f (x) 为 偶函数 ;
若 则称 f (x) 为 奇函数,
x
y
o xx?
3,奇偶性
由定义知偶函数关于 y轴对称
x
y
,Dx ?? 且有,Dx ??
由定义知奇函数关于原点对称
,Dx ? 有,Dlx ??
则称 )(xf 为 周期函数,
且
称 l 为 周期
( 一般指最小正周期 ).
? ? x? o?2 ?
y
2?
周期为 ?
注,周期函数不一定存在最小正周期,
Cxf ?)(
4,周期性
设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在一个正数 l，使
得对于任一
例如：常数函数
狄里克雷函数
x 为有理数
x 为无理数
,1
,0或
1,反函数的概念及性质
若函数 为单射,则存在逆映射
习惯上,Dxxfy ??,)(的反函数记成
)(,)(1 Dfxxfy ?? ?
称此映射 1?f 为 f 的 反函数,
（三） 反函数与复合函数
其反函数(减 )
(减 ),
1) y＝ f (x) 单调递增
且也单调递增
2) 函数 与其反函数
的图形关于直线
对称, )(xfy ?
xy?
),( abQ
x
y
o如图：
),(,?????? xey x
对数函数 互为反函数,
它们都单调递增,其图形关于直线 对称,
指数函数
性质,
2,复合函数
1),( Duufy ??
1)( DDg ?且
则
设有函数链
称为由①,② 确定的 复合函数,
①
②
u 称为 中间变量,
注意, 构成复合函数的条件 1)( DDg ?不可少,
例如,函数链,,a r c s in uy ?
函数
但函数链 22,a rc s i n xuuy ??? 不能构成复合函数,
可定义复合
例如,
0,?? uuy
可定义复合函数,
Zn?
02c o t,22 ???? xkxk 时???
),2,1,0(,c o t ?????? kkvvu ?
),(,2 ?????? xxv
其中 u,v都是中间变量
两个以上函数也可构成复合函数,
3、函数的运算;),()())(( Dxxgxfxgf ????
)(),( xgxf ??? 2121 DDDDD ?,,的定义域依次为
则可以定义两个函数的下列运算
和（差）
商 })(|{\,
)(
)())(( 0xgxDx
xg
xfx
g
f ???
gf ?
积 ;),()())(( Dxxgxfxgf ????gf?
g
f
1,基本初等函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数
2,初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为 非初等函数,
并可用一个式子表示的函数,
经过有限次四则运算和复合步
骤所构成,称为 初等函数,
例如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,
定义
（四） 初等函数
内容小结
1,集合及映射的概念
定义域
对应规律
3,函数的特性 有界性,单调性,
奇偶性,周期性
4,初等函数的结构
2,函数的定义及函数的二要素
课件制作, 吴新生 樊桂洁
课程, 高等数学
2005年 6月
第一章 函数与极限
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
本章主要内容, 映射 函数
函数极限数列极限 无穷大与无穷小
函数的连续性与间断点
第一节 映射与函数
一、集合
二、映射
三、函数
一、集合
（一）定义及表示法
定义 1,称 为 集
元素 a 属于集合 M,记作,Ma?
元素 a 不属于集合 M,记作 Ma ? ( 或 Ma? )
.
不含任何元素的集合称为 空集,记作 ?,
含有有限个元素的集合成为 有限集,
不是有限集的集合称为 无限集,
N：全体自然数集合 N+：全体正整数集合
Z：全体整数集合 Q：全体有理数集合
R:全体实数集合 R*:全体正实数集合
合 。 组成集合的事物称为 元素,
(1) 列举法, 按某种方式将集合中的元素一一列举出
来,
例, 有限集合 ? ?naaaA,,,21 ?? ? ? niia 1??
(2) 描述法, ? ? xM ?x 所具有的特征
例, 整数集合 ? ? Z x?N?x 或 ??? Nx
有理数集 q
p
??
??Q,N,Z ??? qp p 与 q 互质
实数集合 ? ? R x?x 为有理数或无理数
??
?
表示法：
1、基本运算：
? 并集,由所有属于 A或者属于 B的元素
组成的集合，记作 A∪B 。
? 交集,由即属于 A又属于 B的元素组
成的集合，记作 A∩B 。
? 差集,所有属于 A而不属于 B的元素组
成的集合，记作 A\B
? 补集,称集合 I为全集，称 I\A为 A的余
集或补集。
A
BA\
B
BA?
BA?
A
cAB
B
? 直积 ? ? ),( yxBA ??,Ax? By?
特例, RR? 记 2R 为平面上的全体点集 A
B BA?
（二）集合的运算
交换律, A∪B ＝ B∪A, A∩B ＝ B∩A ；
结合律,（ A∪B ） ∪ C＝ A∪ （ B∪C ），
分配律, （ A∪B ） ∩ C＝（ A∩C ） ∪ （ B∩C ），
对偶律,（ A∪B ） C＝ AC∩B C，
（ A∩B ） ∩ C＝ A∩ （ B∩C ）；
（ A∩B ） ∪ C＝（ A∪C ） ∩ （ B∪C ）；
（ A∩B ） C＝ AC∪B C；
2、集合的并、交、补运算满足下列法则：
点的 ? 邻域
其中,a 称为邻域中心,? 称为邻域半径,
去心 ? 邻域
左 ? 邻域,
右 ? 邻域,
)(
??a??a a
f
二、映射（一）映射的概念
设 X,Y是两个非空集合，如果存在一个法
则 f,使得对 X中的每个元素 x，按法则 f,在 Y
中有唯一确定的元素 y与之对应，则 称 f 为
从 X到 Y的映射 。记作
定义：
.,YXf ?
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像,记作 ).( xfy ?
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像,
集合 X 称为映射 f 的 定义域 ;
Y 的子集 ?)( Xf ? ?Xxxf ?)( 称为 f 的 值域,
X
x
Y
y
1、构成映射必备的三要素：
?
2,元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不
一定唯一,
③ 对应法则 f是对每个 x∈ X，有唯一确定的
y=f(x)与之对应。
② 值域范围 Df Y;
① 定义域 Df=X；
注意：
对映射 若 YXf ?)(,则称 f 为 满射 ;
X Yf
)( Xf?
若 有
则称 f 为 单射 ;
若 f 既是满射又是单射,
则称 f 为 双射 或 一一映射,
X Y
满射,
单射,
双射,
X (数集 或点集 )
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠ ? ) Y (数集 )f f 称为 X 上的 泛函
X (≠ ? ) X f f 称为 X 上的 变换
R f
f 称为定义在 X 上的 为 函数
映射又称为算子,
名称, 例如,
说明,
1、逆映射的定义
定义, 若映射 为单射,则存在一新映射
使
习惯上,Dxxfy ??,)(
的逆映射记成
)D(fx,)x(fy 1 ?? ?
例如,映射 其逆映射为
)(DfD
f
1?f
其中
称此映射 1?f 为 f 的 逆映射,
（二） 逆映射与复合映射
定义：
设有两个映射
其中
1YXg ?,ZYf 2 ?:
，
21 YY ?
则由映射 g和 f可以定出一个从 X到 Z的对应法则，
它将每个 映成Xx? Zxgf ?)]([
Xxxgfxgf,ZXgf ??? )],([))((,??
显然，这个对应法则确定了一个从 X到 Z的映射，
这个映射称为映射 g和 f构成的 复合映射,记作
gf ? 即
2、复合映射
三、函数
（一）函数的概念
定义域 Df
定义 4,设数集,RD ? 则称映射 为定义在
D 上的 函数,记为
Dxxfy ??,)(
自变量因变量 f ( D ) 称为值域 Rf
(对应规则 ) (值域 )(定义域 )
Dx ??
f ? ?
DxxfyyDfy ???? ),()(
? 定义域
? 对应规律 —— 对应规律的表示方法, 解析法、
图象法,列表法。
使表达式及实际问题都有意义的
函数构成要素
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，
自变量集合,
那么这两个函数就是相同的，否则就是不同。
设函数,,)( Dxxfy ?? 且有区间,DI ?
1、有界性
,Dx ??,0?? M 使,)( Mxf ?称 )(xf
,Ix ??,0?? M 使,)( Mxf ?
称 )(xf
为 有界函数,
在 I 上有界,
,Dx ? 使若对任意正数 M,均存在,)( Mxf ?
则称 f ( x ) 无界,
，称 在 I上有上界
称 在 I上有下界
（二） 函数的几种特性
,0?? M,x I?? )(xf使 Mxf ?)(
,0?? M,x I?? 使 Mxf ?)( )(xf
2,单调性
,,21 Ixx ?? 21 xx ? 时,
,)()( 21 xfxf ?若 称 )(xf 为 I 上的
,)()( 21 xfxf ?若 称 )(xf 为 I 上的
单调增函数 ;
单调减函数,
x
y
1x 2x
,Dx ?? 且有,Dx ??
若 则称 f (x) 为 偶函数 ;
若 则称 f (x) 为 奇函数,
x
y
o xx?
3,奇偶性
由定义知偶函数关于 y轴对称
x
y
,Dx ?? 且有,Dx ??
由定义知奇函数关于原点对称
,Dx ? 有,Dlx ??
则称 )(xf 为 周期函数,
且
称 l 为 周期
( 一般指最小正周期 ).
? ? x? o?2 ?
y
2?
周期为 ?
注,周期函数不一定存在最小正周期,
Cxf ?)(
4,周期性
设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在一个正数 l，使
得对于任一
例如：常数函数
狄里克雷函数
x 为有理数
x 为无理数
,1
,0或
1,反函数的概念及性质
若函数 为单射,则存在逆映射
习惯上,Dxxfy ??,)(的反函数记成
)(,)(1 Dfxxfy ?? ?
称此映射 1?f 为 f 的 反函数,
（三） 反函数与复合函数
其反函数(减 )
(减 ),
1) y＝ f (x) 单调递增
且也单调递增
2) 函数 与其反函数
的图形关于直线
对称, )(xfy ?
xy?
),( abQ
x
y
o如图：
),(,?????? xey x
对数函数 互为反函数,
它们都单调递增,其图形关于直线 对称,
指数函数
性质,
2,复合函数
1),( Duufy ??
1)( DDg ?且
则
设有函数链
称为由①,② 确定的 复合函数,
①
②
u 称为 中间变量,
注意, 构成复合函数的条件 1)( DDg ?不可少,
例如,函数链,,a r c s in uy ?
函数
但函数链 22,a rc s i n xuuy ??? 不能构成复合函数,
可定义复合
例如,
0,?? uuy
可定义复合函数,
Zn?
02c o t,22 ???? xkxk 时???
),2,1,0(,c o t ?????? kkvvu ?
),(,2 ?????? xxv
其中 u,v都是中间变量
两个以上函数也可构成复合函数,
3、函数的运算;),()())(( Dxxgxfxgf ????
)(),( xgxf ??? 2121 DDDDD ?,,的定义域依次为
则可以定义两个函数的下列运算
和（差）
商 })(|{\,
)(
)())(( 0xgxDx
xg
xfx
g
f ???
gf ?
积 ;),()())(( Dxxgxfxgf ????gf?
g
f
1,基本初等函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数
2,初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为 非初等函数,
并可用一个式子表示的函数,
经过有限次四则运算和复合步
骤所构成,称为 初等函数,
例如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,
定义
（四） 初等函数
内容小结
1,集合及映射的概念
定义域
对应规律
3,函数的特性 有界性,单调性,
奇偶性,周期性
4,初等函数的结构
2,函数的定义及函数的二要素
