第二节 函数的求导法则
二、反函数的求导法则
三、复合函数求导法则
四、基本求导法则与导数公式
一、函数的和、差、积、商的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1.
的和,差,积,商 (除分母
为 0的点外 ) 都在点 x 可导,且
)0)(( ?xv
此法则可推广到任意有限项的情形,
证, 设,则
vuvu ?????? )()1(
)()()( xvxuxf ??
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
h
xvxuhxvhxu
h
])()([])()([lim
0
??????
?
h
xuhxu
h
)()(lim
0
???
? h
xvhxv
h
)()(lim
0
???
?
)()( xvxu ???? 故结论成立,
例如,
(2) vuvuvu ?????)(
证, 设,)()()( xvxuxf ?则有
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
? h
xvxuhxvhxu
h
)()()()(lim
0
????
故结论成立, )()()()( xvxuxvxu ????
??
? ???
? h
hxu
h
)(lim
0
)(xu )( hxv ? ?
?
???
h
xv )( )(xu )( hxv ?
推论, ??)()1 uC
??)()2 wvu
uC ?
wvuwvuwvu ?????
( C为常数 )
h推论,
)()( xvxu?
)()(
)()()()(
xvhxv
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?
???
(3) ? ? 2v vuvuvu ?????
证, 设 ?)(xf 则有
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
? hh
lim
0?
?
,)( )(xv xu
)(
)(
hxv
hxu
?
?
)(
)(
xv
xu?
??
?
??
?
?? ? )()(
lim
0 xvhxvh
h
hxu )( ? )(xu? )(xv
h
hxv )( ?)(xu? )(xv?
故结论成立,
? ? 2v vCvC ???? ( C为常数 )
)(
)()()()(
2 xv
xvxuxvxu ????
例、
??)(c sc x
?
?????? xsi n1 x2si n? )(s in ?? x x2si n?
求证
证,
?
???????? xxx c o ss i n)(t a n ? x
2cos
xx c o s)(s in ? )( c o ss in ?? xx
? x2cos
x2cos x2sin? x2sec?
xcos?
xx c o tc s c??
类似可证,,c s c)(c o t 2 xx ???,ta ns e c)( s e c xxx ??
二、反函数的求导法则
)( ?? xf
定理 2,
y 的某邻域内 单调可导,
证, 在 x 处给增量 由反函数的单调性知
且由反函数的连续性知 因此
,)()( 1 的反函数为设 yfxxfy ??? 在)(1 yf ?
0])([ 1 ??? yf且
d
d ?
x
y或
,0??x
)()( xfxxfy ?????,0?
?
?
??
x
y
yx??,00 ???? yx 时必有
x
yxf
x ?
???
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l i m)( l i m 0??? y
yx??
y
x
d
d
?
1
])([ 1 ?? yf
1
1
])([ 1 ?? yf
1
1
例,求反三角函数及指数函数的导数,
解, 1) 设 则,)2,2( ????y
)(sin ?y ycos
1?
y2si n1
1
?
?
类似可求得
xx a rc sin2a rc c o s ?? ?
利用
0c o s ?? y,则
2) 设,)1,0( ??? aaay x则 ),0(,lo g ???? yyx a
)(l o g
1
?? ya
1?
ayln
1 ay ln?
xx e)e( ??
??)a rc s in( x ??)a rc c o s( x
??)a rc ta n( x ??)c o ta rc( x
aaa xx ln)( ?? xx e)e( ??
特别当 e?a 时,
小结,
三、复合函数求导法则
在点 x 可导,
??????? ??
lim
0x x
y
x
y
x ?
???
? 0
l i mdd
定理 3,在点
可导 复合函数 且
)()(dd xgufxy ???
在点 x 可导,
证, )( ufy ?? 在点 u 可导,故 )(lim 0 ufu
y
u
????
??
uuufy ??????? ?)(（当 时 )
故有
)()( xguf ???
u
y
?
? ???? )( uf
)0()( ??????????? xxuxuufxy ?
推广,此法则可推广到多个中间变量的情形
例如,
?xydd
)()()( xvuf ?? ??????
y
u
v
x
?uydd ?vudd xvdd
关键, 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
例,设 求
解, )c o s(
1
xe? ))s in(( xe?? xe? )t a n( xx ee??
例,设
解, 1
1
2 ?? xx ? ?? 1 12
1
2 ?x ?x2?
1
1
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记,)1(lna rs h 2 ??? xxx 则
??)(a rs h x 1
1
2 ?x
(反双曲正弦 )
2sh
xx ee
x
??
?
的反函数
四、初等函数的求导问题
1,常数和基本初等函数的导数
??)(C 0 ??)( ?x 1??? x
??)(s in x xcos ??)(c o s x xsin?
??)(ta n x x2sec ??)(c o t x x2csc?
??)(s e c x xx ta ns e c ??)(c s c x xx c o tc s c?
??)( xa aa x ln ??)( xe xe
??)( lo g xa axln1 ??)(ln x x1
??)(a rc s in x 21 1 x? ??)(a rc c o s x 21 1 x??
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2,有限次四则运算的求导法则
??? )( vu vu ??? ??)( uC uC ?
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v
u
2v
vuvu ???
( C为常数 )
)0( ?v
3,复合函数求导法则
)(,)( xuufy ???
?xydd
)()( xuf ? ????
4,初等函数在定义区间内可导,
??)(C 0
??)(s in x xcos
??)(ln x x1
由定义证,
说明, 最基本的公式
u
y
d
d
x
u
d
d?
其它公式
用求导法则推出,且导数仍为初等函数
内容小结
求导公式及求导法则
注意, 1),)( vuuv ???? v
u
v
u
?
???
??????
2) 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
二、反函数的求导法则
三、复合函数求导法则
四、基本求导法则与导数公式
一、函数的和、差、积、商的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1.
的和,差,积,商 (除分母
为 0的点外 ) 都在点 x 可导,且
)0)(( ?xv
此法则可推广到任意有限项的情形,
证, 设,则
vuvu ?????? )()1(
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h
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例如,
(2) vuvuvu ?????)(
证, 设,)()()( xvxuxf ?则有
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故结论成立, )()()()( xvxuxvxu ????
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( C为常数 )
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(3) ? ? 2v vuvuvu ?????
证, 设 ?)(xf 则有
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求证
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类似可证,,c s c)(c o t 2 xx ???,ta ns e c)( s e c xxx ??
二、反函数的求导法则
)( ?? xf
定理 2,
y 的某邻域内 单调可导,
证, 在 x 处给增量 由反函数的单调性知
且由反函数的连续性知 因此
,)()( 1 的反函数为设 yfxxfy ??? 在)(1 yf ?
0])([ 1 ??? yf且
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x
y或
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例,求反三角函数及指数函数的导数,
解, 1) 设 则,)2,2( ????y
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1
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类似可求得
xx a rc sin2a rc c o s ?? ?
利用
0c o s ?? y,则
2) 设,)1,0( ??? aaay x则 ),0(,lo g ???? yyx a
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三、复合函数求导法则
在点 x 可导,
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定理 3,在点
可导 复合函数 且
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在点 x 可导,
证, )( ufy ?? 在点 u 可导,故 )(lim 0 ufu
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故有
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推广,此法则可推广到多个中间变量的情形
例如,
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x
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关键, 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
例,设 求
解, )c o s(
1
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例,设
解, 1
1
2 ?? xx ? ?? 1 12
1
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1
1
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记,)1(lna rs h 2 ??? xxx 则
??)(a rs h x 1
1
2 ?x
(反双曲正弦 )
2sh
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的反函数
四、初等函数的求导问题
1,常数和基本初等函数的导数
??)(C 0 ??)( ?x 1??? x
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??)(ta n x x2sec ??)(c o t x x2csc?
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2,有限次四则运算的求导法则
??? )( vu vu ??? ??)( uC uC ?
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( C为常数 )
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3,复合函数求导法则
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4,初等函数在定义区间内可导,
??)(C 0
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由定义证,
说明, 最基本的公式
u
y
d
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其它公式
用求导法则推出,且导数仍为初等函数
内容小结
求导公式及求导法则
注意, 1),)( vuuv ???? v
u
v
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2) 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,
