第十节
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理
三、一致连续性
一、有界性与最大值最小值定理
注意, 若函数在开区间上连续,
结论不一定成立,
定理 1.在闭区间上连续的函数
即, 设,],[)( baCxf ?
xo
y
a b
)( xfy ?
1? 2?
则,],[,21 ba?? ?? 使
)(m i n)( 1 xff bxa ????
)(m a x)( 2 xff bxa ????
一定能取得它的值和 最小值,
或在闭区间内有间断
在该区间上一定有界且
点,
例如、
xo
y
1
1
2
2
也无最大值和最小值
二、零点定理与介值定理
定理 2.( 零点定理 )
至少有一点且
使
x
y
o a b
)(xfy ?
?
( 证明略 )
定理 3,( 介值定理 ) 设,],[)( baCxf ?且,)( Aaf ?
,,)( BABbf ??则对 A 与 B 之间的任一数 C,
一点 使
至少有
证,
作辅助函数
Cxfx ?? )()(?
则,],[)( baCx ?? 且
)()( ba ?? ))(( CBCA ???
故由零点定理知,至少有一点 使
即
推论,
A
b xo
y
a
)(xfy ?
BC
?
在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最
大值之间的任何值,
例 1,证明方程
一个根,
证, 显然 又
故据零点定理,至少存在一点 使 即
在区间 内至少有
*三, 一致连续性
已知函数 在区间 I 上连续,即,
一般情形,.,0 都有关与 x?? 就引出
了一致连续的概念,
定义, 对任意的
都有
在 I 上 一致连续,
显然,
例如、
但不一致连续,
因为 取点
则 可以任意小
但
这说明 在 ( 0,1 ] 上不一致连续,
定理, 上一致连续,
内容小结
在
上达到最大值与最小值 ;
上可取最大与最小值之间的任何 值 ;
4,当 时,使必存在
上有界 ;
在
在