第三节
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
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格林公式及其应用
第十章
L
D
区域 D 分类 单 连通区域 ( 无,洞” 区域 )多 连通区域 ( 有,洞” 区
域 )域 D 边界 L 的 正向, 域的内部靠左
定理 1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
则有
??? ???????? ?????
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
( 格林公式 )
函数
在 D 上具有连续一阶偏导数,
??? ???
?
?
?
LD
yx yQxPyx
QP
dddd或
一,格林公式
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证明, 1) 若 D 既是 X - 型区域,又是 Y - 型区域,且
??
?
??
??
bxa
xyxD )()(,21 ??
则 yxx
Q
D dd?? ?
?
?? dc yyyQ d)),(( 2?
? ??)( )(21 dyy xxQ??
?? C B E yyxQ d),(?? E A C yyxQ d),(
?? dc yyyQ d)),(( 1?
?? dc yd
d
c
y
xo
E
C
BA
ba
D
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即
同理可证
①
②
①,②两式相加得,
? ? ??? ??????? LD yQxPyxyPxQ dddd
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y
xo
L
2) 若 D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
1D
nD
2D
? ?? ??
? ?
??
?
?? n
k D
yxyPxQ
k1
dd
? ? yxyPxQD dd???????
? ?
? ?
??
n
k D k
yQxP
1
dd
? ?? L yQxP dd
为有限个上述形式的区域,如图
)( 的正向边界表示 kk DD?
证毕
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推论, 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
? ?? L xyyxA dd21
格林公式 ??? ????
??
?
?
?
??
?
?
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
例如,椭圆 ???
? 20,
s i n
c o s,??
??
?
?
?
by
axL
所围面积
? ?? ? ???20 22 d)s i nc o s(21 ababab??
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例 1,设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明
0dd2 2 ??? yxxyxL
证, 令,,2 2xQyxP ?? 则
利用格林公式,得
yxxyxL dd2 2? ????
D
yx dd0 0?
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例 2,计算 其中 D 是以 O(0,0),A(1,1),
B(0,1) 为顶点的三角形闭域,
解, 令,则 2,0 yexQP ???
利用格林公式,有
?? ?? D y yex d2
yexOA y d2? ?? yey y d10 2? ??
)1(21 1??? e
xy?
o
y
x
)1,1(A)1,0(B
D
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例 3,计算 其中 L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线,
解, 令
,022 时则当 ?? yx
设 L 所围区域为 D,,)0,0( 时当 D?由格林公式知
y
xo
L
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???? ds i nc o s20 2
2222
? ?? r rr?2?
,)0,0( 时当 D?在 D 内作圆周,,222 ryxl ??取逆时
针方向,1D,对区域 1D 应用格
? ??? l yx xyyx 22 dd
? ?? ??? lL yx xyyx 22 dd 0dd01 ?? ?? yxD
L
1D
l
o
y
x
记 L 和 lˉ 所围的区域为
林公式,得
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理 2,设 D 是单连通域,在 D 内
具有一阶连续偏导数,
(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L,有,0dd? ??L yQxP
(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分
(3)
yQxPyxu dd),(d ??
(4) 在 D 内每一点都有,x
Q
y
P
?
??
?
?
? ?L yQxP dd
与路径无关,只与起止点有关,
函数
则以下四个条件等价,
在 D 内是某一函数 的全微分,
即
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说明,积分与路径无关时,曲线积分可记为
证明 (1)
(2)
设
21,LL
?? ??? 21 dddd LL yQxPyQxP
? ?? ?? 21 ddLL yQxP
A
B
1L
2L
? ?? 2 ddL yQxP
为 D 内 任意 两条由 A 到 B 的有向分段光滑曲
线,则
(根据条件 (1))
? ?? BA yQxP dd? ?AB yQxP dd
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证明 (2)
(3)
在 D内取定点 因曲线积分
),(),( yxuyxxuux ?????则
),( yxP? x
u
x
u x
x ?
??
?
??
?? 0
l i m ),(l i m
0 yxxPx ??? ?? ?
? ?? ?? ),( ),( ddyxx yx yQxP? ??? ),( ),( dyxx yx xP
xyxxP ???? ),( ?
同理可证 yu?? ),,( yxQ? 因此有 yQxPu ddd ??
和任一点 B( x,y ),
与路径无关,
),( yxxC ??),( yxB
),( 00 yxA
有函数
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证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x,y ) 使得
yQxPu ddd ??
则 ),(),,( yxQy
uyxP
x
u ?
?
??
?
?
P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,
从而在 D内每一点都有
x
Q
y
P
?
??
?
?
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证明 (4)
(1)
设 L为 D中任一分段光滑闭曲线,DD ??
(如图 ),上因此在 D ?
x
Q
y
P
?
??
?
?
利用 格林公式,得
yxxQxQyQxPL D dd)(dd ???????? ?? ?
D D? L
0?
所围区域为
证毕
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y
x
说明, 根据定理 2,若在某区域内,x
Q
y
P
?
??
?
?
则
2) 求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,
3) 可用积分法求 d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数,
Dyx ?),( 00 及动点,),( Dyx ?
yyxQxyxPyxu yx yx d),(d),(),( ),( ),(
00
?? ?
?? xx xyxP0 d),( 0
或 ?? yy yyxQyxu
0
d),(),( 0
0y
0x
则原函数为
?? yy yyxQ0 d),(
?? xx xyxP0 d),(
若积分路径不是闭曲线,可 添加辅助线 ;
取定点
1) 计算曲线积分时,可选择方便的积分路径 ;
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y
A xo
L
例 4,计算 其中 L 为上半
从 O (0,0) 到 A (4,0).
解, 为了使用格林公式,添加辅助线段,AO
D
它与 L 所围
原式 yxyxyxAOL d)(d)3( 22 ???? ? ?
??? D yx dd4
? ???? OA yxyxyx d)(d)3( 22
?? 40 2 d x3
648 ?? ?
圆周
区域为 D,则
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例 5,验证 是某个函数的全微分,并求
出这个函数,
证, 设,,22 yxQyxP ?? 则 x
Qyx
y
P
?
???
?
? 2
由定理 2 可知,存在函数 u (x,y) 使
yyxxyxu ddd 22 ??
。
)0,0(
。),( yx
)0,(x? ??
x xx
0 d0
yyxy d0 2??
yyxy d0 2??
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例 6,验证 22
dd
yx
xyyx
?
?
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
数,并求出它,
证, 令 2222,yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??
则 )0()( 222
22
????
?
??
?
? x
y
Q
yx
xy
x
P
由 定理 2 可知存在原函数
? ??? x x1 d0
o x
y
? ?? y yx yx 0 22 d
)0,(x)0,1(
),( yx
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o x
y
)0,(x)0,1(
),( yx
? ?? y yy0 21 d
y
xa rc t a n
2 ??
?
或
),1( y
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例 7,设质点在力场 作用下沿曲线 L,
由 )2,0( ?A 移动到 求力场所作的功 W
解, )dd(2? ?? L yxxyrk
令 则有
)0()( 224
22
?????? yx
r
yxk
y
P
x
Q
?
??
可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关,
L
B
A
y
o x
sFW L d? ??
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:AB
)dd(2 yxxy
r
kW
AB ?? ?
)02:(s i n2,c o s2 ??? ?????? yx
k2??
思考, 积分路径是否可以取?OBAO ?
取圆弧
L
B
A
y
o x
为什么？
注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 !
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内容小结
1,格林公式 ? ?L yQxP dd
2,等价条件
在 D 内与路径无关,
y
P
x
Q
?
??
?
?
在 D 内有 yQxPu ddd ??
yxyPxQD dd?? ?
?
??
?
?
?
??
?
??
? ?L yQxP dd
对 D 内任意闭曲线 L 有 0dd ??? L yQxP
在 D 内有
设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有
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思考与练习
1,设
且都取正向,问下列计算是否正确?
? ??? l yx xyyx 22 d4d
? ?? l xyyx d4d41
D
o 2
y
1 x
2
L
l
??? D ?d541 ?5?
? ??? l yx xyyx 22 dd
? ?? l xyyx dd41 ??? D ?d241
?2?
提示, 时022 ?? yx
y
P
x
Q
?
??
?
?)1(
y
P
x
Q
?
??
?
?)2(
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2,设
提示, ?),(d yxu xxyx d)4( 34 ? yyyx d)56( 422 ??
y
o x
),( yx
)0,(x
xxx d0 4?? yyyxy d)56(0 422? ??
C?
5
5
1 x? 322 yx? Cy ?? 5
xxyx d)4( 34 ? yyyx d)56( 422 ??
C?
作业
P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ;
5 (1),(4) ; 6 (2),(5)
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?? ??? ? CCC D
y
xo
a
a?
C
备用题 1,设 C 为
沿
? ? yxaxyxax
xa
y
C
d)l n (2d 2222
2
????
??
222 ayx ?? 从点 ),0( a 依逆时针
),0( a? 的半圆,计算
解, 添加辅助线如图,利用格林公式,
原式 =
??? aa yay d)ln2(
?? ???? D 222 xa y?? yx dd???
C?
到点
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D
2,质点 M 沿着以 AB为直径的半圆,从 A(1,2) 运动
到
?? ?? D yx dd2
点 B(3,4),
到原点的距离,
解, 由图知 故所求功为
AB
yxxy dd ??? ?
???
22 ?? ?
锐角,
其方向垂直于 OM,且与 y 轴正向夹角为
?? ? )dd( yxxy ??
)1(2 13 34 ??? ?? xy
AB 的方程
F
求变力 F 对质点 M 所作的功, ( 90考研 )
,),( xyF ??
F 的大小 等于点 M 在此过程中受力 F 作用,
sFW d?? ?
),( yxM
B
A
y
xo
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一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
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格林公式及其应用
第十章
L
D
区域 D 分类 单 连通区域 ( 无,洞” 区域 )多 连通区域 ( 有,洞” 区
域 )域 D 边界 L 的 正向, 域的内部靠左
定理 1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
则有
??? ???????? ?????
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
( 格林公式 )
函数
在 D 上具有连续一阶偏导数,
??? ???
?
?
?
LD
yx yQxPyx
QP
dddd或
一,格林公式
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证明, 1) 若 D 既是 X - 型区域,又是 Y - 型区域,且
??
?
??
??
bxa
xyxD )()(,21 ??
则 yxx
Q
D dd?? ?
?
?? dc yyyQ d)),(( 2?
? ??)( )(21 dyy xxQ??
?? C B E yyxQ d),(?? E A C yyxQ d),(
?? dc yyyQ d)),(( 1?
?? dc yd
d
c
y
xo
E
C
BA
ba
D
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即
同理可证
①
②
①,②两式相加得,
? ? ??? ??????? LD yQxPyxyPxQ dddd
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y
xo
L
2) 若 D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
1D
nD
2D
? ?? ??
? ?
??
?
?? n
k D
yxyPxQ
k1
dd
? ? yxyPxQD dd???????
? ?
? ?
??
n
k D k
yQxP
1
dd
? ?? L yQxP dd
为有限个上述形式的区域,如图
)( 的正向边界表示 kk DD?
证毕
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推论, 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
? ?? L xyyxA dd21
格林公式 ??? ????
??
?
?
?
??
?
?
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
例如,椭圆 ???
? 20,
s i n
c o s,??
??
?
?
?
by
axL
所围面积
? ?? ? ???20 22 d)s i nc o s(21 ababab??
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例 1,设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明
0dd2 2 ??? yxxyxL
证, 令,,2 2xQyxP ?? 则
利用格林公式,得
yxxyxL dd2 2? ????
D
yx dd0 0?
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例 2,计算 其中 D 是以 O(0,0),A(1,1),
B(0,1) 为顶点的三角形闭域,
解, 令,则 2,0 yexQP ???
利用格林公式,有
?? ?? D y yex d2
yexOA y d2? ?? yey y d10 2? ??
)1(21 1??? e
xy?
o
y
x
)1,1(A)1,0(B
D
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例 3,计算 其中 L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线,
解, 令
,022 时则当 ?? yx
设 L 所围区域为 D,,)0,0( 时当 D?由格林公式知
y
xo
L
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???? ds i nc o s20 2
2222
? ?? r rr?2?
,)0,0( 时当 D?在 D 内作圆周,,222 ryxl ??取逆时
针方向,1D,对区域 1D 应用格
? ??? l yx xyyx 22 dd
? ?? ??? lL yx xyyx 22 dd 0dd01 ?? ?? yxD
L
1D
l
o
y
x
记 L 和 lˉ 所围的区域为
林公式,得
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理 2,设 D 是单连通域,在 D 内
具有一阶连续偏导数,
(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L,有,0dd? ??L yQxP
(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分
(3)
yQxPyxu dd),(d ??
(4) 在 D 内每一点都有,x
Q
y
P
?
??
?
?
? ?L yQxP dd
与路径无关,只与起止点有关,
函数
则以下四个条件等价,
在 D 内是某一函数 的全微分,
即
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说明,积分与路径无关时,曲线积分可记为
证明 (1)
(2)
设
21,LL
?? ??? 21 dddd LL yQxPyQxP
? ?? ?? 21 ddLL yQxP
A
B
1L
2L
? ?? 2 ddL yQxP
为 D 内 任意 两条由 A 到 B 的有向分段光滑曲
线,则
(根据条件 (1))
? ?? BA yQxP dd? ?AB yQxP dd
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证明 (2)
(3)
在 D内取定点 因曲线积分
),(),( yxuyxxuux ?????则
),( yxP? x
u
x
u x
x ?
??
?
??
?? 0
l i m ),(l i m
0 yxxPx ??? ?? ?
? ?? ?? ),( ),( ddyxx yx yQxP? ??? ),( ),( dyxx yx xP
xyxxP ???? ),( ?
同理可证 yu?? ),,( yxQ? 因此有 yQxPu ddd ??
和任一点 B( x,y ),
与路径无关,
),( yxxC ??),( yxB
),( 00 yxA
有函数
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证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x,y ) 使得
yQxPu ddd ??
则 ),(),,( yxQy
uyxP
x
u ?
?
??
?
?
P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,
从而在 D内每一点都有
x
Q
y
P
?
??
?
?
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证明 (4)
(1)
设 L为 D中任一分段光滑闭曲线,DD ??
(如图 ),上因此在 D ?
x
Q
y
P
?
??
?
?
利用 格林公式,得
yxxQxQyQxPL D dd)(dd ???????? ?? ?
D D? L
0?
所围区域为
证毕
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y
x
说明, 根据定理 2,若在某区域内,x
Q
y
P
?
??
?
?
则
2) 求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,
3) 可用积分法求 d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数,
Dyx ?),( 00 及动点,),( Dyx ?
yyxQxyxPyxu yx yx d),(d),(),( ),( ),(
00
?? ?
?? xx xyxP0 d),( 0
或 ?? yy yyxQyxu
0
d),(),( 0
0y
0x
则原函数为
?? yy yyxQ0 d),(
?? xx xyxP0 d),(
若积分路径不是闭曲线,可 添加辅助线 ;
取定点
1) 计算曲线积分时,可选择方便的积分路径 ;
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y
A xo
L
例 4,计算 其中 L 为上半
从 O (0,0) 到 A (4,0).
解, 为了使用格林公式,添加辅助线段,AO
D
它与 L 所围
原式 yxyxyxAOL d)(d)3( 22 ???? ? ?
??? D yx dd4
? ???? OA yxyxyx d)(d)3( 22
?? 40 2 d x3
648 ?? ?
圆周
区域为 D,则
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例 5,验证 是某个函数的全微分,并求
出这个函数,
证, 设,,22 yxQyxP ?? 则 x
Qyx
y
P
?
???
?
? 2
由定理 2 可知,存在函数 u (x,y) 使
yyxxyxu ddd 22 ??
。
)0,0(
。),( yx
)0,(x? ??
x xx
0 d0
yyxy d0 2??
yyxy d0 2??
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例 6,验证 22
dd
yx
xyyx
?
?
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
数,并求出它,
证, 令 2222,yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??
则 )0()( 222
22
????
?
??
?
? x
y
Q
yx
xy
x
P
由 定理 2 可知存在原函数
? ??? x x1 d0
o x
y
? ?? y yx yx 0 22 d
)0,(x)0,1(
),( yx
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o x
y
)0,(x)0,1(
),( yx
? ?? y yy0 21 d
y
xa rc t a n
2 ??
?
或
),1( y
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例 7,设质点在力场 作用下沿曲线 L,
由 )2,0( ?A 移动到 求力场所作的功 W
解, )dd(2? ?? L yxxyrk
令 则有
)0()( 224
22
?????? yx
r
yxk
y
P
x
Q
?
??
可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关,
L
B
A
y
o x
sFW L d? ??
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:AB
)dd(2 yxxy
r
kW
AB ?? ?
)02:(s i n2,c o s2 ??? ?????? yx
k2??
思考, 积分路径是否可以取?OBAO ?
取圆弧
L
B
A
y
o x
为什么？
注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 !
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内容小结
1,格林公式 ? ?L yQxP dd
2,等价条件
在 D 内与路径无关,
y
P
x
Q
?
??
?
?
在 D 内有 yQxPu ddd ??
yxyPxQD dd?? ?
?
??
?
?
?
??
?
??
? ?L yQxP dd
对 D 内任意闭曲线 L 有 0dd ??? L yQxP
在 D 内有
设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有
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思考与练习
1,设
且都取正向,问下列计算是否正确?
? ??? l yx xyyx 22 d4d
? ?? l xyyx d4d41
D
o 2
y
1 x
2
L
l
??? D ?d541 ?5?
? ??? l yx xyyx 22 dd
? ?? l xyyx dd41 ??? D ?d241
?2?
提示, 时022 ?? yx
y
P
x
Q
?
??
?
?)1(
y
P
x
Q
?
??
?
?)2(
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2,设
提示, ?),(d yxu xxyx d)4( 34 ? yyyx d)56( 422 ??
y
o x
),( yx
)0,(x
xxx d0 4?? yyyxy d)56(0 422? ??
C?
5
5
1 x? 322 yx? Cy ?? 5
xxyx d)4( 34 ? yyyx d)56( 422 ??
C?
作业
P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ;
5 (1),(4) ; 6 (2),(5)
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?? ??? ? CCC D
y
xo
a
a?
C
备用题 1,设 C 为
沿
? ? yxaxyxax
xa
y
C
d)l n (2d 2222
2
????
??
222 ayx ?? 从点 ),0( a 依逆时针
),0( a? 的半圆,计算
解, 添加辅助线如图,利用格林公式,
原式 =
??? aa yay d)ln2(
?? ???? D 222 xa y?? yx dd???
C?
到点
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D
2,质点 M 沿着以 AB为直径的半圆,从 A(1,2) 运动
到
?? ?? D yx dd2
点 B(3,4),
到原点的距离,
解, 由图知 故所求功为
AB
yxxy dd ??? ?
???
22 ?? ?
锐角,
其方向垂直于 OM,且与 y 轴正向夹角为
?? ? )dd( yxxy ??
)1(2 13 34 ??? ?? xy
AB 的方程
F
求变力 F 对质点 M 所作的功, ( 90考研 )
,),( xyF ??
F 的大小 等于点 M 在此过程中受力 F 作用,
sFW d?? ?
),( yxM
B
A
y
xo
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