第四节 隐函数
所确定的函数的导数
及由参数方程
相关变化率
一、隐函数的导数
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数,
由 表示的函数,称为 显函数,
例如,可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数,
但此隐函数不能显化,
函数为 隐函数,
则称此
隐函数 求导方法,
两边对 x 求导
(含导数 的方程 )y?
例 1,求由方程
在 x = 0 处的导数
解, 方程两边对 x 求导
得 xyy dd5 4 xydd2? 1? 621x? 0?
25
211
d
d
4
6
?
???
y
x
x
y
因 x = 0 时 y = 0,故
确定的隐函数
例 2,求椭圆 在点 处的切线方程,
解, 椭圆方程两边对 x 求导
8
x yy ???
9
2 0?
y?? 2
323
?
?
x
y y
x
16
9??
2
323
?
?
x
y 4
3??
故切线方程为 323?y 43?? )2( ?x
即
例 3,求 的导数,
解, 两边取对数,化为隐式
两边对 x 求导
yy ?1 xx lnc o s ??
x
xsin?
)s i nlnc o s(s i n x xxxxy x ?????
说明,
1) 对幂指函数 vuy ? 可用对数求导法求导,
uvy lnln ?
yy ?1 uv ln?? uvu??
)ln( u vuuvuy v ?????
vuuy v ???? ln uuv v ??? ?1
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
注意,
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便
例如,
两边取对数
?yln
两边对 x 求导
??yy baln xa? xb?
?bax ln ?? ]lnln[ xba ]lnln[ axb ?
又如,)4)(3(
)2)(1(
??
???
xx
xxy
u
uu ???)ln(
?21ln ?y
对 x 求导
?21??yy
? ?41312111 ??????? xxxx
两边取对数
2ln1ln ??? xx ?4ln3ln ???? xx
??11x 21?x 31?? x ?41?? x
若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数
可导,且 则
0)( ?? t? 时,有
?xydd xtty dddd ?
t
xt
y
d
d
1
d
d
??
)(
)(
t
t
?
?
?
??0)( ?? t? 时,有?
y
x
d
d
y
t
t
x
d
d
d
d ?
t
yt
x
d
d
1
d
d
??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
(此时看成 x 是 y 的函数 )
关系,
二、由参数方程确定的函数的导数
若上述参数方程中 二阶可导,
?2
2
d
d
x
y )
d
d(
d
d
x
y
x
? )(2 t??
)()( tt ?? ??? )()( tt ?? ???? )(t??
)(
)()()()(
3 t
tttt
?
????
?
????????
3x
yxxy
?
?????? ??
)dd(dd xyt?
t
x
d
d
)(
)(
d
d
t
t
x
y
?
?
?
?? )(tx ??
且
则由它确定的函数 可求二阶导数,
利用新的参数方程,可得
例 4,抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向,
解, 先求速度大小,
速度的水平分量为 垂直分量为
故抛射体速度大小
2221 )( gtvv ???
再求速度方向 (即轨迹的切线方向 ):
设 ?为切线倾角,则
y
xo
?
?xydd t
y
d
d
t
x
d
d
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时,倾角为
1
2a rc t a n
v
v??
达到最高点的时刻,2gvt ? 高度
落地时刻 抛射最远距离
速度的方向
2vt ?g
y
xo
?
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系 之间也有联系
称为 相关变化率相关变化率问题解法,
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例 5,一气球从离开观察员 500 m 处离地面铅直上升,
其速率为,m inm140 当气球高度为 500 m 时,观察员
视线的仰角增加率是多少?
解, 设气球上升 t 分后其高度为 h,仰角为 ?,
则 ??tan 500h
两边对 t 求导
?2sec tdd?? thdd5001?
已知,m i nm140d
d ?
t
h
h = 500m 时,,1ta n ??
?? 22 t a n1s e c ??
,2s e c 2 ??
td
d? 140500121 ???
500
h
?
)m inr a d /(
转化
内容小结
1,隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2,对数求导法, 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
3,参数方程求导法 极坐标方程求导
4,相关变化率问题
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
所确定的函数的导数
及由参数方程
相关变化率
一、隐函数的导数
二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数,
由 表示的函数,称为 显函数,
例如,可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数,
但此隐函数不能显化,
函数为 隐函数,
则称此
隐函数 求导方法,
两边对 x 求导
(含导数 的方程 )y?
例 1,求由方程
在 x = 0 处的导数
解, 方程两边对 x 求导
得 xyy dd5 4 xydd2? 1? 621x? 0?
25
211
d
d
4
6
?
???
y
x
x
y
因 x = 0 时 y = 0,故
确定的隐函数
例 2,求椭圆 在点 处的切线方程,
解, 椭圆方程两边对 x 求导
8
x yy ???
9
2 0?
y?? 2
323
?
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x
y y
x
16
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2
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故切线方程为 323?y 43?? )2( ?x
即
例 3,求 的导数,
解, 两边取对数,化为隐式
两边对 x 求导
yy ?1 xx lnc o s ??
x
xsin?
)s i nlnc o s(s i n x xxxxy x ?????
说明,
1) 对幂指函数 vuy ? 可用对数求导法求导,
uvy lnln ?
yy ?1 uv ln?? uvu??
)ln( u vuuvuy v ?????
vuuy v ???? ln uuv v ??? ?1
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
注意,
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便
例如,
两边取对数
?yln
两边对 x 求导
??yy baln xa? xb?
?bax ln ?? ]lnln[ xba ]lnln[ axb ?
又如,)4)(3(
)2)(1(
??
???
xx
xxy
u
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?21ln ?y
对 x 求导
?21??yy
? ?41312111 ??????? xxxx
两边取对数
2ln1ln ??? xx ?4ln3ln ???? xx
??11x 21?x 31?? x ?41?? x
若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数
可导,且 则
0)( ?? t? 时,有
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(此时看成 x 是 y 的函数 )
关系,
二、由参数方程确定的函数的导数
若上述参数方程中 二阶可导,
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d
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x
y )
d
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x
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且
则由它确定的函数 可求二阶导数,
利用新的参数方程,可得
例 4,抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t的运动速度的大小和方向,
解, 先求速度大小,
速度的水平分量为 垂直分量为
故抛射体速度大小
2221 )( gtvv ???
再求速度方向 (即轨迹的切线方向 ):
设 ?为切线倾角,则
y
xo
?
?xydd t
y
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t
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抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时,倾角为
1
2a rc t a n
v
v??
达到最高点的时刻,2gvt ? 高度
落地时刻 抛射最远距离
速度的方向
2vt ?g
y
xo
?
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系 之间也有联系
称为 相关变化率相关变化率问题解法,
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例 5,一气球从离开观察员 500 m 处离地面铅直上升,
其速率为,m inm140 当气球高度为 500 m 时,观察员
视线的仰角增加率是多少?
解, 设气球上升 t 分后其高度为 h,仰角为 ?,
则 ??tan 500h
两边对 t 求导
?2sec tdd?? thdd5001?
已知,m i nm140d
d ?
t
h
h = 500m 时,,1ta n ??
?? 22 t a n1s e c ??
,2s e c 2 ??
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500
h
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)m inr a d /(
转化
内容小结
1,隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2,对数求导法, 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
3,参数方程求导法 极坐标方程求导
4,相关变化率问题
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
