第六节 极限存在准则
两个重要极限
二,两个重要极限
一、极限存在准则
一、极限存在准则
azy nnnn ?? ???? limlim)2(
（一） 夹逼准则
),2,1()1( ???? nzxy nnn ax
nn ???lim
证,由条件 (2),,0???,1N?
当 时,当 时,
令 ? ?,,m a x 21 NNN ? 则当 Nn ? 时,有
由条件 (1) nnn zxy ?????a ??? a
即,??? ax n 故,li m ax nn ???
,2N
1、
2、
时或(1)当 )||)(,( Mxrxx 0 ??
)()()( xhxfxg ??
如果
,)(,)( AxhlimAxglim
00 xxxx
?? ??
)( ??x
（ 2）
)( ??x
)( xflim
0xx?
)( ??x
那么 存在，且等于 A。
例,证明
证, 利用夹逼准则,
?????? ?????? ??? nnnnn 222 1211 ???? 2
2
n
n
且
???? 2
2
l i m n n
n 21
1lim
n
n ??
?
?? 1?
nn ??? lim ?????? ?????? ??? nnnn 222 1211 ?1?
由
二,单调有界数列必有极限
)(l i m Max nn ????
)(l i m mbx nn ????
( 证明略 )
a
单调增加
b
单调减少
例,设 证明数列
极限存在,
证, 利用二项式公式,有
nnnx )1( 1??
??1 nn1!1 21!2
)1(
n
nn ??
3
1!3 )2)(1(
n
nnn ??? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ???? ?
??? 11
) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n?
??? 11nx
) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n?
???? 111nx )1( 11!21 ?? n )1)(1( 1211!31 ?? ?? nn??
)1()1)(1( 11211!)1( 1 ???? ???? n nnnn ?
大 大
正
),2,1(1 ??? ? nxx nn
????? 11)1( 1 nnnx又
比较可知
根据准则 2 可知数列 ? ?nx
记此极限为 e,
ennn ???? )1(l i m 1
e 为无理数,其值为
?5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
即
有极限,
????? 11)1( 1 nnnx
??? 11
又
3? 12 13 ??? n
*3,柯西极限存在准则 (柯西审敛原理 )
数列 极限存在的充要条件是,
,0??? 存在正整数 N,使当 NnNm ??,时,
??? mn xx
证,,必要性”,设,lim ax nn ??? 则
时,有
使当
,2??? ax n 2??? ax m
因此 ?? mn xx
??? ax n axm ? ??
“充分性” 证明从略,
有
二,两个重要极限
1sinc o s ?? x xx
圆扇形 AOB的面积
证, 当
即 ?xsin21 xtan21?
亦即 )0(ta ns in 2????? xxxx
),0( 2??x 时，
)0( 2??? x显然有
△ AOB 的面积 ＜ ＜△ AOD的面积
D
C
B
Ax
1
o
故有
注
注：
当 20 ??? x 时
xx c o s1c o s10 ????
2si n2
2 x? ? ?2
22
x?
2
2x
?
0)c o s1(l im 0 ??? ? xx
2.
证, 当 0?x 时,设,1??? nxn 则
xx )1( 1? 11 )1( ??? nn?? ? nn )1( 11
n
nn )1(l i m 11??? ?
lim
??
?
n
111 )1( ??? nn
111 ?? n
e?
11 )1(l i m ?
?? ?
n
nn ]1)1[(lim 11 ）（ n
n
nn ??? ?? e?
exxx ????? )1(l i m 1
当,)1( ??? tx 则 从而有
)1(
11 )1(l im
??
???? ??
t
tt
)1(
1 )(lim
??
?????
t
t tt 11 )1(l i m ???? ?? ttt
)]1()1[(l im 11 tttt ??? ??? e?
故 exxx ???? )1(lim 1
说明, 此极限也可写为 ez z
z ???
1)1(l i m
0
时,令
例,求
解, 令,xt ?? 则
t
tt
?
?? ? )1(l i m
1
1l i m
??
?
t
说明,若利用,)1(lim )()(1)( exxx ???? ??? 则
原式 ? ? 111 )1(lim ??????? ??? exxx
两个重要极限的其它表达
或
注, 代表相同的表达式
两个重要极限
二,两个重要极限
一、极限存在准则
一、极限存在准则
azy nnnn ?? ???? limlim)2(
（一） 夹逼准则
),2,1()1( ???? nzxy nnn ax
nn ???lim
证,由条件 (2),,0???,1N?
当 时,当 时,
令 ? ?,,m a x 21 NNN ? 则当 Nn ? 时,有
由条件 (1) nnn zxy ?????a ??? a
即,??? ax n 故,li m ax nn ???
,2N
1、
2、
时或(1)当 )||)(,( Mxrxx 0 ??
)()()( xhxfxg ??
如果
,)(,)( AxhlimAxglim
00 xxxx
?? ??
)( ??x
（ 2）
)( ??x
)( xflim
0xx?
)( ??x
那么 存在，且等于 A。
例,证明
证, 利用夹逼准则,
?????? ?????? ??? nnnnn 222 1211 ???? 2
2
n
n
且
???? 2
2
l i m n n
n 21
1lim
n
n ??
?
?? 1?
nn ??? lim ?????? ?????? ??? nnnn 222 1211 ?1?
由
二,单调有界数列必有极限
)(l i m Max nn ????
)(l i m mbx nn ????
( 证明略 )
a
单调增加
b
单调减少
例,设 证明数列
极限存在,
证, 利用二项式公式,有
nnnx )1( 1??
??1 nn1!1 21!2
)1(
n
nn ??
3
1!3 )2)(1(
n
nnn ??? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ???? ?
??? 11
) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n?
??? 11nx
) 1( 1!1 nn ?? ) 1( 2? ) 1( 1nn ???
)1( 1!21 n? ??)1( 1!31 n?? )1( 2n?
???? 111nx )1( 11!21 ?? n )1)(1( 1211!31 ?? ?? nn??
)1()1)(1( 11211!)1( 1 ???? ???? n nnnn ?
大 大
正
),2,1(1 ??? ? nxx nn
????? 11)1( 1 nnnx又
比较可知
根据准则 2 可知数列 ? ?nx
记此极限为 e,
ennn ???? )1(l i m 1
e 为无理数,其值为
?5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
即
有极限,
????? 11)1( 1 nnnx
??? 11
又
3? 12 13 ??? n
*3,柯西极限存在准则 (柯西审敛原理 )
数列 极限存在的充要条件是,
,0??? 存在正整数 N,使当 NnNm ??,时,
??? mn xx
证,,必要性”,设,lim ax nn ??? 则
时,有
使当
,2??? ax n 2??? ax m
因此 ?? mn xx
??? ax n axm ? ??
“充分性” 证明从略,
有
二,两个重要极限
1sinc o s ?? x xx
圆扇形 AOB的面积
证, 当
即 ?xsin21 xtan21?
亦即 )0(ta ns in 2????? xxxx
),0( 2??x 时，
)0( 2??? x显然有
△ AOB 的面积 ＜ ＜△ AOD的面积
D
C
B
Ax
1
o
故有
注
注：
当 20 ??? x 时
xx c o s1c o s10 ????
2si n2
2 x? ? ?2
22
x?
2
2x
?
0)c o s1(l im 0 ??? ? xx
2.
证, 当 0?x 时,设,1??? nxn 则
xx )1( 1? 11 )1( ??? nn?? ? nn )1( 11
n
nn )1(l i m 11??? ?
lim
??
?
n
111 )1( ??? nn
111 ?? n
e?
11 )1(l i m ?
?? ?
n
nn ]1)1[(lim 11 ）（ n
n
nn ??? ?? e?
exxx ????? )1(l i m 1
当,)1( ??? tx 则 从而有
)1(
11 )1(l im
??
???? ??
t
tt
)1(
1 )(lim
??
?????
t
t tt 11 )1(l i m ???? ?? ttt
)]1()1[(l im 11 tttt ??? ??? e?
故 exxx ???? )1(lim 1
说明, 此极限也可写为 ez z
z ???
1)1(l i m
0
时,令
例,求
解, 令,xt ?? 则
t
tt
?
?? ? )1(l i m
1
1l i m
??
?
t
说明,若利用,)1(lim )()(1)( exxx ???? ??? 则
原式 ? ? 111 )1(lim ??????? ??? exxx
两个重要极限的其它表达
或
注, 代表相同的表达式
