第九节
连续函数的运算与
初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
定理 1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,
商 (分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数,
在其定义域内连续
例如,
二、反函数与复合函数的连续性
定理 2,连续单调递增 函数的反函数
例如,xy sin? 在 上连续单调递增，
其反函数 xy a r c s in?
(递减 ).
在 [－ 1,1] 上也连续单调递增,
递增
(递减 ) 也连续单调
定理 3,连续函数的复合函数是连续的,
证, 设函数,)( 00 ux ??
于是
)(lim
0
ufuu ? )]([ 0xf ??
故复合函数
且
即
例,是由连续函数链
*R?x
因此 在 *R?x 上连续,复合而成,
x
y
o
xy
1si n?
三、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续
一切初等函数
在定义区间内
连续
例如,
21 xy ?? 的连续区间为 (端点为单侧连续 )
xy s inln? 的连续区间为
1c o s ?? xy 的定义域为
因此它无连续点
而
例 求
解, 原式
例 4,
求
解, 原式 )21ln(si n3 xx ?
说明, 若,0)(li m
0
?? xuxx 则有
? ? ??? )()(1l i m
0
xv
xx xu
,)(lim
0
??? xvxx
e
e?
)()(lim
0
xuxvxx ?
x3 x2?
内容小结
基本初等函数 在定义区间内 连续
连续函数的 四则运算 的结果连续
连续函数的 反函数 连续
连续函数的 复合函数 连续
初等函数在
定义区间内
连续
说明, 分段函数在界点处是否连续需讨论其
左、右连续性,