第二章 导数与微分
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究
极值问题中提出,
微积分学的创始人,
德国数学家 Leibniz
英国数学家 Newton
微分学 导数 描述函数变化快慢微分 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数 )
第一节 导数概念
一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数的可导性与连续性的关系
一,引例
（一） 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
?v )()( 0tftf ?
0tt?
而在 时刻的瞬时速度为
lim
0tt
v
?
? )()( 0tftf ?
0tt? 0t
so
)( 0tf )(tf
t
221 tgs ?
自由落体运动
（二）切线问题
曲线 在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时 )
割线 M N 的斜率
x
y
o
)( xfy ?
C
? ?
N
T
0x
M
x
??tan
)()( 0xfxf ?
0xx?
切线 MT 的斜率
??? t a nl i m??
l i m
0xx
k
?
? )()( 0xfxf ?
0xx?
二、导数的定义
定义 1, 设函数 在点
0
limxx?
0
0 )()(
xx
xfxf
?
?
x
y
x ?
??
?? 0
l i m )()( 0xfxfy ???
0xxx ???
存在,并称此极限为
记作,;0xxy ?? ;)( 0xf ? ;dd
0xxx
y
? 0d
)(d
xxx
xf
?
即 0xxy ?? )( 0xf ?? x
y
x ?
??
?? 0
lim
则称函数
若
的某邻域内有定义,
在点 处 可导,
在点 的 导数,
运动质点的位置函数 )(tfs ?
s
o
0t
)( 0tf )(tf
t
在 时刻的瞬时速度
0t
曲线 )(,xfyC ?在 M 点处的切线斜率
x
y
o
)( xfy ?
C
?
N
T
0x
M
x
)( 0tf ??
)( 0xf ??
)()( 0xfxfy ???
0xxx ???
若上述极限不存在,在点 不可导,
0x
若,lim
0
????
?? x
y
x 也称 在
若函数在开区间 I内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为导函数,
记作, ;y? ;)( xf ? ;d
d
x
y,
d
)(d
x
xf
注意, )(
0xf ? 0)( xxxf ??? x
xf
d
)(d 0
?
就说函数
就称函数在 I 内可导,
的导数为无穷大,
单侧导数
在点 的某个 右 邻域内
若极限
则称此极限值为
)( 0xf??
即 ??? )( 0xf
(左 )
在 处的 右 导数,记作(左 )
)0( ??? x )0( ??? x
))(( 0xf??
? ?
0x
例如,xxf ?)( 在 x = 0 处有
x
y
o
xy ?
定义 2, 设函数
有定义,
存在,
函数 在点
且
)( 0xf ? 存在 )( 0xf??简写为
在点 必 右 连续,(左 )
若函数 )(bf??与
都存在,则称
显然,
在闭区间 [a,b] 上可导
在开区间 内可导,
在闭区间 上可导,
可导的充分必要条件
是
且
在点 处 右 导数存在函数 (左 )
例 1,求函数 (C 为常数 ) 的导数,
解, y?
即
例 2,求函数
解, ax afxf ?? )()(
ax?? lim ax
ax nn
ax ?
??
?
lim
(limax?? 1?nx 2?? nxa 32 ?? nxa ?? )1?? na
x
xfxxf
?
??? )()(
0lim??? x
说明：
对一般幂函数 ?xy ? ( 为常数 ) ?
1)( ??? ?? ? xx
例如,)( ?x )( 21 ?? x 21
2
1 ?? x
x2
1?
? ??x1 )( 1 ?? ?x 11???? x 21x??
)1( ?
xx
)( 4
3
??
?
x 4
7
4
3 ??? x
例 3.
h
xhx
h
s i n)s i n (l i m
0
???
?
求函数 的导数,
解, 则
h
xfhxf )()( ??
0lim?? h
0lim?? h
)2c o s(2 hx ?
)2c o s (l i m
0
hx
h
??
? xcos?
即 xx c o s)(s in ??
类似可证得 xx s in)( c o s ???
例 4、
证明函数 在 x = 0 不可导,
证, h fhf )0()0( ??? h
h?
??
?? 0?h,1
0?,1?
h
fhf
h
)0()0(l i m
0
???
? 不存在,
三,导数的几何意义
x
y
o
)( xfy ?
C
?
T
0x
M
曲线 在点 的切线斜率为
)(ta n 0xf ???
若 曲线过 上升 ;
若 曲线过 下降 ;
x
y
o ?0x
),( 00 yx若 切线与 x 轴平行,称为 驻点 ;
若 切线与 x 轴垂直,
曲线在点 处的
切线方程,
法线方程, )0)(( 0 ?? xf
x
y
o 0x
在 x = 0 处连续,但不可导,
四,函数的可导性与连续性的关系
定理 1.
证, 设 在点 x 处可导,
存在,因此必有
其中
故 0??x
所以函数 在点 x 连续,
注意,函数在点 x 连续未必可导,
反例, x
y
o
xy ?
即
内容小结
1,导数的实质,
3,导数的几何意义,
4,可导必连续,但连续不一定可导 ;
5,已学求导公式,
6,判断可导性
不连续,一定不可导,
直接用导数定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
??)(C
??)(c o s x
axf ?? )( 02,axfxf ???? ?? )()( 00
??)(ln x;0;sin x?
x
1
增量比的极限 ;
切线的斜率 ;
牛顿 (1642 – 1727)
伟大的英国数学家,物理学家,天文
学家和自然科学家, 他在数学上的卓越
贡献是创立了微积分, 1665年他提出正
流数 (微分 ) 术,次年又提出反流数 (积分 )术,并于 1671
年完成, 流数术与无穷级数, 一书 (1736年出版 ),他
还著有, 自然哲学的数学原理, 和, 广义算术, 等,
莱布尼兹 (1646 – 1716)
德国数学家,哲学家, 他和牛顿同为
微积分的创始人,他在, 学艺, 杂志
上发表的几篇有关微积分学的论文中,
有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿,
他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计
数法,并把它与中国的八卦联系起来,
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究
极值问题中提出,
微积分学的创始人,
德国数学家 Leibniz
英国数学家 Newton
微分学 导数 描述函数变化快慢微分 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数 )
第一节 导数概念
一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数的可导性与连续性的关系
一,引例
（一） 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
?v )()( 0tftf ?
0tt?
而在 时刻的瞬时速度为
lim
0tt
v
?
? )()( 0tftf ?
0tt? 0t
so
)( 0tf )(tf
t
221 tgs ?
自由落体运动
（二）切线问题
曲线 在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时 )
割线 M N 的斜率
x
y
o
)( xfy ?
C
? ?
N
T
0x
M
x
??tan
)()( 0xfxf ?
0xx?
切线 MT 的斜率
??? t a nl i m??
l i m
0xx
k
?
? )()( 0xfxf ?
0xx?
二、导数的定义
定义 1, 设函数 在点
0
limxx?
0
0 )()(
xx
xfxf
?
?
x
y
x ?
??
?? 0
l i m )()( 0xfxfy ???
0xxx ???
存在,并称此极限为
记作,;0xxy ?? ;)( 0xf ? ;dd
0xxx
y
? 0d
)(d
xxx
xf
?
即 0xxy ?? )( 0xf ?? x
y
x ?
??
?? 0
lim
则称函数
若
的某邻域内有定义,
在点 处 可导,
在点 的 导数,
运动质点的位置函数 )(tfs ?
s
o
0t
)( 0tf )(tf
t
在 时刻的瞬时速度
0t
曲线 )(,xfyC ?在 M 点处的切线斜率
x
y
o
)( xfy ?
C
?
N
T
0x
M
x
)( 0tf ??
)( 0xf ??
)()( 0xfxfy ???
0xxx ???
若上述极限不存在,在点 不可导,
0x
若,lim
0
????
?? x
y
x 也称 在
若函数在开区间 I内每点都可导,
此时导数值构成的新函数称为导函数,
记作, ;y? ;)( xf ? ;d
d
x
y,
d
)(d
x
xf
注意, )(
0xf ? 0)( xxxf ??? x
xf
d
)(d 0
?
就说函数
就称函数在 I 内可导,
的导数为无穷大,
单侧导数
在点 的某个 右 邻域内
若极限
则称此极限值为
)( 0xf??
即 ??? )( 0xf
(左 )
在 处的 右 导数,记作(左 )
)0( ??? x )0( ??? x
))(( 0xf??
? ?
0x
例如,xxf ?)( 在 x = 0 处有
x
y
o
xy ?
定义 2, 设函数
有定义,
存在,
函数 在点
且
)( 0xf ? 存在 )( 0xf??简写为
在点 必 右 连续,(左 )
若函数 )(bf??与
都存在,则称
显然,
在闭区间 [a,b] 上可导
在开区间 内可导,
在闭区间 上可导,
可导的充分必要条件
是
且
在点 处 右 导数存在函数 (左 )
例 1,求函数 (C 为常数 ) 的导数,
解, y?
即
例 2,求函数
解, ax afxf ?? )()(
ax?? lim ax
ax nn
ax ?
??
?
lim
(limax?? 1?nx 2?? nxa 32 ?? nxa ?? )1?? na
x
xfxxf
?
??? )()(
0lim??? x
说明：
对一般幂函数 ?xy ? ( 为常数 ) ?
1)( ??? ?? ? xx
例如,)( ?x )( 21 ?? x 21
2
1 ?? x
x2
1?
? ??x1 )( 1 ?? ?x 11???? x 21x??
)1( ?
xx
)( 4
3
??
?
x 4
7
4
3 ??? x
例 3.
h
xhx
h
s i n)s i n (l i m
0
???
?
求函数 的导数,
解, 则
h
xfhxf )()( ??
0lim?? h
0lim?? h
)2c o s(2 hx ?
)2c o s (l i m
0
hx
h
??
? xcos?
即 xx c o s)(s in ??
类似可证得 xx s in)( c o s ???
例 4、
证明函数 在 x = 0 不可导,
证, h fhf )0()0( ??? h
h?
??
?? 0?h,1
0?,1?
h
fhf
h
)0()0(l i m
0
???
? 不存在,
三,导数的几何意义
x
y
o
)( xfy ?
C
?
T
0x
M
曲线 在点 的切线斜率为
)(ta n 0xf ???
若 曲线过 上升 ;
若 曲线过 下降 ;
x
y
o ?0x
),( 00 yx若 切线与 x 轴平行,称为 驻点 ;
若 切线与 x 轴垂直,
曲线在点 处的
切线方程,
法线方程, )0)(( 0 ?? xf
x
y
o 0x
在 x = 0 处连续,但不可导,
四,函数的可导性与连续性的关系
定理 1.
证, 设 在点 x 处可导,
存在,因此必有
其中
故 0??x
所以函数 在点 x 连续,
注意,函数在点 x 连续未必可导,
反例, x
y
o
xy ?
即
内容小结
1,导数的实质,
3,导数的几何意义,
4,可导必连续,但连续不一定可导 ;
5,已学求导公式,
6,判断可导性
不连续,一定不可导,
直接用导数定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
??)(C
??)(c o s x
axf ?? )( 02,axfxf ???? ?? )()( 00
??)(ln x;0;sin x?
x
1
增量比的极限 ;
切线的斜率 ;
牛顿 (1642 – 1727)
伟大的英国数学家,物理学家,天文
学家和自然科学家, 他在数学上的卓越
贡献是创立了微积分, 1665年他提出正
流数 (微分 ) 术,次年又提出反流数 (积分 )术,并于 1671
年完成, 流数术与无穷级数, 一书 (1736年出版 ),他
还著有, 自然哲学的数学原理, 和, 广义算术, 等,
莱布尼兹 (1646 – 1716)
德国数学家,哲学家, 他和牛顿同为
微积分的创始人,他在, 学艺, 杂志
上发表的几篇有关微积分学的论文中,
有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿,
他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计
数法,并把它与中国的八卦联系起来,
