第三节 函数的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质
一、函数极限的定义
（一）自变量趋于有限值时函数的极限
定义, 设函数 在点 的某去心邻域内有定义,
,0???,0??? 当 ???? 00 xx 时,有 ??? Axf )(
则称常数 A 为函数 当 时的 极限,
Axfxx ?? )(li m
0
或
即 当
时,有
若
记作
几何解释,
??0x
??A
??A
A
x0x
y )(xfy ?
极限存在
函数局部有界
(P35定理 2)
这表明,
例 1、
证明
证, Axf ?)(
故,0??? 对任意的,0?? 当 时,
因此
总有
例 2、
证明
证, 12 ?? x
欲使,0???
取,2?? ? 则当 ???? 10 x 时,必有
因此
只要
例 3、
证明
证, Axf ?)(
故,0??? 取,?? ? 当 时,必有
???
?
? 2
1
12
x
x
因此 21
1l i m 2
1
???
? x
x
x
例 4,证明, 当
证,
0
0
1 xx
x ??
欲使,0??? 且
而 可用
因此
只要
00l i m xxxx ??
时
故取
? ?,,m in 00 xx ?? ? 则当 ???? 00 xx 时,
保证,
必有
o x0xx
左极限与右极限
左极限, ?? )( 0xf
Axf
xx
??
?
)(lim
0
,0???,0??? 当 ),( 00 xxx ???
时,有
右极限, ?? )(
0xf Axf
xx
??
?
)(lim
0
,0???,0??? 当 ),( 00 ??? xxx
时,有
定理 3,
Axf
xx
?
?
)(lim
0
Axfxf
xxxx
?? ??
??
)(lim)(lim
00
（二）自变量趋于无穷大时函数的极限
XX?
??A
??A o x
y
)( xfy ?A
定义 2, 设函数 大于某一正数时有定义,若
,0?? X 则称常数
时的极限,
Axfx ??? )(li m
几何解释,
记作
直线 y = A 为曲线 的水平渐近线
,0???
A 为函数
例 6 证明,01lim ?
?? xx
证, 0
1 ?
x x
1?
取,1??X
因此
注,
就有
故,0??? 欲使 即
o x
y
xy
1?
极限的两种特殊情况,
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线,
Axfx ???? )(lim,0???,0?? X 当 时,有
??? Axf )(
,0???,0?? X 当 Xx ?? 时,有
??? Axf )(
几何意义,
例如，
都有水平渐近线 ;0?y
都有水平渐近线,1?y
又如，
x
1
x?1
1
时，有 。
那么存在常数 和,使得当
定理 2（函数极限的局部有界性）如果,
定理 1（函数极限的唯一性）如果 存在，
二、函数极限的性质
)( xflim
0xx?
Axflim
0xx
?? )(
0M ?
那么这 极限唯一 。
0??
???? || 0xx0 Mxf ?|)(|
证明：因为 所以取 则
Axflim
0xx
?? )( 1?? 0???
当 时，有???? || 0xx0
1AAAxfxf1Axf ???????? |||||)(||)(||)(|
记 1AM ?? || 定理得证
若 且 A > 0
.0)( ?xf )0)(( ?xf
证, 已知 即,0??? 当
时,有
当 A > 0 时,取正数
则在对应的邻域 上
(< 0) )( A???
则存在( A < 0 )，
)0(?
0??
使当 ???? ||
0xx0
时，有
定理 3（函数极限的局部保号性）
:0?A
:0?A
若取,2
A??
则在对应的邻域 上
若 则存在 使当
时,有
2
3)(
2
AxfA ??
2)(2
3 AxfA ????
分析,
推论,
定理 4（函数极限与函数极限的关系）
如果极限 存在,为函数
的定义域内任一收敛于 的数列，
且满足 那么相应的函数值数列
必 收敛,
)( xflim
0xx?
}{ nx )(xf
0x
)( ??? Nnxx 0n
，
)}({ nxf 且 )()( xflimxflim
0xxnn ???
?
证：设,则
当
时，有
又因,故对
，当
时，有
由假设
故当 时,从而
即
.)( Axflim nxx
0
?? 00 ???? ??,
???? || 0xx0,|Axf| ???)(
0nn xxlim ??? N0 ??,?
Nn ?
??? || 0n xx )( ??? Nnxx 0n
Nn ? ???? || 0xx0
,|Axf| ???)(,)( Axfl i m n
n ???
1,函数极限的 "" ??? 或 "" X?? 定义及应用
2,函数极限的性质,保号性定理
与左右极限等价定理
内容小结
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质
一、函数极限的定义
（一）自变量趋于有限值时函数的极限
定义, 设函数 在点 的某去心邻域内有定义,
,0???,0??? 当 ???? 00 xx 时,有 ??? Axf )(
则称常数 A 为函数 当 时的 极限,
Axfxx ?? )(li m
0
或
即 当
时,有
若
记作
几何解释,
??0x
??A
??A
A
x0x
y )(xfy ?
极限存在
函数局部有界
(P35定理 2)
这表明,
例 1、
证明
证, Axf ?)(
故,0??? 对任意的,0?? 当 时,
因此
总有
例 2、
证明
证, 12 ?? x
欲使,0???
取,2?? ? 则当 ???? 10 x 时,必有
因此
只要
例 3、
证明
证, Axf ?)(
故,0??? 取,?? ? 当 时,必有
???
?
? 2
1
12
x
x
因此 21
1l i m 2
1
???
? x
x
x
例 4,证明, 当
证,
0
0
1 xx
x ??
欲使,0??? 且
而 可用
因此
只要
00l i m xxxx ??
时
故取
? ?,,m in 00 xx ?? ? 则当 ???? 00 xx 时,
保证,
必有
o x0xx
左极限与右极限
左极限, ?? )( 0xf
Axf
xx
??
?
)(lim
0
,0???,0??? 当 ),( 00 xxx ???
时,有
右极限, ?? )(
0xf Axf
xx
??
?
)(lim
0
,0???,0??? 当 ),( 00 ??? xxx
时,有
定理 3,
Axf
xx
?
?
)(lim
0
Axfxf
xxxx
?? ??
??
)(lim)(lim
00
（二）自变量趋于无穷大时函数的极限
XX?
??A
??A o x
y
)( xfy ?A
定义 2, 设函数 大于某一正数时有定义,若
,0?? X 则称常数
时的极限,
Axfx ??? )(li m
几何解释,
记作
直线 y = A 为曲线 的水平渐近线
,0???
A 为函数
例 6 证明,01lim ?
?? xx
证, 0
1 ?
x x
1?
取,1??X
因此
注,
就有
故,0??? 欲使 即
o x
y
xy
1?
极限的两种特殊情况,
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线,
Axfx ???? )(lim,0???,0?? X 当 时,有
??? Axf )(
,0???,0?? X 当 Xx ?? 时,有
??? Axf )(
几何意义,
例如，
都有水平渐近线 ;0?y
都有水平渐近线,1?y
又如，
x
1
x?1
1
时，有 。
那么存在常数 和,使得当
定理 2（函数极限的局部有界性）如果,
定理 1（函数极限的唯一性）如果 存在，
二、函数极限的性质
)( xflim
0xx?
Axflim
0xx
?? )(
0M ?
那么这 极限唯一 。
0??
???? || 0xx0 Mxf ?|)(|
证明：因为 所以取 则
Axflim
0xx
?? )( 1?? 0???
当 时，有???? || 0xx0
1AAAxfxf1Axf ???????? |||||)(||)(||)(|
记 1AM ?? || 定理得证
若 且 A > 0
.0)( ?xf )0)(( ?xf
证, 已知 即,0??? 当
时,有
当 A > 0 时,取正数
则在对应的邻域 上
(< 0) )( A???
则存在( A < 0 )，
)0(?
0??
使当 ???? ||
0xx0
时，有
定理 3（函数极限的局部保号性）
:0?A
:0?A
若取,2
A??
则在对应的邻域 上
若 则存在 使当
时,有
2
3)(
2
AxfA ??
2)(2
3 AxfA ????
分析,
推论,
定理 4（函数极限与函数极限的关系）
如果极限 存在,为函数
的定义域内任一收敛于 的数列，
且满足 那么相应的函数值数列
必 收敛,
)( xflim
0xx?
}{ nx )(xf
0x
)( ??? Nnxx 0n
，
)}({ nxf 且 )()( xflimxflim
0xxnn ???
?
证：设,则
当
时，有
又因,故对
，当
时，有
由假设
故当 时,从而
即
.)( Axflim nxx
0
?? 00 ???? ??,
???? || 0xx0,|Axf| ???)(
0nn xxlim ??? N0 ??,?
Nn ?
??? || 0n xx )( ??? Nnxx 0n
Nn ? ???? || 0xx0
,|Axf| ???)(,)( Axfl i m n
n ???
1,函数极限的 "" ??? 或 "" X?? 定义及应用
2,函数极限的性质,保号性定理
与左右极限等价定理
内容小结
