第五节 函数的微分
二、微分的几何意义
三、基本初等函数的微分公式与微分运
算法则
四、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
边长由
一、微分的定义
引例, 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA ?
面积的增量为
0x
x? xx ?0
20xA? xx ?
0
2)( x?
关于△ x 的
线性主部 高阶无穷小
0??x 时为
故
称为函数在 的微分0x
当 x 在 0x 取
得增量 x? 时,
0x 变到,0 xx ??
其
定义,
的 微分,
若函数 在点 的增量可表示为0x
( A 为不依赖于△ x 的常数 )
则称函数 )( xfy ? 而 称为
xA?
记作 即
xAy ??d
定理, 函数 在点 可微的 充要条件 是0x
)( xoxA ????
即
xxfy ??? )(d 0
在点 可微,
1、函数
证,,必要性”
已知 在点 可微,则
)()( 00 xfxxfy ?????
))((limlim
00 x
xoA
x
y
xx ?
???
?
??
???? A?
故
)( xoxA ????
在点 的可导,且
在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy ??? )(d 0
重要结论：
2,函数 在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy ??? )(d 0
“充分性” 已知
)(l i m 0
0
xfxy
x
????
??
??????? )( 0xfxy )0lim(
0 ??? ?x
xxxfy ?????? ?)( 0故 )()( 0 xoxxf ???? ?????
线性主部
即 xxfy ??? )(d 0
在点 的可导,则
说明,
0)( 0 ?? xf 时,
xxfy ??? )(d 0
)()( 0 xoxxfy ??????
y
y
x d
lim
0
?
?? xxf
y
x ??
??
?? )(
l i m
00
x
y
xf x ?
?
?? ?? 00 lim)(
1 1?
所以 0??x 时 y? yd
很小时,有近似公式
x?
yy d??
与 是等价无穷小,
当
故当
二、微分的几何意义
xxfy ??? )(d 0
xx ??0
x
y
o
)( xfy ?
?
0x
y?
yd??? ?t a n
当 很小时,x? yy d??
时，当 xy ?
则有 xxfy d)(d ??
从而 )(d
d xf
x
y ?? 导数也叫作微商
切线纵坐标的增量
自变量的微分,为称 x? 记作 xd
xy ??? xd?记
三,基本初等函数的微分公式与微分运算法则
设 u(x),v(x) 均可微,则
(C 为常数 )
分别可微,
的微分为
xxuf d)()( ? ??? ud
uufy d)(d ?? 微分形式不变
5,复合函数的微分
则复合函数
vu dd ??
vuuv dd ??
例 1,求
解, 2
1
1d
xey ?? )1(d
2xe?
?
?
? 2
1
1
xe )(d
2x
xxe
e
x
x d21
1 2
2 ????
x
e
ex
x
x
d
1
2
2
2
?
?
2xe
四,微分在近似计算中的应用
)()( 0 xoxxfy ??????
当 x? 很小时,
)()( 00 xfxxfy ????? xxf ??? )0
xxfxfxxf ?????? )()()( 000
xxx ??? 0令
使用原则, ;)(,)()1 00 好算xfxf ?
.)2 0 靠近与 xx
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
得近似等式,
特别当 xx,00 ? 很小时,
xffxf )0()0()( ???
常用近似公式,
x??1
很小 )x(
x
x
x
x?1
证明, 令 ?)1()( xxf ??
得,1)0( ?f ??? )0(f
,很小时当 x?
微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A,其近似值为 a,
称为 a 的 绝对误差
称为 a 的 相对误差
若
称为测量 A 的 绝对误差限
称为测量 A 的 相对误差限
误差传递公式,
已知测量误差限为,x?
按公式 计算 y 值时的误差
yd? xxf ???? )(
故 y 的绝对误差限约为 xy xf ?? ??? )(
相对误差限约为 x
y
xf
xf
y ?
? ???
)(
)(
若直接测量某量得 x,
内容小结
1,微分概念
? 微分的定义及几何意义
? 可导 可微
2,微分运算法则
微分形式不变性, uufuf d)()(d ??
( u 是自变量或中间变量 )
3,微分的应用
近似计算
估计误差
二、微分的几何意义
三、基本初等函数的微分公式与微分运
算法则
四、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
边长由
一、微分的定义
引例, 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x,面积为 A,则,2xA ?
面积的增量为
0x
x? xx ?0
20xA? xx ?
0
2)( x?
关于△ x 的
线性主部 高阶无穷小
0??x 时为
故
称为函数在 的微分0x
当 x 在 0x 取
得增量 x? 时,
0x 变到,0 xx ??
其
定义,
的 微分,
若函数 在点 的增量可表示为0x
( A 为不依赖于△ x 的常数 )
则称函数 )( xfy ? 而 称为
xA?
记作 即
xAy ??d
定理, 函数 在点 可微的 充要条件 是0x
)( xoxA ????
即
xxfy ??? )(d 0
在点 可微,
1、函数
证,,必要性”
已知 在点 可微,则
)()( 00 xfxxfy ?????
))((limlim
00 x
xoA
x
y
xx ?
???
?
??
???? A?
故
)( xoxA ????
在点 的可导,且
在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy ??? )(d 0
重要结论：
2,函数 在点 可微的 充要条件 是0x
在点 处可导,且 即
xxfy ??? )(d 0
“充分性” 已知
)(l i m 0
0
xfxy
x
????
??
??????? )( 0xfxy )0lim(
0 ??? ?x
xxxfy ?????? ?)( 0故 )()( 0 xoxxf ???? ?????
线性主部
即 xxfy ??? )(d 0
在点 的可导,则
说明,
0)( 0 ?? xf 时,
xxfy ??? )(d 0
)()( 0 xoxxfy ??????
y
y
x d
lim
0
?
?? xxf
y
x ??
??
?? )(
l i m
00
x
y
xf x ?
?
?? ?? 00 lim)(
1 1?
所以 0??x 时 y? yd
很小时,有近似公式
x?
yy d??
与 是等价无穷小,
当
故当
二、微分的几何意义
xxfy ??? )(d 0
xx ??0
x
y
o
)( xfy ?
?
0x
y?
yd??? ?t a n
当 很小时,x? yy d??
时，当 xy ?
则有 xxfy d)(d ??
从而 )(d
d xf
x
y ?? 导数也叫作微商
切线纵坐标的增量
自变量的微分,为称 x? 记作 xd
xy ??? xd?记
三,基本初等函数的微分公式与微分运算法则
设 u(x),v(x) 均可微,则
(C 为常数 )
分别可微,
的微分为
xxuf d)()( ? ??? ud
uufy d)(d ?? 微分形式不变
5,复合函数的微分
则复合函数
vu dd ??
vuuv dd ??
例 1,求
解, 2
1
1d
xey ?? )1(d
2xe?
?
?
? 2
1
1
xe )(d
2x
xxe
e
x
x d21
1 2
2 ????
x
e
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x
x
d
1
2
2
2
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2xe
四,微分在近似计算中的应用
)()( 0 xoxxfy ??????
当 x? 很小时,
)()( 00 xfxxfy ????? xxf ??? )0
xxfxfxxf ?????? )()()( 000
xxx ??? 0令
使用原则, ;)(,)()1 00 好算xfxf ?
.)2 0 靠近与 xx
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
得近似等式,
特别当 xx,00 ? 很小时,
xffxf )0()0()( ???
常用近似公式,
x??1
很小 )x(
x
x
x
x?1
证明, 令 ?)1()( xxf ??
得,1)0( ?f ??? )0(f
,很小时当 x?
微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A,其近似值为 a,
称为 a 的 绝对误差
称为 a 的 相对误差
若
称为测量 A 的 绝对误差限
称为测量 A 的 相对误差限
误差传递公式,
已知测量误差限为,x?
按公式 计算 y 值时的误差
yd? xxf ???? )(
故 y 的绝对误差限约为 xy xf ?? ??? )(
相对误差限约为 x
y
xf
xf
y ?
? ???
)(
)(
若直接测量某量得 x,
内容小结
1,微分概念
? 微分的定义及几何意义
? 可导 可微
2,微分运算法则
微分形式不变性, uufuf d)()(d ??
( u 是自变量或中间变量 )
3,微分的应用
近似计算
估计误差
